close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование полей давлений с целью определения направления трещины гидроразрыва.

код для вставкиСкачать
ТЮМЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
53
Подбирая, исходя из геометрических и статических граничных условий, выражения для функции прогиба w1 и функции усилий Φ, придем с учетом сказанного выше относительно подбора функций Ф1 и Ф2, к системе алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов, входящих в разложения искомых функций в ряды Фурье.
Применение этого метода к задачам динамики цилиндрических оболочек показано в работе [2].
Поскольку в данном варианте метода уравнение изгиба удовлетворяется точно, то в тех случаях, когда энергия изгиба является превалирующей,
от этого метода можно ожидать получения более точных результатов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Муштари Х. М., Галимов К. З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань:
Таткнигоиздат. Казанский филиал АН СССР, 1957. 431 с.
2. Агеносов Л. Г. О применении метода К. З. Галимова к задачам динамики оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1965. Сб. 3.
С.189-195.
Михаил Владимирович ДМИТРИЕВСКИЙ −
кандидат физико-математических наук,
ЗАО «ИНТЕРА»
Юлия Александровна ПЛИТКИНА −
аспирант кафедры математического моделирования
УДК 519.63+519.65
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ДАВЛЕНИЙ
С ЦЕЛЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЯ ТРЕЩИНЫ
ГИДРОРАЗРЫВА
АННОТАЦИЯ. В данной работе предлагается комбинированный метод
восстановления полей давлений, основанный на двух классических подходах:
интерполяции «пластовых» давлений и математическом моделировании процессов фильтрации. Предлагаемый метод имеет вариационную постановку
(минимизация последовательности функционалов) и позволяет учитывать
зачастую противоречивые значения дебитов и забойных давлений, заданных в
скважинах. Такая особенность метода дает возможность по выбранному
критерию определить примерное направление трещины гидроразрыва.
This paper presents the combined method of pressure fields reconstruction,
based on two classical approaches: interpolation of «formation» pressures and
mathematical modeling of filtration processes. This method has variation statement
(consecutive minimizing of functionals), and allows us to take into account values
of rates and bottom-hole pressures given in the wells, which are often inconsistent.
This feature the method enables to define an approximate direction of a fracture by
the chosen criterion.
54
ВЕСТНИК
Энергетическое состояние нефтяной залежи является важным показателем, используемым для правильного и эффективного проектирования ее
дальнейшей эксплуатации. Основным инструментом, при помощи которого
оценивается энергетическое состояние нефтяных пластов, являются карты
давлений, или, как их еще называют − карты изобар. Карта изобар описывает
поле пластовых давлений, сложившихся на определенную дату. Из анализа
таких карт получают следующую информацию:
1) снижение или увеличение пластовых давлений в отдельных зонах пласта;
2) зоны отбора нефти, зоны влияния нагнетательных скважин;
3) средневзвешенные пластовые давления, рассчитываемые по зонам отбора;
4) направление движения контура нефтеносности.
В зависимости от метода, используемого для построения поля давлений, могут учитываться различные исходные данные:
1) замеры забойных давлений − замеры, произведенные на забоях скважин во время их работы;
2) замеры «пластовых» давлений − замеры, произведенные на забоях
скважин через некоторое время после их остановки, необходимое для того,
чтобы давление в «достаточной» степени стабилизировалось;
3) дебиты / приемистости вертикальных, наклонных и горизонтальных
скважин;
4) начальное пластовое давление, заданное на контуре питания Г − давление, которое имел пласт до начала его эксплуатации;
5) геометрические и фильтрационные параметры трещин гидроразрыва
пласта (ГРП);
6) зоны отсутствия фильтрации − геометрическое место зон отсутствия
коллекторов, линии непроницаемых разломов и т.д.;
7) фильтрационные параметры пласта − коэффициенты проницаемости, вязкости, пьезопроводности и т. д.
В настоящее время для построения таких карт не существует общепризнанной «правильной» методики. Все существующие подходы можно условно разделить на две группы, каждая из которых имеет свои преимущества
и недостатки.
1. Интерполяция «пластовых» давлений. В качестве исходной информации для подобных методов служат замеры «пластовых» давлений в
скважинах, а также значения давлений, заданные на контуре питания. Заметим, что подобная информация не может быть получена на определенную
дату одновременно по всем скважинам − для этого пришлось бы временно
остановить разработку всего месторождения, поэтому замеры «пластовых»
давлений, полученные на предыдущую дату, пересчитываются на дату построения карты. В результате этого пересчета в данные вносится дополнительная погрешность. Для получения карты полученные исходные данные
пересчитываются в узлы равномерной сетки одним из интерполяционных
методов (крайгинг, сплайн-интерполяция, метод Шепарда и др.). Достоинствами методики являются простота программирования алгоритмов и использования полученных программ пользователями. К недостаткам можно отнести тот факт, что получаемая картина часто физически противоречива. Для
достижения правдоподобно выглядящего результата обычно приходится
ТЮМЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
55
прибегать к добавлению в расчет новых, искусственно создаваемых исследователем данных − как правило, это контура с заданными на них значениями
пластовых давлений.
2. Математическое моделирование процессов фильтрации. Основу данного подхода составляет создание математической модели, описывающей процесс фильтрации жидкости в пласте [3, 4]. Обычно такая модель
описывается системой дифференциальных уравнений с заданными начальными и граничными условиями. В зависимости от типа выбранной модели
варьируется вид и количество уравнений. Существующие математические
модели позволяют учитывать массу разнородной информации, что можно
рассматривать и как преимущество и как недостаток: часто приходится
адаптировать модель к исходным данным, варьируя ее параметрами. Этот
процесс очень трудоемкий и занимает основное время построения фильтрационной модели.
Существенное ограничение, которое невольно накладывается на математические модели, описываемые системой дифференциальных уравнений, связано с требованием корректности постановки краевой задачи. Например, в скважине обычно задают либо дебит/приемистость скважины,
либо забойное давление. Их одновременное задание может привести к некорректно поставленной (переопределенной) краевой задаче. Тем не менее,
задание массы противоречивых сведений свойственно для решения задач
фильтрации − данных много, они не соответствуют, противоречат друг другу, заданы с различными уровнями погрешности. Существующие же математические модели требуют задания точных данных, не содержащих погрешностей (дебитов, давлений, проницаемости и т. д.), что в действительности невозможно. Поэтому способность модели учитывать неточные и
противоречивые данные, которые могли бы «корректировать друг друга»,
представляется авторам весьма полезной.
В предлагаемой работе сделана попытка создать метод, содержащий в
себе черты обоих рассмотренных выше подходов и обладающий способностью одновременно учитывать зачастую противоречивые значения дебитов и
забойных давлений, заданных в скважинах.
Рассматривается неоднородный нефтяной пласт с постоянной толщиной hz . Если считать пласт достаточно тонким, чтобы можно было пренебречь воздействием гравитационных сил на жидкость, находящуюся в пласте,
то течение можно считать двумерным. Пусть необходимо построить поле
пластовых давлений, представленное значениями в ячейках равномерной сетки S . Пусть сетка состоит из N ячеек по горизонтали и M по вертикали.
Размеры ячеек соответственно обозначим hx и hy . Для описания такого поля
будем искать функцию u ( x, y ) :
N
M
u ( x, y ) = ∑∑ ui , jϕi , j ( x, y ) ,
i =1 j =1
где ϕi , j ( x, y ) = ϕi ( x ) ϕ j ( y ) ,
(1)
ВЕСТНИК
56

hx
hx 

1, x ∈ ( i − 1) hx + x0 − , ihx + x0 −  ,
ϕi ( x ) = 
2
2

0, иначе


hy
hy 

1, y ∈ ( j − 1) hy + y0 − , jhy + y0 −  ,
ϕ j ( y) = 
2
2

0, иначе

где ( x0 , y0 ) − координаты центра первой ячейки. Задача построения поля
давлений сводится к определению неизвестных коэффициентов ui , j , которые,
ввиду выбора «ступенчатой» базисной функции, определяют значение давления в ячейке.
Относительно ячеек будем считать истинными следующие гипотезы:
1. давление в ячейке постоянно;
2. вязкость и плотность жидкости в ячейке постоянны;
3. за счет разницы давлений между соседними ячейками, фильтрация
жидкости происходит в перпендикулярном к границе направлении только
через границы ячейки; для каждой границы определяется постоянный коэффициент проницаемости.
Используя линейный закон фильтрации Дарси, выразим скорости
фильтрации жидкости через грани ячейки (рис. 1):
ki1, j ( ui +1, j − ui , j ) r r 2
ki2, j ( ui , j +1 − ui , j ) r
r1
vi , j = −
x , vi , j = −
y,
hy
hx
µi , j
µi , j
ki1−1, j ( ui , j − ui −1, j ) r
r
vi3, j = −
x,
µi , j
hx
ki2, j −1 ( ui , j − ui , j −1 ) r
r4
vi , j = −
y,
hy
µi , j
где kip, j − проницаемость ячейки ( i, j ) в направлении
r
ui,j+1
2
k i,j
ui-1,j
вектора vi ,pj , µ i , j − вязкость жидкости, находящейся в
r
v2
ui,j
ui+1,j
v1
ячейке ( i, j ) , x − единичный вектор в направление
r
оси OX , а y − в направлении оси OY .
Относительно каждой из ячеек нам может
v4
ui,j-1
быть известна различная информация, для которой
желательно, чтобы исследователь мог устанавливать ту или иную степень доверия (приоритета).
Рис. 1. Ячейка и ее грани
Для используемой нами сеточной модели
сконструируем два функционала, при помощи которых будет осуществляться учет разнородной и противоречивой информации с
различными приоритетами.
v3
1
k i,j
Учет информации о давлениях.
Для ячейки, внутри которой оказалась хотя бы одна скважина с заданным в ней давлением u p , записываем следующий функционал:
P
Pi , j = ∑ α p ( ui , j − u p ) = min ,
p =1
2
(2)
ТЮМЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
57
где u p − значения давлений в скважинах, попавших в ячейку ( i, j ) , ui , j − модельное значение давления в ячейке, α p ≥ 0 определяет степень доверия к
каждой из скважин. Минимизация функционала (2) приводит к уравнению:
P
ui , j −
∑α
p =1
P
p
∑α
p =1
up
= 0.
(3)
p
Помимо предложенного, можно записывать функционалы, описывающие учет забойных давлений другим более или менее правдоподобным способом, а также и функционалы для учета «пластовых» давлений.
Учет контуров, на которых известны значения пластовых давлений, производим аналогичным образом: для этого необходимо определить ячейки, через
которые проходят контура, и записать для них функционал следующего вида:
Pi , j = ∫ ( ui , j − uc ( l ) ) dl ,
2
(4)
l
где l − элемент контура, проходящий через ячейку ( i, j ) .
Учет информации о дебитах вертикальных, наклонных и горизонтальных скважин, зонах отсутствия фильтрации, линиях ГРП.
Переформулируем вариационный принцип, предложенный в [1] для рассматриваемой нами ячейки: среди возможных изотермических ламинарных
фильтрационных течений однородной несжимаемой жидкости в ячейке с неоднородными границами, на которых заданы скорости фильтрации, действительное фильтрационное течение таково, что работа сил давления, затрачиваемая на преодоление фильтрационных сопротивлений, минимальна.
Выражение для работы, которую совершают силы давления в ячейке,
имеет вид:
qi , j
1 r r
Fi , j ⋅ vi , j −
u ,
2
ρi , j i , j
r
r
r
Fi , j = ( ui +1, j − ui , j ) hy hz x + ( ui , j +1 − ui , j ) hx hz y +
r
r
+ ( ui , j − ui −1, j ) hy hz x + ( ui , j − ui , j −1 ) hx hz y
r
r
r
r
r
vi , j = vi1, j + vi2, j + vi3, j + vi4, j
Ai , j =
(5)
1
k 2, h h
2
2
1 k , h h
Ai , j = −  i j y z ( ui +1, j − ui , j ) + i j x z ( ui , j +1 − ui , j ) +
2  µi , j hx
µ i , j hy
,
(6)
ki1−1, j hy hz
ki2−1, j hx hz
qi , j
2
2
( ui, j − ui−1, j ) + µ h ( ui, j − ui, j −1 )  − ρ ui, j
µi , j hx

i, j y
i, j
где ρi , j − плотность жидкости в ячейке, qi , j − массовая интенсивность внешнего источника или стока. Таким образом, для учета дебита необходимо найти минимум функционала:
(7)
Ai , j = min .
ВЕСТНИК
58
Дифференцирование выражения (7) по переменной ui , j приводит к закону сохранения массы, записанного для ячейки ( i, j ) :
ki1, j hy hz
µi , j hx
−
( ui+1, j − ui, j ) +
ki1−1, j hy hx
µi , j hx
(u
i, j
ki2, j hx hz
µ i , j hy
− ui −1, j ) −
(u
i , j +1
ki2, j −1hx hz
µ i , j hy
− ui , j ) −
(u
i, j
− ui , j −1 ) =
qi , j
.
(8)
ρi , j
Функционал (7) позволяет учитывать дебиты/приемистости вертикальных и горизонтальных скважин, а также влияние трещин ГРП на поле
пластовых давлений. Массовая интенсивность внешних источников и стоков
для ячейки складывается из дебита и приемистости скважин, попадающих в
эту ячейку. Для моделирования наклонных и горизонтальных скважин, а
также трещин ГРП, их массовая интенсивность распределяется по какомулибо закону (например, равномерно) по ячейкам, в которых проходит ствол
скважины или трещина.
Границы зон отсутствия фильтрации, описанные при помощи кривых,
пересчитываются в зоны, заданы с помощью граней ячеек (для этого очень
хорошо подходит алгоритм Брезенхема [5]). Тем самым у некоторых ячеек
появляются грани, через которые не может происходить фильтрация жидкости. В этом случае функционал Ai , j должен быть модифицирован так, чтобы
соответствующая скорость фильтрации в формуле (5) через непроницаемую
грань равнялась нулю.
Ранжирование данных по степени их достоверности осуществляется за счет комбинирования функционалов (2) и (7) для каждой из ячеек сетки.
Рассмотрим возможные ситуации:
1. В ячейке абсолютно точно известно давление. В этом случае для
ячейки минимизируется функционал (2).
2. В ячейке абсолютно точно известен дебит и границы ячейки, через
которые происходит фильтрация. Минимизируется функционал (7).
3. В ячейке с различной достоверностью известны давление, а также
дебит и границы ячейки, через которые происходит фильтрация. Тогда
для ячейки минимизируется функционал вида:
(9)
β Ai , j + Pi , j = min ,
где выбор коэффициента β позволяет задавать степень доверия к каждому из
функционалов.
Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий возможность применения описанной выше технологии построения полей давлений для учета как
точной информации, так и информации неточной, но дополняющей друг друга. На рис. 2 отображены поля давлений, построенные по различным наборам
исходных данных, для однородного пласта с проницаемостью 16.4 мДарси.
На контуре, нарисованном пунктирной линией, задавалось давление, равное
250 атм. Для учета давления, заданного на контуре, использовался функционал вида ( 2).
ТЮМЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
59
Рис. 2. Учет противоречивой информации
Всего было построено три поля давлений:
1. Первая картинка − в центре круга была задана скважина с забойным
давлением 200 атм, при этом записывался функционал вида (2).
2. Вторая картинка − в центре круга была задана скважина с дебитом
3
жидкости, равным 137.38 м
, при этом записывался функционал вида (7).
сут
3. Третья картинка − для скважины, находящейся в центре круга. Одновременно задавались и дебит и забойное давление, при этом записывался
функционал вида (9) и весовой коэффициент β брался равным единице.
Как видно из рис. 2, поле давлений, изображенное на третьей картинке, является «промежуточным» между первыми двумя.
Рис. 3. Влияние направления трещины на поле давлений
В следующем примере отражена попытка определить направление
трещины ГРП для одной из скважин Аригольского месторождения на объекте
ЮВ1(1). Были рассмотрены две крайние ситуации: горизонтальное и верти-
60
ВЕСТНИК
кальное направление трещины. Для моделирования трещины были использованы данные о дебите и забойном давлении скважины. Эти данные оказались
противоречащими друг другу и поэтому были учтены в виде комбинации
двух функционалов (9). В результате было построено две карты пластовых
давлений (Рис. 3): в предположении, что трещина направлена с севера на юг
(вертикальная трещина) и с запада на восток (горизонтальная трещина). Наиболее вероятным направлением трещины оказалось вертикальное. В этом
случае из слагаемых в функционале (9) принято меньшее значение, нежели в
случае горизонтальной трещины. Выбранный критерий для определения направления трещины является реализацией следующей идеи: чем точнеее удается определить направление трещины ГРП, тем лучше будут соответствовать друг другу забойное давление и дебит, задание в скважине.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данилов В. Л. Вариационный принцип наименьшей скорости рассеяния энергии при фильтрации жидкостей в пористой среде и его приложения. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 108 с.
2. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1970.
3. Каневская Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. М.; Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2003. 128 с.
4. Костюченко С. В. Математическое моделирование полей давлений в нефтяных
резервуарах с произвольными системами скважин различных профилей // Нефтяное
хозяйство. 2000. № 10. С. 70-77.
5. Порев В. Н. Компьютерная графика. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 432 с., илл.
Сергей Арнольдович ИНЮТИН −
проректор по научной работе Сургутского государственного педагогического института, доктор технических наук,
профессор
УДК 621.29
ИЕРАРХИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ − ХАРАКТЕРИСТИК
ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА ДЛЯ МОДУЛЯРНЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КВАДРАТИЧНОГО ДИАПАЗОНА
АННОТАЦИЯ. Систематизированы функционалы, применяемые для
характеристики отношения порядка над модулярными представлениями числовых величин квадратичного диапазона. Получены оценки их сложности и
исследованы соотношения между точными и «неточными» функционалами,
имеющими меньшую алгоритмическую сложность.
The author offers the system of the modular functionals that are applied to
characterize the order relation for the modular codes at square computer diapason. Research had been carried out to define the relation between any exact and
«nonexact» functional and assessments of their complexity had been obtained.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
461 Кб
Теги
поле, направления, моделирование, цель, гидроразрыва, математические, давления, определение, трещин
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа