close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод коллокации для решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле расположенном в резонаторе.

код для вставкиСкачать
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.3, 519.6
М. Ю. Медведик
МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ
ТЕЛЕ, РАСПОЛОЖЕННОМ В РЕЗОНАТОРЕ
Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе. Задача сведена к объемному сингулярному интегральному уравнению на теле. Рассмотрен численный метод коллокации для решения этого уравнения. Представлены
расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации.
Ключевые слова: краевая задача, электромагнитная задача дифракции, интегральное уравнение, численный метод.
Abstract. The article examines a problem of electromagnetic field diffraction on a
dielectric body located in a rectangular resonator. The problem is reduced to volume
singular integral equation on the body. The author has considered a numerical collocation method for solving the equation and presented the formulas of matrix coefficients for the collocation method.
Key words: boundary value problem, electromagnetic scattering, integral equations,
numerical method.
Введение
В статье рассматривается задача дифракции стороннего электромагнитного поля на локально неоднородном теле, помещенном в прямоугольный
резонатор с идеально проводящими стенками. Это актуальная задача электродинамики. В связи с неоднородной структурой и сложной геометрией тела
распределение электромагнитного поля внутри него сложно измерить экспериментально. Особенно острой является проблема определения электродинамического поля на сложной системе поверхностей и тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных
материалов и наноструктур. Это приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачу численно с помощью
компьютеров. При этом приходится решать трехмерные векторные задачи
в полной электродинамической постановке. Для численного решения задачи
возможно использование метода конечных элементов. Однако применение
метода конечных элементов связано с большой вычислительной емкостью
поставленной задачи. Для получения приемлемых результатов приходится
строить достаточно мелкую сетку как внутри тела, так и за его пределами.
Поэтому поставленная задача с трудом решается даже на самых современных
суперкомпьютерах. Применение при решении дорогостоящих пакетов прикладных программ (Ansis, Quikwave и т.д.) также не дает удовлетворительных по точности результатов. От этих недостатков свободен метод объемных
сингулярных интегральных уравнений. Здесь интегральное уравнение решается только внутри тела. Исследованием данной задачи занимался ряд авторов (A. Б. Самохин, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак [1–3]).
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат P  {x : 0  x1  a, 0  x2  b, 0  x3  c} – резонатор с идеально
28
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
проводящей поверхностью P . В резонаторе расположено объемное тело Q
( Q  P – область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью 0 и положительной ( 3  3 )-тензорной функцией диэлектрической проницаемости ˆ ( x) . Компоненты ˆ ( x) являются ограниченными функциями
в области Q , обратный тензор ˆ 1  x  существует в Q , и его компоненты
также ограничены в Q [3].
Граница Q области Q кусочно-гладкая. Будем также предполагать,
что тело Q не касается стенок резонатора, Q  P   . Вне Q среда изотропна и однородна с постоянными 0 (  0), 0 ( 0) .
 
Требуется определить электромагнитное поле E , H  L2,loc ( P ) (и, сле 
довательно, E , H  L2  Q  ), возбуждаемое в резонаторе сторонним полем
с временной зависимостью вида exp(it ) , где  – круговая частота. Источ
ник стороннего поля – электрический ток j E0  L2,loc ( P) с компактным носителем в волноводе P.
0
В области P  R 3 стандартные дифференциальные операторы grad,
div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.
Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы уравнений
Максвелла:

 
rot H  iˆ E  jE ,


rot E  i0H , x  P.
(1)
 
Для E , H должны выполняться краевые условия на стенках волновода:

E  |P  0;

H  |P  0.
(4)

Из соотношений (1)–(4) для поля E следует интегродифференциальное
уравнение [3]



  y ˆ 
2 ˆ
 I  E  y  dy 
E  x   E 0  x   k0 GE  r  
0


Q


  y ˆ 
ˆ
grad div GE  r  
 I  E  y  dy, x  Q .
 0

Q

(5)
Кроме того, представление E  x  в области P \ Q имеет вид



  y ˆ 
E  x   E 0  x   k02 Gˆ E  r  
 I  E  y  dy 
0


Q

29
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

  y ˆ 
grad div Gˆ E  r  
 I  E  y  dy, x  P \ Q .
0


Q

Поле H выражается следующим образом:

   y  ˆ 
0
ˆ
H  x   H  x   i0 rot GE 
 I E  y  dy, x  P ,
0


Q

где Iˆ – единичный тензор.

Компоненты диагонального тензора Грина Gˆ E  diag G1E , GE2 , GE3

имеют вид [3]
G1E 


2  1  

 n
   a  b   nm  sh 0 n nm  c   cos  a
n 0 m 1

 m 
 n 
x1   sin 
x2   cos 
y1  
b



 a 
 m  sh   nm x3   sh   nm  c  y3   ,
y2   
 sin 
 b
 sh   nm y3   sh   nm  c  x3   ,
GE2 


2  1  

 n
  a  b   nm  sh0m nm  c   sin  a
n 1 m 0
 
 n
4
  a  b   nm  sh   nm  c   sin  a
n 1 m 1
x3  y3 ;

 m 
 n 
x1   cos 
x2   sin 
y1  
b



 a 
 m  sh   nm x3   sh   nm  c  y3   ,
y2    
cos 
 b
 sh   nm y3   sh   nm  c  x3   ,
GE3 
x3  y3 ,
x3  y3 ,
x3  y3 ;

 m 
 n 
x1   sin 
x2   sin 
y1  
b



 a 
 m  ch   nm x3   ch   nm  c  y3   , x3  y3 ,
y2   
 sin 
 b
  ch   nm y3   ch   nm  c  x3   , x3  y3 .
В этих выражениях
2
2
 n   m 
2
 nm     
  k0 ,
 a   b 
при этом ветвь квадратного корня выбирается так, чтобы Im  nm  0 .
Для применения численного метода [4, 5] проинтегрируем компоненты
тензора Грина по параллелепипеду:

 i1i2i3  ( x1 , x2 , x3 ) : i1 

x1
x
 i1  1, i2  2  i2  1, i3 
h1
h2
обозначим их через G1I , GI2 , GI3 , тогда
30

x3
 i3  1 ,
h3

№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
G1I

8  

0
f nm
 x3 
2 n1 m1 n  m   2nm
 cos  nX1   sin  mX 2  
 nH 
m

 sin  mH 2  i2  0,5    sin  H 2   cos  nH1  i1  0,5   sin  1  
2

 2 

0
2 H1  f10 m  x3 
m

 sin  mX 2   sin  mH 2  i2  0,5    sin  H 2  ;
2
2
2

 m 1 m   0m

GI2 
8  

0
f nm
 x3 
2 n1 m1 n  m   2nm
 sin  nX1   cos  mX 2  
 mH 2 
n 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  H1   cos  mH 2  i2  0,5   sin 

2 
 2 

0
2 H 2  f2n0  x3 
n 
 sin  nX1   sin  nH1  i1  0,5    sin  H1  ;
2 
2 n 1 n   2n0

GI3 
8  

1
f nm
 x3 
2 n 1 m 1 n  m   2nm
 sin  nX1   sin  mX 2  
 H 
 H 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  n 1  sin  mH 2  i2  0,5   sin  m 2  .
 2 
 2 
Здесь


h3  
h3 


 2  sh   nm x3   sh   nm  c  i3h3     sh  γ nm
2 
2 




, еслиx3  i3h3 ;

sh   nm  c 

 2  sh   nm  c  x3     nm  x3  i3h3     nm  x3  i3h3  
sh 

 sh 

sh   nm  c 
2
2


 


2  sh   nm x3  
i3h3  h3  x3  

0
f nm
 x3     sh    c  sh   nm  c 

2


nm



x i h  h  
  sh   nm 3 3 3 3  , если h3i3  x3   i3  1 h3 ;
2




 2sh   nm   c  x3   
h  
h 

sh   nm   i3h3  3   sh   nm 3  ,

sh   nm  c 
2  
2




если x3   i3  1  h3 ,

f 100m  x3   4  f00m  x3  ,
f 20n0  x3   4  f n00  x3  ,
31
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 4  ch   nm x3 
h  
h 


 sh   nm 3  ch   nm  c  i3h3  3   , если x3  i3h3 ;

2 
2 


 sh   nm  c 
 4  ch 
 nm  c  x3   sh    x3  i3h3   ch    x3  i3h3   

 nm 
   nm 


sh   nm  c 
2
2

 




4  ch   nm x3  

 x  i h  h 
sh   nm  3 3 3 3   


1
sh   nm  c 
2
f nm  x3   





 2c  x3  i3h3  h3  

 ch   nm 
  , если h3i3  x3   i3  1 h3 ;

2




 4  ch   nm   c  x3  
h  
h 


 sh   nm 3  ch   nm  i3h3  3   ,

sh   nm  c 
2 
2 




если x3   i3  1 h3 ;

X1 
x1
x
y
y
h
h
, X 2  2 , Y1  1 , Y2  2 , H1  1 , H 2  2 ,
a
b
a
b
a
b
x1  j1h1 , x2  j2 h2 , y1  i1h1 , y2  i2 h2 ,
2
2
 n   m 
2
 nm     
  k0 .
 a   b 
Продифференцируем функции G1I , GI2 , GI3 и вычислим вторые производные
 2GI3
x32
 2G1I
x12
,
 2GI2
 2G1I
 2G1I
 2GI2
 2GI2
 2GI3
 2GI3
,
,
,
,
,
,
,
x2 x1 x3x1 x1x2
x3x2 x1x3 x2 x3
x22
.
Для вторых производных имеем
 2G1I
x12

0
8   f nm  x3   n

a 2 n 1 m 1 m   2nm
 cos  nX1   sin  mX 2  
 nH 
m

 sin  mH 2  i2  0,5    sin  H 2   cos  nH1  i1  0,5   sin  1  ;
2

 2 
0
 2G1 8   f nm  x3 

 sin  nX1   cos  mX 2  
2
x2 x1 ab n 1 m1  nm

 nH 
m

 sin  mH 2  i2  0,5    sin  H 2   cos  nH1  i1  0,5   sin  1  ;
2

 2 
0
 2G1 8   d _ f nm  x3 

 sin  nX1   sin  mX 2  
x3x1 a n 1 m1 m   2nm

32
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
 nH 
m

 sin  mH 2  i2  0,5    sin  H 2   cos  nH1  i1  0,5   sin  1  ;
2

 2 
0
 2GI2 8   f nm  x3 

 cos  nX1   sin  mX 2  
x1x2 ab n 1 m1  2nm

 mH 2 
n 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  H1   cos  mH 2  i2  0,5   sin 
;
2 
 2 
 2GI2
x22

0
8   f nm  x3  m
 sin  nX1   cos  mX 2  
2
b 2 n 1 m1 n   nm

 mH 2 
n 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  H1   cos  mH 2  i2  0,5   sin 
;
2 
 2 
0
 2GI2 8   d _ f nm  x3 

 sin  nX1   sin  mX 2  
2
x3x2 b n1 m1 n   nm

 mH 2 
n 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  H1   cos  mH 2  i2  0,5   sin 
;
2 
 2 
1
 2GI3
8   d _ f nm  x3 

 cos  nX1   sin  mX 2  
x1x3 a n 1 m 1 m   2nm

 H 
 H 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  n 1  sin  mH 2  i2  0,5   sin  m 2  ;
 2 
 2 
1
 2GI3
8   d _ f nm  x3 

 sin  nX1   cos  mX 2  
x2 x3 b n1 m1 n   2nm

 H 
 H 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  n 1  sin  mH 2  i2  0,5   sin  m 2  ;
 2 
 2 
 2GI3
x32

1
8   d 2 _ f nm  x3 

2
2 n1 m1 n  m   nm
 sin  nX1   sin  mX 2  
 H 
 H 
 sin  nH1  i1  0,5    sin  n 1  sin  mH 2  i2  0,5   sin  m 2  .
 2 
 2 
0
Здесь d _ f nm
 x3  – значение первой производной по x3 от функции
0
1
f nm
 x3  ; d _ f nm
 x3  – значение первой производной по x3 от функции
1
1
f nm
 x3  ; d 2 _ f nm
 x3  – значение второй производной по x3 от функции
1
f nm
 x3  ;
33
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион



h3  
h3  



 2  sh   nm  c  i3h3     sh   nm  
2 
2 



  ch   x   
,
nm 3 
 nm

sh   nm  c 







если x3  i3h3 ;



  nm ch   nm  x3  c  i3h3    nm ch   nm  x3  c  i3h3  



2sh
2sh




c
c




nm
nm

  ch   x  ch    c  h  i h  
3 3 3
nm 3
nm
0
,
d _ f nm
 x3    nm
sh   nm  c 


если h3i3  x3   i3  1 h3 ;





h3   
h3  


 2  sh   nm   i3h3    sh   nm  

2  
2 


  nm ch   nm   c  x3   
,


sh   nm  c 








если x3   i3  1  h3 ;





h3  
h3  


 4 nm sh   nm x3  sh   nm  ch   nm  c  i3h3   
2 
2 



,

sh   nm  c 

если x3  i3h3 ;



  nm ch   nm  i3h3  c  x3    nm ch   nm  i3h3  c  x3  



sh   nm  c 
sh   nm  c 


 2sh   nm  c  i3h3  h3   

1
,
d _ f nm  x3    nmsh   nm x3  


sh   nm  c 




если h3i3  x3   i3  1 h3 ;





h3  
h3   



 4  sh   nm  ch   nm  i3h3    
2 
2  


 sh     c  x    
,
nm
nm
3



sh   nm  c 







если x3   i3  1 h3 ;

34
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика

h3  
h3  


2
 4 nm ch   nm x3  sh   nm  ch   nm  c  i3h3   
2 
2 



,

sh   nm  c 

если x3  i3h3 ;



  2 sh    i h  c  x    2 sh    i h  c  x  
nm 3 3
nm
nm 3 3
3
3
 nm



sh   nm  c 
sh   nm  c 

 2 2 ch   x  sh   nm  c  i3h3  h3  
1
d 2 _ f nm
,
 x3    nm nm 3
sh   nm  c 


если h3i3  x3   i3  1 h3 ;



h3  
h3  


 2
 4 nm sh   nm 2  ch   nm  i3h3  2   ch   nm   c  x3  



,
sh   nm  c 


если x3   i3  1 h3 .



Уравнение (5) может быть решено различными численными методами.
В данной работе был выбран метод коллокации, так как использование метода Галеркина влечет за собой более громоздкие выкладки.
2. Метод коллокации
Для уравнения A  f (, f  X ) с линейным ограниченным оператором A : X  X в гильбертовом пространстве X рассмотрим метод коллокации, который формулируется следующим образом. Приближенное решение
n  X n определяется из уравнения Pn An  Pn f . Здесь n  X n ( X n есть
n -мерное подпространство пространства X ), Pn : X  X n – оператор проектирования на конечномерное подпространство, который определяется ниже.
Разобьем область Q на элементарные подобласти Qi с кусочногладкими границами Qi так, чтобы выполнялись условия Qi  Q j   при
i  j и Q   Qi . Выберем в каждой подобласти Qi точку (узел) коллокации
i
i
x . Рассмотрим базисные функции:
1, x  Qi ,
vi  
0, x  Qi .
Пусть подпространства X n являются линейными оболочками базисных
функций: X n  span{vl , , vn } . Потребуем, чтобы для выбранных базисных
функций выполнялось условие аппроксимации:
35
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
x  X lim inf x  x  0.
n xX n
Проектор Pn : X  X n определим так: ( Pn )( x)  ( xi ), x  Qi . Заметим,
что при таком определении проектора не определены значения функций
( Pn )( x) при x  Qi , но это не будет важно, так как в нашем случае X  L2 .
Уравнение Pn An  Pn f эквивалентно следующему:
( An )( x j )  f ( x j ), j  1, , n.
Представим приближенное решение в виде линейной комбинации базисных функций: n 
n
 ck vk . Подставив это представление в схему метода
k 1
коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для
отыскания неизвестных коэффициентов ck :
n
 ck ( Avk )( x j )  f ( x j ), j  1, , n.
k 1
Рассмотрим теперь вопрос о построении схемы решения интегрального
уравнения методом коллокации [4–7]. Будем формулировать метод для инте ˆ ( x) ˆ 
гродифференциального уравнения (5). Предположим, что тензор 
I
 0

 ˆ ( x) ˆ 
обратим в Q , а компоненты тензора 
I
 0

функциями.
Введя обозначения
 ˆ ( x) ˆ 
ˆ  
I
 0

1
1
являются ограниченными
  ˆ ( x)

, J 
 Iˆ  E ,
 0

перейдем к следующему уравнению:



AJ  ˆ ( x)J ( x)  k02 Gˆ E ( x, y )J ( y )dy 

Q


 grad div Gˆ E ( x, y )J ( y )dy  J 0 ( x) , x  Q .

(6)
Q
Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:
3
 li J i ( x)  k02  Gˆ E ( x, y) J l ( y)dy 
i 1
36
Q
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика



div x Gˆ E ( x, y )J ( y )dy  E 0l ( x), l  1, 2,3.
xl

(7)
Q

Определим компоненты приближенного решения J n  ( J 1n , J n2 , J n3 ) следующим обpазом:
J 1n

n

k 1
ak f k1 ( x),
J n2

n

k 1
bk f k2 ( x),
J n3

n
 ck fk3 ( x),
k 1
где f ki – базисные функции-«ступеньки».
Ниже проводится построение функций f k1 . Будем считать, что Q – параллелепипед: Q  {x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } . Разобьем Q на
элементарные параллелепипеды:
 klm  {x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1},
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
n
n
n
где k , l , m  0, ..., n  1 .
i
, i  1, 2,3 :
Запишем формулы для f klm
1, x   klm ,
i
f klm

0, x   klm .
Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в L23  L2  L2  L2 .
Применим метод коллокации для параллелепипеда Q (рис. 1). Для этого произведем последовательный перебор всех точек коллокации для каждого
из носителей.
Q
Рис. 1. Тело Q , разбитое на элементарные параллелепипеды  klm
37
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Используя проинтегрированные компоненты функции Грина G1I , GI2 ,
GI3 и значение их вторых производных, вычислим значение матричных элементов. Расширенную матрицу, полученную из метода коллокации, удобно
представить в блочной форме:
 A11

 A21
A
 31
A12
A22
A32
B1 

B2  .
A33 B3 
A13
A23
Элементы Bk и Akl определяются из соотношений:
Bki  E0k  xi  ;
 

ij
  kl fil x j   kl k02 G k ( x j , y ) fil ( y )dy 
Akl
Q
(8)

xk

 xl G ( x j , y) fi ( y)dy,
l
l
(9)
Q
где координаты точки коллокации
xi   xi1 , xi 2 , xi 3  , xi1   i1  0,5  h1 , xi 2   i2  0,5  h2 , xi 3   i3  0,5  h3 ,
k , l  1, 2,3 ; i1 , i2 , i3 , j1 , j2 , j3  0,, n  1 .
Таким образом, получены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала. Решая систему линейных алгебраических уравнений для матрицы, составленной с использованием сетки, находим значения поля внутри фигуры.
Используя субиерархический метод, можно вычислить значение поля на фигурах сложной формы [8–18]. Численные результаты для данной задачи будут
представлены в отдельной статье.
Список литературы
1. С а м о х и н , A . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. – М. : Радио и связь, 1998.
2. С м и р н о в , Ю . Г . Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2009.
3. С м и р н о в , Ю . Г . Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения /
Ю. Г. Смирнов, Д. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. – Т. 44, № 12. – С. 2252–2267.
4. В а с ю н и н , Д . И . Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 3. – С. 71–87.
5. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 4. – С. 54–69.
38
№ 2 (18), 2011
Физико-математические науки. Математика
6. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2. – С. 2–14.
7. С м и р н о в , Ю . Г . О существовании и единственности решений обратной
краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов /
Ю. Г. Смирнов, Д. А. Миронов // ЖВМиМФ. – 2010. – Т. 50, № 9. – С. 1587–1597.
8. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного
поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. – 2004. – № 5. – С. 5–19. – (Естественные науки).
9. М е дв е ди к , М . Ю . Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов
в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. – 2005. –
Т. 6. – С. 99–108.
10. А н то н о в , А . В. Разработка web-ориентированного вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн
на основе субиерархических параллельных алгоритмов и ГРИД-технологий /
А. В. Антонов, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 4. –
С. 60–67.
11. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2008. – Т. 53,
№ 4. – С. 441–446.
12. М е дв е ди к , М . Ю . Численный метод решения псевдодифференциального
уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 1. – С. 87–99.
13. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод для решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие /
М. Ю. Медведик, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3. – С. 59–70.
14. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 4. – С. 48–53.
15. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение задачи о распространении электромагнитных TM -волн в круглых диэлектрических волноводах заполненных нелинейной средой / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 1. – С. 2–13.
16. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический подход для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле
в волноводе методом коллокации / М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2010. – № 2. – С. 32–43.
17. Г у р и н а , Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном
в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов //
39
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 2. – С. 44–53.
18. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения интегрального уравнения на поверхностях произвольной формы / Медведик М. Ю. // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 3. – С. 88–94.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: _medv@mail.ru
УДК 517.3, 519.6
Медведик, М. Ю.
Метод коллокации для решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в резонаторе /
М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 28–40.
40
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа