close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод оптимальных управлений в решении одной вариационной задачи.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
www.volsu.ru
DOI: https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2016.6.3
УДК 517.53:517.977
ББК 22.161.5
МЕТОД ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В РЕШЕНИИ
ОДНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
Александр Сергеевич Игнатенко
Старший преподаватель кафедры теории функций,
Кубанский государственный университет
alexandr.ignatenko@gmail.com
ул. Ставропольская, 149, 350040 г. Краснодар, Российская Федерация
Борис Ефимович Левицкий
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций,
Кубанский государственный университет
bel@kubsu.ru
ул. Ставропольская, 149, 350040 г. Краснодар, Российская Федерация
© Игнатенко А.С., Левицкий Б.Е., 2016
Аннотация. В работе приводится полное решение вариационной задачи
об отыскании поверхности вращения минимальной площади в специальной
метрике, возникшей при изучении поведения модуля семейства поверхностей,
огибающих препятствия в сферическом кольце. Установлены свойства одного
класса гиперэллиптических интегралов, определяющих оптимальные траектории вариационной задачи.
Ключевые слова: минимальные поверхности, поверхности вращения,
метод оптимальных управлений, оптимальные траектории, гиперэллиптический интеграл.
1. Введение. Постановка вариационной задачи
В работе приводится доказательство анонсированных в [1] результатов решения
вариационной задачи, возникшей при изучении -модуля семейства поверхностей, отделяющих граничные компоненты кольца при переходе к его подсемейству, состоящему из
поверхностей, огибающих принадлежащее кольцу препятствие (континуум).
Рассмотрим семейство плоских кусочно-гладких кривых γ, заданных параметрическим уравнением () = ρ()+ϕ() ,  ∈ [0 , 1 ], лежащих в замкнутом множестве
 = { :  ≤ || ≤ (1 + δ), ϕ ∈ [ϕ0 , ϕ1 ]}, (0 < ϕ0 < ϕ1 ≤ π) и соединяющих
точку (0 ) = (1 + δ)ϕ0 с точкой (1 ) = (1 + δ1 )ϕ1 , 0 ≤ δ1 ≤ δ.
28
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 6 (37)
МАТЕМАТИКА
Площадь поверхности в -мерном евклидовом пространстве  , образованной вра1
щением кривой γ вокруг полярной оси, вычисленная в метрике ||−1
,  ∈  ,  ≥ 3,
выражается формулой
√︁
w 1
(1)
(γ) = ( − 1)−1
sin−2 ϕ() (ϕ′ ())2 + (ρ′ ())2 ,
0
где  — объем -мерного шара единичного радиуса.
Задача состоит в отыскании точной нижней грани функционала (γ) на описанном классе кривых при естественном условии, что рассматриваются лишь кривые, для
′
′
которых в точках дифференцируемости ϕ () ≥ 0 и ρ () ≤ 0.
2. Формулировка задачи на языке оптимальных уравнений
Используя терминологию и обозначения, применяемые в [2], сформулируем эквивалентную задачу оптимального управления при ограниченных фазовых координатах.
Пусть в замкнутом подмножестве
 = { = (1 , 2 ) : ϕ0 ≤ 1 ≤ ϕ1 , ln  ≤ 2 ≤ ln (1 + δ)}
(2)
двумерного евклидова пространства  заданы точки 0 = (ϕ0 , ln (1 + δ)) и 1 =
= (ϕ1 , ln (1 + δ1 )), 0 < ϕ0 < ϕ1 ≤ π. Граница прямоугольника  состоит из отрезков:
ν = { ∈  : 1 = ϕν , ln  ≤ 2 ln (1 + δ)}, ν = 0, 1, 2 = { ∈  : ϕ0 ≤ 1 ≤ ϕ1 , 2 =
= ln } и 3 = { ∈  : ϕ0 ≤ 1 ≤ ϕ1 , 2 = ln (1 + δ)}.
Зададим кусочно-непрерывную функцию
⎧
⎪
ϕ 0 − 1
в окрестности 0 ;
⎪
⎪
⎪
⎨1 − ϕ ,
в окрестности 1 ;
1
() =
(3)
2
⎪
ln

−

,
в
окрестности

;
2
⎪
⎪
⎪
⎩2 − ln (1 + δ), в окрестности  .
3
Заметим, что в окрестности границы множество  может быть задано неравенством () ≤ 0.
В области управления  , состоящей из кусочно-непрерывных, кусочно-гладких
вектор-функций  = (1 , 2 ), определенных на отрезке [0 , 1 ] и таких, что  () ≤ 0, где
{︃
−1 , в окрестности 1 = 0,
 () =
(4)
2 ,
в окрестности 2 = 0,
требуется найти (оптимальное) управление, переводящее фазовую точку из положения
0 в положение 1 вдоль (оптимальной) траектории, лежащей в  и определенной
системой уравнений
⎧ 1

⎪
⎪
⎨
= 1

(5)
2
⎪
⎪
⎩  = 2

так, что функционал
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 6 (37)
29
МАТЕМАТИКА
0 =
w 1
0
 0 (, ),
(6)
√︀
где  0 (, ) = sin−2 1 (1 )2 + (2 )2 принимает наименьшее значение.
Условимся о следующих обозначениях. Область возможных значений (ϕ0 , ϕ1 ) разобьем на четыре подмножества:
1 = {(ϕ0 , ϕ1 ) : 0 < ϕ0 < π2 , ϕ0 < ϕ1 ≤ π2 },
2 = {(ϕ0 , ϕ1 ) : 0 < ϕ0 < π2 , π2 < ϕ1 ≤ π − ϕ0 },
3 = {(ϕ0 , ϕ1 ) : 0 < ϕ0 < π2 , π − ϕ0 < ϕ1 ≤ π},
4 = {(ϕ0 , ϕ1 ) : π2 ≤ ϕ0 < π, ϕ0 < ϕ1 ≤ π}.
Положим

(, ) = √︀
,
(7)
2(−2)
sin
 − 2
w ϕ1
sin−2 ϕν
√︀
ℎν (ϕ0 , ϕ1 ) =
, ν = 0, 1,
(8)
ϕ0
sin2(−2)  − sin2(−2) ϕν
{︃
ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ), если (ϕ0 , ϕ1 ) ∈ 1 ∪ 2 ;
ℎ(ϕ0 , ϕ1 ) =
(9)
ℎ1 (ϕ0 , ϕ1 ), если (ϕ0 , ϕ1 ) ∈ 3 или (ϕ0 , ϕ1 ) ∈ 4 ,
w ϕ1

√︀
,
(10)
ℎ(, ϕ0 , ϕ1 ) =
ϕ0
sin2(−2)  − 2
wπ
sin−2 ϕ0
2
√︀
ℎ(ϕ0 ) =
.
(11)
ϕ0
sin2(−2)  − sin2(−2) ϕ0
Функции ℎν (ϕ0 , ϕ1 ), ν = 0, 1 рассматриваются в областях, определенных в (9), так
как подкоренное выражение sin2(−2)  − sin2(−2) ϕν в них принимает неотрицательные
значения, и несобственные интегралы сходятся.
Отметим некоторые полезные в дальнейшем свойства специальных функций, определенных равенствами (8)–(11).
Лемма 1. Имеют место следующие соотношения и свойства:
1. Для любого ϕ0 ∈ (0, π)
{︃
2ℎ(π − ϕ1 ) − ℎ0 (π − ϕ1 , ϕ0 ), если ϕ0 ∈ (0, π2 ),
ℎ1 (ϕ0 , ϕ1 ) =
(12)
ℎ0 (π − ϕ1 , π − ϕ0 ),
если ϕ0 ∈ [ π2 , π).
2. Если 0 < ϕ0 < ϕ1 < π2 , то
lim ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ) =
ϕ0 →0+
lim
ϕ0 →ϕ1 −0
ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ) = 0
(13)
и
ℎ* (ϕ1 ) = sup ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ) = ℎ0 (ϕ*0 , ϕ1 ),
(14)
ϕ0
где ϕ*0 = ϕ*0 (ϕ1 ) является корнем уравнения
w ϕ1
ϕ*0
30

cos2
√︁
2(−2)
 sin
 − sin
2(−2)
ϕ*0
tg ϕ1
= √︁
2(−2)
sin
ϕ1 − sin
.
2(−2)
(15)
ϕ*0
А.С. Игнатенко, Б.Е. Левицкий. Метод оптимальных управлений
МАТЕМАТИКА
3. ℎ(ϕ0 ) возрастает на интервале (0, π2 ) и
π
π
ℎ* ( ) = sup ℎ(ϕ0 ) = Δ = √
.
2
2 −2
ϕ0
(16)
4. ℎ1 (ϕ0 , ϕ1 ) убывает как функция ϕ1 на интервале ϕ1 ∈ (π − ϕ0 , π) при фиксированном ϕ0 ∈ (0, π2 ), причем
{︃
ℎ̃(ϕ0 ) = sup ℎ1 (ϕ0 , ϕ1 ) =
ϕ1
2ℎ(ϕ0 ),
если ϕ0 ∈ (0, π2 ),
ℎ* (π − ϕ0 ), если ϕ0 ∈ [ π2 , π).
(17)
5. Функция ℎ(, ϕ0 , ϕ1 ) монотонно возрастает по переменной  на промежутке
(0, min(sin−2 ϕ0 , sin−2 ϕ1 )), причем sup ℎ() = ℎ(ϕ0 , ϕ1 ).

Доказательство. Первое свойство следует из симметричности значений функции
(, sin−2 α) для α ∈ (0, π2 ) и α ∈ ( π2 , π).
Для изучения поведения функции ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ) осуществим в интеграле (8) замену
sin 
переменной по формуле  = sin
. Полагая  = (ϕ0 ) = sin1ϕ0 , получаем
ϕ0
w  sin ϕ1
ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ) = ℎ̃(, ϕ1 ) =
1

.
( 2(−2) − 1)(2 −  2 )
(18)
√︀
В частности, ℎ(ϕ0 ) = ℎ̃(, π2 ) = ℎ̃().
Еще одна замена переменной  = 1 + ( sin ϕ1 − 1) sin2 ϕ позволяет представить эту
функцию в виде собственного интеграла от непрерывно дифференцируемой по параметру
 функции
√
2  sin ϕ1 − 1 cos ψ
2(−2)
∑︀
=1
˜ ψ, , ϕ1 ) =
(
(︀
)︃− 1
(︃
2

2(−2)
( sin ϕ1
− 1)
−1
2(−1)
sin
ψ
(︀
)︀
)︀ 1
cos2 ψ (2 − 1) + ( − 1) sin2 ψ + 1 − sin ϕ1 + cos2 ϕ1 2
.
Поскольку lim ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ) = 0 и
ϕ0 →0+
lim
ϕ0 →ϕ1 −0
=
то при ϕ1 <
π
2
w
π
2
0
ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ) =
{︃
˜ ψ, , ϕ1 )ψ =
lim1 (
→ sin ϕ
1
lim ℎ̃(, ϕ1 ) =
→ sin1ϕ
1
если ϕ1 < π2 ,
√π
, если ϕ1 = π2 ,
2 −2
0,
непрерывно дифференцируемая функция ℎ̃(, ϕ1 ) достигает своего мак-
симума в точке * = * (ϕ1 ) ∈ (0, ϕ1 ), для которой
уравнения
w  sin ϕ1
1
2 
√︀
 2(−2) − 1 (2 −  2 )
3
2
 ℎ̃ *
( , ϕ1 )

= √︀
= 0, то есть * — корень
 ϕ1
.
( sin ϕ1 )2(−2) − 1
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 6 (37)
(19)
31
МАТЕМАТИКА
Отсюда следует, что sup ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ) = ℎ0 (ϕ*0 , ϕ1 ) = ℎ* (ϕ1 ), где ϕ*0 является корнем
ϕ0
π
′
уравнения (15). Далее, так как ℎ̃ () =
r2
0
˜

(ψ, , π2 )ψ

< 0, то ℎ̃() убывает, а значит
ℎ(ϕ0 ) возрастает на интервале (0, π2 ). Для ϕ0 ∈ (0, π2 ) и ϕ1 ∈ (π − ϕ0 , π), учитывая
π
r2
2 (, sin−2 ϕ1 ) ≡ 2ℎ(sin−2 ϕ1 , ϕ0 , π2 ), имеем
ϕ0
ℎ1 (ϕ0 , ϕ1 ) = 2
w
Из того, что
π
2
ϕ0
(, sin−2 ϕ1 ) + ℎ0 (π − ϕ1 , ϕ0 ) = 2ℎ(π − ϕ1 ) − ℎ0 (π − ϕ1 , ϕ0 ).
ℎ1
( ϕ0 , ϕ1 )
 ϕ1
<0и
lim
ϕ1 →π−ϕ0
ℎ1 (ϕ0 , ϕ1 ) = 2ℎ(ϕ0 ) вытекают свойства 3 и
4. Свойство 5 доказывается аналогично.
Замечание 4. Функция ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ) = ℎ̃(, ϕ1 ) =
r  sin ϕ1
1
√

( 2(−2) −1)(2 − 2 )
представляет
собой класс гиперэллиптических интегралов, определяющих оптимальные траектории
вариационной задачи.
3. Решение вариационной задачи
Дадим полное описание оптимальных траекторий рассматриваемой задачи. Определим
Δ1 (δ, ϕ0 , ϕ1 ) = (1 + δ)−ℎ(ϕ0 ,ϕ1 ) − 1;
Δ1 (δ, ϕ0 ) = (1 + δ)−ℎ̃(ϕ0 ) − 1;
Δ(ϕ0 , ϕ1 ) = ℎ(ϕ0 ,ϕ1 ) − 1;
Δ(ϕ0 ) = ℎ̃(ϕ0 ) − 1.
Теорема 1. В задаче оптимального управления (2)–(6) оптимальными могут быть
лишь следующие траектории:
1. Граничная траектория γ0 , состоящая из отрезков
{(1 , 2 ) : ϕ0 ≤ 1 ≤ ϕ1 ; 2 = ln (1 + δ)} и
{(1 , 2 ) : 1 = ϕ1 ; ln (1 + δ1 ) ≤ 2 ≤ ln (1 + δ)}.
2. При δ1 ∈ [0, Δ1 (δ, ϕ0 , ϕ1 )) имеем:
2.1 в случае (ϕ0 , ϕ1 ) ∈ 1 ∪ 2 оптимальной «внутренней» может быть лишь
траектория γ1 , состоящая из кривой γ1 (ϕ0 , ϕ1 ):
{︃
rϕ
2 () =  1 (, sin−2 ϕ0 ) + ln (1 + δ1 ),
(20)
1 () =  ∈ [ϕ0 , ϕ1 ]
и отрезка
{(1 , 2 ) : 1 = ϕ0 ; ln (1 + δ1 ) + ℎ0 (ϕ0 , ϕ1 ) ≤ 2 ≤ ln (1 + δ)};
(21)
2.2 в частности, если ϕ1 = π − ϕ0 , то оптимальной может быть любая траектория γ̃1 , состоящая из кривой γ̃1 (ϕ0 , δ′ , δ′1 ):
{︃
r π−ϕ
2 () =  0 (, sin−2 ϕ0 ) + ln (1 + δ′1 ),
(22)
1 () =  ∈ [ϕ0 , π − ϕ0 ]
32
А.С. Игнатенко, Б.Е. Левицкий. Метод оптимальных управлений
МАТЕМАТИКА
и двух отрезков
{(1 , 2 ) : 1 = ϕ0 ; ln (1 + δ′ ) ≤ 2 ≤ ln (1 + δ)},
{(1 , 2 ) : 1 = π − ϕ0 ; ln (1 + δ1 ) ≤ 2 ≤ ln (1 + δ′1 )},
(23)
где δ1 ≤ δ′1 < δ′ ≤ δ связаны соотношением
ln
1 + δ′
= 2ℎ(ϕ0 );
1 + δ′1
(24)
2.3 в случае (ϕ0 , ϕ1 ) ∈ 3 или (ϕ0 , ϕ1 ) ∈ 4 оптимальной «внутренней» может
быть лишь траектория γ2 , состоящая из кривой γ2 (ϕ0 , ϕ1 ):
{︃
rϕ
2 () =  1 (, sin−2 ϕ1 ) + ln (1 + Δ1 (δ, ϕ0 , ϕ1 )),
(25)
1 () =  ∈ [ϕ0 , ϕ1 ]
и отрезка
{(1 , 2 ) : 1 = ϕ1 ; ln (1 + δ1 ) ≤ 2 ≤ ln (1 + Δ1 (δ, ϕ0 , ϕ1 ))}.
(26)
3. При δ1 ≥ max(0, Δ1 (δ, ϕ0 , ϕ1 )) имеем:
3.1 в случае δ1 > 0 оптимальной «внутренней» может быть лишь траектория
γ3 (ϕ0 , ϕ1 ):
{︃
rϕ
2 () =  1 (, ) + ln (1 + δ1 ),
(27)
1 () =  ∈ [ϕ0 , ϕ1 ],
где  является единственным корнем уравнения
1+δ
= ℎ(, ϕ0 , ϕ1 );
(28)
1 + δ1
3.2 в случае δ1 = 0 оптимальной «внутренней» может быть лишь траектория
γ̃3 , состоящая из кривой γ̃3 (ϕ0 ):
{︃
r ϕ′
2 () =  1 (, sin−2 ϕ′1 ) + ln ,
(29)
1 () =  ∈ [ϕ0 , ϕ′1 ],
ln
где ϕ′1 является принадлежащим промежутку (ϕ0 , ϕ1 ) корнем уравнения
ln(1 + δ) =
w ϕ′1
ϕ0
(, sin−2 ϕ′1 ),
(30)
и отрезка {(1 , 2 ) : ϕ′1 ≤ 1 ≤ ϕ1 ; 2 = ln }.
Доказательство. В силу принципа максимума Л.С. Понтрягина для оптимальности
управления () и траектории () на участке  ∈ [τ0 , τ1 ] целиком, кроме концов ′0 =
= (ϕ0 , ln (1+ δ′ )), ′1 = (ϕ′1 , ln (1+ δ′1 )), лежащем в открытом множестве  , необходимо существование ненулевой непрерывной вектор-функции ψ() = (ψ1 (), ψ2 ()), такой
что
√︁
{︃
0
 ψ1
−3 1
1
= 1 = ( − 2) sin
 cos  (1 )2 + (2 )2

(31)
 ψ2
=
0

ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 6 (37)
33
МАТЕМАТИКА
и функция
(ψ, , ) = − 0 (, ) + ψ1 1 + ψ2 2
(32)
достигает в точке () максимума, причем
(ψ(), (), ()) = 0.
(33)
Таким образом, если () — оптимальное управление, то
⎧
−2 1
1

√ sin2  2 + ψ1 = 0,
⎨ 
1 = −
1
2
( ) +( )
2 sin−2 1

⎩ 
√
2 = −
(1 )2 +(2 )2
+ ψ2 = 0,
(34)
откуда следует, что
⎧
−2 1
1
⎨ψ1 = √ sin
,
1 2
2 2
( ) +( )
2 sin−2 1
⎩ψ2 = √
(1 )2 +(2 )2
= ,
(35)
причем sign() = sign(2 ).
Замечая, что
{︃
ψ1 =
1
,
2
−2
1
sign( ) sin
если  ̸= 0,
если  = 0,
1
,
в силу (35) находим, что либо 2 = 0 (если  = 0), либо (если  ̸= 0) 2 ̸= 0 и
|1 |
1
=
2


√︁
sin2(−2) 1 − 2 .
(36)
В первом случае 2 = const, то есть для  ∈ [τ0 , τ1 ] 2 () = ln (1 + δ′ ) = ln (1 + δ′1 )
и δ = δ′1 .
Во втором случае либо 1 = 0 и тогда − = sin−2 ϕ0 ≡ sin−2 1 , ϕ′1 = ϕ0 , либо
(если 1 ̸= 0)  = − < 0 и
′
2
= (1 , ).
1

(37)
Это означает, что оптимальная траектория может быть задана в явном виде 2 =
= 2 (1 ) при любом допустимом управлении 1 , то есть в этом случае можно полагать
1 = 1 и 1 () = , где  ∈ [τ0 , τ1 ], τ0 = ϕ0 < τ1 = ϕ′1 ≤ π. Тогда на этом участке
(оптимальная) траектория, соответствующая управлению  = (1, −(, )), имеет вид
{︃
r ϕ′
2 () =  1 (, ) + ln (1 + δ′1 ),
(38)
1 () =  ∈ [ϕ0 , ϕ′1 ],
где значение  определяется из условия
w ϕ′1
ϕ0
34
(, ) = ln
1 + δ′
.
1 + δ′1
(39)
А.С. Игнатенко, Б.Е. Левицкий. Метод оптимальных управлений
МАТЕМАТИКА
Из (38) и (39) следует, что ни один из кусков оптимальных траекторий, лежащих
внутри  , не может начинаться и заканчиваться на одном и том же отрезке границы.
Для проверки условий скачка в точке стыка  = τ0 = ϕ0 заметим, что grad(()) =
= (−1, 0) в окрестности отрезка 0 , grad( ()) = (−1, 0) в окрестности управления
1 = 0 и (, ) = (grad(()), ) = −1 в окрестности отрезка 0 , причем (, ) ≡ 0
на 0 .
В соответствии с граничным принципом максимума [2] существует непрерывная
вектор-функция ψ = (ψ1 (), ψ2 ()) и кусочно-непрерывная кусочно-гладкая функция
λ() (τ0 ≤  ≤ 0 ) такие, что для  0 (, ) = − sin−2 ϕ0 · 2 имеем
{︃
(,)
ψ1

= − 
= 0,
1 + λ() 1

ψ2
= 0,

и функция (32) достигает в точке  = (0, 2 ) условного максимума. Отсюда следует, что
{︃
ψ1 = −λ − ν,
sin−2 ϕ0 + ψ2 = 0,
причем sin−2 ϕ0 · 2 () + ψ2 () · 2 () = 0.
Таким образом, ψ2 () = − sin−2 ϕ0 .
Поскольку вектор ψ(τ0 ) ̸= 0 и касается границы 0 в точке (τ0 ), то
(ψ(τ0 ), grad(((τ0 ))) = −(λ + ν) = 0,
а значит ψ1 = 0. Так как оптимальная траектория на 0 определяется однозначно и
представляет собой отрезок {(1 , 2 ) : 1 = ϕ0 , ln (1 + δ′ ) ≤ 2 ≤ ln (1 + δ)}, то оптимальным является любое управление, соответствующее его допустимой параметризации,
1+δ
например, 2 () = −1, 2 () = − + 0 , где 0 = ϕ0 + ln (1 + δ′ ) и 0 = ϕ0 − ln 1+
.
δ′
Условия скачка в точке стыка  = ϕ0 состоят в выполнении одного из равенств [2]:
ψ+ (ϕ0 ) = ψ− (ϕ0 )
(40)
ψ− (ϕ0 ) + µ grad(((ϕ0 ))) = 0, µ ̸= 0.
(41)
или
Если на участке [τ0 , τ1 ] = [ϕ0 , ϕ′1 ] оптимальное управление () = (1, 0), то из (35)
−2
−2
следует, что ψ+
ϕ0 , ψ+
ϕ0 = 0,
1 (ϕ0 ) = sin
2 (ϕ0 ) = 0, и условие (40) имеет вид sin
то есть не выполняется, если 0 < ϕ0 < π.
Условие (41) записывается в виде
{︃
0 + µ · 1 = 0,
− sin−2 ϕ0 + µ · 0 = 0,
то есть не выполняется для внутренних точек 0 .
Таким образом, оптимальной на участке [τ0 , τ1 ] может быть либо граничная траектория
{(1 , 2 ) : ϕ0 ≤ 1 ≤ ϕ′1 , 2 = ln (1 + δ)} ⊂ 3 ,
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 6 (37)
(42)
35
МАТЕМАТИКА
либо траектория (38), соответствующая (оптимальному) управлению ()
√︀ = (1, −(, )),
+
где  определяется из соотношения (39). В√︀этом случае ψ1 (ϕ0 ) = sin2(−2) ϕ0 − 2 ,
ψ+
sin2(−2) ϕ0 − 2 = 0, − = − sin−2 ϕ0 , то
2 (ϕ0 ) = −, и уравнения (40) имеют вид
−2
есть выполняются только если  = sin
ϕ0 . Уравнения (41) не могут быть выполнены.
π
Если 0 < ϕ0 < 2 , то из (38) следует, что оптимальная траектория может иметь точку
стыка на отрезке 0 , только если ϕ′1 ≤ π − ϕ0 .
Рассмотрим случай, когда τ0 = 0 = ϕ0 , τ1 = ϕ′1 , δ′ = δ′1 = δ и (оптимальная) траектория начинается с отрезка (42). Предположим, что при  ∈ [τ1 , τ2 ] участок оптимальной траектории лежит внутри  и соединяет точки (ϕ′1 , ln (1 + δ)) и (ϕ′′1 , ln (1 + δ′′1 )).
Из приведенных выше рассуждений следует, что либо ϕ′′1 = ϕ′1 и траектория, соответствующая (оптимальному) управлению () = (0, 2 ), представляет собой отрезок
{(1 , 2 ) : 1 = ϕ′1 , ln (1 + δ′′1 ) ≤ 2 ≤ ln (1 + δ)},
либо ϕ′′1 ̸= ϕ′1 и управление  = (1, −(, )) определяет (оптимальную) траекторию
{︃
r ϕ′′
2 () =  1 (, ) + ln (1 + δ′′1 ),
1 () =  ∈ [ϕ′1 , τ2 = ϕ′′1 ],
причем значение  удовлетворяет уравнению
w ϕ′′1
ϕ′1
(, ) = ln
1+δ
.
1 + δ′′1
Непосредственная проверка условий (40) и (41) в точке стыка τ1 = ϕ′1 в обоих
случаях показывает, что эти условия не могут быть выполнены, то есть граничная траектория, лежащая в 3 , не может иметь точки стыка с траекторией, принадлежащей  .
Таким образом, точка τ1 = ϕ′1 может быть точкой стыка оптимальной траектории,
только если ϕ′1 = ϕ1 , то есть отрезок 3 стыкуется с отрезком 1 , и получаем граничную
траекторию γ0 .
(︀
)︀
Предположим теперь, что ϕ0 ∈ 0, π2 . Пусть ϕ′1 ≤ π − ϕ0 и оптимальная траектория
имеет точку стыка на 0 , то есть ее часть, лежащая в  , задается уравнением
{︃
r ϕ′
2 () =  1 (, sin−2 ϕ0 ) + ln (1 + δ′1 ),
1 () =  ∈ (ϕ0 , ϕ′1 ),
причем
w ϕ′1
ϕ0
(, sin−2 ϕ0 ) = ln
1 + δ′
.
1 + δ′1
Поскольку оптимальная траектория не может иметь изломов внутри области  (не
выполняются условия Вейерштрасса — Эрдмана, эквивалентные соотношениям (40)), то
либо ϕ′1 = ϕ1 и δ′1 ∈ [δ1 , δ′ ), либо δ′1 = 0, то есть либо конец траектории принадлежит
отрезку 1 , либо отрезку 2 .
Проверка условий скачка в точке τ1 = ϕ′1 = ϕ1 показывает, что условие (40)
выполняется, только если sin−2 ϕ1 = sin−2 ϕ0 , то есть ϕ1 = π − ϕ0 . При этом δ′
и δ′1 связаны соотношением (24), которое может быть выполнено только если δ1 ∈
∈ [0, Δ1 (δ′ , ϕ0 )]. В этом случае δ′ должно быть не меньше, чем Δ(ϕ0 ). При выполнении
36
А.С. Игнатенко, Б.Е. Левицкий. Метод оптимальных управлений
МАТЕМАТИКА
этих условий оптимальной может быть любая траектория γ̃1 , заданная уравнениями
(22), (23) и соотношением (24).
В случае δ′1 = 0 проверка выполнения условий скачка показывает, что условие (40)
не выполняется, а (41) может быть выполнено, только если ϕ′1 = π − ϕ0 .
Таким образом, при δ1 ∈ [0, Δ1 (δ′ , ϕ0 )] (δ′ ≥ Δ(ϕ0 )) точкой стыка на 2 может
быть только точка (π − ϕ0 , ln ), что соответствует значениям δ1 = 0 и δ′ = Δ(ϕ0 ).
Утверждение 2.2 теоремы установлено.
Заметим, что оптимальная траектория может иметь две точки стыка на отрезках
0 и 1 , только если ϕ1 = π − ϕ0 и δ1 ∈ (0, Δ1 (δ, ϕ0 )). Следовательно, при δ ≤ Δ(ϕ0 )
точки стыка на 0 не может быть.
Рассмотрим случай ϕ0 ∈ (0, π2 ) и ϕ1 < π − ϕ0 . Предположим, что оптимальная
траектория имеет точку стыка на 0 , но не имеет точки стыка на 1 . Тогда ее часть,
лежащая в  , задается уравнениями
{︃
rϕ
2 () =  1 (, sin−2 ϕ0 ) + ln (1 + δ1 ),
1 () =  ∈ [ϕ0 , ϕ1 ],
причем
w ϕ1
ϕ0
(, sin
−2
1 + δ′
ϕ0 ) = ln
,
1 + δ1
откуда следует, что δ′ = (1 + δ1 )ℎ0 (ϕ0 ,ϕ1 ) − 1 и оптимальной является траектория γ1 .
Это возможно, только если 0 ≤ δ1 ≤ δ′ < δ, то есть для δ1 ∈ [0, Δ1 (δ, ϕ0 , ϕ1 )). Таким
образом, установлено утверждение 1.1.
Если (ϕ0 , ϕ1 ) ∈ 3 или (ϕ0 , ϕ1 ) ∈ 4 , то точки стыка на 0 не может быть.
Выясним, при каких условиях оптимальная траектория может иметь точку стыка на 1 .
Из (38) и (39) следует, что оптимальная траектория имеет вид
{︃
rϕ
2 () =  1 (, ) + ln (1 + δ′1 ),
1 () =  ∈ [ϕ0 , ϕ1 ],
где значение  определяется из условия
w ϕ1
ϕ0
(, ) = ln
1+δ
.
1 + δ′1
Проверка условий скачка в точке стыка  = ϕ1 показывает, что уравнения (40)
могут быть выполнены, только если  = sin−2 ϕ1 , а уравнения (41) не выполняются.
Таким образом, оптимальной траекторией, имеющей точку стыка на 2 , может быть
лишь траектория γ2 . При этом δ′1 = Δ1 (δ, ϕ0 , ϕ1 ), что возможно только если δ′1 ∈
∈ [0, Δ1 (δ, ϕ0 , ϕ1 )).
Остается рассмотреть случай δ1 ≥ max(0, Δ1 (δ, ϕ0 , ϕ1 )). При таком условии точек
стыка на 0 и 1 не может быть.
Если δ1 > 0, то оптимальной траекторией может быть лишь траектория γ3 =
= γ3 (ϕ0 , ϕ1 ). В силу свойства 5 из леммы 1 уравнение (28) имеет единственное решение
при любом таком δ1 .
Если δ1 = 0, то оптимальная траектория может иметь точку стыка ′1 = (ϕ′1 , ln ) ∈
∈ 2 . В этом случае она состоит из кривой
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 6 (37)
37
МАТЕМАТИКА
{︃
r ϕ′
2 () =  1 (, ),
1 () =  ∈ [ϕ0 , ϕ′1 ]
и отрезка
{(1 , 2 ) : ϕ′1 ≤ 1 ≤ ϕ1 , 2 = ln } ∈ 2 .
Проверяя условия скачка в точке  = ϕ′1 , находим, что условие (40) выполняется,
только если  = sin−2 ϕ′1 . Поскольку
w ϕ′1
ϕ0
(, sin−2 ϕ′1 ) = ln(1 + δ),
то значение ϕ′1 является принадлежащим промежутку (ϕ0 , ϕ1 ) корнем уравнения. Теорема доказана.
4. Сравнение и оценки площадей минимальных поверхностей,
образованных вращением оптимальных траекторий
Вычислим значения функционала (γ) для кривых, являющихся оптимальными
траекториями рассматриваемой вариационной задачи.
Лемма 2. В условиях и[︁ обозначениях теоремы 1:
]︁
rϕ
1+δ
1. (γ0 ) = ( − 1)−1 ϕ01 sin−2  + sin−2 ϕ1 · ln 1+
;
δ1
[︁r √︀
]︁
ϕ
1+δ
2. (γ1 ) = ( − 1)−1 ϕ01 sin2(−2)  − sin2(−2) ϕ0  + sin−2 ϕ0 · ln 1+
;
δ1
]︁
[︁ r π √︀
2(−2)
2(−2)
−2
1+δ
2
3. (γ̃1 ) = ( − 1)−1 2 ϕ0 sin
 − sin
ϕ0  + sin
ϕ0 · ln 1+δ1 ;
[︁r √︀
]︁
ϕ1
1+δ
4. (γ2 ) = ( − 1)−1 ϕ0 sin2(−2)  − sin2(−2) ϕ1  + sin−2 ϕ1 · ln 1+
;
δ1
]︁
[︁r √︀
ϕ
1+δ
;
5. (γ3 ) = ( − 1)−1 ϕ01 sin2(−2)  − 2  +  · ln 1+
δ1
6. (γ2 ) =
= ( − 1)−1
[︂
r ϕ′1 √︁
ϕ0
2(−2)
sin
2(−2)
 − sin
ϕ′1 
+ sin
−2
ϕ′1
· ln(1 + δ) +
r ϕ1
ϕ′1
−2
sin
]︂
 .
Сравнение значений площадей оптимальных траекторий показывает, что для ϕ1 <
< π граничная траектория γ0 не может быть оптимальной.
Теорема 2. В задаче оптимального управления (2)–(6) в случае ϕ1 < π оптимальными при соответствующих (см. теорему 1) значениях ϕ0 , ϕ1 и δ1 являются траектории γ1 , γ̃1 , γ2 , γ3 и γ̃3 .
Доказательство следует из проверки достаточных признаков экстремальности для
указанных траекторий.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Игнатенко, А.␣С. Метод оптимальных управлений в решении вариационной задачи для модулей семейств поверхностей, огибающих препятствие в сферическом кольце
/ А.␣С. Игнатенко, Б.␣Е. Левицкий // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. — 2002. —
Т. 13. — C. 64–70.
2. Понтрягин, Л.␣С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.␣С. Понтрягин, В.␣Г. Болтянский. — М. : Наука, 1983. — 393 c.
38
А.С. Игнатенко, Б.Е. Левицкий. Метод оптимальных управлений
МАТЕМАТИКА
REFERENCES
1. Ignatеnko A.S., Lеvitskiy B.E. Mеtod optimalnykh upravlеniy v rеshеnii variatsionnoy
zadachi dlya modulеy sеmеystv povеrkhnostеy, ogibayushchikh prеpyatstviе v sfеrichеskom
koltsе [Method of Optimal Control in the Solution of the Variational Problem for the Modules
of Families of the Surfaces That Bend Around Obstacles in a Spherical Ring]. Tr. mat. tsеntra
im. N.I. Lobachеvskogo, 2002, vol. 13, pp. 64-70.
2. Pontryagin L.S., Boltyanskiy V.G. Matеmatichеskaya tеoriya optimalnykh protsеssov
[The Mathematical Theory of Optimal Processes]. Moscow, Nauka Publ., 1983. 393 p.
METHOD OF THE OPTIMAL CONTROL IN THE SOLUTION
OF A VARIATIONAL PROBLEM
Alexander Sеrgееvich Ignatеnko
Senior Lecturer, Department of Function Theory,
Kuban State University
alexandr.ignatenko@gmail.com
Stavropolskaya St., 149, 350040 Krasnodar, Russian Federation
Boris Efimovich Levitskii
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,
Department of Function Theory,
Kuban State University
bel@kubsu.ru
Stavropolskaya St., 149, 350040 Krasnodar, Russian Federation
Abstract. The paper provides a complete solution for the variational problem
of finding a revolution surface of minimum area in the metric ||−+1 , corresponding extreme metric for -module of family of surfaces that separate boundary
components of a spherical ring.
The surface area in the -dimensional Euclidean space  , defined by the
1
,
rotation of the curve γ around the polar axis, calculated in the metric ||−1

 ∈  ,  ≥ 3, expressed by the formula
√︁
w 1
(γ) = ( − 1)−1
sin−2 ϕ() (ϕ′ ())2 + (ρ′ ())2 ,
0
where  is a volume of -dimensional sphere of radius 1, γ is the curve of
the family of planar piecewise-smooth curves, given by the parametric equation
() = ρ()+ϕ() ,  ∈ [0 , 1 ], is lying in the closed set  = { :  ≤ || ≤
≤ (1 + δ), ϕ ∈ [ϕ0 , ϕ1 ]}, (0 < ϕ0 < ϕ1 ≤ π) and is connecting the point
(0 ) = (1 + δ)ϕ0 and the point (1 ) = (1 + δ1 )ϕ1 , 0 ≤ δ1 ≤ δ.
The problem is to find the infimum of the functional (γ) in the described
class of curves with natural condition that we consider only curves for which in
′
′
the points of differentiability ϕ () ≥ 0 and ρ () ≤ 0. The method of optimal
controls by L. Pontryagin [2] is applied for search for optimal trajectories. The
properties of the hyperelliptic integral of a special type, arising in the solution of
the variational problem, were investigated.
Key words: minimal surfaces, surface of revolution, method of the optimal
control, optimal trajectories, hyperelliptic integral.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 6 (37)
39
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
384 Кб
Теги
оптимальное, решение, метод, одной, вариационных, управления, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа