close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лебегово продолжение т-аддитивных мер.

код для вставкиСкачать
Математика
ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ т-АДДИТИВНЫХ МЕР
Е Г Белов
Челябинский государственный университет.
Статья посвящена естественному обобщению понятия аддитивной меры
Для так называемых т аддитивных мер построен аналог лебегова продолжения,
схема построения которого (с необходимыми изменениями) совпадает с клаг
снческой схемой, принятой в [1], доказан аналог разложения Хъюитта-Иосиды
[2,4] т-аддитивной меры в сумму вполне г-аддитивной меры и (т + 1)-аддитивной
меры
Ключевые слова: аддитивные меры, лебегово продолжение, разложение Хьюатта-Иосиды
Интерес к исследованию свойств т-аддитивных мер объясняется, в
частности, тем фактом, что для направленностей теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла не верна В то же время для тгладких функционалов [3], коюрые определяются т-аддитивными мерами,
возможен предельный переход для направленное гей мощности т
1. Определения, примеры
Пусть (Е,С} - измеримое пространство с полуалгеброй подмножесгв
С, т - некоторое кардинальное число [5, с 180] Всюду в дальнейшем предполагаем, что т превышает счетную мощность
Последнее предположение не является столь уж ограничительным,
поскольку в заметке обобщаются классические результаты именно для счетной мощности
Неотрицательную конечно-аддитивную меру \1 на С назовем т-аддитивной, если для любого разбиения пространства Е . (Ьа}а^А элементами
С., где мощность А не превышает т,
Ц(Е) = ^ №<*)
аел
Здесь
X М^а) = 8иР(Х^ М^«)),
аеД
В а&В
где В - конечные подмножества множества индексов А.
6
Е Г Белов
Алгебру С, на Е будем называть т-алгеброй, если она замкнута относительно объединения и пересечения г элементов из С..
Через И^т обозначим множество порядковых чисел, мощность которых меньше т [5, с 236]. Поскольку мощность ]УТ равна т, то всюду в дальнейшем в качестве множества индексов А будем использовать множество
№т
Систему множеств (Аа)а^\ут будем называть монотонно-возрастающей
(убывающей) направленностью множеств, если
V», 0 6 №т • (а<(3)=> (Аа С А0]
((а < /3) => (Аа 3 Ад)).
Если (Аа)а61ут ~ монотонно-возрастающая направленность , то (Аа | (7)
означает, что
(С = [^Аа),
а
(Аа I О) означает, что
(с = г\Аа).
а
Легко показать, что непрерывность в пустом множестве конечно-аддитивной меры на любой монотонно убывающей направленности мощности
т эквивалентна свойству т-аддитивности.
Заметим, что меры Дирака являются т-аддитивными мерами для любою г Приведем пример т-аддитивной меры, не являющейся счетной суммой двузначных мер.
ПРИМЕР 1. Пусть X — [а,Ь[, X ~ полуалгебра полуинтервалов на X, тогда щ - мера-длина на X является т-аддитивной (поскольку существует
лишь не более, чем счетное разбиение X непустыми элементами Х\ заметим попутно, что уже продолжение \ь\ на лебеговскую ст-алгебру не будет
т-аддигивным). Пусть У - множество, мощность которого больше т, У т-алгебра на У, такая, что
у = м[^^,
где М. ~ множество всех подмножеств У, мощность которых не превосходит
^ = {у\м меМ}.
Определим меру ц?. на У следующим образом:
,,, _ I 1, если Ь Е .Т7,
М21 ] ~~ \ 0, если Ь&М.
ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ т-АДДИТИВНЫХ МЕР
7
Мера цз ~ т-аддитивна на У Теперь на произведении (X х У, Х{х}У] измеримых пространств определим меру-произведение МК 6 X, Ь € У
ц(К х I) = к(К)м(Ь)
Мера ц является т-аддитивной и не является счетной суммой двузначных
мер, так как в силу определения меры ц\ принимает континуум возможных
значений
ПРИМЕР 2 Пусть IVс множество счетных порядковых чисел, рассмотрим биективное отображение т \УС —» [0,1] Определим направленность
функций (Л>)йеи/с на [0,1] При фиксированном а € И^с
, , ч л Г 1, если х = т(/3) при (3 < а,
1а\?) - | о, если а; = т(/3) при /3 > а
Таким образом, для любого а 6 И^ функция /а(ж) отлична от нуля лишь
в не более, чем в счетном числе точек, а, следовательно,
/•1
/ /а(ж)с2х =• О V» е И^
7о
В то же время /а(ж) поточечно сходится к /(ж) = 1, так как
/1
/1
/1
О = 11т / }ахйх ф I \\т]ахйх = I $(х)йх — 1
" 1ц
^о а
Зо
Таким образом, теорема Лебега не верна уже для направленностей
мощное 1 и континуум
2.
Обобщение лебеговой конструкции продолжения
Заметим, что продолжение т-аддитивной меры с сохранением свойсхва г аддитивности с алгебры на т-алгебру в общем случае невозможно
(т-аддигивная мера уже на лебеговой а-алгебре не является т-аддитивной,
а ее любое продолжение на г-алгебру всех подмножеств интервала [а, Ъ[ - и
подавно) Этот параграф посвящен доказательству того факта, что если р
и р + 1 - два соседних кардинальных числа, то (р + 1)-аддитивную меру ц
можно единса венным образом продолжить с р-алгебры на (р+1)-алгебру
Пусть а р-алгебра, ц - неотрицательная (р + 1)-аддитивная мера
на С Продолжение р на (р + 1) алгебру осуществим последовательно
Рассмотрим класс множеств У, коюрый образован подмножествами
Е, преде хавимыми объединением монотонно возрастающих направленное
тей мощности р + 1 элементов из С
<?= у ла
аеЮ^+1
8
Е Г Белов
Определим функцию множеств Д на У в виде ]1(О) •=
Ьт ц(Аа)
аеЖр+г
Последнее определение корректно, поскольку для любых двух монотонных
р+ 1 направленностей (Аа)а^щ+1 и (Ва)а^.^р+1 таких, что УЛа С УД*,
а
а
имеется соотношение
Ът/л(Аа) < Ътц(Ва)
ТЕОРЕМА 2 1 Класс множеств У и функция Д на нем обладают
следующими свойствами
(а) Пусть (Са)ае№,,+1 таково, что Са С У Тогда
и оаеу п СО^У,
«61/^+1
а6^Ур+1
Д(Сх У 02) + Д(С?1 П С'г) = Д(СО + Д(С2)
^ Са Г С,
Са Е У => С 6 У,
Д(С) = 11П1 Д(С0)
аеИ^+1
Доказательство Для доказательства (а) досиаточно взять
^4/3 а Т С а
И
ПЛзаТП^а
а
л ч акже
и^ати^а
а
а
(б) Положим
Д} = [_) Аар,
[)<а
ОЛ - элемент И, поскольку С - р-алгебра
Заметим, чго Ра возрастает При этом Ар а С Оа С С^а и, следовательно,
^(Аца) < М(А-*) < Ж^а) ПРИ всех /^ < «
Переходя к пределу по а и /3 в этом соотношении, получаем
<?„!<?,
А*(С?) = 11га//(.Оа) = 11тД(Св)
Теперь для любого подмножества п т Е определим внешнюю меру
следующим образом
//(0) = шГ{д ПсСеУ}
(])
ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ т-АДДИТИВНЫХ МЕР
9
Заметим, что из этого определения легко следует, что
УП,
О С Е,
ВС € У .
/ЛП)=Д(С).
(2)
ТЕОРЕМА 2 2 Пусть (Па)аец^+1 - монотонно возрастающая (р +
1)-направленность подмножеств Е, тогда (Оа ^ Лдо) =$• (/л*(Па) ^ //"(П^))
Доказательство Пусть Са таково, что в силу (2 2)
Ц*(Яа)=11(Са)
Пусть С1,1, = У Са, тогда (С*^)аеи^р+1 - монотонно возрастающая (р ^ 1)/Ко
направленность
Покажем, что
/Г(«а) > ЖС* )
(3)
Доказательство проведем по индукции
При а = 1 соотношение верно Пусть оно верно и при всех (3 < а
Тогда
^а+1 = @а Ц) Со+1
В силу теоремы 2 1
Ж^+1)=Д(С*ис<ац) =
= ё(С1а) + /1(Са+1) - Д(^ П С«+1) <
< М*(Па) + //(Па+1) - М*(П0) = ^*(Па+1)
Неравенство (2 3) верно также и при предельном переходе (по всем /3 <
а, а € И^;+1) Таким образом, (2 3) верно для любого а 6 УУР\ 1
Перейдем к пределу в (2 3) по а 6 И^+х Получим
1Ш1
аСИ'р-и
М*("а)>Д(иСа)>/(«оо)
^
Рассмотрим теперь класс всех множеств Р подмножеств /? множества
Е для которых
/ЛЯ) + /Ля\я) = /*(я)
Прямым следствием теоремы 2 2 является
ТЕОРЕМА 2 3 Класс множеств V есть (р + 1)-алгебра, ц* на Т>
есть (р + 1) аддитивная мера
10
Е Г Белов
Доказательство. То, что Т> - алгебра, достаточно очевидно. Покажем, что Т> замкнуто относительно объединения мощности (р + 1). Пусть
(2^а)обИ/,/10+1 ' монотонно-возрастающая направленность элементов из Т>
мощности (р + 1). Тогда из теоремы 2.2 следует, что
/Ли2>а) = 11т1>*(2?в)
а.;
ц*(Е\ут>а) < ц*(Е\Щ},М(3 6 И^-ц.
а
Отсюда следует, что
Аг*(1)Ра)+;и*(Я\1|1>а)<1,
О
'
О
а так как для любого подмножества Е верно обратное неравенство, то
и А* с р.
а.
Тем самым показано, что Т> - (р + 1)-алгебра. Из теоремы 2.2 следует, что сужение /V* на Т> есть (р + 1)-аддитивная мера. Доказательство
единственное!и продолжения традиционно.
3. Разложение Хьюитта-Иосиды
Пусть р и (р+1) - два соседних кардинальных числа, (Е, С] - измеримое пространство с р-алгеброй подмножеств С. Пусть г\ - неотрицательная
р-адди! ивная мера на Ч
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Будем говорить, что г) - вполне р-аддитивная
мера, если она имеет только нулевую неотрицательную (р+1)-аддитивную
миноранту
Покажем, что любая р-аддитивная мера р допускает разложение ХьюиттаИосиды (в сумму вполне р-аддитивной меры и (р-Н)-аддитивной меры).
ТЕОРЕМА 3 1 Если ц - неотрицательная р-аддитивная мера на С,
то \л единственным образом можно представить в виде суммы
ц - X •}- г/,
где X
С
(р + I)-аддитивная мера на С,, -ц - вполне р-аддитивная мера на
ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ т-АДДИТИВНЫХ МЕР
11
Доказательство. Рассмотрим множество всех неотрицательных (р+
1)-аддитивных мер 7 таких, что *у < ц. Ъ силу утверждений [4, с.179 —
181] это множество имеет верхнюю грань - меру А, причем X - (р + 1)аддитивная мера (доказательство последнего факта аналогично доказательству полноты множества счетно-аддитивных мер).
Рассмотрим /э-аддитивную меру т/ = ^ — А > 0. Покажем, что т/ вполне р-аддитивная мера. Если это не так, то существует ненулевая (р +
1)-аддитивная мера А такая, что А < г) = р, — А. Но тогда А + А также
является (/?•+ 1)-аддитивной мерой, причем А+А < /и. Последнее неравенство
противоречиа тому, что А - верхняя грань.
Предположим теперь, что разложение не единственно, т. е.
Ц - А! + 7}! = А2 + 7/2.
Тогда А! — А2 = т/1 — т/2, а, следовательно,
зир(\1 - А2,0) = зир(г}1 - т/2)0),
причем
0< вгф(А1-А'2,0) <7?2.
Поскольку зир(\1 — А2,0) - (р + 1)-аддитивная мера, а т/2 - вполне /э-аддитивная, то зир(\1 - А2,0) = 0. Отсюда следует, что А! < А2. Аналогично
показывается обратное неравенство. Совпадение А! и А2 означает равенство
7/1 И 7/2
Список литературы
1. Нсво Ж Математические огновы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309с.
2. Уоьк1а К , Нето1(;1 Е. РтИс1у ас1с11(;1уо тсазшеь. Тгапь Атсг МаЬЬ. Зое. 72(1952)
Р 46-66
3 Варадарайн В.С Меры на топологических пространствах // Мат. сб. 1961. 55(97)
Ш. С 35-100
4. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Иностр. лит.,
1962 895 с.
5. Куратовский К.. Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
511ММАРУ
ТЬ)8 рарег 18 о!еуо1ес11о 1;Ье паЪига! ех^епзюп оГШе поНоп оГ1Ье аоМИлуе
теазиге. Рог зо саПео! т -аоМплуе теазигез Ше апа!о§ оГЛе ЬеЬезяие ех!,еп8юп
шаз сопз1гис<;ес1, Пае апа!о§ оГ 1Ье Не-й'И,1-1о81с1а йесотрозИюп о{ т -ас1с!11;1уе
теазиге тЪо 1;Ье зит оГ 1Ье риге!у г -ас1с11(,1Уе теазиге апо! (г + 1) -а^сИНуе
теазиге шаз ргоуео!.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
331 Кб
Теги
лебегово, мер, продолжение, аддитивных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа