close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными точками.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2009, том 52, №7
МАТЕМАТИКА
УДК 517.554
Х.С.Хидиров
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г. Михайловым 24.12.2008 г.)
В работе [1] был указан способ исследования систем линейных уравнений
n
xyk|
a kj ( x) y j
f k ( x), (k
1,2,..., n,0
x 1),
(1)
j 1
где в отличие от аналитической теории (теории Фукса [2] ) коэффициенты только лишь непрерывны, а свободные члены либо также непрерывны (класс С), либо даже просто ограничены в сингулярной точке x
0 (класс М). В [1] предполагалось, что корни характеристиче-
ского уравнения различны. Здесь мы рассмотрим тот случай, когда имеются кратные корни.
Мы рассмотрим сначала модельную систему
n
xyk|
a kj (0) y j
f k ( x), (k
1,2,..., n) .
(2)
j 1
Для однородной системы
n
xyk|
a kj (0) y j , (k
(2 0 )
1,2,..., n) ,
j 1
решение будем искать в виде
(k )
k
k1 x ,
k
k 2 x ,...,
kn x
k
1,2,..., n) .
( x), (k
(3)
Подставляя (3) в (2 0 ), получим характеристическое уравнение
( )
где A(0)
I.
1
m 1
0
a kj (0) , (k , j
Будем
2
,
m 2
m
,...,
det A(0)
n
det A(0)
I
0,
1,2,..., n), и I – единичная матрица.
рассматривать
случай,
когда
имеются
(корень кратности m), где 1 m
причем все Re
0. Если
(4)
1k
,
2k
j
,...,
кратные
корни,
то
есть
n и ещѐ (n-m) различных корней
0, ( j 1,2,..., n). Из этого необходимо последует, что
nk
, (k
1,2,..., n), являются линейно независимыми ре-
шениями систем [с определителями, равными нулю].
507
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
a11 (0)
a 21 (0)
k
a12 (0)
1k
a 22 (0)
1k
2009, том 52, №7
2k
a1n (0)
2k
a 2 n (0)
k
0
nk
0
nk
то det
(k )
0 и
kj
1k
x k,
2k
x k ,...,
nk
x
k
0
1,2,..., n) ,
(k
.........................................................................
a n1 (0) 1k a n 2 (0) 2 k
a nn (0)
0
k
nk
( x), (k , j 1,2,..., n) образуют n линейно неза-
висимых решений системы 2 0 . Записывая общее решение системы 2 0 в виде
m
yj
ci
ji
n
i 1
x ln x
ci
i 1
x i ,( j
ji
1,2,..., n)
i m 1
или
m
(i )
( x)
ci
( x) ln x
n
i 1
i 1
где ci
(i )
ci
( x),
i m 1
произвольные постоянные, для нахождение частного решения неоднородной систе-
мы € ( x)
y€1 , y€2 ,..., y€n методом вариации постоянных будем иметь
m
ij
j 1
x ln x
dc j
ij
dx
j 1
dc j
n
x
j
f i ( x)
, (i 1,2,..., n) ,
x
dx
j m 1
откуда получаем
dc j
x
dx
где
ij
ij
и
ij
1 i
m
1
ln x
fj
ji
n
1
j
x
ji
i 1
f j , ( j 1,2,..., n) ,
(5)
i m 1
алгебраическое дополнение элемента
Интегрируя (5) в пределах x, d при Re
в матрице
ij
0, в пределах [0,x] при Re
j
ij
j
, (i, j
1,2,..., n).
0, ( j 1,2,..., n) и
вводя операторы
d
y
j
ln x
1 j
1 x
t t
x
d
j
1 x
t t
x
y (t )dt
y (t )dt, Re
j
0, ( j 1,2,..., n) ,
(6)
x
j
y
ln x
1 j
x
1 x
t t
0
y (t )dt
1 x
t t
0
j
y (t )dt, Re
j
0, ( j 1,2,..., n) ,
сможем записать
n
x jcj
n
ji f j
j
i 1
ji
i 1
так что
508
j
f j , ( j 1,2,..., n)
Математика
Х.Хидиров
n
y€p ( x)
pj
f j , ( p 1,2,..., n)
j 1
n
pj
pk
kj
(7)
, ( j 1,2,..., n)
j
k 1
€
0
F,
0
pj
Таким образом, общее решение (2) дается формулами
m
y p ( x)
ci
n
i 1
ln x
pi x
n
ci
i 1
pi x
i
pj
i m 1
f j ( p 1,2,..., n)
(8)
j 1
либо
m
( x)
(i )
ci
( x) ln x
n
i 1
(i )
ci
i 1
( x)
0
F.
i m 1
II. Рассмотрим случай, когда корни (4) все кратные
1
2
, причем
n
0 ; тогда записываем общее решение системы 2 0
Re
n
y j ( x)
ck
jk
x ln x
k 1
, ( j 1,2,..., n)
k 1
либо
n
( x)
(k )
ck
( x) ln x
k 1
,
k 1
где c k
мы
произвольные постоянные, для нахождение частного решения неоднородной систе-
( x)
y€1 , y€2 ,..., y€n методом вариации постоянных будем иметь
n
kj
k 1
x ln x
k 1
f j ( x)
dck
dx
x
, ( j 1,2,..., n) .
Откуда получаем
dck
dx
kj
где
kj
kj
, (k , j
Re
и
kj
n
x
1
ln x
1 k
lj
f k , ( j 1,2,..., n) ,
(9)
k 1
алгебраическое
дополнение
1,2,..., n); интегрируя (9) в пределах [x,d] при Re
0 и вводя операторы
509
элемента
kj
в
матрице
0 и в пределах [0,x] при
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2009, том 52, №7
d
y
k
ln x
1 x
t t
x
1 k
y (t )dt, (Re
0, k 1,2,..., n)
(10)
x
k
y
1 k
ln x
1 x
t t
0
y (t )dt, (Re
0, k
1,2,..., n) ,
сможем записать
n
x ck
n
k
fk
kj
kj
j 1
f k , (k
k
1,2,..., n)
j 1
так что
n
y€p ( x)
f j , ( p 1,2,..., n)
pj
(11)
j 1
€
0
F,
0
pj
Таким образом, общее решение (2) дается формулами
n
y p ( x)
ck
pk
x ln x
n
k 1
f j , ( p 1,2,..., n) (12)
pj
k 1
j 1
n
( x)
(k )
ck
( x) ln x
k 1
0
F.
k 1
Правые части (6) и (10) относятся к классу операторов с ядрами, однородными степени (-1), которые достаточно подробно изучались в монографии [3], на которую постоянно
будем опираться: но в отличие от [3], где операторы изучались в сингулярных классах функции, здесь мы будем их рассматривать в С и М; требуемые при этом условия суммируемости
ядер сводятся с очевидной интегрируемости функции x
на отрезке [0,d] при Re
k
1
на отрезке [d , ] при Re
0, чем и было вызвано введение операторов со значками (+) или
(-). Из другого представление операторов
d
x
k
y
ln x
1 k
d
x
u
1
y (ux)du
1
y
ln x
1 k
k
1
y (ux)du, (k
1,2,..., n) ,
y (ux)du, (k
1,2,..., n)
1
u
0
u
1
1
k
0 и
1
y (ux)du
u
k
1
0
непосредственно вытекает не только их действие и ограниченность в С и М
510
Математика
Х.Хидиров
1
Re
y
j
y,
j
свойство вырождения в точке x=0, но и еще одно дополнительное свойство, которое нам понадобится ниже: если в уравнении
y ( x)
где
f ( x)
y 0 ( x)
x f 0 ( x) и 0
f ( x), a(t ) C 0, d ,
a(t ) y(t )
j
Re
k
, то необходимо будет также
x y0 ( x), где
y( x)
C[0, d ]. Указанное свойство справедливо также для систем рассматриваемого типа.
Возвращаясь к общему случаю переменных коэффициентов, стандартной процедурой вычитания преобразуем (1) к системе с постоянными коэффициентами, но со «свободными членами»
n
f j ( x)
a ji ( x)
f j ( x), a js ( x)
s
a js ( x) a js (0).
i 1
Вставляя их в формулы обращения (8) и (12), придем к системе интегральных уравнений
m
y1 ( x)
11 y1
12 y 2
1n y n
cj
n
j 1
ln x
1j x
n
cj
j 1
j
1j x
1i
j m 1
f i ( x)
i 1
...................................................................................................................................
m
y n ( x)
y
n1 1
n2
y2
nn
yn
cj
nj
x ln x
j 1
j 1
m
0
( x) ln x
n
i 1
i 1
(13)
n
cj
nj
j m 1
(i )
ci
n
x
j
ni
fi
i 1
(i )
ci
0
( x)
0
F,
i m 1
n
где
kp
ki
ip
y ..
(14)
i 1
Как показывают формулы (14), (7), (11), все
kp
выражаются в виде линейных комби-
наций с постоянными коэффициентами над простейшими операторами
d
jki y
a ki (t ) y (t )
j
ln x
1 j
x
x
jki
y
j
a ki (t ) y (t )
ln x
1 j
0
a ki (t ) x
t
t
a ki (t ) x
t
t
d
y (t )dt
x
x
y (t )dt
0
511
j
a ki (t ) x
t
t
a ki (t ) x
t
t
y (t )dt, (i 1,2,..., n),
j
y (t )dt, (i 1,2,..., n)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2009, том 52, №7
Таким образом, нами доказана
Теорема. Пусть в системе (1) коэффициенты akj (x) заданные непрерывные функции (без ограничения общности можем считать их вещественными) и пусть определяемое
значениями akj (0) характеристического уравнения (4) имеет кратные и различные корни,
то есть
Re
j
1
2
и
m
m 1
,
m 2
,...,
n
(вещественные или комплексные), причем
0, ( j 1,2,..., n). Тогда:
1) каков бы ни был отрезок [0, d ] и свободные члены из С или М, всегда существует
частное решение неоднородной системы (1) из того же класса;
2) однородная система ( 2 0 ) имеет
тех же в С или М, где
есть число корней
Каждое из этих решении
нием точки x
(k )
линейно независимых решений
k
, для которых Re
k
(k )
( x) одних и
0.
( x) отлично от нуля всюду на отрезке [0, d ] за исключе-
0.
Кулябский государственный университет
Поступило 24.12.2008 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Михайлов Л.Г. – ДАН России, 1994, т.336, № 1, с.21-24.
2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970.
3. Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром однородным степени (-1). – Душанбе: Дониш,
1966, 47 с.
Х.Хидиров
СИСТЕМАИ МУОДИЛАЊОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ОДДЇ БО НУЌТАИ
СИНГУЛЯРЇ
Дар кори пешнињодшуда њолати решањои муодилаи характеристикаи каратї ва
гуногун дошта, дида баромада шудааст.
Kh.Khidirov
A LINEAR SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION
WITH SINGULAR COEFFICIENTS
In the proposed paper is considerate a case when roots of characteristic equation are multiple.
512
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
435 Кб
Теги
обыкновенное, уравнения, точками, дифференциальной, система, линейный, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа