close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое описание спектрального состава выходного напряжения матричного преобразователя частоты.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ВЫХОДНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
МАТРИЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ЧАСТОТЫ
Федоров Сергей Витальевич
старший преподаватель
кафедры электроснабжения промышленных предприятий
Федерального государственного бюджетного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет», филиал в г. Кумертау,
РФ, Республика Башкортостан, г. Мелеуз
E-mail: s.v.fedorov@inbox.ru
Рогинская Любовь Эммануиловна
д-р техн. наук, профессор кафедры электромеханики
Уфимского государственного авиационного технического университета,
РФ, Республика Башкортостан, г. Уфа
Бондарев Андрей Владимирович
канд. техн. наук,
заведующий кафедрой электроснабжения промышленных предприятий
Федерального государственного бюджетного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет», филиал в г. Кумертау,
РФ, Республика Башкортостан, г. Мелеуз
______________________________
Федоров С.В., Рогинская Л.Э., Бондарев А.В. Математическое описание спектрального
состава выходного напряжения матричного преобразователя частоты //
Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2014. № 9 (10) .
URL: http://7universum.com/en/tech/archive/item/1612
THE MATHEMATICAL DESCRIPTION
OF THE SPECTRAL COMPOSITION OF THE OUTPUT VOLTAGE
OF THE MATRIX CONVERTER FREQUENCY
Fedorov Sergey
senior teacher of the Department of power supply of industrial enterprises
Federal state educational institution of higher professional education
" Orenburg state University" branch in Kumertau,
Russia, Republic of Bashkortostan, Meleuz
Roginskaya Lyubov
doctor of technical Sciences, Professor of the Department
"electrical engineering" of Ufa state aviation technical University,
Russia, Republic Of Bashkortostan, Ufa
Bondarev Andrey
candidate of technical Sciences, head of the Department of power supply of industrial
enterprises, Federal state educational institution of higher professional education
"Orenburg state University" branch in Kumertau,
Russia, Republic of Bashkortostan, Meleuz
АННОТАЦИЯ
В данной статье приводится математическое описание спектрального
состава
выходного
напряжения
матричного
преобразователя
частоты.
Использование данной модели позволяет проводить анализ спектра выходного
напряжения и получать значения коэффициента гармоник во всем диапазоне
частот.
ABSTRACT
This article provides a mathematical description of the spectral composition
of the output voltage of the matrix converter frequency. Using this model allows
the analysis of the spectrum of the output voltage and to obtain values of harmonic
distortion in the entire frequency range.
Ключевые слова: матричный преобразователь частоты; коэффициент
гармоник; спектр.
Keywords: matrix frequency converter; harmonic; spectrum.
Рассмотрим общий случай n-фазного по входу и 3-фазного по выходу
матричного преобразователя частоты (МПЧ), содержащего 3 группы идеальных
двухпроводных ключей по n в каждой группе [2—4].
Преобразователь
частоты
присоединен
к
n-фазному
источнику
переменного напряжения с частотой f ВХ и управляется таким образом, чтобы
получить 3-фазное выходное напряжение с желаемой
частотой
f ВЫХ
(рисунок 1) [1].
Рисунок 1. Символическое представление обобщенного преобразователя
частоты с n фазами на входе и 3 фазами на выходе
В качестве источника многофазного входного напряжения можно
использовать
напряжение
с
выхода
многофазного
фазообразующего
трансформатора [5].
Так как кривые выходного напряжения образуются из участков
следующих друг за другом кривых входного напряжения, то мгновенное
выходное напряжение U ВЫХ 1 , U ВЫХ 2 , U ВЫХ 3 может быть описано соотношениями:








1t   1t  U 1t   1t    U 1t   1t    U 1t   1t   
U ВЫХ 1  U ВХ 1 1t 01   1t11   U ВХ 2 1t11   1t 21     U ВХq 1t q11   1t q1     U ВХn 1t n11   1t n1   
 U ВХ 1
1
n
1
n 1
1
n 1
ВХ 2
1
n 2
1
q 1 n
ВХq
1
qn
ВХn
1
2 n 1
1
2n
               
  
 U 1t   1t   1t   1t   1t   1t
  1t  1t   1t   
 U 1t   1t   1t
 U 1t   1t   1t   1t   1t   1t   .
 U ВХ 1 1 t 01  1 t11  1 t n1  1 t n11  1 t 21n  1 t 21n1   
1
1
ВХ 2
1
2
1
q 1
ВХq
1
n 1
1
q
1
q 1 n
1
n 1
ВХn
1
n 2
1
n
1
2 n 1
1
qn
1
2 n 1
1
2 n 2
1
q 1 2 n
1
2n
1
q2n
1
3n 1
1
3n
Для U ВЫХ 2








1t   1t  U 1t   1t    U 1t   1t    U 1t   1t   
U ВЫХ 2  U ВХ 1 1t 02   1t12   U ВХ 2 1t12   1t 22     U ВХq 1t q21   1t q2     U ВХn 1t n21   1t n2   
 U ВХ 1
2
n
2
n 1
2
n 1
ВХ 2
2
n 2
2
q 1 n
ВХq
2
qn
ВХn
2
2 n 1
2
2n
               
  
 U 1t   1t   1t   1t   1t   1t
  1t  1t   1t   
 U 1t   1t   1t
 U 1t   1t   1t   1t   1t   1t   .
 U ВХ 1 1 t 02  1 t12  1 t n2  1 t n21  1 t 22n  1 t 22n1   
2
1
ВХ 2
2
2
2
q 1
ВХq
2
q
2
n 1
ВХn
2
n 1
2
n 2
2
q 1 n
2
qn
2
n
2
2 n 1
2
2 n 1
2
2 n 2
2
q 1 2 n
2
2n
2
q2n
2
3n 1
2
3n
Для U ВЫХ 3








1t   1t  U 1t   1t    U 1t   1t    U 1t   1t   
U ВЫХ 3  U ВХ 1 1t 03   1t13   U ВХ 2 1t13   1t 23     U ВХq 1t q31   1t q3     U ВХn 1t n31   1t n3   
 U ВХ 1
3
n
3
n 1
3
n 1
ВХ 2
3
n 2
3
q 1 n
ВХq
3
qn
ВХn
3
2 n 1
               
  
 U 1t   1t   1t   1t   1t   1t
  1t  1t   1t   
 U 1t   1t   1t
 U 1t   1t   1t   1t   1t   1t   .
 U ВХ 1 1 t 03  1 t13  1 t n3  1 t n31  1 t 23n  1 t 23n1   
3
1
ВХ 2
ВХq
3
2
3
q 1
ВХn
3
n 1
3
q
3
n 1
3
n2
3
q 1 n
3
n
3
2 n 1
3
qn
3
2 n 1
3
2n2
3
q 1 2 n
3
2n
3
3n 1
3
q2n
3
3n
3
2n
Здесь 1t q  — единичная ступенчатая функция:
0 при t  t q
1t q   
1 при t  t q
(1)
Уравнения для U ВЫХ 1 , U ВЫХ 2 , U ВЫХ 3 могут быть переписаны в виде:

    
    

U ВЫХ 1  U ВХ 1  1 t in1  1 t in1 1  U ВХ 2  1 t in1 1  1 t in1  2  
i 0


i 0
  


  
 U ВХq  1 t in1  q 1  1 t in1  q    U ВХn  1 t in1  n 1  1 t in1  n
i 0
i 0
Для U ВЫХ 2

    
    

U ВЫХ 2  U ВХ 1  1 t in2  1 t in2 1  U ВХ 2  1 t in2 1  1 t in2  2  
i 0


i 0
  


  
 U ВХq  1 t in2  q 1  1 t in2  q    U ВХn  1 t in2  n 1  1 t in2  n
i 0
i 0
Для U ВЫХ 3

    
    

U ВЫХ 3  U ВХ 1  1 t in3  1 t in3 1  U ВХ 2  1 t in3 1  1 t in3  2  
i 0


i 0
  


  
 U ВХq  1 t in3  q 1  1 t in3  q    U ВХn  1 t in3  n 1  1 t in3  n
i 0
i 0
Коэффициенты при входных напряжениях представляют собой суммы
прямоугольных импульсов единичной амплитуды. Назовем их переключающими функциями и определим в дальнейшем следующим образом:
    

h p1 (t )   1 t inp  1 t inp 1 ;
i 0
    

h p 2 (t )   1 t inp 1  1 t inp  2 ;
i 0
…


  
h pq (t )   1 t inp  q 1  1 t inp  q ;
i 0
…


  
h pn (t )   1 t inp  n 1  1 t inp  n .
i 0
Таким образом,
U ВЫХp  h p1 (t )U ВХ 1  h p 2 (t )U ВХ 2    h pq (t )U ВХq    h pn (t )U ВХn
.
(2)
Переключающая функция h pq (t ) (p=1, 2, 3; q=1,2,…,n) математически
описывает действие силового ключа, подающего входное фазное напряжение
U ВХq
на выход p. Когда h pq =1, это означает, что входное напряжение U ВХq
подается на вывод p; когда h pq =0, напряжения U ВХq на этом выводе нет.
Выходные напряжения от U ВЫХ 1 до U ВЫХ 3 можно представить через
входные напряжения и соответствующие переключающие функции. Таким
образом, преобразователь частоты, имеющий n фаз на входе и 3 фазы
на выходе, может быть охарактеризован системой трех уравнений:
 U ВЫХ 1  h11 (t )U ВХ 1  h12 (t )U ВХ 2    h1q (t )U ВХq    h1n (t )U ВХn

U ВЫХ 2  h21 (t )U ВХ 1  h22 (t )U ВХ 2    h2 q (t )U ВХq    h2 n (t )U ВХn
U
 ВЫХ 3  h31 (t )U ВХ 1  h32 (t )U ВХ 2    h3q (t )U ВХq    h3n (t )U ВХn
Эта система уравнений может быть записана более кратко в следующей
матричной форме:
U ВХ 1 (t )
U ВХ 2 (t )
U ВЫХ 1 (t ) h11 (t ) h12 (t )  h1q (t )  h1n (t )

U ВЫХ 2 (t )  h21 (t ) h22 (t )  h2 q (t )  h2 n (t ) 
U ВХq (t )
U ВЫХ 3 (t ) h31 (t ) h32 (t )  h3q (t )  h3n (t )

U ВХn (t )
или
U ВЫХ  H (t )U ВХ .
Матрица H является переключающей матрицей размерностью 3×n.
Входные
напряжения
являются
симметричными
синусоидальными
функциями времени:
U ВХ 1 (t )
sin( ВХ t )
U (t )
sin( ВХ t  2 / n)
U ВХ (t )  ВХ 2
 U ВХ max


U ВХn (t )
sin( ВХ t  (n  1)2 / n)
,
где: U ВХ max — амплитуда, одинаковая для всех входных напряжений.
Спектральный метод анализа выходного напряжения МПЧ состоит
в замене сложной функции времени U ВЫХp (t ) (p = 1, 2, 3) суммой простых
гармонических колебаний, образующих частотный спектр этой функции. Этот
метод основан на использовании рядов и интеграла Фурье.
Данный метод заключается в том, что характеризующая электромагнитный
процесс
периодическая
функция
может
быть
представлена
тригонометрическим рядом Фурье:
f (t ) 
a0 
  a k cos(kt )  bk sin(kt ) 
2 k 1
(3),
где

2
T ; k  1,2;
T /2

2
a

 0
/ 2f (t )dt;
T

T

T /2

2
f (t ) cos(kt )dt ;
 ak 
T T/ 2

T /2

2
b

f (t ) sin( kt )dt.
 k
T T/ 2

Поскольку в нашем случае мы аппроксимируем синусоидальный сигнал,
а функция f (t )  E0 sin(t ) является нечетной, то a0  ak  0 и выражение (3)
примет вид:

f (t )   bk sin(kt )
k 1
,
где
T
2
bk   f (t ) sin(kt )dt
T 0
.
Найдем математические зависимости для определения спектра гармоник
выходного напряжения U ВЫХp (t ) (p=1, 2, 3). Для этого в выражение bk вместо
f (t ) подставим полученную ранее зависимость для U ВЫХp (t ) (2).
Получаем
T
bk1 
T
2
2
h11 (t )U ВХ 1 (t ) sin(k ВЫХ t )dt   h12 (t )U ВХ 2 (t ) sin(k ВЫХ t )dt  

T0
T0
T

T
2
2
h1q (t )U ВХq (t ) sin(k ВЫХ t )dt     h1n (t )U ВХn (t ) sin(k ВЫХ t )dt

T0
T0
2
3
Аналогичным образом найдем выражения bk для U ВЫХ 2 и bk для U ВЫХ 3 :
bk2 
2
T
2

T

2
T
 h21 (t )U ВХ 1 (t ) sin(k ВЫХ t  2 / 3)dt 
2 / 3
2
T
T  2 / 3
 h
22
2
h2 q (t )U ВХq (t ) sin(k ВЫХ t  2 / 3)dt   

T
2 / 3
T  4 / 3
2
h31 (t )U ВХ 1 (t ) sin(k ВЫХ t  4 / 3)dt 

T
4 / 3
T  4 / 3
T  2 / 3
h
2n
(t )U ВХn (t ) sin(k ВЫХ t  2 / 3)dt
2 / 3
T  4 / 3
 h3q (t )U ВХq (t ) sin(k ВЫХ t  4 / 3)dt   
4 / 3
(t )U ВХ 2 (t ) sin(k ВЫХ t  2 / 3)dt  
2 /3
T  2 / 3
2
b 
T
3
k
T  2 / 3
h
32
(t )U ВХ 2 (t ) sin(k ВЫХ t  4 / 3)dt  
4 / 3
2
T
T  4 / 3
h
3n
(t )U ВХn (t ) sin(k ВЫХ t  4 / 3)dt
4 / 3
Поскольку функция h pq равна 1 на определенных отрезках времени (1)
1
2
3
(в остальных случаях она равна 0), то выражения для bk , bk , bk можно
переписать следующим образом:
m11 1 tin 1


2
bk1     U ВХ 1 (t ) sin(kВЫХ t )dt   
T  i0 tin1


1
m1 1 tin  q

2 q


U ВХq (t ) sin(kВЫХ t )dt   


T  i0 tin1  q 1


1
t1

2 mn 1 in n
    U ВХn (t ) sin(kВЫХ t )dt 
T  i0 tin1 n1


.
1
2
3
Аналогичным образом найдем выражения bk для U ВЫХ 2 и bk для U ВЫХ 3 :
mn2 1 t in  n
m12 1 tin 1

2
2
bk     U ВХ 1 (t ) sin(kВЫХ t  2 / 3)dt      U ВХn (t ) sin(kВЫХ t  2 / 3)dt 
T  i 0 t 2

i 0 t 2
in
in  n 1

2
2
3 t
mn3 1 t in  n

2 m1 1 in 1
3
bk     U ВХ 1 (t ) sin(kВЫХ t  4 / 3)dt      U ВХn (t ) sin(kВЫХ t  4 / 3)dt 
T  i 0 t 3

i 0 t 3
in
in  n 1

3
Здесь
mqp
3
(p = 1, 2, 3) — количество участков входного напряжения U ВХq ,
повторяющихся в выходном напряжении U ВЫХq за период. Сами функции U ВЫХ 1 ,
U ВЫХ 2 , U ВЫХ 3 примут вид:

U ВЫХ 1 (t )   bk1 sin(k ВЫХ t )
k 1

U ВЫХ 2 (t )   bk2 sin(k ВЫХ t  2 / 3)
k 1

U ВЫХ 3 (t )   bk3 sin(k ВЫХ t  4 / 3)
k 1
p
Значения bk — это амплитуды гармоник, входящих в состав выходного
p
напряжения U ВЫХq . Основной гармоникой является b1 .
Показатель,
определяющий
степень
негармоничности
выходного
напряжения U ВЫХq , — коэффициент гармоник K Г
 b 

K Гp 
p 2
i 2
b1p
i
.
В случае если анализу подвергается трехфазно-трехфазный матричный
преобразователь частоты, где входное напряжение — U ВХq (q = 1,2,3), тогда
1
2
3
выражения для bk , bk , bk можно переписать следующим образом:
m11 1 t3 i 1


2
1
bk     U ВХ 1 (t ) sin(k ВЫХ t )dt  
T  i0 t31i


1
t1

2 m2 1 3i 2
    U ВХ 2 (t ) sin(k ВЫХ t )dt  
T  i0 t31i 1


1
t1

2 m3 1 3i 3
    U ВХ 3 (t ) sin(kВЫХ t )dt 
T  i0 t31i 2


.
1
(4)
2
3
Аналогичным образом найдем выражения bk для U ВЫХ 2 и bk для U ВЫХ 3 :
2
2 t2
m32 1 t in  n
m22 1 t in  q

2 m1 1 in 1


b 
U
(
t
)
sin(
k

t

2

/
3
)
dt

U
(
t
)
sin(
k

t

2

/
3
)
dt

U
(
t
)
sin(
k

t

2

/
3
)
dt



ВХ
1
ВЫХ
ВХ
2
ВЫХ
ВХ
3
ВЫХ


T  i 0 t2

i 0 t 2
i 0 t 2
in
in  q 1
in  n 1


3
3
3
3 t3
3
t
m3 1 tin  n
m2 1 in  q

2 m1 1 in 1
bk3     U ВХ 1 (t ) sin(k ВЫХ t  4 / 3)dt    U ВХ 2 (t ) sin(k ВЫХ t  4 / 3)dt    U ВХ 3 (t ) sin(k ВЫХ t  4 / 3)dt 
T  i 0 t 3

i 0 t 3
i 0 t 3
in
in  q 1
in  n 1


2
2
k
Поскольку
значение
частоты
выходного
напряжения
изменяется
дискретно, т. е.:
 ВЫХ 
3   ВХ
N ,
где N — число синхронизирующих функций f1i , укладывающихся в одном
1
периоде M (t ) (N=4,5,6,…), то число повторений фазы U ВХ 1 – m1 , фазы U ВХ 2 –
1
m12 , фазы U ВХ 3 – m3 за период будут зависеть от этого значения или, в конечном
счете, от N. Например, для N=4 выходное напряжение U ВЫХ 1 за период будет
состоять из последовательности входных: U ВХ 1 , U ВХ 2 , U ВХ 3 , U ВХ 1 . Для N=5
выходное напряжение U ВЫХ 1 за период будет состоять из последовательности
входных: U ВХ 1 , U ВХ 2 , U ВХ 3 , U ВХ 1 , U ВХ 2 . Для N=6 выходное напряжение U ВЫХ 1
за период будет состоять из последовательности входных: U ВХ 1 , U ВХ 2 , U ВХ 3 ,
1
U ВХ 1 , U ВХ 2 , U ВХ 3 . В результате можно вывести закономерности для m11 , m12 , m3 :
m11 — это целая часть числа (N-1)/3+1;
m12 — это целая часть числа (N-2)/3+1;
m31 — это целая часть числа (N-3)/3+1.
Запишем выражения для U ВХ 1 , U ВХ 2 , U ВХ 3 :
U ВХ 1  U m sin ВХ t  1 
;
U ВХ 2  U m sin ВХ t   2  ;
(5)
U ВХ 3  U m sin ВХ t   3  .
Подставим выражения (5) в функцию (4) получаем:
t3 i 1 
m111
U
sin ВХ  kВЫХ t  1  sin ВХ  kВЫХ t  1   

bk1  m   




T i 0 
ВХ  kВЫХ
ВХ  kВЫХ
 t31i 

1
t3 i  2 
1
U m m2 1 sin ВХ  kВЫХ t   2  sin ВХ  kВЫХ t   2   






T  i0 
ВХ  kВЫХ
ВХ  kВЫХ
 t31i 1 

1
t3 i 3 
m13 1

U
sin ВХ  kВЫХ t  3  sin ВХ  kВЫХ t  3 
 .
 m   


T  i 0 
ВХ  kВЫХ
ВХ  kВЫХ

t31 i  2


1
Список литературы:
1.
Джюджи Л.,
частоты:
Пели Б.
Силовые
полупроводниковые
Теория, характеристики, применение.
Энергоатомиздат, 1983. — 400 с., ил.
преобразователи
Пер.
с
англ.
М.:
2.
Жемеров Г.Г. Тиристорные преобразователи частоты с непосредственной
связью. М., «Энергия», 1977.
3.
Карташов Р.П. Тиристорные преобразователи частоты с искусственной
коммутацией / Р.П. Карташов, А.К. Кулиш, Э.М. Чехет. К., Изд-во
Техника, 1979. — 152 с.
4.
Чехет Э.М. Непосредственные преобразователи частоты для электропривода /Э.М. Чехет, В.П. Мордач, В.Н. Соболев. Киев: Думка, 1988. —
224 с.
5.
Ялалова З.И.,
Рогинская Л.Э.
Улучшение
электромагнитной
совместимости полупроводниковых преобразователей с сетью и нагрузкой
// Электро. — 2013. — № 2. — С. 16—20.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа