close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель расширяющегося жидкого слоя.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2009. Вып. 3
УДК 531+681
Н. Н. Ермолаева, Г. И. Курбатова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ ЖИДКОГО СЛОЯ
Идея получения расширяющихся, а затем твердеющих сферических слоев на борту
космических летательных аппаратов высказывалась еще в XX в. [1–7]. Сферические
сегменты больших диаметров, изготовленные из полых сфер, могли бы служить космическими зеркалами, имеющими большое прикладное значение. Постановка задачи
о динамике расширяющегося сферического слоя вязкой жидкости в условиях невесомости дана в работе [1].
Приведем математическую модель процесса в предположении сферической симметрии и изотермичности процесса, пренебрежимой малости массовых сил, отсутствия
диффузии газа через слой жидкости постоянной плотности:
u
t=0
При t ∈ [0, tk ]
∂ 2
(r u) = 0,
∂r
∂u
∂
p
∂u
+u
=−
,
∂t
∂r
∂r ρ
= 0, r ∈ [R(0), R(0)],
R
t=0 = R0 .
(1)
(2)
(3)
˙
u
r=R = Ṙ, u
r=R̂ = R,
2æ
∂u ,
= Pg (t) −
p − 2μ
∂r r=R
R
2æ
∂u ,
= Pn +
p − 2μ
∂r r=R̂
R
(5)
3 (t) − R3 (t) = const = κ.
R
(7)
(4)
(6)
Здесь u(r, t) – радиальная составляющая вектора скорости жидкости в слое, который
в любой момент времени t ограничен сферическими поверхностями с внутренним ра
диусом R(t) и внешним радиусом R(t);
R0 – начальное значение радиуса внутренней
Ермолаева Надежда Николаевна – аспирант кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики–процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: проф. Г. И. Курбатова. Количество опубликованных работ: 5. Научное направление: математическое моделирование гидродинамических и тепловых
процессов. E-mail: blohinadja@yandex.ru.
Курбатова Галина Ибрагимовна – доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики–процессов
управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: порядка 70. Научные направления: математическое моделирование, приложения тензорной алгебры, турбулентные течения. E-mail: gikurb@mail.ru.
c Н. Н. Ермолаева, Г. И. Курбатова, 2009
28
поверхности жидкого слоя; p(r, t) – давление в жидкости; ρ, μ, æ – плотность, коэффициент динамической вязкости и коэффициент поверхностного натяжения жидкости,
считающиеся неизменными; Pg (t), Pn – заданные давления в газе внутри полости, ограниченной слоем жидкости, и вне слоя соответственно; κ – константа, пропорциональная
объему жидкого слоя, равному 43 πκ; tk – время окончания процесса.
В математической модели (1)–(7): (1) – уравнение неразрывности, (2) – проекция
уравнения движения на ось r сферической системы координат, (3) – начальные условия, (4) – кинематические условия на внутренней и внешней поверхностях слоя, (5),
(6) – динамические условия на внутренней и внешней поверхностях слоя, (7) – условие
неизменности объема слоя.
Допустимы только те материалы, которые обладают следующими реологическими
свойствами: при определенной температуре они ведут себя как ньютоновская вязкая
жидкость в течение некоторого интервала времени, а затем мгновенно затвердевают.
Уравнение движения (2) совпадает с уравнением движения идеальной жидкости,
в силу предполагаемой сферической симметрии процесса, которая в этой задаче приводит к потенциальности течения и равенству нулю лапласиана вектора скорости. Влияние вязкости проявляется только через граничные условия (5), (6) и, в силу специфики
рассматриваемой граничной задачи, течение в слое остается потенциальным. Уравнения неразрывности и движения в модели (1)–(7) допускают интегралы. Из интеграла
уравнения неразрывности и граничных условий следует выражение для поля скорости
в жидком слое
u(r, t) = R2 Ṙ/r2 .
(8)
Для определения поля давления запишем уравнение движения (2) в форме Громека–Ламба, учитывая потенциальность течения:
∂
u2
p
(∇ϕ) + ∇ + ∇ = 0.
∂t
2
ρ
Здесь ϕ(r, t) – потенциал скорости. Из этого уравнения следует интеграл Лагранжа–Коши
∂ϕ u2
p
+
+ = F (t),
(9)
∂t
2
ρ
позволяющий найти поле давления p(r, t) в жидкости по полю скорости u(r, t). Потенциал скорости ϕ(r, t) с учетом (8) имеет вид
1
1
ϕ(r, t) = ϕ(R, t) + ṘR2
−
.
(10)
R r
Выразим давление в жидкости p(r, t) через функцию R(t) и ее производные. Для этого найдем функцию F (t), которая не зависит от r, на внутренней поверхности слоя,
записав левую часть интеграла Лагранжа–Коши при r = R и воспользовавшись граничными условиями (4), (5):
Ṙ2
1
2æ
∂u ∂ϕ +
+
+ Pg (t) −
2μ
.
F (t) =
∂t r=R
2
ρ
∂r r=R
R
∂ϕ
∂t
и F (t)
1
∂ϕ
dϕ
1
=
Ṙ − Ṙ2 + (2RṘ2 + R2 R̈)
−
,
∂t
dR
R r
Из соотношений (8), (10) следуют выражения для
(11)
29
F (t) = −
Ṙ2
dϕ
4μ Ṙ Pg (t) 2 æ
+
−
−
+
Ṙ.
ρ R
ρ
ρR
2
dR
Давление в жидкости с учетом представлений (11),
Лагранжа–Коши (9) в виде
1
2æ
4μ
Ṙ −
− ρ(2RṘ2 + R2 R̈)
−
p(r, t) = Pg (t) −
R
R
R
(12)
(12) находится из интеграла
1
r
+
ρ 4 2
R Ṙ
2
1
1
− 4
R4
r
.
Давление в безразмерной форме (штрихи опущены, обозначения те же) имеет вид
As
Am Ṙ
−
−
p(r, t) = Pg (t) −
Ap R Ap R
#
2Ṙ2 + RR̈
Ap
$
R
1−
r
Ṙ2
+
2Ap
#
1−
R
r
4 $
.
(13)
Безразмерные комплексы Am , As , Ap выражаются через параметры задачи и характерные величины tx , rx , px по формулам
Am =
4μtx
,
ρrx2
As =
2 æ t2x
,
ρrx3
Ap =
Px t2x
.
ρrx2
(14)
В работе [1] в результате интегрирования вдоль жидкого слоя уравнений (1), (2)
с учетом граничных условий (4)–(6) выведено обыкновенное дифференциальное уравнение для R(t), которое в безразмерной форме в терминах введенных выше величин
можно представить следующим образом:
hR̈ +
Ṙ
Ṙ2 2 2
As (2 − h) Ap W (t)
h (h − 4h + 6) + 2 Am h(h2 − 3h + 3) = −
,
+
2R
R
R2
R
(15)
h = h(R(t)) = 1 − (1 + κ/R3 )−1/3 ,
(16)
W (t) = Pg (t) − Pn ,
(17)
где Pg (t), Pn – безразмерные давления внутри и вне слоя соответственно; κ – безразмерный объем слоя.
Сформулируем прямую и обратную задачи динамики расширяющегося слоя жидкости.
Прямая задача заключается в расчете функции R(t) по уравнению (15) при начальных данных
(18)
R
t=0 = R0 , Ṙ
t=0 = 0
по заданному режиму W (t) (17) и при заданных параметрах μ, ρ, æ , κ, R0 , Pn , tk на интервале времени [0, tk ].
Обратная задача заключается в расчете по заданному закону R(t) режима W (t)
по уравнению (15) при заданном наборе параметров.
Решение обратной задачи исследовалось, например, в работе [7]. На его основе можно сравнительно легко выбрать теоретически оптимальный режим подачи газа при заданных параметрах процесса и материала оболочки. Однако оценить влияние возможных отклонений реальных режимов от оптимального можно только из решения прямой
задачи. Таким образом, оптимальный режим можно найти только из решения прямой
задачи.
30
Выберем допустимый закон подачи газа W (t), для чего зададим один из возможных
законов поведения R(t). Произвол выбора R(t) ограничен следующими требованиями:
1. В начальный момент времени Ṙ должно быть равно нулю.
2. За время tk слой должен достичь нужных размеров.
3. По технологическим соображениям требуется, чтобы Ṙ в конце процесса было
близко к нулю.
4. На всем интервале времени [0, tk ] функция R(t) должна быть монотонно возрастающей (Ṙ 0 для t ∈ [0, tk ]).
Уравнение (15) и приведенная ниже система (20) жесткие, о чем свидетельствует
анализ собственных чисел соответствующей матрицы Якоби. Кроме того, из проведенного анализа следует, что на начальной и конечной стадиях процесса расширения уравнение (15), оставаясь жестким, обладает разными свойствами. В частности,
при R(t) −→ R(tk ) перед старшими производными в уравнении (15) возникает малый
функциональный параметр, что приводит к известным трудностям.
Большинство исследованных вычислительных алгоритмов не позволило по единой
вычислительной схеме рассчитать весь процесс расширения жидкого слоя. Поэтому
далее речь идет о двух этапах расчета: начальном и конечном.
Рассматривалось несколько допустимых вариантов задания R(t). В данной работе
ограничимся следующим законом:
R(t) = 1 + (1 − exp(−(a1 t)2 ))(a2 th(a3 t)).
(19)
Здесь множитель (1 − exp(−(a1 t)2 )) быстро становится равным единице, смысл его
введения в том, чтобы обеспечить выполнение начальных условий Ṙ = 0 при t = 0.
При a1 = 2.147, a2 = 74.375, a3 = 0.025 поведение R(t) иллюстрирует рис. 1; значение
безразмерной величины tk принято равным 120.
Рис. 1. Закон изменения R(t) при t ∈ [0, 1] (а) и t ∈ [0, 120] (б)
По заданному закону R(t) в результате решения обратной задачи из уравнения
(15) находится соответствующий закон подачи газа W (t). Для исследуемого варианта он представлен на рис. 2.
31
Рис. 2. Закон изменения W (t) при t ∈ [0, 1] (а) и t ∈ [0, 120] (б)
Прямая задача состоит в решении задачи Коши для обыкновенного нелинейного
неавтономного дифференциального уравнения второго порядка (15) при начальных
условиях (18).
Разрешим уравнение (15) относительно старшей производной и запишем в виде эквивалентной системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Ṙ = G(R, y, t) = y,
(20)
ẏ = F (R, y, t),
2
A W (t)
(2−h)
y
h(h2 − 4h+ 6)− h yR2 Am (h2 − 3h+ 3)− AshR
+ phR ; h задано равенством
где F = − 2R
2
(16).
Система в векторной форме имеет вид
R
G
ż = f (z, t), z =
, f=
.
(21)
y
F
Рассматривались различные допустимые вычислительные алгоритмы решения
жесткого нелинейного уравнения (15).
Приведем три из них, дающие решение, наиболее близкое к известному точному
решению задачи Коши (15)–(18) на начальном этапе.
1. Неявная схема. Разрешим уравнение (15) относительно R̈ и запишем его следующим образом:
(22)
R̈ + Ṙ2 f1 (R) + Ṙf2 (R) = f3 (R, t),
h(h2 − 4h + 6)
Am
, f2 (R) = 2 (h2 − 3h + 3),
2R
R
As (2 − h) Ap W (t)
.
+
f3 (R, t) = −
hR2
hR
Для уравнения (22) выпишем чисто неявную схему второго порядка апроксимации по τ
(τ – шаг по времени, n – номер шага)
f1 (R) =
32
Rn+1 − 2Rn + Rn−1 + (Rn+1 − Rn−1 )2 f1 (Rn+1 )/4 +
+ (Rn+1 − Rn−1 )τ f2 (Rn+1 )/2 = τ 2 f3 (Rn+1 , tn+1 ).
Это нелинейное алгебраическое уравнение относительно Rn+1 можно представить в виде
F (Rn+1 , tn+1 ) = 0
s+1
и решить итерационным методом Ньютона. Величина Rn+1
на (s + 1)-й итерации опреs
деляется по известной величине Rn+1 из уравнения
)
dF
s+1
s
s
.
Rn+1 = Rn+1 − F (Rn+1 )
dRn+1 Rs
n+1
Условием окончания итерационного процесса служит выполнение неравенства
F (Rs+1 )
< eps,
n+1
здесь eps – заданная малая величина. Начальное приближение в методе Ньютона выбиралось в виде линейной экстраполяции
0
= 2Rn − Rn−1 .
Rn+1
2. Схема типа предиктор–корректор. Решение задачи Коши для системы (21)
ищется в два этапа [9].
Первый этап состоит из расчета промежуточного вектора z̃n+1 по неявной схеме
из нелинейной системы
(z̃n+1 − zn )/τ = f (z̃n+1 , tn+1 ),
которая решается итерационным методом Ньютона, обобщенном на нелинейные системы уравнений.
На втором этапе вычисляется значение матрицы Якоби f˜z
f˜z = fz (z̃n+1 , tn+1 )
по вектору z̃n+1 , найденному на первом этапе. Искомый вектор zn+1 определяется следующей нелинейной системой:
τ (zn+1 − zn )/τ = E + f˜z f (zn+1 , tn+1 ),
2
которая также решается итерационным методом Ньютона. (Здесь E – единичная матрица.) В работе [9] доказана А-устойчивость этого алгоритма решения жестких систем.
3. Модифицированная явная схема. Запишем уравнение (15) в виде уравнения
(22) и воспользуемся такой же, как в алгоритме 1, апроксимацией производных Ṙ, R̈,
но, в отличие от чисто неявной схемы, снесем вычисление функций f1 , f2 на просчитанный временной слой, а функцию f3 возьмем в точке (Rn , tn+1 ). Разностный аналог
уравнения (15) запишется в виде
Rn+1 − 2Rn + Rn−1 + (Rn+1 − Rn−1 )2 f1 (Rn )/4 +
(23)
+ (Rn+1 − Rn−1 )τ f2 (Rn )/2 = τ 2 f3 (Rn , tn+1 ).
33
Это квадратное уравнение относительно Rn+1 , физический смысл имеет лишь его положительный корень, равный
b
Rn+1 = − +
2
b2
−c
4
1/2
,
b = −2Rn−1 + 4/f1 (Rn ) + 2τ f2 (Rn )/f1 (Rn ),
2
c = Rn−1
+ 4(Rn−1 − 2Rn )/f1 (Rn ) − 2τ Rn−1 f2 (Rn )/f1 (Rn ) − 4τ 2 f3 (Rn , tn+1 )/f1 (Rn ).
Данный алгоритм имеет второй порядок апроксимации по τ и допускает явное решение
разностного уравнения. Величина y = Ṙ определяется по формуле
yn+1 = (Rn+1 − Rn−1 )/(2τ ).
Исследование А-устойчивости схемы 3 выходит за рамки настоящей работы, однако заметим следующее. По известной теореме Далквиста [10] при решении задачи Коши жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа (21)
А-устойчивыми могут быть только неявные схемы не выше второго порядка аппроксимации. На первый взгляд, в соответствии с данной теоремой, схема 3 не может быть
А-устойчивой. Однако это не так. Дело в том, что теорема Далквиста [10] предполагает
постоянство коэффициентов в разностном уравнении (типа (23)). В рассматриваемом
случае коэффициенты являются нелинейными функциями искомых величин, зависящими, кроме того, от времени. Последнее особенно существенно. Как показали расчеты, устойчивость алгоритма (23) зависит от вида аппроксимации функции f3 (R, t),
входящей в правую часть уравнения (22). Это обстоятельство отмечается и в обзорной работе Н. Н. Калиткина и С. А. Панченко [11], посвященной выбору оптимальных схем для жестких неавтономных систем. Проведенные расчеты позволили выбрать
для решения уравнения (15) на начальном этапе наилучшую из рассмотренных схем,
ею оказалась схема 3. В таблице приведен пример сравнения результатов численного
решения задачи (15)–(18) по схемам 1–3 для варианта безразмерных параметров (14)
Am = 3332.67, As = 16.66, Ap = 20447.55, κ = 84, 38 при законе подачи газа W (t),
представленном на рис. 2. В таблице даны разности R1 , R2 , R3 между вычисленными величинами радиуса R(t) (по схемам 1–3) и его точными значениями (19).
Таблица служит иллюстрацией вывода о преимуществе численной схемы 3, для которой и точность расчета выше и он устойчив на значительно большем отрезке времени.
Заметим, что для ряда вариантов параметров Am , As , Ap , κ схема 3 позволяла рассчитать весь процесс расширения слоя жидкости.
Расчет первого этапа (при заданных параметрах задачи) позволяет найти время t∗
перехода ко второму этапу решения задачи. Решение задачи на втором этапе приведено
в работе [8]. После определения R(t) из решения задачи Коши полное решение гидродинамической задачи дается полученными соотношениями (8), (13) для полей скорости
u(r, t) и давления p(r, t) в жидком слое.
Найденное решение позволяет выбирать допустимые режимы подачи газа. Режим,
приводящий к разрыву жидкого слоя, считается недопустимым. Математически ситуация разрыва слоя в данной задаче эквивалентна возникновению в жидкости отрицательного давления. Найденное решение позволяет определить ограничения на допустимые режимы W (t) и параметры Am , As , Ap , κ.
34
Разности между результатами расчетов радиуса R(t) по схемам 1–3
и его точными значениями
t
0.1
1.0
5.0
10.0
14.533
20.533
25.715
31.715
36.740
46.483
56.883
66.365
68.065
R1
−0.286 · 10−6
−0.322 · 10−5
−0.981 · 10−5
−0.395 · 10−4
−0.998 · 10−3
−0.321 · 10−2
−0.001
0.6
−
−
−
−
−
R2
0.259 · 10−6
0.287 · 10−5
0.563 · 10−5
0.976 · 10−5
0.851 · 10−4
0.373 · 10−3
0.172 · 10−2
0.992 · 10−2
0.2
−
−
−
−
R3
0.246 · 10−6
0.200 · 10−5
0.182 · 10−5
0.173 · 10−5
0.159 · 10−5
0.143 · 10−5
0.124 · 10−5
0.961 · 10−6
0.369 · 10−6
−0.241 · 10−4
−0.243 · 10−2
−0.267
−0.464
В прямой задаче известен закон W = W (t) (17). Из уравнения (15) находится R =
R(W (t), κ, Am , As , Ap ) в каждый момент времени. При этом выражение для давления
(13) в жидком слое можно записать в виде зависимости
p(r, t) = p(r, W (t), Pn , κ, Am , As , Ap ).
(24)
Необходимым условием допустимости заданного режима W (t) является отсутствие
в слое отрицательных давлений, что приводит к неравенству
p(r, W (t), Pn , κ, Am , As , Ap ) > 0
(25)
в области
t ∈ [0, tk ],
r ∈ [R(t), (κ + R(t)3 )1/3 ].
(26)
Для качественной оценки достаточно выяснить условия, к которым приводит требование положительности давления, например, на внутренней поверхности слоя. (Но в конечном счете допустимость режима должна быть подтверждена, конечно, во всей области (26).) Запишем неравенство (25) на внутренней границе. Выражение для давления
p (24) найдено выше (см. (13)). В него входит функция Pg (t) (17), которая в прямой
задаче считается известной. Чтобы получить искомую оценку для давления, поступим
следующим образом. Найдем Pg (t) из решения обратной задачи, а именно, зададимся законом R(t), например (19), и определим Pg (t) из уравнений (15), (17). При этом
значении Pg (t) неравенство (25) на внутренней поверхности слоя примет вид
R
Pn +
Ap
#
$
Ṙ2 2 2
Am Ṙ
As
h (h − 4h + 6) +
(h − 1)3 +
(1 − h) > 0,
hR̈ +
2R
Ap R
Ap R
где h задано формулой (16). Запишем неравенство (27) следующим образом:
$ #
#
$
Ṙ2 2 2
R
Am ṘR2
As
Pn +
h (h − 4h + 6) + −
> 0.
hR̈ +
+
3
Ap
2R
Ap R
Ap R
(27)
(28)
Неравенство (28) позволяет оценить роль сил вязкости, поверхностного натяжения
и внешнего давления.
35
На рис. 3, а приведена зависимость p(t) на внутренней поверхности слоя жидкости
при Pn = 0, Am = 49.9, As = 33.3. Эти величины безразмерных комплексов соответствуют значениям æ и μ, представляющим практический интерес. Из рис. 3, а следует,
что режим не допустим, так как приводит к появлению отрицательных давлений.
Рис. 3. Давление p в слое при Am = 49.9, As = 33.3, Pn = 0 (а) и Pn = 0.99 (б)
Проведенные расчеты для различных Am , As при условии Pn = 0 показали, что удовлетворить требованию p > 0 возможно только при абсурдных с точки зрения физики коэффициентах вязкости μ < 0.238 · 10−3 (Н · с\м2 ) и поверхностного натяжения
æ > 0.47(Н\м) или при очень большом значении tk , не реальном с практической точки
зрения.
Как показали расчеты, ситуация может быть исправлена только за счет введения
противодавления вне слоя, т. е. только при условии Pn > 0. На рис. 3, б представлена
зависимость p(t) для тех же значений μ, æ , что и на рис. 3, а, но при Pn = 0.9. Из него
следует, что давление на внутренней поверхности слоя не становится отрицательным
на всем интервале tk , т. е. такой быть допустим. Представленные на рис. 3 расчеты служат иллюстрацией важного вывода о роли противодавления Pn в исследуемых задачах
расширения жидкого слоя.
Анализ неравенства (28) позволяет высказать некоторые практические рекомендации по выбору материалов и условий проведения процесса. Оно демонстрирует влияние изменений коэффициентов вязкости, поверхностного натяжения и давления Pn
вне слоя на знак левой части неравенства (28). Первое и четвертое слагаемые в (28)
всегда положительны, третье – всегда отрицательно, второе – в разные моменты времени может быть как положительным, так и отрицательным. Это дает возможность высказать следующие рекомендации:
• из всех материалов с необходимыми реологическими свойствами предпочтительнее
те, у которых минимально возможная вязкость и максимально возможный коэффициент поверхностного натяжения;
• следует обеспечить максимально допустимое давление Pn в газовой фазе искусственной оболочки за бортом космического летательного аппарата.
36
Литература
1. Баранов А. Б., Курбатова Г. И. Динамика сферического слоя жидкости в условиях невесомости // Физическая механика / под ред. Б. В. Филиппова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. Вып. 7.
С. 113–125.
2. Баранов А. Б., Курбатова Г. И. Численное решение уравнения динамики сферического слоя
вязкой жидкости // Физическая механика / под ред. Б. В. Филиппова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та,
1998. Вып. 7. С. 105–113.
3. Петровский Г. Т., Воронов Г. Д. Оптическая технология в космосе. Л.: Машиностроение, 1984.
158 c.
4. Авдуевский В. С. От полета Гагарина к индустриализации космоса // 16-е Гагаринские научные
чтения по космонавтике и авиации. М., 1986. С. 35–42.
5. Космическое материаловедение. Введение в научные основы космической технологии / под ред.
Б. Фейербахера, Г. Хамахера, Р. Наумана; пер. с англ. А. Ю. Левмова; под ред. В. С. Авдуевского. М.:
Мир, 1989. 422 c.
6. Гришин С. Д., Лесков Л. В. Индустриализация космоса. Проблемы и перспективы. М.: Наука,
1987. 352 c.
7. Ивашевский С. Н., Старков В. Н. Математическая модель раздувания сферического слоя
неньютоновской жидкости в условиях невесомости // Труды 25-х чтений К. Э. Циолковского. Секция «К. Э. Циолковский и проблемы космического производства». Калуга, 11–14 сент. 1990 г. М., 1991.
С. 84–89.
8. Курбатова Г. И. О методах решения одной жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун–та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы
управления. 2008. Вып. 4. С. 27–38.
9. Рычков А. Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах.
Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1988. 220 c.
10. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. 1963. N 3. P. 27–43.
11. Калиткин Н. Н., Панченко С. Л. Оптимальные схемы для жестких неавтономных систем // Математическое моделирование. 1999. Т. 11, № 6. С. 52–81.
Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым.
Статья принята к печати 5 марта 2009 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
459 Кб
Теги
слоя, жидкого, расширяющегося, математические, модель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа