close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование характеристик теплопроводящей среды.

код для вставкиСкачать
УДК 517.9
Н.В. Комиссарова
СГГА, Новосибирск
О.Н. Чащин
СибУПК, Новосибирск
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛОПРОВОДЯЩЕЙ
СРЕДЫ
В настоящей работе рассмотрены обратные коэффициентные задачи для уравнений
параболического типа, для решения которых применен метод конечно-разностной
регуляризации интегро-дифференциального уравнения второго рода. Построен алгоритм
конечно-разностной регуляризации обратных задач. Приведены результаты вычислительного
эксперимента на тестовых примерах.
N.V. Komissarova
Siberian State Academy of Geodesy (SSGA), Novosibirsk
O.N. Chashin
Siberian University of Consumer Co-operatives (SUCC), Novosibirsk
MATHEMATICAL MODELING THERMAL–TRANSFER MEDIUM CHARACTERISTICS
To solve inverse problems for parabolic equations we used the method of finite-difference
regularization of second order integro differential equations. We developed an algorithm of finitedifference regularization of the inverse problem. We demonstrated results of computer simulations
for test examples.
Постановка задачи
Математическая постановка: рассматриваются следующие обратные задачи
для линейного уравнения параболического типа:
u t a( x)u xx b( x)u x c( x)u , x > 0, t [0, T] (1)
u (0, t )
f (t ),
u x (0, t )
0,
u( x, T )
g ( x). (3)
(2)
Физический смысл коэффициентов уравнения (1) таков: а(х) коэффициент внутренней температуропроводности, b(x) – коэффициент,
пропорциональный потоку тепла, коэффициент с(х) пропорционален сносу
тепла, которые предполагаются не зависящими от времени.
Задача A: Определить пару функций (a(x), u(x,t)), удовлетворяющих
условиям (1) – (3), при известных b(x) и c(x).
Задача B: Определить пару функций (b(x), u(x,t)), удовлетворяющих
условиям (1) – (3), при известных a(x) и c(x).
Задача C: Определить пару функций (c(x), u(x,t)), удовлетворяющих
условиям (1) – (3), при известных a(x) и b(x).
Определяемые функции удовлетворяют соотношениям:
a( x) [ut ( x, T ) b( x) g ( x) c( x) g ( x)] / g ( x) ,
1
b( x) [u t ( x, T ) a( x) g ( x) c( x) g ( x)] / g ( x) ,
c( x) [u t ( x, T ) a( x) g ( x) b( x) g ( x)] / g ( x) ,
и интегро-дифференциальному уравнению 2-го рода:
x
u ( x, t )
) F ( , t )d . (4)
(x
0
Функция F( ,t) для задачи А имеет вид:
F ( , t ) (ut ( , t ) b( )u ( , t ) c( )u ( , t ))
g ( )
u t ( , T ) b( ) g ( ) c ( ) g ( )
Соответственно для задачи B, она равна:
F ( ,t)
(ut ( , t ) c( )u ( , t )
ut ( , T ) a ( ) g ( ) c ( ) g ( )
u ( , t )) / a( )
g( )
Функция F( ,t) для задачи C имеет вид:
F ( ,t)
(ut ( , t ) b( )u ( , t )
ut ( , T ) a ( ) g ( ) b( ) g ( )
u ( , t )) / a( ) .
g( )
Описание модели и вычислительного алгоритма
В данной работе проводится тестирование метода в классе
экспоненциально убывающих и экспоненциально возрастающих функций для
каждой из сформулированных обратных задач. Выбор соответствующих
классов обусловлен физическими соображениями: распределение поля
температур естественно предположить функциями экспоненциального вида, а
направление роста определяется условиями протекания теплового процесса:
происходит поглощение или выделение теплоты.
Для тестирования алгоритма подбиралась функция u(x,t), удовлетворяющая
t x
уравнения (1) и условию (2): u( x, t ) e e
.
Модель среды, определяется коэффициентами уравнения (1) a(x), b(x), c(x),
2
которые выбирались с учетом равенства:
=
a(x) +
b(x) + c(x). Так,
например, этому условию удовлетворяют функции:
a( x)
2
1
px
2
q
,
b( x )
x
e ,
c( x)
px
2
q
e x,
где , , , p, q, , заданные константы.
Решение интегрального уравнения (4) искалось методом последовательных
приближений:
xi
u n 1 ( xi , t j )
uin, j 1
( xi
) F ( , t j )d
f (t j ) .
0
Производные от функции u(x,t), необходимые при вычислении
подынтегральной функции, определялись через их разностные аналоги:
2
ut ( k , t j )
ut (
k ,T )
u ( k ,t j )
u( k , t j ) u( k , t j 1 )
uk , j
uk , j
1
u(
uk ,N
uk ,N
1
k ,tN )
u(
k ,tN 1)
u( k , t j ) u(
k 1, t j )
uk , j
uk
,
,
1, j
.
Начальное приближение u0(x,t) выбиралось в виде u0(x,t) = f(t).
Интеграл вычислялся с помощью квадратурной формулы трапеций.
Информация для решения, функции f(t), g(x) определялись с учѐтом выбранной
f (t ) u(0, t ) e t ,
g ( x) u ( x, T ) e T e x . В информацию
модели:
независимым образом вводилась случайная аддитивная помеха
с
относительным уровнем до 5%. Количество итераций в методе
последовательных приближений выбиралось опытным путѐм, и бралось не
более 10.
В результате было применено сглаживание МНК с помощью нелинейных
функций экспоненциального вида, что соответствует как выбранной модели, так
и реальным условиям распределения температур. Для f(t) аппроксимационная
функция выбиралась в виде (t) = aebt, для g(x) функция выбиралась в виде ψ(t)
= aebx.
Результаты численного эксперимента
Ниже приведены результаты восстановления функций a(x), b(x), c(x) в
обратных задачах A, B, C. Параметры модели: шаг сетки по t, шаг сетки по
x, X0, T в этом случае определяются значением параметра N. На графиках
сплошной линией без маркеров показано точное значение функций, график с
маркерами соответствует найденному, в результате численного эксперимента,
решению функции. Численные значения параметров модели приведены в
диалоговых окнах.
При использовании нелинейного сглаживания результаты решения
обратной задачи A приведены на рис. 1.
При решении обратной задачи B при нелинейной аппроксимации МНК
функция b(x) восстанавливается устойчиво при достаточно высоком уровне
погрешности (рис. 2).
3
Рис. 1. Вычисления с применением нелинейного сглаживания в классе
экспоненциально убывающих функций. Аддитивная погрешность в
информации 5%
Рис. 2. Вычисления с применением нелинейного сглаживания в классе
экспоненциально убывающих функций Аддитивная погрешность в информации
5%
4
Тестовые расчеты при решении обратной задачи C показали результаты,
сравнимые с результатами решения задачи В при аналогичных условиях.
Тестовые вычисления дают удовлетворительное восстановление с(х) до уровня
относительной погрешности до 10%. Восстановление коэффициента с(х) по
зашумленным данным в классе экспоненциально убывающих функций
показано на рис. 3.
Рис. 3. Вычисления с использованием нелинейной аппроксимации МНК.
Аддитивная погрешность в информации 5%
Вычисления проводились на ЭВМ с процессором Intel Pentium 2,8 ГГц в
программной системе Delphi с созданием взаимосвязанных приложений для
каждой из исследуемых задач.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бондаренко А.Ф., Чащин О. Н. Регуляризованные решения обратных задач для
параболических уравнений. – Новосибирск: 2004. – 18 с. Препринт № 139 / Институт
математики им. С.Л.Соболева СО РАН.
2. Чащин О.Н. Регуляризация нелинейных операторных уравнений 1-го рода в шкале
банаховых пространств. – Новосибирск: 2001. – 16 с. Препринт № 15. / Изд-во НГУ.
3. Лаврентьев М.М., Комиссаров В.В., Негматова М.Х., Ниматов Х., Чащин О.Н.
Численное решение обратных коэффициентных задач для параболических уравнений
методом конечно-разностной регуляризации. – Новосибирск: 2008. – 26 с. Препринт №201 /
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН.
© Н.В. Комиссарова, О.Н. Чащин, 2010
5
6
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
386 Кб
Теги
среды, моделирование, теплопроводящих, математические, характеристика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа