close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель внешнего гравитационного поля на ограниченном участке земной поверхности по спутниковым и традиционным геодезическим данным.

код для вставкиСкачать
УДК 528.34: 629.783
Ю.В. Сурнин
СГГА, Новосибирск
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВНЕШНЕГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
НА ОГРАНИЧЕННОМ УЧАСТКЕ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПО СПУТНИКОВЫМ
И ТРАДИЦИОННЫМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ДАННЫМ
Введение. В соответствии с теорией М.С. Молоденского [1],
традиционные астрономо-геодезические методы определения плановых и
высотных координат (триангуляция, трилатерация, полигонометрия,
геометрическое нивелирование, астрономические определения), а также
гравиметрические измерения дают возможность, определять поверхность
Земли лишь совместно с определением ее внешнего гравитационного поля. В
этой теории поверхность Земли, как граничная поверхность краевой задачи,
на которой заданы результаты измерений, является неизвестной. Появление
современных методов спутниковых координатных определений позволяет с
высокой точностью определять координаты точек земной поверхности в
единой геоцентрической системе отсчета. Таким образом, независимо от
решения краевой задачи в постановке М.С. Молоденского, стало возможным
получение физической поверхности Земли в виде множества дискретных
точек в общей земной системе координат. В связи с этим, включение
спутниковых высокоточных координатных данных в состав астрономогеодезической и гравиметрической информации с целью определения
внешнего гравитационного поля Земли (ГПЗ) позволяет по иному подойти к
решению задачи. Такой подход с одной стороны существенно облегчает ее
решение, с другой повышает точность определения гравитационного поля
Земли.
Кроме того, в современной практике астрономо-гравиметрического
нивелирования квазигеоида (по методу М.С. Молоденского [2]) карты
аномалий высот δ и составляющих отклонений отвеса ξ, ε строятся, главным
образом, по аномалиям ускорения силы тяжести Δg посредством уточненных
интегральных формул Стокса и Венинг-Мейноса. Астрономические долготы
λ,
широты
φ
и азимуты α на пунктах Лапласа, как дополнительная и независимая
высокоточная информация о ГПЗ, традиционно непосредственно не
вкладываются
в определение параметров единственной геопотенциальной функции –
потенциала ускорения силы тяжести, которая порождает все разнообразие
возможных трансформант гравитационного поля Земли. В интегральных
уравнениях М.С. Молоденского [1] астрономические координаты λ, φ
выполняют лишь роль аргументов геопотенциальной функции (наряду или
взамен геодезических долгот L и широт B). Но λ и φ непосредственно
характеризуют направление силовых линий ГПЗ на поверхности Земли.
Астрономический азимут косвенно определяет составляющую отклонения
отвеса в плоскости первого вертикала ε через уравнение Лапласа. Поэтому не
включение в состав измерительной информации астрономических величин λ,
φ и α, относительная погрешность которых одного порядка с первоклассным
нивелированием и гравиметрическими измерениями, приводит к потере
полезной информации и к снижению точности определения гравитационного
поля Земли.
Метод М.С. Молоденского [2] определения фигуры геоида при
совместном использовании астрономо-геодезических отклонений отвеса ε, ξ
и карт аномалий силы тяжести Δg, не решает задачу одновременного
вложения трех видов измерений ε, ξ и Δg в определение ГПЗ. Уравнения
наблюдений для разностей между астрономо-геодезическими (индекс – АГ) и
гравиметрическими (индекс – Гр) отклонениями отвеса формируются и
решаются независимо друг от друга [3], [4]:
ξАГ – ξГр = aφ + bλ + c,
(1)
εАГ – εГр = αφ + βλ + γ.
(2)
Это приводит к тому, что два неизвестных параметра b и α (которые для
единой потенциальной функции должны быть равными друг другу)
определяются порознь из двух систем уравнений (1) и (2), ухудшая
обусловленность и точность решения задачи. В числовом примере Н. П.
Макарова
[3,
с.
281]
b
=
-0,15",
α = +0,01". Различие в оценках b и α в этом примере лежит в доверительном
интервале, определяемом точностью исходных данных.
Корректировка систем уравнений (1) и (2) – с учетом того, что
составляющие отклонения отвеса есть производные одной потенциальной
функции – возмущающего потенциала T, приводит к решению объединенной
системы из уравнений (1), (2) с пятью неизвестными параметрами {a, b, c, β,
γ}. Теперь в уравнениях вида (2) на месте параметра α должен стоять
параметр b.
В современном комбинированном методе [5] развития сети нормальных
высот на территории России с помощью геометрического нивелирования (в
виде нормальных высот Hγ) в комплексе со спутниковыми координатными
GPS/ГЛОНАСС-определениями (в виде геодезических высот H) и детальной
гравиметрической съемкой (в виде аномалий силы тяжести Δg), информация
об астрономических трансформантах ГПЗ λ, φ, α, по-прежнему, не
используется.
В усовершенствованной методике создания цифровых карт уклонений
отвесных линий (ЦК УОЛ) [6] основными видами исходной информации
являются:
Гармонические коэффициенты до 36 степени модели «Параметры
Земли 1990 года» для учета планетарной части ГПЗ;
Средние значения аномалий силы тяжести (АСТ) по трапециям 1 × 1º
и 5 × 7,5' для учета региональных особенностей ГПЗ;
Гравиметрические карты масштаба 1 : 200 000 и топографические
карты масштаба 1 : 50 000 для учета тонкой структуры ГПЗ.
В этой методике информация об астрономических долготах λ и широтах
φ на 16 астропунктах для района Карпат площадью 40 × 60' использована
только для контроля экспериментального варианта ЦК УОЛ.
Таким образом, в теории М.С. Молоденского [1] и ее практическом
применении [2 – 6], имеющаяся высокоточная информация о ГПЗ в виде {L,
B, H, Hγ, λ, φ, α, Δg} вкладывается в определение ГПЗ не полностью и не
всегда комплексно.
Первое предложение о комплексном использовании такого рода
астрономо-геодезической и гравиметрической информации {Hγ, λ, φ, α, Δg}
для определения геопотенциала было высказано, по-видимому, Г. Морицем
[7] в методе коллокации. Однако идея применения коллокации к задаче
определения
ГПЗ,
с нашей точки зрения, полезна только в том случае, когда «запросы
потребителя» (количество, состав определяемых параметров, конструкция
модели
ГПЗ
и требуемая точность) не соизмеримы с имеющейся информацией о ГПЗ (по
количеству, по распределению в пространстве, по составу, по точности).
Другими словами, мы имеем дело с так называемыми, некорректно
поставленными задачами. Такой, например, является задача определения
глобальной модели ГПЗ в виде бесконечного ряда шаровых функций по
информации {Hγ, λ, φ, α, Δg}, которая распределена крайне неравномерно из-за
неполной гравиметрической изученности. В такой ситуации в методе
коллокации Г. Морица предлагается недостаток информации восполнить
введением дополнительной – эргодической – модели возмущающего
потенциала T. Кроме двух естественных моделей: детерминированной
модели ГПЗ – (AX) и стохастической модели (в виде ковариационной
матрицы Kn для вектора n погрешностей измерений), в уравнение
наблюдений (для вектора измерений l) включается стохастическая модель
возмущающего потенциала T, (в виде BT) [7, с. 187]:
l = AX + BT + n.
(3)
Но получение достоверной ковариационной функции T требует знания
аномальной части ГПЗ (которая неизвестна!). Для выхода из этого
«заколдованного круга» в методе коллокации предлагается принять гипотезу
об однородности и изотропности аномального, но не случайного поля T.
Таким образом, вынужденная необходимость использования в методе
коллокации, в общем случае, неадекватной объекту (ГПЗ) математической
модели сигнала T, неизбежно будет приводить и к смещенным оценкам
параметров и к искаженной оценке точности получаемого решения.
Регулярная – «правильная» – стратегия решения таких обратных задач
геодезии должна строиться на трех условия регулярности [8]:
(4)
Адекватности математической модели объекту (процессу);
Наблюдаемости математической
измерительной информации;
Состоятельности решения задачи.
модели
по
имеющейся
Первое условие регулярности требует конструирования адекватной
математической модели, состоящей из двух частей: детерминированной части
(в виде модели AX, в которой X включает все параметры ГПЗ, в том числе и
аномальной части поля, влияние погрешности априорного знания которых
превосходит погрешности используемых измерений) и стохастической части
модели (в виде ковариационной матрицы Kn) для погрешностей n измерений
и остаточных случайных погрешностей, не учитываемых детерминированной
частью модели.
Проблемы, возникающие при выполнении второго условия регулярности
– наблюдаемости – должны решаться не на основе каких-либо гипотез – типа
эргодичности поля аномалий силы тяжести, а путем, во-первых, привлечения
достоверной информации о гравитационном поле, как в виде результатов
измерений, так и иного характера, во-вторых, путем приведения в
соответствие требований к количественному и качественному составу
оцениваемых параметров детерминированной модели ГПЗ согласно
количеству
и
качеству
имеющейся
в распоряжении измерительной информации (по распределению измерений в
пространстве-времени, по видам измерений и т. п.).
Третье условие регулярности – состоятельность решения – будет
выполняться автоматически в случае выполнения первых двух условий
регулярности и применения подходящего метода математико-статистической
обработки результатов измерений – например, метода максимального
правдоподобия или как частный случай метода наименьших квадратов.
Поэтому замечания Г. Морица [7, с. 174] о том, что «Операционный
подход (метод коллокации, прим. авт.) к физической геодезии проявился
относительно недавно – после того как появились новые возможности для
геодезических измерений и, в особенности, после того как классический
подход (теория М.С. Молоденского, прим. авт.) обнаружил неспособность
дать полный ответ (определить глобальное ГПЗ, прим. авт.) при неполной
гравиметрической изученности.», не совсем справедливо по отношению к
глубокой и строгой теории М.С. Молоденского, имеющей большое
практическое значение.
Теорию М.С. Молоденского определения глобального ГПЗ [1] и метод
астрономо-гравиметрического нивелирования квазигеоида [2-6] на локальных
участках земной поверхности необходимо дополнить включением
современных видов измерений, и лучше не подменять ее коллокацией,
используя неадекватные – эргодичные – модели реальных гравитационных
аномалий. Кроме того, на основе теории М.С. Молоденского целесообразно
построить такую модель ГПЗ, которую можно было бы сравнительно просто
адаптировать с одной стороны – к «рельефу» аномалий геопотенциала, с
другой – к имеющейся измерительной информации (распределению
измерений
в
пространстве,
их
составу
и точности).
В качестве такой модели наиболее целесообразно использовать конечноэлементную модель ГПЗ. Первые результаты применения метода конечных
элементов для математического описания гравитационного поля получены в
работах Я. Райнера [9] и А.В. Елагина [10].
В первой работе [9] создана законченная модель в виде опорной
поверхности геоида, легко адаптируемая к измерениям и рельефу
поверхности и основанная на использования почти всего спектра
измерительной
информации
γ
{δ = H - H , ξ, ε, Δg} (без астрономических азимутов α). Однако модель
является двумерной (тогда как исследуемый объект – трехмерный) и
содержит на границах конечных элементов разрывы первого рода, как самой
функции, так и ее производных. Но величина разрывов по высотам геоида
практически не ощутима (по-видимому, одного порядка с погрешностями
исходных данных), по наклонам же поверхности величины разрывов должны
превышать погрешности «измеренных» составляющих отклонений отвеса.
Во второй оригинальной работе [10] по определению параметров
конечно-элементной модели возмущающего потенциала на локальном
участке S земной поверхности (внутри нивелирного полигона) используется
несколько иная измерительная информация (но без астрономических данных
λ, φ, α). По периметру полигона S требуются результаты нивелирных и
гравиметрических измерений, внутри полигона S необходимо располагать
гравиметрическими, градиентометрическими измерениями и данными для
вычисления наклонов физической поверхности Земли по отношению к
поверхности эллипсоида. В статье [10], к сожалению, не рассматривается
вопрос о необходимой точности градиентометрических измерений и знания
наклонов земной поверхности. Из рассмотрения двух работ [9], [10] следует,
что создание эффективной математической модели ГПЗ с помощью метода
конечных элементов требует дальнейших исследований. Поэтому
совершенствование теории, методики и практики определения конечноэлементной модели ГПЗ является актуальной задачей.
В данной работе рассматривается один из этапов построения
математической модели ГПЗ в соответствии с условиями регулярности (4) на
локальном участке S земной поверхности. Область S рассматривается как
одна
ячейка
в конечно-элементной модели локального, регионального или глобального
гравитационного поля Земли. Такое поле в области S, в дальнейшем для
краткости, будем называть локальным ГПЗ. Отличительными особенностями
рассматриваемой модели локального ГПЗ является ее трехмерность и
использование расширенного состава высокоточной измерительной
информации,
по
сравнению
с работами [2 – 6, 9, 10], путем привлечения нивелирных, астрономических,
гравиметрических и спутниковых данных к решению задачи определения
параметров одной геопотенциальной функции – возмущающего потенциала
T.
Постановка задачи. Исходной информацией для отыскания параметров
модели локального ГПЗ служат результаты спутниковых и традиционных
(классических) средств измерений в узлах хаотичной пространственной
решетки, расположенных на локальном участке S поверхности Земли.
В качестве результатов спутниковых измерений в рассматриваемом
способе построения модели используются геодезические долготы, широты и
высоты
{Li, Bi, Hi}, i = 1, 2,..., k
(5)
относительно общего земного эллипсоида с параметрами {aE, eE}. Не
представляет никаких принципиальных трудностей вместо общеземных
координат (5) использовать геодезические координаты {L'i, B'i, H'i} в системе
референц-эллипсоида с 8-ю параметрами {a'E, e'E, δXo, δYo, δZo, ωx, ωy, ωz,}
или квазигеоцентрические геодезические координаты {L*i, B*i, H*i}
относительно квазигеоцентрического WGS-эллипсоида с параметрами {a*E,
e*E, δX*, δY*, δZ*}. Чтобы не усложнять изложение методики определения
модели ГПЗ, будем далее применять геодезические координаты (5), которые
можно получить на основе радиотехнических средств наблюдений
космических аппаратов, входящих в системы глобального позиционирования
ГЛОНАСС и GPS, методом относительных спутниковых координатных
определений (название метода заимствованы из работы [5]).
В качестве результатов традиционных геодезических измерений для
определения параметров модели ГПЗ применяются нормальные высоты,
астрономические долготы, широты и азимуты, а также ускорения силы
тяжести
{Hγi, λi, φi, αi, gi}, i=1, 2,…, k,
(6)
где i, k – порядковый номер узла и количество узлов решетки.
Каждый узел может содержать от максимального количества
измерительной информации {Li, Bi, Hi, Hγi, λi, φi, αi, gi} до минимального { Li,
Bi, Hi, Hγi}.
Помимо этой информации необходимо знать ковариационную матрицу
погрешностей измеренных величин (5) и (6), хотя бы диагонального вида.
Требуется решить – по терминологии Ю.М. Неймана [11] – задачу
глобальной аппроксимации ГПЗ на локальном участке земной поверхности S
в регулярной постановке [8]. Это означает, что требуется найти такую
аналитическую функцию T, которая имела бы простейшую структуру,
наилучшим образом (в соответствии с принятым критерием) приближала
возмущающий потенциал T на S и отвечала трем условиям регулярности (4).
Построение модели состоит из трех основных частей: математического
описания локального ГПЗ, методики решения обратной задачи (определение
параметров модели по измерениям) и практической обработки результатов
измерений с целью получения числовых значений параметров модели ГПЗ.
Здесь рассмотрим только первые два этапа создания модели локального
гравитационного поля: коротко – модель и методику.
Общее описание математической модели локального ГПЗ дается
формулами:
W = W(a, L, B, H),
(7)
W = U + T,
(8)
U = U(b, L, B, H),
(9)
T = T(c, L, B, H),
(10)
где W, U, T – потенциалы, соответственно, ускорения силы тяжести,
нормальный и возмущающий, как функции геодезических координат L, B, H
текущей точки на физической поверхности Земли и векторов a, b, c,
содержащих в качестве своих компонент параметры локальной модели ГПЗ.
В частности,
a = {b, c}
(11)
Вектор параметров модели потенциала ускорения силы тяжести (7),
(8);
b = { , aE, eE, },
(12)
Вектор параметров модели нормальной Земли (9), в котором
–
гравитационный параметр Земли (произведение универсальной постоянной
тяготения И. Ньютона на массу Земли),
– угловая скорость вращения
Земли, aE, eE – параметры уровенного общего земного эллипсоида, принятые
при вычислении координат (5);
c = {cl},
l = 1, 2,…, q
(13)
Вектор параметров модели локального возмущающего потенциала
(10) в области S.
Математическая модель нормальной Земли. В качестве нормального
гравитационного поля Земли (9) принимается потенциал U нормального
ускорения силы тяжести γ уровенного двухосного эллипсоида с параметрами
(12), вращающегося вместе с Землей. Ниже даются замкнутые формулы М.С.
Молоденского [1], адаптированные автором для текущей точки (L, B, H),
расположенной на или вне поверхности уровенного эллипсоида:
U = (μ/c)arctg(c/b) + (ω2a2/2)[(aE/bE)2(b/a)2(q/qE)(2/3 - sin2u) + sin2u],
(14)
γ = {μ/a2 - (2/3)ω2b [(f/fE)(1 - (3/2)sin2u + (3/2)sin2u)]}(1 - (c/a)2sin2u)-1/2,
(15)
где
q = [3 + (c/b)2]arctg(c/b) - 3(c/b),
qE = [3 + (c/bE)2]arctg(c/bE) - 3(c/bE),
f = 3[arctg(c/b) - (c/b)] + (c/a)2(c/b),
fE = {3[arctg(c/b) - (c/b)] + (c/bE)2arctg(c/bE)}(bE/aE)2,
c = aEeE, bE2 = aE2 - c2,
a = (R1 + R2)/2, R1 = R2 + c2 + 2cD, R2 = R2 + c2 - 2cD, b2 = a2 - c2,
sin2u = (D/a)2, D2 = X2 + Y2, R2 = D2 + Z2,
X = (N + H)cosBcosL, Y = (N + H)cosBsinL, Z = (N + H - NeE2)sinB,
(16)
N = aE(1 - eE2sin2B)-1/2.
Математическая модель возмущающего потенциала, ускорения
силы тяжести и его основных трансформант. Аналитический вид
модели T = T(c, L, B, H), которая аппроксимирует спутниковые (5) и
наземные данные (6) в ограниченной области S, выбирается из класса
гармонических функций. Для описания модели выбирается прямоугольная
горизонтальная система координат (oxỹz), начало которой помещается в точку
õ с координатами (Lo, Bo, Ho), расположенную, примерно, в средине
локального участка земной поверхности S. Ось абсцисс ox направляется в
геодезический зенит начальной точки õ(Lo, Bo, Ho), ось аппликат oz – по
линии пересечения плоскостей геодезического горизонта и вертикала с
геодезическим азимутом Ao, ось ординат oy дополняет систему до правой.
Азимут Ao задает ориентировку короткой оси симметрии сферической
трапеции, охватывающей локальную область S, где лежит информация. В
прямоугольной системе (oxỹz) для текущей точки на поверхности Земли
вводятся сферические координаты (u, v, r), связанные с прямоугольными
(x, y, z) прямыми и обратными соотношениями:
x = rcosvcosu, y =rcosvsinu, z =rsinv,
d2 = x2 + y2, r2 = d2 + z2, cosu = x/d, sinu = y/d, cosv = d/r, sinv = z/r. (17)
Переход от геодезических координат (L, B, H) текущей точки, заданных
в общеземной системе, к прямоугольным координатам (x, y, z) в локальной
системе (oxỹz) осуществляется по формуле
[x y z]T = {[X Y Z]T - [Xo Yo Zo]T} R3(-Lo)R2(Bo)R1(Ao),
(18)
где {X, Y, Z} и {Xo, Yo, Zo} – прямоугольные координаты в общеземной
системе отсчета текущей (L, B, H) и начальной (Lo, Bo, Ho) точек,
вычисляемые по формулам вида (16). Ri(ζ) – обозначение элементарной
матрицы вращения вокруг координатной оси с номером i на угол ζ.
Положительный поворот ζ считается происходящим против часовой стрелки
для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси поворота на
начало координат. Номер координатной оси устанавливается по правилу: для
оси абсцисс i = 1, для оси ординат i = 2, для оси аппликат i = 3.
Возмущающий потенциал T и его частные производные Tu, Tv, Tr по
касательным к координатным линиям u, v, r, как функции гармонических
коэффициентов {cnm, snm} и сферических координат текущей точки {u, v, r}
аппроксимируются следующими разложениями в ряды шаровых функций:
N 1
n
T
( cnm cos mu snm sin mu )Pnm (sin v ),
n 1
r
n 0
m 0
1
Tu
r cos v
1
Tv
r
Tr
T
r cos v u
N
T
r v
T
r
n 1r
N
n
1
n 2
N
n
1
n 1r
n 2
m 0
m ( snm cos mu cnm sin mu )
n
m 0
( cnm cos mu snm sin mu )
Pnm (sin v )
,
(19)
cos v
Pnm (sin v )
,
v
n 1 n
( cnm cos mu snm sin mu )Pnm (sin v ).
n 2
0r
m 0
Для вычисления сферических гармоник применяются следующие
рекуррентные соотношения:
для n = m, Pnm (sin v)
cosm v
m
(2i 1);
i 1
для n = m + 1, Pm+1,m(sinv) = (2m + 1)sinvPnm(sinv);
для
n ≠ m, (n - m)Pnm(sinv) = (2n - 1)sinvPn-1,m(sinv) - (n + m - 1)Pn2,m(sinv);
dPnm(sinv)/dv = (1 - δnm)Pn,m+1(sinv) - mtgvPnm(sinv);
cosmu = cos[(m - 1)u]cosu - sin[(m -1)u]sinu;
sinmu = sin[(m-1)u]cosu + cos[(m - 1)u]sinu;
δnm = {1, если n = m, иначе 0}.
(20)
Связь измеряемых величин с определяемыми параметрами ГПЗ.
Основные «измеряемые» трансформанты возмущающего потенциала T, такие
как:
δ = H - Hγ,
Аномалии высоты
Отклонения отвеса в плоскости первого
ε = (λ – L)cosB,
вертикала
ξ = φ – B,
(21)
Отклонения отвеса в плоскости меридиана
Разность
между
геодезическим
и
α = α – A,
астрономическим азимутами
Δg = g – γ
Чистые аномалии ускорения силы тяжести
связываются с возмущающим потенциалом T и его частными производными
Tu,Tv, Tr равенствами:
ΔTT = [δ
ε(N + H)
ξn(M + H)
Δg/(-γH)]T,
(22)
TT
=
[T
-Tu
-Tv
-Tr
]T,
ΔTT
=
TTF-1CTQoTHT,
(23)
F = diag{γ, rcosv/(N+H), r/(M + H), -γH}, γH = -2γ/Rm,
CT = diag{1, R1(π/2 - v)R3(π/2+u)}, QoT = diag{1, R1(-Ao)R2(-Bo)R3(Lo)},
(24)
H = diag{1, R1(π/2 - B)R3(π/2 + L)}, ξ = ξn + δξ,
δξ = β(H/Rm)sin2B, β = (γp – γe)/γe ,
δα = sij∙ α,
α = εitgBi + (ξisinAij – εicosAij)ctg
ij,
sij = DijsinΘij,
(25)
где ΔTT, TT – векторы, составленные из трансформант возмущающего
потенциала T; β – гравиметрическое сжатие уровенного (нормального)
эллипсоида; γp, γe, γ – ускорения силы тяжести на полюсе (B = π/2), на
экваторе (B = 0) и на широте B нормального эллипсоида, N, M, Rm – радиусы
кривизн эллипсоида на широте B, соответственно: меридиана, первого
вертикала и среднее интегральной значение; γH – приближенное значение
вертикального градиента нормального ускорения силы тяжести на широте B и
высоте H = 0.
Методика составления и решения системы уравнений наблюдений.
Вектор опорных параметров модели локального ГПЗ (не уточняемых по
результатам измерений) формируется из четырех констант нормального поля
U и четырех параметров ориентирования локальной системы координат
(oxỹz)
b = {μ, aE, eE, ω, Lo, Bo, Ho, Ao}.
(26)
Вектор оцениваемых параметров модели локального ГПЗ образуется из
коэффициентов разложения в ряд шаровых функций возмущающего
потенциала T, упорядоченных по правилу
c = {c00, c10, c11, c20, c21, c22,…, cNN, s11, s21, s22,…, sNN},
(27)
где индекс N – максимальный порядок разложений (19).
Неизвестный вектор c размера q ×1 (q = (N + 1)2) определяется под
условием метода наименьших квадратов (МНК) из решения линейной
системы уравнений
Ac = f + v, Kv,
(28)
f = {…, fδi, fεi, fξi, f gi, f
α
ij
,…},
fδi= δi = Hi - Hγi, fεi= εi(Ni + Hi) = (λi - Li)(Ni + Hi)cosBi, fξi = ξi(Mi + Hi), f
Δgi/(-γH),
g
i
=
f αij = Δαij DijsinΘij = (αij - Aij)DijsinΘij ,
где f – вектор свободных членов размера p × 1, A – матрица размера p×q
коэффициентов {Aij}, вычисляемых на основе формул (19) – (25), v – вектор
случайных погрешностей измерений и модели размера p×1; Kv –
ковариационная матрица вектора v.
Оценка векторов с и v под условием МНК производится по формулам:
c = A#f,
v = (AA# – I)f ,
A = Kv-1/2A,
f = Kv-1/2f,
(29)
Псевдообратную матрицу A# рекомендуется вычислять посредством
сингулярного разложения [12], [13]
A# = WΣ#UT, Σ = diag{σ1, …, σq},
(30)
где σ1, …, σq – сингулярные числа матрицы A; U и W – ортогональные
матрицы левых и правых сингулярных векторов матрицы A.
Ковариационные матрицы Kс и Kv найденных оценок c и v параметров
модели ГПЗ находятся по формулам:
Kс = μ2W Σ#2WT, Kv = μ2(AA# - I) = μ2(UrUrT – I)) = μ2UoUoT,
(31)
μ2 = ||v||2/(p-r), r = rang (A),
где Uo – ортонормированный базис для ортогонального дополнения
области значений оператора A, Ur – ортонормированный базис для области
значений A. Прямоугольные матрицы Uo и Ur имеют размеры p × (p - r) и
p × r и являются блоками матрицы U = [Ur¦Uo], μ2 – масштабный множитель,
приводящий в соответствие априорную Kv и апостериорную Kv
ковариационные матрицы.
Декомпозиция и регуляризация решения. Анализ сингулярного спектра
{σ1, …, σq} матрицы A, расположенного в порядке убывания сингулярных
чисел, и анализ вектора свободных членов G = {g1, …, gp} диагональной
системы уравнений
ΣY = G, Y = WTc, G = UTf,
(32)
где Y = {y1, …, yq} = преобразованный вектор неизвестных параметров c,
позволяют произвести регуляризацию [14, 15] решения обратной задачи (28)
– (31) и обоснованно определить количественный состав вектора
оцениваемых параметров c на основе информации о погрешностях вектора f
и матрицы A. Для установления качественного состава вектора c, т. е. для
указания конкретных параметров cl, оценки которых cl получаются
достоверными, необходимо выполнить физическую декомпозицию [14, 16]
системы уравнений наблюдений (28), таким образом, чтобы правые
сингулярные векторы были близки к единичным векторам канонического
вида. Иначе говоря, чтобы физическое пространство оцениваемых
параметров (в котором ищутся параметры c) практически совпадало с
алгебраическим пространством области определения оператора A. Более
детальное описание процесса регуляризации и декомпозиции обратной
задачи (28) – (31) является предметом отдельного исследования, которое
выходит за рамки данной работы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Молоденский М.С., Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Методы изучения внешнего
гравитационного поля Земли // Тр. ЦНИИГАиК. – 1960. – Вып. 131. – С. 251.
2. Молоденский М.С. Определение фигуры геоида при совместном использовании
астрономо-геодезических уклонений отвеса и карты аномалий силы тяжести // Тр.
ЦНИИГАиК, вып. 17. – Редбюро ГУГСК, 1937.
3. Макаров Н.П. Геодезическая гравиметрия // М.: Недра, 1968. С. – 408.
4. Бровар В.В., Магницкий В.А., Шимберев Б.П. Теория фигуры Земли. – М.:
Геодезиздат, 1961. – С. 256.
5. Непоклонов В.Б., Чугунов И.П., Яковенко П.Э., Орлов В.В. Новые возможности
развития сети нормальных высот на территории России // Геодезия и картография. – 1996.
– № 7. – С. 20 – 22.
6. Непоклонов В.Б., Яковенко П.Э., Кузьмин Ю.А., Переверткин С.В. О создании
цифровых карт уклонений отвесных линий / Геодезия и картография. – 1996. – № 9. – С. 1
– 5.
7. Мориц Г. Современная физическая геодезия // М.: Недра, 1983. – С. 393.
8. Брандин В.Н., Разоренов Г.Н. Определение траекторий космических аппаратов //
«Машиностроение». – М., 1978. – С. 216.
9. Reiner J. Precise Transformation of Classical Networks to ITRF by COPAG and
Precise Vertical Reference Surface Representation by DFHRS – General Concepts and
Realisation of Databases for GIS, GNSS and Navigation Applications. // Hochschule Karlsruhe
Technik und Wirtschaft – University of Applied Sciences. – Siberian State Academy of Geodesy
(SSGA). – Novosibirsk, 17-26 Februar 2006. – www.dfhbf.de
10. Елагин А.В. Применение метода конечных элементов для решения краевой
задачи теории потенциала внутри нивелирного полигона // Вестник СГГА, вып. 10. –
Новосибирск. – 2005. – С. 25 – 30.
11. Журкин И. Г., Нейман Ю. М. Методы вычислений в геодезии // М.: Недра. –
1988. – С. 304.
12. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических
вычислений // М.: Мир, 1980. – С. 280.
13. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная
точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах //
Новосибирск: ВО «Наука», 1992. – С. 360.
14. Sournin Yu. The regular approach to the estimation of parameters of the mathematical
model of the Earth’s crust motion and displacements using satellite data // PROCEEGINGS OF
THE INTERNATIOAL SEMINAR. “On the Use of Space Techniques for Asia-Pacific Regional
Crustal Movements Studies” (Project: Asia-Pacific Space Geodinamcs) APSG-IRKUTSK-2002.
Irkutsk, 5-10 August, 2002. Moscow GEOS. – 2002. – С. 206 – 212.
15. Сурнин Ю.В. Сравнительный анализ непрерывной и дискретной регуляризации
решений некорректных задач космической геодезии // ТРЕТИЙ СИБИРСКИЙ КОНГРЕСС
ПО ПРИКЛАДНОЙ И ИНДУСТРИАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ (ИНПРИМ-98). Тез. докл.,
часть III, Изд. Института математики СО РАН. – 1998. – С. 122.
16. Сурнин Ю.В., Гиенко Е.Г. Алгебраическая и физическая декомпозиция
математических моделей при решении плохо обусловленных обратных задач геодезии //
ЧЕТВЕРТЫЙ СИБИРСКИЙ КОНГРЕСС ПО ПРИКЛАДНОЙ И ИНДУСТРИАЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКЕ (ИНПРИМ-2000). Тез. докл., часть IV, изд. Института математики СО РАН.
– 2000. – С. 73 – 74.
© Ю.В. Сурнин, 2006
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа