close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель денежных вкладов и материальных ценностей банка.

код для вставкиСкачать
Естественные и точные науки •••
1
УДК 519.86
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕНЕЖНЫХ ВКЛАДОВ
И МАТЕРИАЛЬНЫХ ЦЕННОСТЕЙ БАНКА
© 2013
Магомедов Р.И., Магомедов И.И., Назаралиев М.-Ш.А.
Дагестанский государственный университет
В работе построена математическая модель денежных вкладов и материальных ценностей в виде статистического дифференциального уравнения параболического типа и
сформулирована смешанная задача для уравнения плотности банковских вкладов.
Mathematical model of monetary deposits and material (financial) values of the bank in the
form of stochastic differential equation of the parabolic type has been built and a mixed problem
for the equation of bank deposit s density has been formulated.
Ключевые слова: математическая модель, дифференциальное уравнение, задача Коши,
стохастика.
Keywords: mathematical model, differential equation, the Cauchy problem, stochastic.
Обозначим через х= х(t) денежный
вклад в банк к моменту времени t вкладчика [1].
Пусть
F  F  x, t  - неслучайная функция,
определяемая скоростью изменения банковского вклада в зависимости от того,
вносится на текущий счет банка очередной вклад в виде определенной суммы или
со счета банка снимается какая-то сумма к
определенному моменту времени t , т. е.
dx
 F xt , t  . (1)
dt
Получаем обыкновенное дифференциальное уравнение. Если в начальный момент времени t  0 известна определенная сумма вклада в банк, то получим
начальное условие
xt  t  0  x 0 . (2)
В результате мы получаем задачу Коши (1), (2) для обыкновенного дифференциального уравнения.
Процесс образования банковских
вкладов, кроме регулярных добавлений и
снятия части вклада со своего счета в банке, включает в себя также некоторые случайные вклады в виде премий, выигрышей, случайных доходов от выгодной
коммерческой деятельности и др. Могут
быть и случайные изъятия вкладов по
причине несчастных случаев.
Для математического описания такого
явления используем случайную величину
Х, которая означает наличие определенной суммы вклада к моменту времени t.
Тогда X t  dt  будет означать случайный
вклад в банк к моменту времени t  dt ,
где dt – малый промежуток времени. Если теперь взять разность между X t  dt  и
X t  , т.е.
X t  dt   X t   dX , (3)
то dX означает случайный вклад вкладчика за промежуток времени dt . Если
dX  0 , то вклад увеличивается, если же
dX  0 , уменьшается.
Эту величину назовем стохастическим
дифференциалом случайного процесса
X t  . Тогда уравнение
dx  F x, t dt  dX (4)
будет стохастическим дифференциальным
уравнением [4].
Банк, в свою очередь, может иметь за
счет вкладов материальные ценности, характеризующие экономическую деятельность банка. Обозначим через y  yt  материальные ценности банка в виде зданий, земли, заводов, фабрик, сельскохо-
2
••• Известия ДГПУ, №2, 2013
зяйственных предприятий к моменту времени t . Эти материальные ценности могут давать определенный доход банку, а
могут давать и убытки. Поэтому изменение этих доходов будет выражаться величиной:
dy
 Q y t , t  . (5)
dt
Функцию Q y t , t  также можно
найти и считать детерминированной.
На практике материальные ценности
также могут как приобретаться, так и
утрачиваться за счет случайных явлений,
поэтому, если обозначить через У t  случайные материальные ценности банка к
моменту времени t , а У t  dt  - случайные материальные ценности к моменту
времени t  dt , то
dУ  У t  dt   У t  (6)
будет определять изменение случайных
материальных ценностей за малый промежуток времени dt и выражать стохастический дифференциал. Прибавив этот
дифференциал (6) к правой части равенства (5), получим
dy  Q yt , t   dУ (7)
также стохастическое дифференциальное
уравнение.
Денежные вклады в банк и материальные ценности банка всегда находятся во
взаимной связи. Банк может кредитовать
вкладчика, сдавать в аренду материальные
ценности под определенный процент, поэтому уравнения (4) и (7) составляют систему стохастических дифференциальных
уравнений
dx  P1dt  dX ,
(8)

dy  P2 dt  dУ ,
Систему (8) можно записать в векторной форме
dr  Pdt  dX , (9)
где
r  x, y  , P  P1 , P2  - скорость,
X   X ,У  - двумерный стохастический
процесс, описывающий случайное выпадение точки на плоскость R2 - плоскость
случайных вкладов и материальных ценностей банка.
Рассмотрим теперь двухмерный марковский процесс X с переходной функцией плотности вероятностей
   x, y, S ; x, y, t    r , S ; r, t , (10)


где
r  x, y ,
r  x, y  ;
   x, y   ;    x, y   , S  t , в
которой по переменным x и y эта функция является плотностью вероятностей в
текущий момент времени t , а x, y задают состояния системы в предыдущий момент времени S . Функцию (10) можно
интерпретировать следующим образом.
2
Рассмотрим некоторую область   R и
вычислим двойной интеграл по этой области, т. е.
 x, y, S ; x, y, t dxdy  P r , S ; t , (11)




смысл которой заключается в том, что если в предыдущий момент времени S банк
имел вклады и материальные ценности
x, y , то величина (11) означает вероятность того, что ко времени t банк будет
иметь накопления в пределах области  .
Таким образом, величина (11) означает
2
условную вероятность плоскости R . По
2
всей области R выполняется равенство
  x, y, S ; x, y, t dxdy 
R2
 

   x, y, S ; x, y, t dxdy  1

для любого S  t и любых x, y . Стохастический процесс (11) считается марковским, если выполнены условия Маркова-Колмогорова-Чепмена [1, 2].
  x, y, S ; x, y, t dxdy 
R2
 
   x, y, S ; ,  , 
(12)
  
 ,  , ; x, y, t dd
для любого  S    t  .
Если на марковский процесс наложить
дополнительные условия сильной непрерывности, то при определенных ограничениях на условия сильной непрерывности,
стохастический процесс становится винеровским процессом с двухмерной гауссовской плотностью [1, 2].
Естественные и точные науки •••
3
Поэтому рассмотрим все банковские
вклады, удовлетворяющие одному и тому
же векторному стохастическому уравнению (9) как двухмерный марковский процесс с переходной плотностью вероятностей (10).
Обозначим через N 0 - число всех
вкладчиков в банк. У различных вкладчиков вклады различные, поэтому они рас2
пределены по пространству R .
Рассмотрим элементарную площадку
S вокруг точки  x, y  и функцию
за время от t1 до t2 за счет случайных
вкладов и изъятий; I3 число вкладчиков,
перешедших из других областей в область
D за то же самое время. Используя (14),
получим
обозначающую число вкладчиков к
моменту времени t . Тогда на площадку
S попадут  x, y, t  вкладчиков и
точку
x, y, t  ,
lim
S 0
  x, y, t 
 U  x, y, t   U r , t (13)
S
 
будет выражать функцию плотности вероятности вкладчиков в банк в пространстве
R 2 , где S площадь области S .
Для того чтобы получить параболическое уравнение с частными производными, рассмотрим произвольную область
D  R 2 , и функция
Ф(t)  u(x, y, t)dxdy  u( r, t)d r (14)


D
D
будет выражать число денежных вкладов
и материальных ценностей банка, находящихся в области D в момент времени t ,
так как
 
  u(x, y, t)dxdy  N 0
-
число всех вкладов банка.
Со временем число вкладчиков меняется. За промежуток времени [t1,t2] некоторые вкладчики попадут в область D, а
часть вкладчиков выйдут из этой области,
поэтому уравнение баланса вкладчиков на
множестве D за время от t1 до t2 выглядит
так;
Ф[t ,t ]  I1  I 2  I 3 , (15)
1 2
где Ф[t ,t ] показывает изменение числа
1 2
вкладчиков на множестве D за время от t1
до t2; I1 – число вкладчиков, которые
остаются в области D вкладывая и снимая
со счетов банка за время от t1 до t2; I2 –
число вкладчиков попавших в область D
Ф [t 1 , t 2 ]  Ф(t 2 )  Ф(t1 ) 
 u
t t2
t  t1
t2
dr 
D
. (16)
u
dtd
r
D t t
1
Для того чтобы вычислить Ii, разобьем контур D  Г на элементарные дуги
 li , i  1,2,..., m , на каждой дуге возьмем
i   li и из точки i проведем
единичную нормаль ni , направленную
вовнутрь области D.
Если спроектировать скорость изменения величины вклада в точке на единичную нормаль ni , и умножить на длину
элементарной дуги  li , получим некоторую площадь области D, через которую
проникает через дугу l i число вкладчиков за единицу времени.
Теперь, умножив эту площадку на
плотность вкладов u(r,t), получим число
вкладчиков, которые попадут через дугу
 li внутрь области D за единицу времени, т. е., если скорость изменения вкладов
материальных ценностей равна P , получим
 I i  u ( i , t )(P , ni ) li .
Просуммируем эту величину  I i по
всем дугам границы Г. В результате получим интегральную сумму
m
m
i 1
i 1
  I i   u ( i , t )(P , ni ) li
При  l i  0 получим:
lim   I i  lim  u ( i , t )(P , ni ) li 
 li 0
i
 li 0
i
  u ( i , t )(P ( , t ), n )dl
Г
Для того чтобы перейти от интегрирования по контуру Г к интегрированию по
площади D, воспользуемcя формулой
Грина [4],
4
••• Известия ДГПУ, №2, 2013
 (u , p )
dr
r
Г
D
Так как по формуле ОстроградскогоГаусса единичный вектор n нормали
должен быть внешним в точке  i , а у нас
внутренний, поэтому получается знак минус.
Если теперь этот поверхностный интеграл проинтегрировать по времени t от t1
до t2 , то получим число вкладов I1, т. е.
 u ( , t )(P ( , t ), n )dl
  
 (u, p )
dr dt (17)

r
t1 D
t2
I1    
Для вычисления второй слагаемой I 2
в равенстве (15) рассмотрим моменты
времени t и t  t , и обозначим через D’
внешнюю область к области D, т. е.
D  R 2 \ D .
Найдем число случайных вкладов, которые перейдут из области D’ в область D
за время от t до t  t . Для этого область
D’ разобьем на элементарные площадки
может находиться
Si . На Si
u ( r , t ); S i – число вкладов в банк к мо-
менту времени t, и эти вклады распределятся по всей плоскости R2 с плотностью
вероятностей
 (r , t; r , t ) .
Вклады могут переходить из области
D’ в область D и наоборот переходить из
области D в область D’. За время t это
происходит с плотностью вероятностей
 (r , t; r , t  t ) ,
а вероятность того, что вклады из точки
ri  попадут в область D, к моменту
t  t
времени будут иметь вид
  (ri , t; r , t  t )dr .
D
Поэтому, умножив этот интеграл на
число вкладов u (ri , t )  Si , получим число входящих в область D и выходящих из
нее вкладов, перешедших из площади S i
в область D за время
t
K1    (r , t ; r , t  t )dr u (ri , t ; )  S i
D
K 2    (r , t; r , t  t )dr u (ri , t; )  Si
D
Если теперь просуммировать эти величи-
ны по всем площадкам Si (i  1,..., m) ,
получим интегральные суммы. Переходя к
пределу при Si , стремящемуся к пределу получим
P2   [   (r , t; r , t  t )dr u (r , t; )dr ]d r  
D
D
(18)
  [   (r , t; r , t  t )dr u (r , t; )dr ]dr
D
D
Но за промежуток времени  t могут
непосредственно попасть новые вкладчики в область D, а также за это время могут
покинуть вообще банк вкладчики, находившиеся в области D, тогда имеем
P2  [   (r , t; r , t  t )dr u (r , t; )dr ]d r 
D D
Прибавив и вычтя это значение P в
равенство (21), получим
P2   [   (r , t; r , t  t ) u (r , t; )dr 
R
D
(19)
 u (r , t )]dr
Разбив отрезок [t1,t2] на элементарные
отрезки,  t i просуммировав величину (19)
и учитывая то, что для подынтегрального
выражения выполняются условия сильной
непрерывности (2) вытекающие из свойств
двумерных стохастических процессов, при
t  0 получим [1, 2]:

t2
i 1
t1 D
I 2  lim  P2   [
t 0

c1u (r , t ) 
x

1 2
2
c2 u (r , t ) 
b
u
(
r
,
t
)

1
y
2 x 2
xy
(20)
1 2
b12u (r , t ) 
b2 u (r , t )]dr dt
2 y 2
Для того чтобы подсчитать число
вкладчиков, перешедших из других банков или изъявивших желание открыть
впервые счет в данном банке, обозначим
таковых через функцию f (r , t ) - число
вкладов, попавших на единичную площадку Si в окрестности r за время  t .
t2
I 3    f (r , t )dr dt . (21)
t1 D
Подставив равенства (16), (17), (20),
(21) в равенство (15) и опустив интегралы
в обеих частях равенства, получим
Естественные и точные науки •••
u


  (c1  p1 )u (r )  (c 2  p 2 )u (r )
t
x
y

1 2
2
1 2
b
u
(
r
)

b
u
(
r
))

1
12
2 x 2
xy
2 y 2
(22)
b2 u (r ))  f (r , t ).
Тогда, если изменения вкладов и материальных ценностей банка подчиняются
уравнению (9), то плотность u ( x, y , t ) всех
вкладов банка удовлетворяет уравнению
(22), которое имеет бесконечное множество решений. Для того чтобы из этого
множества найти единственное решение,
которое описывает изменение вкладов в
банк в области D, необходимо наложить
на искомую функцию u ( x, y , t ) дополнительные условия. Для этого предположим,
что в начальный момент времени известны вклады банка, тогда на пространстве
всех вкладов банка можно определить
5
функцию плотности распределения вкладов  ( x, y ) . Получим
u |t 0   ( x, y)i
   x, y   . (23)
Если это начальное условие добавить к
уравнению (22), получим задачу Коши, в
которой требуется определить решение
уравнения (22), удовлетворяющее условию (23) в области
D 0  t      x      y   .
Если же еще добавим граничные условия
u | x0  0
0  y  , 0  t   (24)
u | y 0  0
0  x  , 0  t   , (25)
то получим смешанную задачу.
Таким образом, получена смешанная
задача, в которой необходимо определить
решение u(x,y) С уравнения (22), удовлетворяющее условиям (23), (24) и (25).
2
Примечания
1. Ерофеенко В. Т., Козловская И. С. Уравнения с частными производными и математические
модели в экономике. Курс лекций. М. : Едиториал УРСС, 2004. 2. Каралюк В. С. Справочник по
теории вероятностей и математической статистике. М. : Наука, 1985 3. Магомедов Р. И. Математическое моделирование банковских вкладов с помощью стохастических дифференциальных
уравнений // Вестник ДГУ. 2012. № 1. С. 93-983. 4. Оксендаль С. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения / пер. с англ. М. : Изд-во «АСТ», 2003.
Статья поступила в редакцию 20.05.2013 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
431 Кб
Теги
денежные, банк, математические, ценностей, вкладок, материально, модель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа