close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод декомпозиции в задаче оптимального управления для полулинейных моделей соболевского типа.

код для вставкиСкачать
УДК 517.9
DOI: 10.14529/mmp150212
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ
СОБОЛЕВСКОГО ТИПА
Н.А. Манакова
В связи с большим количеством приложений на первый план выходит вопрос о
численном решении задач оптимального управления. В случае нелинейного уравнения
состояния поиск численного решения задачи оптимального управления значительно
затрудняется. Одним из подходов к решению данной проблемы является метод декомпозиции. Этот метод позволяет линеаризовать исходное уравнение и весь феномен
нелинейности перенести на функционал качества, что в значительной степени позволяет упростить численную схему нахождения приближенного решения задачи оптимального управления. В статье рассмотрен метод декомпозиции для задачи оптимального
управления решениями полулинейной модели соболевского типа.
Ключевые слова: уравнения соболевского типа; оптимальное управление; метод
декомпозиции.
Многие начально-краевые задачи для полулинейных уравнений в частных производных, неразрешенных относительно производной по времени, описывающие процессы,
протекающие в механике, технике, производстве, в подходящих функциональных пространствах могут быть сведены к задаче Шоуолтера Сидорова для полулинейного уравнения
соболевского типа
k
?
.
L x +M x +
Nj (x) = u, L(x(0) ? x0 ) = 0.
(1)
Введение.
j=1
В работе [1] было показано, что рассмотрение условия Шоуолтера Сидорова для уравнений соболевского типа позволяет уйти от феномена несуществования решения задачи Коши при произвольных начальных данных и позволяет значительно упростить численные
алгоритмы нахождения приближенных решений. Рассмотрим задачу оптимального управления решениями задачи (1)
J(x, u) ? inf, u ? Uad .
(2)
Здесь J(x, u) некоторый, специальным образом построенный функционал качества; управление u ? Uad , где Uad некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений U. Задача оптимального управления для линейного уравнения соболевского типа рассматривалась в монографии [2, гл. 7]. Задача оптимального управления для полулинейного
уравнения соболевского типа рассматривалась в [3]. В случае нелинейного уравнения состояния поиск оптимального управления затрудняется. Одним из подходов к решению данной
проблемы является метод декомпозиции [4]. Этот метод позволяет линеаризовать исходное
уравнение и весь феномен нелинейности перенести на функционал, что в значительной степени упрощает численную схему нахождения приближенного решения задачи оптимального
управления. В статье рассмотрен метод декомпозиции в задаче оптимального управления
(2) для полулинейной модели соболевского типа (1).
1. Постановка задачи оптимального управления. Пусть H = (H; ?·, ·?) вещественное
сепарабельное гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным; (H, H? ) и
Вестник ЮУрГУ. Серия ?Математическое моделирование
и программирование? (Вестник ЮУрГУ ММП). 2015. Т. 8, ќ 2. С. 133137
133
Н.А. Манакова
(Bj , B?j ), j = 1, k, k ? N дуальные (относительно двойственности ?·, ·?) пары рефлексивных
банаховых пространств, причем вложения
H ,? Bk ,? ... ,? B1 ,? H ,? B?1 ,? ... ,? B?k ,? H?
(3)
плотны и непрерывны, а вложение H ,? H компактно. Пусть L ? L(H; H? ) линейный,
непрерывный, самосопряженный, неотрицательно определенный, фредгольмов оператор,
чей ортонормальный (в смысле H) набор собственных векторов {?k } образует базис в пространстве H, а M ? L(H; H? ) линейный, непрерывный, симметричный, 2-коэрцитивный
оператор. Пусть Nj ? C r (Bj ; B?j ), r ? 1, j = 1, k s-монотонные и pj -коэрцитивные операторы, где pj ? 2 и pk = max pj , имеют симметричную производную Фреше.
j
Построим пространство U = L2 (0, T ; H? ) и определим в пространстве U непустое замкнутое и выпуклое множество Uad . Рассмотрим задачу оптимального управления (1), (2), где
функционал качества зададим формулой
?T
?T
?x(t) ?
J(x, u) = ?
zd (t)?pBkk
?u(t)?2H? dt, ? + ? = 1,
dt + ?
0
(4)
0
где zd = zd (t) желаемое состояние.
Введем в рассмотрение множество
coim L = {x ? H : ?x, ?? = 0 ?? ? ker L \ {0}}.
Построим пространство
X = {x| x ? L? (0, T ; coim L) ? Lpk (0, T ; Bk ),
dx
? L2 (0, T ; coim L)}.
dt
Слабым обобщенным решением задачи (1) назовем вектор-функцию x ?
X, удовлетворяющую условиям
[?
]
?
k
?T
?T
?
dx
?(t) L , w + ?M x, w? +
?Nj (x), w? dt = ?(t) ?u, w? dt
(5)
dt
j=1
0
0
L(x(0) ? x0 ) = 0, ?w ? H, ?? ? L2 (0, T ).
Определение 1.
При любых x0 ? H, T ? R+ , u ? L2 (0, T ; H? ) существует единственное решение
x ? X задачи (1).
Теорема 1.
Доказательство теоремы аналогично приведенному в работе [3].
Определение 2.
(1), (2), если
Пару (x?, u?) ? XЧUad назовем решением задачи оптимального управления
J(x?, u?) = inf J(x, u),
(x,u)
где пары (x, u) ? X Ч Uad удовлетворяют (1) в смысле опеределения 1; вектор-функцию u?
назовем оптимальным управлением в задаче (1), (2).
Допустимым элементом задачи (1), (2) назовем пару (x, u) ? X Ч Uad ,
удовлетворяющую задаче (1). Поскольку множество Uad ?= ?, то для любого u ? Uad ? U
в силу теоремы 1 существует единственное решение x = x(u) задачи (1), поэтому условие
существования допустимых элементов задачи (1), (2) выполнено.
Замечание 1.
134
Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming
& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2015, vol. 8, no. 2, pp. 133137
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Теорема 2.
При любых x0 ? H, T ? R+ существует решение задачи (1), (2).
Доказательство теоремы аналогично приведенному в работе [3].
Линеаризуем уравнение в (1) при помощи введения дополнительной переменной в уравнение состояния. Для этого определим x = x(u, v) = x(t, u, v) как
решение линейной задачи относительно вектор-функции x
2. Метод декомпозиции.
.
L x +M x +
k
?
L(x(0) ? x0 ) = 0,
Nj (v) = u,
j=1
(6)
u ? Uad , v ? Lpk (0, T ; Bk ).
Построим пространство
dx
? L2 (0, T ; coim L)}.
dt
Теорема 3. При любых x0 ? H, T ? R+ , u ? Uad , v ? Lpk (0, T ; Bk ) задача (6) имеет
единственное слабо обобщенное решение x ? X1 .
X1 = {x| x ? L? (0, T ; coim L) ? L2 (0, T ; H),
Доказательство. Перепишем задачу (6) в виде
.
L(x(0) ? x0 ) = 0,
L x +M x = y,
где y = u ?
k
?
j=1
(7)
Nj (v), y ? L2 (0, T ; H? ) ? Lqk (0, T ; B?k ). Тогда в силу теоремы 1 существует
единственное слабо обобщенное решение задачи (6) в смысле определения 1.
Тогда задача оптимального управления (1), (2) с функционалом качества (4) эквивалентна задаче
.
L x +M x +
k
?
Nj (v) = u,
x(u, v) = v,
L(x(0) ? x0 ) = 0,
j=1
(8)
u ? Uad , v ? Lpk (0, T ; Bk ),
?T
?x(t) ? zd (t)?pBkk dt+
J? (x, u, v) = ? · ?
?T
0
?v(t) ? zd (t)?pBkk dt + ?
+(1 ? ?) · ?
0
(9)
?T
?u(t)?2H? dt ? inf, ? ? (0, 1).
0
В силу равенства x(u, v) = v функционал (9) эквивалентен функционалу (4).
Тройку (x?, v?, u?) ? X1 Ч Lpk (0, T ; Bk ) Ч Uad назовем решением задачи
оптимального управления (8), (9), если
Определение 3.
J? (x?, v?, u?) = inf J? (x, v, u),
(x,v,u)
где (x, u, v) удовлетворяет (8) в смысле определения 1.
При любых x0 ? H, T ? R+ существует решение задачи (8), (9).
d
Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что оператор (L + M ) : X1 ? L2 (0, T ; H? ) ?
dt
Lqk (0, T ; B?k ) есть гомеоморфизм. Поэтому функционал стоимости (4) можно записать в виде
J(x, v, u) = J(v, u). Пусть {um } ? Uad , {vm } ? Lpk (0, T ; Bk ) последовательности такие, что
Теорема 4.
Вестник ЮУрГУ. Серия ?Математическое моделирование
и программирование? (Вестник ЮУрГУ ММП). 2015. Т. 8, ќ 2. С. 133137
135
Н.А. Манакова
lim J(vm , um ) = inf J(v, u),
m??
тогда из (9) вытекает, что
?vm ?Lpk (0,T ;Bk ) ? const
?um ?L2 (0,T ;H? ) ? const,
(10)
при всех m ? N. Из (10) (переходя, если надо, к подпоследовательности) извлечем слабо
сходящиеся последовательности:
um ? u? слабо в пространстве L2 (0, T ; H? ),
vm ? v? слабо в пространстве Lpk (0, T ; Bk ).
В силу теоремы Мазура точка u? ? Uad . Обозначим за xm = x(vm , um ) решение уравнения
.
L xm +M xm +
k
?
Nj (vm ) = um .
(11)
j=1
Тогда в силу свойств операторов M , Nj получим
?
M xm ? L2 (0, T ; H ),
N (vm ) =
k
?
Nj (vm ) ? Lqk (0, T ; B?k ).
j=1
.
Из (8) получим, что L xm ? L2 (0, T ; H? ) ? Lqk (0, T ; B?k ). Введем в coim L норму |x|2 = ?Lx, x? .
В силу принципа Куранта эта норма эквивалента норме, индуцированной из надпространства H. Из уравнения (11) получим
|xm (t)|2 + C1
?t
0
?xm (? )?2H d? ? C2
?t
.
| xm
?T
0
?um (? )?2H? d? + |xm (0)|2 ? C3 ,
(? )|2 d?
(12)
? C4 ,
0
где Ci = const > 0. Тогда в силу (10), (12) можно извлечь такие подпоследовательности,
которые снова обозначим {xm }, {vm }, {um }, что
xm ? x? ? ?слабо в L? (0, T ; coimL),
xm ? x? ? слабо в L2 (0, T ; H),
M xm ? M x? ? слабо в L2 (0, T ; H? ).
N (vm ) ? µ ? слабо в Lqk (0, T ; B?k ).
Перейдем к пределу в уравнении состояния (11) и получим
.
L x? +M x? + µ = u?.
.
В силу (12) xm ограничены в L? (0, T ; coim L)?L2 (0, T ; H), xm ограничены в L2 (0, T ; coim L).
Тогда в силу компактного вложения H ,? H получим, что последовательность xm сходится
сильно и почти всюду в L2 (0, T ; H). Воспользуемся леммой 1.3 [5, с. 25] и получим µ = N (v?).
Значит, переходя к пределу в уравнении состояния (11), получим
.
L x? +M x? +
k
?
Nj (v?) = u?.
j=1
Следовательно, x? = x?(v?, u?) = v? и lim inf J(um , vm ) ? J(u?, u?). Значит, (u?, v?) есть оптимальное
управление в задаче (8), (9).
136
Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming
& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2015, vol. 8, no. 2, pp. 133137
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Литература
1. Свиридюк, Г.A. Задача Шоуолтера Сидорова как феномен уравнений соболевского
типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. 2010. Т. 3, ќ 1. С. 104125.
2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators /
G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. Utrecht; Boston; Koln: VSP, 2003.
3. Манакова, Н.А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной
фильтрации / Н.А. Манакова // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, ќ 9. С. 11851192.
4. Лионс, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионс. М.: Наука, 1987.
5. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. М.: Мир, 1972.
Наталья Александровна Манакова, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра ?Уравнения математической физики?, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), manakovana@susu.ac.ru.
Поступила в редакцию 21 февраля 2015 г.
MSC 49J27, 47H05
DOI: 10.14529/mmp150212
Method of Decomposition in the Optimal Control Problem
for Semilinear Sobolev Type Models
South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation,
manakovana@susu.ac.ru
N.A. Manakova,
Due to the large number of applications the question of numerical solution of optimal
control problems becomes very important. In the case of nonlinear state equations the search
for optimal control is signicantly dicult. One approach to the solution of this problem
is the decomposition method. This method allows to linearize the original equation and to
transfer the whole phenomenon of nonlinearity to the functional that greatly simplies the
numerical scheme for nding of approximate solution an optimal control problem.
Keywords: Sobolev type equations; optimal control; decomposition method.
References
1. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. The Showalter Sidorov Problem as a Phenomena of the
Sobolev-Type Equations. The Bulletin of Irkutsk State University. Series: Mathematics, 2010,
vol. 3, no. 1, pp. 104125. (in Russian)
2. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of
Operators. Utrecht, Boston, Koln, VSP, 2003.
3. Manakova N.A. Optimal Control Problem for the Oskolkov Nonlinear Filtration Equation.
Dierential Equations, 2007, vol. 43, no. 9, pp. 12131221.
4. Lions J.-L. Controle optimal de systemes gouvernes par des equations aux derivees partielles.
Paris, Dunod, 1968.
5. Lions J.-L. Quelques merthodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. Paris,
Dunod, 1968.
Received February 21, 2015
Вестник ЮУрГУ. Серия ?Математическое моделирование
и программирование? (Вестник ЮУрГУ ММП). 2015. Т. 8, ќ 2. С. 133137
137
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
412 Кб
Теги
оптимальное, типа, метод, соболевского, декомпозиция, управления, моделей, задачи, полулинейных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа