close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод оценки вероятностей больших выбросов случайных процессов.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
ЗАПИСКИ
Том XXXIV
ЦАГИ
2003
№ 3—4
УДК 519.2
МЕТОД ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬШИХ ВЫБРОСОВ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В. П. КУЗЬМИН
Предложен приближенный метод оценки вероятностей первых пересечений
случайным процессом высоких уровней. Метод основан на определении среднего числа всех
пересечений в единицу времени и среднего числа пересечений в серии. Предложена
численная процедура моделирования случайных реализаций в окрестности точки
пересечения
уровня
и выделения среди них реализаций, соответствующих первым пересечениям. Предложено
несколько вариантов численных методов, применимых к гауссовским случайным процессам
с заданной корреляционной функцией.
1. Постановка задачи и методика оценки вероятности. Рассматривается задача об оценке
вероятности первого достижения случайным процессом x ( t ) заданного уровня x0 за время t.
Будем считать, что уровень x0 достаточно высок, так что среднее время достижения такого
уровня значительно превосходит время корреляции для данного процесса, которое может,
например, определяться формулой [1]:
∞
K x ( τ)
∫ K x ( 0 ) d τ,
=
τкор
0
где K x (τ ) — корреляционная функция случайного процесса.
Считается, что начальные условия находятся достаточно далеко от заданного уровня.
В этом случае вероятность достижения заданного уровня за время t представляется в виде [1], [2]
P (t ) ≈ 1 − e−µ t
и задача сводится к определению параметра µ , который связан со средним временем достижения
1
уровня M [t1 ] = и равен среднему числу первых пересечений в единицу времени.
µ
В ряде случаев не трудно определить среднее число всех пересечений в единицу времени по
формуле [1], [2]:
∞
N0 =
∫ f ( x0 , y ) ydy,
(1)
0
109
dx
— производная случайной величины x ( t ) , f ( x, y ) — совместная плотность
dt
распределения величин x и y. Распределение производной в момент пересечения определяется
соотношением:
где y =
f1 ( y ) = ∞
f ( x0 , y ) y
.
∫ f ( x0 , y ) ydy
0
В случае стационарного гауссовского процесса из формулы (1) получаем [1], [2]:
=
N0
 ( x − m )2 
exp  − 0 2 x  ,
2πσ x


2σ x
σy
где mx = M [ x ] — среднее значение переменной x ( t ) , σ x и σ y — средние квадратические
отклонения переменной x ( t ) и ее производной.
Производная в момент пересечения будет иметь распределение Релея
=
f1 ( y )
 y2
−
exp
 2σ2y
σ2y

y

.


(2)
Пересечения, соответствующие одной реализации, будем называть серией [1], тогда среднее
число всех пересечений N 0 и среднее число первых пересечений (реализаций) µ связаны
соотношением
µ=
N0
,
n*
(3)
где n* — среднее число пересечений в одной серии.
В работе [3] предложен способ определения среднего числа пересечений в серии,
основанный на подсчете числа пересечений для нестационарного процесса, начинающегося от
момента первого пересечения, и получено соотношение для определения величины n*
∞
n* =1 + n =1 +
∫ ( N ( t ) − N0 ) dt ,
(4)
0
где N ( t ) — среднее число пересечений в единицу времени для нестационарного случайного
процесса, начинающегося от момента первого пересечения; n — среднее число пересечений за
первым пересечением.
Если нестационарный процесс является гауссовским, то среднее число пересечений с
положительной производной определяется соотношением [2], [3]:
N (=
t)
где
110
 1  x − m (t )  2 
1 σ y (t )
x
1 − rxy2 exp −  0
  f (M+ ),
σ
t
2π σ x (t )
2
(
x )
 
 
(5)
1
f ( M +=
M + (t ) ] , M +
) exp  − M +2  + 2π M + Φ [=
 2

=
Φ ( x)
x
(
1
1 − rxy2
 m y (t ) x0 − mx (t ) 
+
rxy  ,

σ y (t )
 σ y (t )

)
1
exp −u 2 2 du — функция Лапласа.
2π −∞
∫
Для недифференцируемого процесса бесконечно большими оказываются как среднее число
всех пересечений в единицу времени, так и среднее число пересечений в одной серии. В этом
случае значение параметра µ находится как предел при стремлении к нулю интервала
корреляции и для гауссовского процесса определяется формулой [3]:
 ( x − m )2 
exp  − 0 2 x 


2σ x

,
µ=
nt
где параметр nt определяется интегралом
∞
 ( x − m (t ) )2 
 ( x − m )2  
 σx
x
x
0
 − exp  − 0
  dt.
=
nt
exp  −

2
2
σ
(
t
)




σ
σ
2
(
t
)
2
x

x
x
0



 
∫
(6)
Таким образом, решение задачи определения параметра µ сводится к интегрированию,
если известно изменение по времени условных моментов распределения для нестационарного
процесса, следующего за первым пересечением.
Основная сложность в использовании предложенного способа заключается в
необходимости выделения из всех пересечений первых в данной серии [3]. В данной работе
предложен простой способ моделирования всех пересечений (случайных реализаций,
пересекающих заданный уровень) и выделения среди них первых пересечений.
2. Определение условных моментов случайного процесса, пересекающего заданный
уровень. Будем рассматривать случайные процессы, которые вне интервала установления
(t 
)
τкор , связанного с начальными условиями, являются стационарными и гауссовскими.
Рассмотрим все реализации, пересекающие заданный уровень, от момента пересечения как
функции интервала времени ∆t = t − t0 , где t0 — момент пересечения. Совокупность таких
реализаций образует нестационарный случайный процесс, поскольку для него x(∆t = 0) = x0 и,
следовательно, D [ x(0) ] = 0 , а при больших значениях ∆t этот случайный процесс практически
не отличается от исходного. Определим вначале в общем случае соотношения, которым
удовлетворяют моменты нестационарного процесса с заданными условиями пересечения уровня.
Пусть исходный стационарный случайный процесс со спектральной плотностью S (ω) задан
рядом Фурье
=
x(t )
∑ Ai ( ξi cos ωit + ςi sin ωit ),
(7)
( )
где Ai2 = S ω i d ω, ξ i и ς i — независимые стандартные (с нулевым средним и единичной
дисперсией) гауссовские случайные величины. Число членов ряда может быть любым, в том
числе и бесконечным.
Отметим, что в общем случае стационарный случайный процесс задается стохастическим
интегралом [6]. Запись в виде ряда (7) связана с тем, что полученные далее формулы
используются для численных расчетов, где число членов ряда всегда конечно, а вывод формул
111
основан на свойствах скалярного произведения, которые сохраняются при переходе от сумм к
соответствующим им интегралам.
Объединим все случайные величины в один вектор и запишем разложение (7) в виде
скалярного произведения
x(t ) = ( at ξ ) ,
(8)
где вектор ξ состоит из стандартных гауссовских величин, а компоненты вектора at
определяются формулами:
=
ati Ai cos ( ωi t ) для i=1, 2,…, n,
=
ati Ai sin ( ωi t ) для i = n + 1, n + 2, …2n.
Производная случайного процесса определяется соотношением
dx(t )
=
dt
=
y (t )
( bt ξ ) ,
(9)
где bti =− Ai ωi sin ( ωi t ) для i = 1, 2,…, n, bti =ω
Ai i cos ( ωi t ) для i = n + 1, n + 2, …2n.
Пусть в некоторый момент времени t0 случайная реализация пересекает уровень x0 с
производной y0 . Эти условия запишутся в виде
=
( a0ξ ) x=
0 , ( b0 ξ ) y0 ,
(10)
где a0 = at ( t0 ) , b0 = bt ( t0 ) .
Векторы a0 , b0 , at , bt удовлетворяют очевидным соотношениям:
at bt )
( a=
0 b0 ) ( =
0 — условие некоррелированности переменной и ее производной для
стационарного процесса;
( a=
0 at ) K x ( t − t0 ) — корреляционная функция переменной x(t);
( b=
0 bt )
K y ( t − t0 ) — корреляционная функция производной y(t);
dK x ( t − t0 )
K x′ (t − t0 )
− ( b0 at ) =
=
( a0bt ) =
— производная от корреляционной функции.
dt
Случайные реализации, удовлетворяющие условиям (10), определяются случайным
вектором ξ , в котором зафиксированы два ортогональных компонента, соответствующие
переменной x ( t ) и ее производной в момент времени t0
=
ξ
a0
a02
x0 +
b0
b02
y0 + η −
a0 ( η a0 )
a02
−
b0 ( ηb0 )
b02
.
(11)
В соотношении (11) вектор η состоит из независимых стандартных гауссовских случайных
величин.
Подставим случайный вектор ξ в соотношения (8), (9) и получим выражения для
изменения переменных x ( t ) и y ( t ) на случайных реализациях, пересекающих заданный уровень
с заданной производной:
x (t =
− t0 )
y ( t −=
t0 )
112
( a0at )
a02
( a0bt )
a02
x0 +
x0 +
( b0at )
b02
( b0bt )
b02
 
(a a )
(b a )  
y0 +  η  at − a0 0 2 t − b0 0 2 t   ,
 
a0
b0  
 
(12)
 
(a b )
(b b )  
y0 +  η  bt − a0 02 t − b0 0 2 t   .
 
a0
b0  
 
(13)
Используя соотношения (12) и (13), можно получить условные моменты случайной величины
x ( t ) и ее производной, как функции от интервала времени ∆t = t − t0 :
mx (∆=
t ) M [ x(∆t=
)]
m y (∆=
t ) M [ y (∆t=
)]
K x (∆t )
K ′ (∆t )
x0 − x
y0 ,
K x (0)
K y (0)
K y (∆t )
K y (0)
) D [ x(∆t )=
σ2x (∆t=
] K x (0 −)
(14)
K x′ (∆t )
x0 ,
K x (0)
y0 +
K x2 (∆t ) K x′ 2 (∆t )
,
−
K x (0)
K y (0)
t ) D [ y (∆t=
) ] K y (0 −)
σ2y (∆=
K y2 (∆t )
K y (0)
−
(15)
K x′ 2 (∆t )
,
K x (0)
 K y (∆t ) K x (∆t ) 
rxy (∆t )σ x (∆t )σ y (∆=
t ) K xy (∆=
t ) K x′ 
−
,
K x (0) 
 K y (0)
где rxy — коэффициент корреляции между переменными x и y,
K ∆ x ( t1 , t2=
) K x ( t2 − t1 ) −
K x ( t1 ) K x ( t2 )
K x (0)
−
K x′ ( t1 ) K x′ ( t2 )
K y (0)
.
(16)
Если переменная x ( t ) недифференцируемая, то у нее нет производной, и выражения для
условных моментов существенно упрощаются. В этом случае достаточно задать одно условие
в момент пересечения
( a0ξ ) = x0 .
Случайный вектор, определяющий все пересечения, задается в виде
ξ
=
a0
a02
x0 + η −
a0 ( η a 0 )
a02
.
(17)
Случайный процесс определяется соотношением
x (t =
− t0 )
( a0at )
a02
 
(a a )  
x0 +  η  at − a0 0 2 t   ,
 
a0  
 
а выражения для условных моментов имеют вид:
K (∆t )
M [ x(∆t ) ] =x
x0 ,
K x (0)
D [ x(∆t=
) ] K x (0) −
K x2 (∆t )
,
K x (0)
(18)
(19)
113
K ∆x ( t1 , t2=
) K x ( t2 − t1 ) −
K x ( t1 ) K x ( t2 )
K x (0)
.
(20)
Для стационарного процесса значение момента времени t0 несущественно, поэтому в
дальнейшем будем считать t0 = 0, т. е. будем отсчитывать время от момента пересечения.
В этом случае коэффициенты для косинусов и синусов в разложении случайного процесса
(7) вычисляются независимо:
=
ξ
=
ς
a0
a02
b0
b02
x0 + η1 −
y0 + η2 −
a0 ( η1a0 )
a02
,
b0 ( η2 b0 )
b02
,
(21)
(22)
где η1 и η2 — векторы, состоящие из независимых стандартных гауссовских случайных
величин.
3. Методика выделения первых пересечений. Приведенные выше соотношения
позволяют моделировать все случайные пересечения, а выделение среди них первых сводится к
проверке очевидного условия
x(t ) < x0 для −τкор < t < 0.
(23)
Пусть в результате моделирования найдена величина P1 , определяющая часть первых
пересечений среди всех пересечений, тогда очевидно, что
µ =P1 N 0 .
(24)
Сравнивая соотношение (24) с формулой (3), легко установить, что P1 = 1 n* .
Для реализаций, соответствующих первым пересечениям, можно также определить оценки
моментов случайного процесса при t > 0 и с помощью формул (5) и (4) найти среднее число
пересечений после первого n и среднее в серии n*= n + 1.
Проведение расчетов по определению среднего числа пересечений в серии может
показаться лишним, поскольку известное значение P1 решает поставленную задачу. Однако при
проведении численных расчетов часто оказывается, что величина n более устойчива к ошибкам
вычислений, чем величина вероятности P1 . Кроме того, условие (23) проверяется на интервале
времени, который не определен строго и практически определяется как интервал сходимости
интегралов (4) или (6).
В случае недифференцируемого случайного процесса вероятность P1 = 0, поскольку
среднее число всех пересечений бесконечно велико. В этом случае предлагается проводить
параметрические расчеты для нескольких, уменьшающихся по величине значений шага ∆t.
Количество реализаций, для которых выполняется условие (23) и, следовательно, величина nt ,
определенная для этих реализаций, будет зависеть от величины шага и искомое значение
является пределом
=
nt lim nt (∆t ).
∆t →0
Очевидно также, что
lim P1 (∆t ) =
0, поэтому успех данной процедуры определяется
∆t →0
скоростью установления величины nt
процессов
с малым шагом по времени.
114
и возможностью проведения расчетов случайных
4. Методы формирования случайных реализаций. Приведенные выше формулы для
случайных векторов (11), (17), определяющих все реализации, или формулы для корреляционных
функций (16), (20) позволяют формировать случайные реализации различными способами.
Рассмотрим два возможных способа.
4.1. Формирование случайной реализации в дискретные моменты времени. Задается
дискретный набор моментов времени ti , для i = 1, 2, ..., m из заданного диапазона, например,
−τкор < t < τкор . Случайная реализация задается вектором с компонентами xi = ∆x ( ti ) . Для
данного набора моментов времени определяется корреляционная матрица K размера m × m по
соотношению (16) для дифференцируемого процесса, либо по соотношению (20), если процесс
недифференцируемый. Элементами этой матрицы являются значения корреляционной функции
в соответствующие моменты времени K ij = K ∆x ti , t j .
(
)
Матрица K является симметричной, и поэтому она может быть представлена в виде [5]:
K = GG T .
Тогда случайный вектор ∆x определяется через случайный вектор ξ, состоящий из
стандартных гауссовских величин, по формуле
∆x =
Gξ.
К полученным значениям необходимо прибавить математическое ожидание, определяемое
соответственно по формулам (14) либо (18)
=
x ( ti ) mx ( ti ) + ∆xi .
4.2. Формирование случайных реализаций с помощью ряда Фурье. Способ формирования
случайных реализаций с помощью ряда Фурье представляется технически особенно простым.
Для заданного спектрального разложения (7) определяются два вектора a0 и b0 с
компонентами a0i = Ai , b0i= Ai ωi .
Для каждой реализации случайного процесса задается два случайных вектора η1 и η2 ,
состоящих из независимых стандартных гауссовских случайных величин.
Для обеспечения условий в момент пересечения случайные векторы η1 и η2 преобразуются по формулам (21), (22). Если случайный процесс недифференцируемый, преобразуется
только вектор η1. Случайная реализация в произвольный момент времени определяется с
помощью ряда (7).
Для дифференцируемого случайного процесса возникает необходимость проведения серий
параметрических расчетов для различных значений производной y0 в момент пересечения, и
тогда значение y0 задается и остается постоянным в данной серии. Для моделирования всей
совокупности случайных реализаций случайное значение производной задается для каждой
реализации по распределению Релея, например, по формуле:
y0 =
σ y c12 + c22 ,
где c1 и c2 — стандартные гауссовские величины.
5. Результаты расчетов. В качестве примера рассмотрим случайный процесс со
спектральной плотностью вида
S (ω) =
(
S0
1 + ω2
где S0 =
2Γ ( ρ )
Γ (1 2 ) Γ ( ρ − 1 2 )
)
ρ
,
∞
задается таким образом, что
2
σ=
x
ω
∫ S ( ω) d=
1.
0
115
Случайный процесс с такой спектральной плотностью имеет конечную дисперсию при
1
3
3
ρ > , причем при ρ ≤ он является недифференцируемым, а при ρ > — дифференцируемым
2
2
2
1
с дисперсией производной, равной σ2y =
.
2 (ρ − 3 2)
Корреляционная функция данного процесса определяется соотношением
∞
K x (=
t)
∫
S (ω) cos ( ωt ) d=
ω
0
2 (t 2)
Γ (ν )
ν
K ν (t ),
где K ν (t ) — модифицированная функция Бесселя, Γ(ν) — гамма-функция, ν = ρ − 1 2.
Интервал корреляции имеет значения
∞
=
τкор
(t )dt
∫ K x=
0
Γ (1 2 ) Γ ( ν + 1 2 )
Γ (ν )
.
Рассматривается задача определения вероятности первого пересечения уровня x0= Rσ x .
Из анализа корреляционных функций для нестационарного процесса следует, что лишь при
целых значениях ρ =1 и ρ =2 нестационарный процесс является марковским. В этих случаях
K ∆x ( t1 , t2 ) = 0, если переменные t1 и t2 имеют разные знаки. Этот факт можно легко проверить,
если учесть, что K x = e
−t
для ρ =1 и
=
Kx e
−t
(1 + t ) для ρ =2.
Равенство нулю корреляционной функции означает, что задание одного или двух условий
в момент времени t = 0 делает процессы до и после пересечения некоррелированными. В
частности, для ρ =1 это означает, что выделение первых пересечений среди всех не изменит
моментов распределения при t > 0.
Для ρ =2 некоррелированность процесса обеспечивается двумя условиями (10), и процессы
при t < 0 и t > 0 связаны между собой одним параметром y0 — производной в момент
пересечения. Следовательно, выделение первых пересечений среди всех приведет лишь к
изменению распределения производной при первом пересечении, но не изменит зависимости
моментов случайного процесса от времени для t > 0 по сравнению со всеми пересечениями при
заданном значении производной.
При дробных степенях ρ процесс не является марковским, и это означает, что значения
x ( t ) при t > 0 зависят от всех значений случайной функции при t < 0, и эта связь не может быть
сведена к конечному числу условий и, следовательно, конечному числу переменных.
В дальнейшем величины, определенные для всех пересечений, будем отмечать индексом
«0», а вычисленные только для первых пересечений — индексом «1». Кроме того, для
дифференцируемого процесса также будем использовать параметр nt , определяемый
соотношением nt = 2 πn*σ x σ y .
5.1. Случай недифференцируемого процесса. Рассмотрим вначале случай ρ ≤ 3 2, когда
случайный процесс является недифференцируемым, и вычислим величину nt 0 для всех
пересечений по формуле (6), которая с учетом формул (18), (19) и условия K x (0) = 1 имеет вид:
∞
 2 (1 − K ( t ) )2 
 R 2  
R
1

x


nt 0
=
−
−
exp
exp
 −   dt.

2
 2 1 − K x2 ( t ) 
 2  
K
t
−
1
(
)


0
x



∫
116
(25)
Результаты численных расчетов по формуле (25) приведены на рис. 1.
Значение nt 0 может быть вычислено по приближенной формуле, которая для высоких
уровней получается из предположения, что основной вклад в интеграл (25) дает область малых
значений t.
При малых значениях t из разложения функции Бесселя получим [4]
K x (t ) ≈ 1 − bt 2ν ,
где
b=
Γ(1 − ν)
Γ(1 + ν) 22ν
.
Тогда
R − mx (t ) ≈ Rbt 2ν ,
∞
ntf ≈
∫ (2b)1 2 t ν exp ( − R bt
1
2
2ν
0
σ2x ≈ 2bt 2ν ,
1
)
1 1  4  2ν
4 dt ≈
2ν 2b  R 2b 
−
1
2
 1 1
Γ − ,
 2ν 2 
где Γ( x) — гамма-функция.
В общем случае, если спектральная плотность нормирована
частотах ведет себя как S (ω) ~
(σ
2
x
)
=
1
(26)
и при больших
A2
, для больших значений R справедлива формула (26) с
ω 2ρ
параметром b, определяемым по формуле:
b = A2
π Γ (3 2 − ρ)
2
2ρ
( ρ − 1 2 ) Γ(ρ)
.
Анализ формулы (26) показывает, что показатель степени при величине R меняется от нуля
при ρ =3 2 до бесконечности при ρ → 1 2 . При


1
ρ → 1 2  более точно при
 R 2  величина
2ρ − 1


ntf определяется формулой:
(
)
ntf ≈ ( 2ρ − 1) R 2 + 1 e − R
2
2
.
Тогда среднее время достижения уровня R
составит
(
)
M [t1 ] ≈ ( 2ρ − 1) R 2 + 1
и будет стремиться к нулю
независимо от величины уровня.
при
ρ →1 2
Рис. 1
117
Для выделения первых пересечений используется метод формирования случайных
значений x ( t ) в дискретных точках. Для этого задаются дискретные моменты времени,
симметричные относительно значения t = 0. Заданные узлы сгущаются при приближении к нулю
по геометрической прогрессии. Минимальное значение шага ∆tmin задается, а знаменатель
прогрессии подбирается так, чтобы заданное число узлов примерно покрывало интервал
корреляции. В расчетах было принято общее число узлов m, равное 160. Таким образом, условие
(23) отсутствия пересечений при t < 0 проверяется в 80 дискретных точках.
Рис. 3
Величина nt1 определяется численно по формуле (6), где в качестве моментов
распределения используются оценки, полученные для первых пересечений, т. е. для случайных
реализаций, в которых условие (23) выполняется во всех точках при t < 0.
При проведении статистических испытаний задается очень большое число реализаций,
порядка 106 , но расчеты проводятся до появления 1000 первых пересечений.
Расчеты показали, что основное влияние на величину nt1 оказывает смещение
математического ожидания у первых пересечений по сравнению со всеми пересечениями.
Примеры сравнений математических ожиданий для первых и для всех пересечений приведены на
рис. 2. На этом рисунке приведено изменение по времени безразмерных математических
ожиданий, отсчитываемых от заданного уровня: ∆mx (t ) =R − ( x0 − mx (t ) ) σ x (t ). На рис. 3
приведены характерные процессы уменьшения вероятности P1 и процесс сходимости параметра
nt1 при уменьшении величины минимального шага ∆tmin .
5.2. Случай дифференцируемого случайного процесса. В случае дифференцируемого
Рис. 2
118
случайного процесса ( ( ρ > 3 2 ) для определения
величины n* проводятся параметрические расчеты
при различных значениях производной в момент
пересечения, в результате чего определяются
зависимости n ( y0 ) и P1 ( y0 ) . Окончательные
значения n и P1 получаются путем осреднения по
случайным значениям производной.
Распределение производной для первых
пересечений будет иметь вид:
 y2 
exp
 − 02 
σ2y
 2σ y 
f1 ( y0 ) =
,
∞
 y2 
y
P1 ( y ) 2 exp  − 2  dy
σy
 2σ y 
0
(27)
P1 ( y0 )
y0
∫
Рис. 4
а величины P1 и n определятся интегралами
∞
P1 = P1 ( y ) f1 ( y ) dy,
∫
0
∞
n = n ( y ) f1 ( y ) dy.
∫
0
При проведении численных расчетов задавалось 20 значений производной из диапазона
( 0 ÷ 4σ y ).
Необходимость проведения параметрических расчетов связана с использованием формулы (5), которая справедлива для гауссовского процесса. Это условие выполняется лишь для
процессов, имеющих одну и ту же производную в момент пересечения, тогда как вся
совокупность пересечений не имеет нормального распределения хотя бы потому, что сама
производная имеет распределение Релея.
Отметим, что если ограничиться вычислением только величины P1 , то статистические
расчеты можно проводить одной серией, задавая для каждой реализации случайное значение
производной.
В данном примере выделение первых пересечений приводит как к изменению
распределения производной (рис. 4, =
y0 y0 σ y ), так и изменяет моменты распределения при
t > 0 , что приводит к существенному изменению среднего числа пересечений в серии,
ρ,
очередь
—
при
значениях
к величине 3/2.
Суммарные результаты расчетов для различных значений степени ρ приведены
для
и R = 10. Здесь приведены значения параметра nt1 , определенные по описанной
(символы *), результаты расчетов параметра nt 0 по всем пересечениям (сплошные
приближенные оценки, которые для недифференцируемого процесса
(ρ ≤ 3 2)
в первую
близких
на рис. 5
R=5
методике
линии) и
соответствуют
формуле (26), а для дифференцируемого — простому условию µ = N 0 (штриховые линии).
Из приведенных результатов следует, что лишь расчеты с выделением первых пересечений
и учетом связанного с этим изменения моментов распределений позволяют получить
непрерывное изменение параметра nt 1 при качественном изменении случайного процесса.
119
Рис. 5
5.3. Случай дифференцируемого колебательного процесса. В качестве другого примера
рассмотрим случайный процесс со спектральной плотностью вида
C
S (ω) =
ρ
2
 2
2 2
1
4
k
ω
−
+
ω


(
)
для k  1.
Значение константы С несущественно, поскольку рассматриваются безразмерные значения
x
заданных уровней R = ± 0 . В данном примере контролируется выход за два уровня. При ρ =1
σx
приведенная спектральная плотность соответствует дифференциальному уравнению второго
порядка, рассмотренному в работах [1], [3].
Для формирования случайных реализаций задавалось 60 членов ряда Фурье. Интервалы по
частоте сгущаются к значению ω0 = 1 − 2k 2 по геометрической прогрессии, максимальное
значение частоты задавалось равным 3. Минимальное значение интервала по частоте и интервал
времени, в течение которого подсчитывались пересечения, определялись по формулам
∆ωmin
= 0, 2 ⋅ k ρ , ∆t * =
ρ k . Отметим, что в данном случае интервал времени для подсчета числа
пересечений лишь примерно соответствует интервалу корреляции.
Расчеты проводились одной серией со случайным распределением производной в момент
пересечения. Контроль пересечений производился путем последовательного поиска экстремумов
функции x ( t ) в окрестностях точек ti =π
i 1 − k 2 , вначале при i = −1, − 2, − 3,  , − ∆t * π для
определения типа траектории и, если пересечение оказывалось первым, для этой траектории
подсчитывалось число пересечений по той же методике =
для i 1, 2, 3,  , ∆t * π .
120
В результате определялась как величина
вероятности P1 , так и среднее число пересечений
в серии n* . Результаты расчетов приведены на рис. 6
для различных значений параметров R и ρ для
k = 10−2. Из приведенных результатов видно, что
условие n* P1 = 1 выполняется достаточно точно при
всех значениях параметров, что объясняется в
первую очередь протяженным интервалом для
контроля пересечений.
Для оценки влияния схемы вычислений на
n*
и
P1
точность
определения
величин
для которого
рассматривался случай
ρ =1,
спектральная плотность задавалась в виде
4k
S (ω) =
2


π  ω2 − 1 + 4k 2 ω2 


(
)
так, что σ x =σ y =1.
Корреляционная
соотношением
Рис. 6
функция
определяется
 cos ( ω′t ) sin ( ω′t ) 
=
+
K x (t ) ke − kt 
,
k
ω′ 

где ω′=
(28)
1− k2 .
Расчеты проводились сериями для различных фиксированных значений производной y0 ,
(
)
для которой задавалось 20 значений из диапазона 0 ÷ 3σ y .
В этом примере значения x ( t ) при t < 0 и при t > 0 некоррелированы, и при заданном
значении y0 процедуры выделения первых пересечений и определения среднего числа
пересечений в серии проводятся независимо. Кроме того, процедура определения среднего числа
пересечений может быть существенно упрощена. При малых значениях параметра k пересечения
происходят
в окрестностях экстремумов математического ожидания и среднее число пересечений
определяется как сумма вероятностей [3]:
=
n
  R 
 R − mx ( ti )  
 ,
 σ x ( ti )  
∑ Φ  σ x  − Φ 
i

(29)
R − mx ( ti )
, функции mx (t ) и σ x (t ) определяются
σ x ( ti )
соотношениями (14) и (15) по известной корреляционной функции (28).
В табл. 1 приведены результаты расчетов для различного количества точек m, в которых
контролируется условие (23) для R = 10.
где ti — точки экстремумов функции
Таблица 1
k = 10−2
k = 10−3
k = 10−4
k = 10−5
121
m
n*
n *P1
n*
n *P1
n*
n *P1
n*
n *P1
1
2
4
8
16
32
64
1,35
1,30
1,29
1,29
1,29
1,30
1,29
1,08
0,95
1,00
0,99
1,00
0,97
0,99
5,20
5,05
5,04
5,04
5,03
5,03
5,03
1,56
1,31
1,15
1,05
0,91
0,97
0,90
40,0
37,0
37,0
36,9
37,0
36,9
37,0
3,10
2,84
2,17
1,48
1,04
0,94
0,85
340
335
334
334
334
334
333
6,80
3,80
3,10
2,20
1,65
1,22
0,92
Из результатов табл. 1 видно, что при увеличении количества точек контроля уменьшается
часть первых пересечений в серии, а произведение n* P1 стремится к 1, хотя при малых значениях
k — медленно. С другой стороны, среднее число пересечений в серии, вычисленное для
прошедших контроль реализаций, практически не изменяется при изменении числа точек
контроля.
Это объясняется зависимостью вероятности P1 от числа точек контроля. При изменении
числа точек контроля изменение величины вероятности может быть записано в виде
P1 ( y0 , m ) = P1 ( y0 ) C (m) и множитель C (m), исчезает при нормировке распределения для
производной (27).
Данный результат позволяет просто определить распределение производной для первых
пересечений из условия x(−π) < x0 :
P ( x(−π) < R ) y0 e− y0
2
f ( y0 ) = ∞
∫ P ( x(−π) < R ) ye
− y02 2
2
,
dy
0
 − R − mx (−π) 
2
2 −kπ
где P ( x(−π) < R ) = Φ 
 и для малых значений k — mx (−π) ≈ R + y0 e ,
 σ x (−π) 
σ x (−π=
) 1 − exp (−2k π).
Как следует из результатов работы [3], при малых значениях параметра k среднее число
ϕ(k , R )
пересечений в серии определяется формулой n* =1 + n =1 +
. Результаты расчетов данной
πkR 2
работы приведены на рис. 7 сплошными линиями для различных значений параметров R и k.
Из приведенных результатов видно, что незначительное отличие от универсальной зависимости
наблюдается лишь при R = 3. На этом же рисунке символами «*» отмечены результаты расчетов,
в которых число пересечений определяется методом статистических испытаний (Монте-Карло).
Видно, что суммирование вероятностей по формуле (29) дает меньшее (на ~10%) число
пересечений. Для объяснения этого факта в табл. 2 приведено сравнение значений параметра n,
вычисленных по формуле (29) и методом статистических испытаний по 1000 реализаций.
122
Таблица 2
Суммирование
вероятностей
Метод Монте-Карло
y0
R = 5,
k = 10
0,25
0,50
1,0
2,0
4,0
−2
1,11
1,19
1,51
3,05
8,36
R = 10,
k = 10
−3
3,04
3,28
4,31
8,87
26,1
R = 5,
k = 10
−2
1,23
1,32
1,68
3,30
8,90
R = 10,
k = 10−3
3,20
3,64
4,45
9,25
27,6
Рис. 7
Данные табл. 2 показывают, что расхождение результатов не связано с определением
распределения производной, а определяется предположением, на котором основана формула
(29), о том, что у случайных реализаций точки экстремумов совпадают с точками экстремумов
математического ожидания и, следовательно, подсчитывать пересечения можно только по точкам
экстремумов. При конечных значениях R это предположение выполняется неточно, что приводит
к некоторому уменьшению числа пересечений в серии.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проект 01-01-00431).
ЛИТЕРАТУРА
1. С т р а т о н о в и ч Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.—
М.: Изд-во МГУ.— 1966.
2. Т и х о н о в В. И. Выбросы случайных процессов.— М.: Наука.— 1970.
3. К у з ь м и н В. П., Я р о ш е в с к и й В. А. Оценка предельных отклонений фазовых
координат динамической системы при случайных возмущениях. — М.: Наука, Физматлит.—
1995.
4. Я н к е Е., Э м д е Ф., Л ё ш Ф. Специальные функции.— М.: Наука.— 1977.
5. К о р н Г., К о р н Т. Справочник по математике.— М.: Наука.— 1974.
6. К о р о л ю к В. С., П о р т е н к о Н. И., С к о р о х о д А. В., Т у р б и н А. В.
Справочник по теории вероятностей и математической статистике.— М.: Наука.— 1985.
_________________
Рукопись поступила 21/XII 2001 г.
123
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
493 Кб
Теги
выбросов, процессов, вероятности, больших, оценки, метод, случайных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа