close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лёвнеровские семейства отображении круга в круг.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Июнь
№ 299(I)
2007
МАТЕМАТИКА
УДК 517.54
А.И. Александров
ЛЁВНЕРОВСКИЕ СЕМЕЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ КРУГА В КРУГ
Дано дополнение к примеру Б.П. Куфарева.
Уравнение Лёвнера составляет основу метода параметрических продолжений в теории однолистных
функций, сыгравшего в конце минувшего века важную
роль в доказательстве неравенств Бибербаха о коэффициентах, а также при получении ранее и в дальнейшем
многих других точных оценок. Уравнение Лёвнера
первоначально возникло при изучении конформного
отображения канонической области на область с разрезом по простой дуге переменной длины. Применитель-
{
}
но к отображению единичного круга E = z : z < 1 в
единичный круг оно имеет вид
µ ( τ) + ς
dς
= −ς
, 0 ≤ τ ≤ τ0 , τ0 ≤ +∞,
dτ
µ ( τ) − ς
где функция µ ( τ ) ,
(1)
µ ( τ ) = 1, характеризует разрез (в
соответствующей параметризации) круга по простой
жордановой дуге, начинающейся на единичной окружности и не проходящей через нуль. Решение ς ( τ, z; µ )
уравнения (1) удовлетворяет начальному условию
ς ( 0, z; µ ) = z , z < E , и, следовательно,
ς z ( τ, z; µ ) = e − τ z + ... .
Выполнив замену ςκ −n1 = ς1 , получим
d ln ς
κ + ς κn
z
=− n
− , ς = ( 0, z; µ n ) = , k = κ n ( 0 ) . (3)
dτ
κn − ς κn
k
2
1
не следует, что решение ς ( τ, z; µ ) отображает круг на
круг с разрезом.
В данной работе указывается такая последовательность µ ( τ1 ) , µ ( τ2 ) , ... аналитических функций, схо-
Легко проверить, что
κ 'n 1 + κ n2
=
.
κ n 1 − κ n2
Сделаем в уравнении (3) замену κ 2n = λ n . Получим
λ + ς 1 + λn
d ln ς1
.
=− n 1 −
dτ
λ n − ς1 1 − λ n
1
Пусть τ − = τ1 . Тогда
n
ет E на круг с выброшенной луночкой.
Пусть
µ n ( τ ) = κ3n ( τ ) , κ n ( τ ) = e
1⎞
⎛
−⎜ τ − ⎟
n⎠
⎝
+ i 1− e
1⎞
⎛
−2 ⎜ τ − ⎟
n⎠
⎝
1⎞
⎛
λ n ( τ ) = κ 2n ⎜ τ1 + ⎟ = κ 2 ( τ1 ) = λ ( τ1 )
n⎠
⎝
и уравнение (4) примет вид
2 (1 − ς1 ) λ
d ln ς1
=−
.
d τ1
( λ − ς1 )(1 − λ )
Перейдём от переменного τ1 сначала к λ , а затем к
v , полагая v = 1 (1 + λ ) . Так как
dv dv d λ
2λ
=
⋅
=−
,
d τ1 d λ d τ1
1 − λ2
то приходим после простых преобразований к линейному неоднородному уравнению
(1 + ς1 ) v − 1 .
dv
=−
d ς1
(1 − ς1 ) ς1
Найдем решение ς ( τ, z; µ n ) уравнения
κ3 ( τ ) + ς
dς
= −ς 3n
,
κn ( τ) − ς
dτ
удовлетворяющее начальному условию
ς ( 0, z; µ n ) = z ∈ E .
94
(5)
Варьируя произвольную постоянную C в решении
v=
, 0 ≤ τ ≤ +∞.
(4)
κ n ( τ ) = e −τ1 + i 1 − e −2 τ1 = κ ( τ1 ) ,
дящихся к µ ( τ ) , что хотя ς ( τ, z; µ n ) , n − 1, 2, ..., ото-
бражает E на круг с разрезом, но ς ( τ, z; µ ) отобража-
1
1
'
П.П. Куфарев [1] на конкретном примере, используемом нами далее, показал: из непрерывности µ ( τ )
'
1
2
(1 − ς1 )
ς1
2
C
соответствующего линейного однородного уравнения,
получаем общее решение уравнения (5):
1 (1 − ς1 )
v=
+
D, D = const.
2ς1
ς1
Отсюда имеем для ς1 квадратное алгебраическое
2
(2)
уравнение
2 Dς12 − 2 ( 2 D + v ) ς1 + 1 + 2 D = 0.
(6)
Вместо произвольной постоянной D введём для
упрощения записи дальнейших преобразований постоянную γ = 1 + 1 2D . Уравнение примет вид
ς12 − 2 ⎣⎡1 + ( γ − 1) v ⎦⎤ ς1 + γ = 0 ,
и с учётом формулы v = 1 (1 + λ ) оно запишется в виде
γ+λ
ς1 + γ = 0.
1+ λ
⎡ z
⎤
z
z
z
z
× ⎢⎛⎜ − y3 ⎞⎟ ⎛⎜ y4 ⎞⎟ − ⎛⎜1 − ⎞⎟ ⎛⎜ − y1 ⎞⎟ ⎛⎜ − y2 ⎞⎟ ⎥ , (11)
⎢⎣⎝ k
где
y3,4 =
⎠⎝ k
⎠ ⎝
k⎠ ⎝k
1 ⎡ 2
⎢ κn − k 2 ± k 2
1+ k2 ⎢
⎣
⎠⎝ k
⎠ ⎥⎦
⎛
(1 + κ ) ⎜1 + κk
2
n
⎝
2
n
4
⎞⎤
⎟ ⎥ . (12)
⎠ ⎥⎦
(7)
Так как lim κ n ( τ ) = e −τ + 1 − e −2 τ = κ 0 ( τ ) , то для
Полагая здесь τ = 0 и, следовательно, согласно ус-
этой функции k = κ 0 ( 0 ) = 1 и, согласно (10), (12),
ς12 − 2
z
, λ = k 2 , получаем уравнение для наk
хождения постоянной γ :
ловиям, ς1 =
n →∞
y1 = 1 , y2 = κ 0 , y3 = −1 , y4 = κ02 . По формуле (12)
имеем
2
Отсюда
ς=
γ + k2 z
⎛z⎞
+ γ = 0.
⎜ ⎟ −2
1+ k2 k
⎝k⎠
2
z
2k
−
2
z
γ = k 1+ k ⋅ .
(8)
2 z
k
1
−
1+ k2 k
Из двух однозначных в E функций, получающихся
как решение уравнения (7), выбираем ту, которая принимает значение нуль при z = 0 :
2
2
4
ς γ + κ n − κ n (1 − γ ) (1 − γ κ n )
ς1 = =
.
κ
1 + κ n2
(9)
Выбирается та ветвь квадратного корня, для которой 1 = 1 .
Решение уравнения (2) с заданным начальным условием найдено. Преобразуем запись решения.
Непосредственные вычисления дают
1 ⎡ 4
⎢ κn + k 2 ± k 2
2
1+ k ⎢
⎣
Поэтому
ς=
κ 4n
4 ⎛
1
1
−
κ
−
( n )⎜ k 2
⎝
κn
1
⋅
2
z ⎞
1 + κn ⎛ 2
⋅ − 1⎟
⎜
2
k
+
k
1
⎝
⎠
×
⎞⎤
⎟ ⎥.
⎠ ⎦⎥
(10)
(1 − z ) ⎛⎜1 −
⎝
z ⎞⎤
⎟ ⎥.
κ 4 ⎠ ⎥⎦
(13)
{
}
исключением из круга ς : ς < 1 кругового двуугольника с вершинами в точках κ 0 ( τ ) , κ30 ( τ ) , ограничен-
ного дугой единичной окружности и дугой окружности, ортогональной к единичной окружности. Отображение (13) рассмотрено в [1].
Функция (12) при фиксированном τ , 0 < τ < ∞ ,
отображает круг E на область B , получающуюся из
круга
точке
{ς : ς < 1}
ς0 n =
исключением дуги, начинающейся в
κ n ( y1,2 − y3 )( y1,2 − y4 )
, k = κn ( 0) ,
⋅
2
1 + κ 2n
y1,4
1+ k2
и оканчивающейся в точке
k 4 + κ n2 − κ n2
ς1n =
где
y1,2 =
⎡
2
2
⎢ z + κo − κ0
⎢⎣
Эта функция при фиксированном τ , 0 < τ < ∞ ,
отображает круг E на область B0 , получающуюся
2
z⎞
z ⎞⎛
z⎞
⎛
⎛
y1 − ⎟⎜ y2 − ⎟
⎜1 − ⎟
⎜
λ
k⎠
k ⎠⎝
k⎠
1− γ = ⎝
, 1− 4 = ⎝
,
2
z
2
z⎞ 4
κn ⎛
1−
⋅
1
−
⋅
κ
⎜
⎟ n
2
1+ k2 k
⎝ 1+ k k ⎠
κ
1 + κ02
k4
2 ⎛
−
k
−
1
1
( ) ⎜ κ4
n
⎝
2
1 + κn
⎞
⎟
⎠
.
Из сходимости κ n ( τ ) к κ 0 ( τ ) при n → ∞ и рав-
номерной сходимости внутри E решений уравнения
(2) к функции (13), по теореме Каратеодори, следует,
что при n → ∞ Bn сходятся как к ядру относительно
нуля к области B0 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Куфарев П.П. Одно замечание об уравнении Лёвнера // Доклады АН СССР. 1947. № 57. С. 655–656.
Статья поступила в редакцию журнала 11 декабря 2006 г., принята к печати 18 декабря 2006 г.
95
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
381 Кб
Теги
лёвнеровские, круг, отображений, семейство
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа