close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод коллокации для решения уравнения электрического поля.

код для вставкиСкачать
№ 4 (16), 2010
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.9, 519.6
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов
МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Аннотация. Предложен метод коллокации как альтернатива методу Галеркина, для решения псевдодифференциального уравнения электрического поля.
Ключевые слова: прямое и обратное преобразование Фурье, псевдодифференциальный оператор, псевдодифференциальное уравнение, метод коллокаций.
Abstract. Collocation method (alternative to Galerkin method) for solving pseudodifferential equation of electric field is suggested.
Keywords: direct and inverse Fourier transform, pseudodifferential operator, pseudodifferential equation, collocation method.
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в свободном пространстве R3 расположено объемное тело (область) Q с границей Q класса
C  , хаpактеpизующееся постоянной магнитной проницаемостью 0 и 3  3 
матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости ε  x  . Ком
понентами тензора ε  x  являются ij  x  – бесконечно гладкие функции
в Q , т.е. ij  x   C   Q  , причем ij  x   ij  x  0 , где 0 – диэлектрическая проницаемость свободного пространства.
Из условия конечности энергии необходимо [1], чтобы E  L 2  Q  
 L2  Q   L2  Q   L2  Q  .
Требуется определить электромагнитное поле E, H  L 2  Q  , возбуж-
даемое сторонним полем E0 , H 0 с временной зависимостью вида eit .
Будем искать электромагнитное поле E, H , удовлетворяющее уравнениям Максвелла, условиям непрерывности касательных компонент поля при
переходе через границу тела и условиям излучения на бесконечности [1].
Задача отыскания E, H сводится к решению интегродифференциального уравнения [1]


θ  x  J  x   E0  x   k02 G E  x, y  J  y  dy 

Q

 grad div G E  x, y  J  y  dy, x  Q,

(1)
Q
где J  y    J1  y  , J 2  y  , J 3  y   .

1

Считаем, что θ  x  :  ε  y   I  существует при всех x  Q и J  y  :

T

:  ε  y   I  E  y  , тогда E  y   θ  y  J  y  ; E  y    E1  y  , E2  y  , E3  y   –
T
89
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
(комплекснозначный) вектор электрического поля и y   y1 , y2 , y3  – точка
 G1E


3
в пространстве R ; I – единичная 3  3 -матрица; G E  x, y    0

 0

тензорная функция Грина, где
GEm
0
GE2
0
0 

0  –

GE3 

ik x  y
1 e 0
 g m  x, y  , x, y  Q ,
 x, y  
4 x  y
g m  C   Q  Q  – гладкая функция,  m  1, 2,3 ; k0 – волновое число свободного пространства.
Уравнение (1) как псевдодифференциальное запишется в виде [2]1
AJ  E0 ,
(2)
где
AJ 
1
 2 3

e
i x  y 

 θ  x   dt     J  y  dyd  ,
(3)
 12  k02
12
13 



n p 1  ik0 
 22  k02
 2 3  , t      1 n
и dt      t     1 2
, p1  1 .
2n



n 1
 13
2 3
32  k02 


В работе [2] относительно оператора A доказаны следующие теоремы.
Теорема 1.1. Если выполняются условия:

1

1) матрица θ  x  :  ε  y   I  существует при всех x  Q ;

2)   x  
3
 cos i cos  j ij  x   0 ,
i , j 1
xQ ,
и
cos 2 1  cos 2  2 
s
s
 cos 2 3  1 , то оператор A : H comp
 Q   H loc
 Q  , определенный по фор-
муле (3), является эллиптическим псевдодифференциальным оператором
(ПДО).
Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда, если дополнительно выполнено одно из двух условий:

2
1) Re ε  x  v  v   C2  1 v , при x  Q и C2  0 ;

2
2) Im ε  x  v  v  C3 v , при x  Q ,
то оператор A : L 2  Q   L 2  Q  , определенный формулой (3), является
фредгольмовым с нулевым индексом.
Нас будет интересовать часть главного символа, которая определяется
выражением
1
Далее во всех интегралах, где пределы интегрирования не указаны явно, считаем, что интегрирование ведется по всему пространству.
90
№ 4 (16), 2010
Физико-математические науки. Математика
 12

1 
a  

2 1 2
 
 13

12
22
2 3
13 

2 3  .

32 

(4)
2. Метод коллокации
Сначала кратко опишем общую схему метода коллокации, а затем применим ее к уравнению (1) (или (2)).
Для уравнения A  f  , f  X  в гильбертовом пространстве X
рассмотрим метод коллокации, который формулируется следующим образом.
Приближенное решение n  X n определяется из уравнения Pn An  Pn f .
Здесь n  X n ( X n есть n -мерное подпространство пространства X ),
Pn : X  X n – оператор проектирования на конечномерное подпространство,
который определяется ниже.
Разобьем область Q на элементарные подобласти Qi с кусочногладкими границами Qi так, чтобы выполнялись условия Qi  Q j   при
i  j и Q   Qi . Выберем в каждой подобласти Qi точку (узел) коллокации
i
1, x  Qi
xi . Рассмотрим базисные функции vi  
. Пусть подпространства X n
0, x  Qi
являются линейными оболочками базисных функций: X n  span vl , , vn  .
Потребуем, чтобы для выбранных базисных функций выполнялось условие
аппроксимации:
x  X lim inf x  x  0.
n xX n
Проектор Pn : X  X n определим так:
 Pn    x     xi  , x  Qi .
Заме-
тим, что при таком определении проектора не определены значения функций
 Pn    x  при x  Qi , но это не будет важно, так как в нашем случае X  L 2 .
Уравнение Pn An  Pn f эквивалентно следующему:
 An   x j  
 
f x j , j  1, , n.
Представим приближенное решение в виде линейной комбинации базисных функций: n 
n
 ck vk . Подставив это представление в схему метода
k 1
коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов ck :
n
 ck  Avk   x j   f  x j  , j  1, , n.
k 1
91
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Основная трудность применения метода коллокации в данной работе
связана с тем, что в качестве пространства X рассматривается пространство
L 2  L2  L2  L2 , в котором значения функции в точке, вообще говоря, не
определены. Таким образом, оператор проектирования Pn : X  X n определен не на всем пространстве X и, вообще говоря, не ограничен. Это приводит к тому, что нельзя применить стандартные утверждения о сходимости
проекционных методов. Однако в нашем случае правая часть f является
гладкой функцией, и функция An тоже будет определена в точках коллокации (что будет показано ниже). Поэтому дадим следующее
Определение 2.1. Метод коллокации будем называть сходящимся для
оператора A и f  Im A , если существует число N такое, что приближенные
уравнения
 An   x j  
 
f x j , j  1, , n, имеют единственное решение
n  X n для всех n  N , и если эти решения сходятся n   при n  
к единственному решению  уравнения A  f .
Рассмотрим вопрос о построении схемы для метода коллокации для
уравнения (1).
Представим уравнение (1) в виде системы трех скалярных уравнений:
3
 li J i  x   k02  GEl  x, y  J l  y  dy 
i 1

Q


div x G E  x, y  J  y  dy  E 0l  x  , l  1, 2,3.
xl

Q


Определим компоненты приближенного решения J n  J 1n , J n2 , J n3 следующим образом:
J 1n 
n
n
n
k 1
k 1
k 1
 ak fk  x , J n2   bk fk  x , J n3   ck fk  x ,
где f k – базисные функции-«ступеньки».
Ниже проводится построение функций f k . Будем считать, что Q – параллелепипед: Q   x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2  .
Разобьем Q элементарными параллелепипедами Q j   klm :


 klm  x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m 1 ;
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1  k  1 , x2,l  b1  2 1  l  1 , x3,m  c1  2 1  m  1 ,
n
n
n
где k , l , m  1,, n .
Получим формулы для f klm :
1, x   klm ,
f klm  
0, x   klm .
92
№ 4 (16), 2010
Физико-математические науки. Математика
Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в L 2  L2  L2  L2 .
Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффициентов
ak , bk , ck удобно представить в блочной форме:
 A11

 A21
A
 31
B1 

B2  ,
A33 B3 
A12
A22
A13
A23
A32
где элементы столбцов Bk и матриц Akl определяются из соотношений
Bki  E0k  xi  ;


ij
Akl
 ij kl   kl k02 GEk x j , y fi  y  dy 

Q

xk
 xl GE  x

l
j

, y fi  y  dy,
Q
(5)
а координаты точки коллокации имеют вид
xi   xi1 , xi 2 , xi3  , xi1   i1  1/ 2  h1 , xi 2   i2  1/ 2  h2 , xi 3   i3  1/ 2  h3 ,
a a
b b
c c
h1  2 1 , h2  2 1 , h3  2 1 , k , l  1, 2,3; i, j  1,, N ; N  n3 .
n
n
n
Таким образом, представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения сингулярного интегродифференциального уравнения.
Докажем прежде всего, что значения матричных коэффициентов действительно могут быть вычислены в точках коллокации xi   xi1 , xi 2 , xi 3  . Для
этого достаточно рассмотреть интегралы вида

xk
 xl GE  x

Q
l
j

, y fi  y  dy ,
так как остальные интегралы, входящие в (5), очевидно могут быть вычислены в точках коллокации, поскольку они определяются как значения непрерывных функций в точке. Более того, вышеуказанный интеграл можно заменить интегралом
 
kl
I kl
x j : 
j I

xk

 xl
Qj
1
j
x y
dy ,
(6)
оставив только часть, которая может содержать особенность. Используя метод псевдодифференциальных операторов, можно представить интеграл
I kl  x  : 

xk

 xl
Qj
1
dy
x y
(7)
в виде действия ПДО на базисную функцию и вычислить его аналитически.
Учитывая формулу (4), можно показать, что интеграл (7) будет иметь
вид
93
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
I kl  y  
1
 e
3

i y11  y22  y33 
 h  k l d 
h
 h
,
sin 1 1 sin 2 2 sin 3 3
2
2
2    2
1 2 3
 h
h
 h
1
1
где
sin 1 1 sin 2 2 sin 3 3 
2
2
2
8
12 3
h3 2 h2 2 h1 2

 
i x   x   x 
e  1 1 2 2 3 3  dx есть
 h3 2  h2 2  h1 2
преобразование Фурье элементарного параллелепипеда  klm , центр которого
расположен в начале координат, а ребра параллельны координатным осям.
Интегралы I kl в точке коллокации y1  y2  y3  0 вычислены в п. 3.
Приведем здесь значения этих интегралов:
I 11 
2
arctg

h
1
I 22 
2
arctg

h
2
I 33 
h2 h3
h12  h22  h32
h1h3
h12  h22  h32
2
arctg

h
h1h2
2
3 h1
 h22
 h32

h2 h3
2
arcsin
;

h12  h22 h12  h32

h1h3
2
arcsin
;

h12  h22 h22  h32

h1h2
2
arcsin
;
2
2
2
2

h1  h3 h2  h3
I 12  I 21  I 23  I 32  I 13  I 31  0 ,
 
что совпадает со значениями из [1, с. 121]. Отметим, что I ll x j  0, l  1, 2,3.
Таким образом, интегралы (6) (значения интегралов (7) в точках коллокации) ограничены константой, не зависящей от шагов h1 , h2 , h3 . Остальные
части в формуле (5) представляются непрерывными функциями и также могут быть ограничены константой, не зависящей от шагов h1 , h2 , h3 . Следовательно, мы получаем следующее
Утверждение 2.1. Существует константа M такая, что для коэффициентов (5) верно неравенство
ij
Akl
 M , причем M не зависит от
h1 , h2 , h3 и i, j , k , l .
Наша ближайшая цель – доказать разрешимость конечномерных уравнений. Для этого докажем вспомогательное утверждение.
Введем n-мерные пространства R1n , R2n и Rn с нормами, соответственно,
b1
T
n
 bi
i 1
, b2
n
 bi
i 1
2
, b   max bi ,
1i  n
где b   b1 ,..., bn  .
Будем рассматривать конечномерные (матричные) операторы
n
An : R1  Rn . Соответствующая операторная (матричная) норма имеет вид
94
№ 4 (16), 2010
Физико-математические науки. Математика
 n ,
An 1  max aij
1i , j n
 
 n  – коэффициенты матрицы A  a n 
n
ij
где aij
n
i , j 1
. Действительно, если
An b  c , b  R1n , c  Rn , то
n

n
n 
c   max  Anb i  max
aij b j   max max aij  b 1 .
1i  n
1i  n
 1i n 1 j  n

j 1

Перебирая поочередно векторы b , имеющие только одну ненулевую
компоненту, легко найти вектор, при котором указанное выше неравенство
перейдет в равенство, что и доказывает формулу для нормы.
Рассмотрим матричное уравнение
 An  Bn  b  c ,
(8)
где An : R1n  Rn , Bn : R1n  Rn , b  R1n , c  Rn .
Лемма 2.1. Если существует обратная матрица An1 и для всех n вер1
на оценка Bn 1 
, то уравнение (8) имеет единственное решеAn1
1
ние при всех n .
Доказательство. При выполнении условий леммы уравнение (8) можно
переписать
 An1
1
в


An I  An1Bn b  c .
виде
Так
как
An1Bn
11

Bn 1  1 , то решение уравнения (8) существует и единственно,

и имеет вид b  I  An1Bn

1
An1c .
n
n
Если An : Rn  R1n и все aij  0 (или все aij  0 ) или матрица явля-
n
n
ется диагональной ( aij  ij aii ), то для соответствующей операторной
(матричной) нормы верна формула
An 1 
n

i , j 1
n ,
aij
 
 n  – коэффициенты матрицы A  a n 
n
ij
где aij
Действительно, если An b  c , b  Rn ,
c1
n
  Anb i
i 1

n
(9)
.
i , j 1
c  R1n ,
то
 n
n
n
aij b j  
aij

i 1 j 1
 i , j 1
n
n



b .
 

95
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Если все компоненты вектора b равны между собой, то указанное вы-
n
n
ше неравенство перейдет в равенство с учетом условия aij  0 или aij  0 .
Если матрица является диагональной, то можно выбрать вектор b с компо-
    . Тогда снова неравенство перейдет в равенство, что и
n
нентами bi  sign aii
доказывает формулу для нормы.
Рассмотрим конечномерные уравнения метода коллокации:
AN u  b ,
(10)
где
 A11

AN   A21
A
 31
A12
A22
A32
A13 
 B1 
 J1 

 
 
A23  , b   B2  , u   J 2  .
B 
J 
A33 
 3
 3

Теорема 2.1. Пусть тензор ε  x   C  Q  диагональный, вещественно-
значный и ll  x   1 , x  Q (l  1, 2,3) . Тогда существует N 0 такое, что при
N  N0 решения уравнений (10) существуют и единственны.
Доказательство. Из условий теоремы сразу следует, что матрица

 ε  x   I   C  Q  обратима в Q ,  ε  x   I 1  C  Q  .
Представим матричные коэффициенты (5) в виде
 

ij
ij
ij
ij
 ij kl  I kl x j ,
Akl
 Ckl
 Dkl
, где Ckl


ij
Dkl
  kl k02 GEk x j , y fi  y  dy 

Q

xk
 xl GE  x

l
Q
j

 
, y fi  y  dy  ij I kl x j .
Запишем уравнение (10) в виде
 C N  DN  u  b
ij
ij
и Dkl
соответственс матрицами C N и DN , имеющими коэффициенты Ckl
но. Из утверждения 2.1 следует, что для коэффициентов матрицы DN выполij
 M . Матрица C N является диагональной и, оченяются неравенства Dkl
 
видно, обратима (здесь мы учли, что I ll x j  0, l  1, 2,3. ). Неотрицательны
будут и все элементы диагональной матрицы C N1 . Тогда для нормы обратной
матрицы C N1 верна формула (9). Ясно, что C N1
(здесь символ F  O
*
N 
1
 O*  N  при N  
означает, что существуют не зависящие от N кон-
станты C1  0 и C2  0 такие, что верно неравенство C1 N  F  C2 N ). По-
96
№ 4 (16), 2010
Физико-математические науки. Математика
ij
скольку интегралы, входящие в Dkl
, берутся либо от ограниченных функций,
 
либо от функций, имеющих особенность O r 1 , для нормы будет верна
 
DN 1  O N 2
оценка

1
j
Qj x  y
при
N .
Действительно,
интеграл
dy легко оценить, заменив интегрирование по параллелепипеду Q j
интегралом по описанному около параллелепипеда Q j шару (от той же
функции), и вычислить последний интеграл явно в сферических координатах.
Таким образом, применима лемма 2.1.
Для доказательства теоремы остается заметить, что левая часть неравенства в оценке в лемме 2.1 стремится к 0 быстрее, чем правая часть, поэтому начиная с некоторого N 0 эта оценка будет выполняться и, следовательно,
уравнения (10) будут однозначно разрешимы.
Доказанная теорема 2.1 устанавливает разрешимость конечномерных

уравнений в методе коллокации при некоторых ограничениях на тензор ε ( x) .
Заметим, что эти ограничения выделяют широкий класс диэлектриков, используемых на практике.
3. Вычисление интегралов
Рассмотрим интеграл
I ij 
1
 e
3
i y11  y22  y33 
 h i  j d 
h
 h
sin 1 1 sin 2 2 sin 3 3
.
2
2
2    2
1 2 3
(11)
Мы считаем, что I ij  I ij  y1 , y2 , y3  . Достаточно вычислить интегралы
только двух типов I kl при k  l и I kk для любых конкретных k , l  1, 2,3 ,
значения остальных интегралов можно получить из соображений симметрии.
Далее мы будем работать с интегралами I ij  I ij  0,0,0  , т.е. со значениями
рассматриваемого интеграла в точке коллокации. Легко видеть, что замена
hi : hi 2 , i  1, 2,3 не изменяет I ij  0,0,0  , будем этим пользоваться для сокращения записи.
Рассмотрим I 12 , поскольку подынтегральная функция нечетна по 1
(и по 2 ), то
I 12 
1
 sin  1h1  sin  2h2  sin  3h3  
3
d
3 
2
0.
Отсюда получаем, что I 12  I 21  I 23  I 32  I 13  I 31  0 .
Заметим, что интеграл I 12  y1 , y2 , y3  можно вычислить точно даже
в произвольной точке y .
97
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Еще один интеграл типа I ij , который необходимо вычислить, это
Сначала

I
 sin  2 h2 

 d
1
I 22 
3

 sin  1h1  sin  2h2  sin  3h3   2
1 3
вычислим
2 d 2

2
через
вычеты
интеграл

2
по
.
(12)
2 ,
получим

 e h2 , где   12  32 .
Теперь в оставшемся двойном интеграле используем формулу Эйлера
eix  e ix
и переходим к полярным координатам:
2i
2   sin  . Здесь, учитывая формулу
sin x 
 x

e
0
1   cos  ,
 e x

dx  ln ,
x

(13)
где Re   0 и Re   0 [3, с. 348] и проводя простые преобразования, получаем
2


d
ln
I 

2 
2
2 0 h22 1  tg 2     h1  h3 tg   tg  cos 2 
 2 h 2 1  ctg 2    h  h ctg  2
 1 3
2
1
d
ln

.
2 
2
2
2
2 0 h2 1  ctg     h1  h3 ctg   ctg  sin 2 
22
2
1
h22 1  tg 2    h1  h3 tg  
Теперь в первом интеграле делаем замену t  tg  , а во втором –
t  ctg  , после некоторых преобразований получаем, что
I
22




2
h22 1  t 2   h1  h3t  dt
ln

.
2 0 h22 1  t 2   h1  h3t 2 t
1


В последнем интеграле, раскладывая числитель и знаменатель под знаком логарифма на множители, интегрируя по частям, используя формулу


0
2
 ln     ln  
ln xdx

2    
 x    x   
2
[3,
с.
547]
и
помня
о
том,
ln  1  i  2ik , k  R , получаем
I
98
22

h1h3
h 2  h22
1 

2i 1  k  l  ln 1
 2  l  k  arctg
2
2
2

h2  h3
h2 h12  h22  h32


.


что
№ 4 (16), 2010
Физико-математические науки. Математика
Легко видеть из (12), что Im I 22  0 , отсюда получаем, что 1  k  l  0 .
1
Можно показать, что I 22
 (также см. [1]). Учитывая последнее,
h1  h2  h3 1 3
получаем, что l  k  1 . Отсюда находим, что k  1 , l  0 . Окончательно
имеем
I 22 
2
arctg

h
h1h3
2
2 h1
 h22
 h32
.
Замечание. Интеграл I 22 не отражен в известных справочниках [3, 4].
Теперь можно выписать значения остальных интегралов в точках коллокации, просто циклически переставляя индексы (см. п. 2).
В качестве модельного примера можно рассматривать куб со стороной
h  1 , т.е. h1  h2  h3  1 . Из предыдущих формул получаем
I 11  I 22  I 33 
1
.
3
Поясним кратко, как вычисляется интеграл
I
который есть I 22
1
3

 d
 sin 1 sin 2 sin 3  2
h1  h2  h3 1
1 3

2

1
,
3
. Схема такова: сначала берется через вычеты ин-
теграл по 3 , затем вводятся полярные координаты и используется формула
(13), затем полученный однократный интеграл от тригонометрических функций после некоторых преобразований сводится к интегралам
2

ln 1  p sin x 
0
2

0
ln 1  p cos x 
dx
2 1
2

  arccos p  ;
sin x 8 2
dx
2 1
2

  arccos p  , p 2  1
cos x 8 2
(последние интегралы при p 2  1 приведены в [3]).
Список литературы
1. С а м о х и н , А . Б. Итерационные методы в электромагнитном рассеянии /
А. Б. Самохин. – М. : Радио и связь, 1998.
2. В а л о в и к , Д . В. Метод псевдодифференциальных операторов для исследования объемного сингулярного интегрального уравнения электрического поля /
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 4. – С. 70–84.
3. Г р а д ш т е й н , И . С . Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений /
И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М. : Физматгиз, 1962.
4. П р у дн и к о в , А . П . Интегралы и ряды. Элементарные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. – М. : Наука, 1981. – Т. 1.
99
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Valovik Dmitry Viktorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: dvalovik@mail.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.9, 519.6
Валовик, Д. В.
Метод коллокации для решения уравнения электрического поля /
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 4 (16). –
С. 89–100.
100
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
363 Кб
Теги
решение, уравнения, электрической, метод, коллокациям, поля
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа