close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Методика применения математической экстраполяции для расчета размера ущерба при превышении значения предельно допустимой массы транспортного средства.

код для вставкиСкачать
УДК 332.871:005.591.6(075.8)
МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ДЛЯ РАСЧЕТА РАЗМЕРА УЩЕРБА ПРИ
ПРЕВЫШЕНИИ ЗНАЧЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНО ДОПУСТИМОЙ МАССЫ
ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА
Р.И. Дворниченко1, А.Д. Пятикоп2
Балтийский федеральный университет им. И. Канта (БФУ им. И. Канта),
236041, г. Калининград, А.Невского ул. д. 14
Представлена методика применения математической экстраполяции, которая позволяет определять
размер ущерба при превышении значения предельно допустимой массы транспортного средства.
Ключевые слова: экстраполяция, транспортное средство, корреляция, статистический анализ, аппроксимирующая функция.
TECHNIQUE OF APPLICATION OF MATHEMATICAL EXTRAPOLATION FOR
CALCULATION OF THE EXTENT OF HARM AT EXCESS OF VALUE OF MAXIMUM
PERMISSIBLE WEIGHT OF THE VEHICLE
R.I. Dvornichenko, A.D. Piatikop
I.Kant Baltik Federal University (I.Kant BFU), 236041, Kaliningrad, street A. Nevskogo, 14
The methods of application of mathematical extrapolation, with the help of which we define the extent of
the damage in excess of the maximum permissible mass of the vehicle.
Keywords: extrapolation, means of transport, correlation, statistical analysis, approximating function.
Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами (ТС), осуществляющими
перевозки тяжеловесных грузов, при движении
по автомобильным дорогам общего пользования регионального или межмуниципального
значения Калининградской области, однозначно определяется по специальным таблицам [1].
Если превышение массы ТС столь велико, что
уровень соответствующего ущерба не прописан
в таблице явно, то необходимо применить метод математической экстраполяции [3 – 5].
Рассмотрим исходную таблицу 1. Она
задаёт функцию f0 (рис. 1) – зависимость размера ущерба от превышения предельно допустимой массы транспортного средства в диапазоне
от 0 до 50-ти тонн. Чтобы продлить эту функцию далее за границу в 50 тонн, необходимо
построить новую функцию f, аппроксимирующую f0 на интервале от 0 до 50-ти.
Для построения аппроксимации использован метод наименьших квадратов [2]. В результате расчётов в качестве аппроксимирующей функции f был получен полином второй
степени
f(x) = 1,086x2 + 12,094х+204,807.
График функции f изображён на рисунке
2. Как видно из графика полученная функция
не только хорошо коррелирует с исходными
данными на интервале от 0 до 50-ти тонн, но и
10
вполне корректно продлевает зависимость далее.
Таблица 1. Показатели размера ущерба при превышении значения предельно допустимой массы
транспортного средства [1]
1
Превышение
предельно
допустимой массы транспортного средства (тонн)
До 5
Размер ущерба
(рублей на 100
км)
240
2
Свыше 5 до 7
285
3
Свыше 7 до 10
395
4
Свыше 10 до 15
550
5
Свыше 15 до 20
760
6
Cвыше 29 до 25
1035
7
Свыше 25 до 30
1365
8
Свыше 30 до 35
1730
9
Свыше 35 до 40
2155
10
Свыше 40 до 45
2670
11
Свыше 45 до 50
3255
№
Статистический анализ аппроксимирующей функции показывает что:
НИИТТС
Методика применения математической экстраполяции для расчета размера ущерба при превышении
значения предельно допустимой массы транспортного средства
-максимальное абсолютное отклонение
функции в контрольных точках не превышает
значения в 31 рубль.
Рисунок 1. Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами от превышения массы ТС
В результате вычислений в качестве аппроксимирующих функций получены три полинома второй степени:
f1(x)=0,888 x 2+36,782 x +586,201.
f2(x)=0,749 x 2+31,639 x +493,969.
f3(x)=5,246 x 2+128,729 x +4504,482.
Графики этих функций представлены на
рисунках 3 – 5 .
Максимальное абсолютное отклонение
ущерба в контрольных точках не превышает
значений 218, 187 и 338 рублей для первой, второй и третьей функций соответственно. Максимальные относительные отклонения в контрольных точках составляют 19,4%, 19,7% и
1,6% (при превышении нагрузки более чем на
20% максимальное относительное отклонение
не превосходит 5% для всех трёх функций).
Среднеквадратические отклонения составляют
133; 114,5 и 183 рубля соответственно.
Рисунок 2. Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами от превышения массы ТС
Аналогичные расчёты по такой же схеме
были проведены для вычисления ущерба ТС
при превышении предельно допустимой нагрузки на ось.
1
2
3
4
5
До 10
От 10 до 20
От 20 до 30
От 30 до 40
От 40 до 50
925
1120
2000
3125
4105
785
950
1700
2660
3490
5260
7710
10960
15190
21260
6 От 50 до 60
5215
4430
27330
Размер ущерба для транспортных средств, не оборудованных пневматической или эквивалентной подвеской (рублей
на 100 км)
Размер ущерба для транспортных средств, оборудованных
пневматической или эквивалентной подвеской (рублей на
100 км)
Размер ущерба в период временных ограничений в связи с
неблагоприятными природноклиматическими
условиями
(рублей на 100 км)
№
Превышение предельно допустимых осевых нагрузок на ось
транспортного средства (процентов)
Таблица 2. Показатели размера ущерба при превышении значений предельно допустимых нагрузок на каждую ось транспортного средства
Рисунок 3. Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами от превышения осевых
нагрузок ТС
Рисунок 4. Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами от превышения осевых
нагрузок ТС
Показатели размера ущерба, соответствующие приведенным выше функциям, приведены в таблицах 3, 4.
Расчёт размера ущерба при превышении
значения предельно допустимой массы транспортного средства свыше 50 тонн :
ТЕХНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СЕРВИСА №2(24) 2013
11
Р.И. Дворниченко, А.Д. Пятикоп
Все вычисления производились в программе Mathcad 2001 Professional по следующему алгоритму.
1. Задаём набор контрольных точек для
построения аппроксимирующей функции f(x)
методом наименьших квадратов.
Xi
2.5 6 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5
240 285 550 760 1035 1365 1730 2155 2670 3255
2. Задаём ряд констант: М – количество
контрольных точек; N – количество базовых
функций {х2; х; 1}; i, j – целые индексы в диапазоне от 0 до 2.
≔ 11;
≔ 3;
≔ 0. . − 1;
≔
0. .
− 1; ( ) ≔
1
Рисунок 5. Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами от превышения осевых
нагрузок ТС
3. Строим матрицу системы линейных
алгебраических
уравнений
(СЛАУ) для
минимизации суммы квадратов отклонений
искомой функции от контрольных точек
∙
.
, ≔∑
,
,
12
52,5
57,5
62,5
67,5
72,5
77,5
82,5
87,5
92,5
97,5
102,5
107,5
112,5
117,5
122,5
127,5
132,5
137,5
142,5
147,5
Превышение предельно
допустимой массы транспортного средства (тонн)
Свыше 50 до 55
Свыше 55 до 60
Свыше 60 до 65
Свыше 65 до 70
Свыше 70 до 75
Свыше 75 до 80
Свыше 80 до 85
Свыше 85 до 90
Свыше 90 до 95
Свыше 95 до 100
Свыше 100 до 105
Свыше 105 до НО
Свыше 110 до 115
Свыше 115 до 120
Свыше 120 до 125
Свыше 125 до 130
Свыше 130 до 135
Свыше 135 до 140
Свыше 140 до 145
Свыше 145 до 150
Размер ущерба
(рублей на 100
км)
3833
4491
5203
5969
6790
7665
8594
9578
10616
11708
12854
14055
15310
16619
17983
19401
20873
22400
23981
25616
Таблица 4. Показатели размера ущерба при превышении значений предельно допустимых осевых нагрузок на каждую ось транспортного средства, полученные методом математической экстраполяции
.
4. Задаем правую часть СЛАУ.
≔∑
∙
,
5. Решаем полученную СЛАУ:
≔
∙ ;
Таблица 3. Показатели размера ущерба при превышении значения предельно допустимой массы
транспортного средства, полученные методом
математической экстраполяции
,
.
X
65
75
85
95
105
115
125
135
145
155
165
175
185
195
От 60 до 70
От 70 до 80
От 80 до 90
От 90 до 100
От 100 до ПО
От ПОдо 120
От 120 до 130
От ПОдо 140
От 140 до 150
От 150 до 160
От 160 до 170
От ПОдо 180
От 180 до 190
От 190 до 200
Размер ущерба для транспортных средств, не оборудованных пневматической или эквивалентной подвеской (рублей
на 100 км)
Размер ущерба для транспортных средств, оборудованных
пневматической или эквивалентной подвеской (рублей на
100 км)
Размер ущерба в период временных ограничений в связи с
неблагоприятными природно
климатическими условиями
(рублей на 100 км)
Table =:
1
240
285
397
550
760
1035
1365
1730
2155
2670
3255
1.086
12.094 .
204.807
Превышение предельно допустимых осевых нагрузок на
ось транспортного средства
(процентов)
Table=
0
2,5
6,0
8,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=
6729
8340
10128
12095
14239
16560
19059
21736
24590
27622
30831
34218
37783
41525
5715
7080
8595
10259
12074
14038
16152
18416
20829
23393
26106
28969
31982
35144
35036
43668
53349
64079
75858
88687
102564
117491
133467
150493
168567
187691
207864
229086
6. Функция принимает вид:
( ) = 1.086 + 12.094 + 204,807
НИИТТС
Методика применения математической экстраполяции для расчета размера ущерба при превышении
значения предельно допустимой массы транспортного средства
Расчёт размера ущерба при превышении
значений предельно допустимых осевых нагрузок на каждую ось транспортного средства
свыше 60 процентов.
Исходные данные по размеру ущерба
для транспортных средств, оборудованных и
необорудованных пневматической или эквивалентной подвеской, а также размер ущерба в
период временных ограничений были сведены
в общую таблицу и обработаны в программе
Mathcad 2001 Professional по следующему алгоритму.
1. Задаём сводную таблицу по размеру
ущерба, таким образом, что в первом столбце
записываем превышение предельно допустимых осевых нагрузок в процентах, а в следующих трёх столбцах записываем последовательно
размер ущерба: для ТС без пневматической
подвески, для ТС оборудованных пневматической подвеской и для всех ТС в период временных ограничений.
Table=
0
1
2
3
4
0
5
15
25
35
45
1
925
1120
2000
3125
4105
2
785
950
1700
2660
3490
3
5260
7710
10960
15190
21260
5
55
5215
4430
27330
2. Задаём ряд констант:
М – количество контрольных точек; N – количество базовых функций {х2;х;1}; К – количество искомых функций; i, j, к – целые индексы.
≔ 6;
≔ 3;
≔ 3;
≔ 0. . − 1;
≔ 0. . − 1;
≔ 0. . − 1;
.
( ) = (1
)
3. Строим матрицу системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для минимизации суммы квадратов отклонения искомой
функции от контрольных точек.
Table , ∙ Table , .
, ≔∑
4. Строим правые части СЛАУ для каждого набора контрольных точек (записаны построчно в матрице В).
≔∑
∙
;
,
,
16490 652350 2941250
→ 14015 554475 25022375 №
87710 3407450 153048750
5. Решаем полученные системы уравнений:
∙ submatrix( , 0,0,0,2)
≔
∙ submatrix( , 1,1,0,2) ;
∙ submatrix( , 2,2,0,2)
= (586.20136.7820.888)№
= (493.96931.6390.749)№
= (2504.482128.7295.246).
6. Искомые функции принимают вид:
f1( х)=0,888 х 2+36,782 х+58б,201;
f 2(х)=0,749 х 2+31,639 х +493,969;
f 3(х) =5,246 х 2+128,729 х +4504,482.
Предложенная методика использовалась
отделом транспорта Правительства Калининградской области при привлечении знаний предельнодопустимых осевых нагрузках на каждую ось
транспортного средства при разработке движения
автотранспорта по дорогам области.
,
Литература
1. Постановление Правительства Калининградской области №579 от 28 июля 2011г. Об определении размера
ущерба, причиняемого транспортными средствами,
осуществляющими перевозки тяжеловесных грузов, при
движении по автомобильным дорогам общего пользования регионального и межмуниципального значения Калининградской области.
2. Определение параметров аппроксимирующих
функций.- г. Сергиев Посад: Все для Вас – Подмосковье, 2007. – 132с. ISBN 978-5-901091-82-1
(стр. 5-10)
3. Клачек П.М., Корягин С.И. Системы обработки
информации и управления на автомобильном
транспорте. Изд-во РГУ им. И.Канта, Калининград, 2008, 236 с.
4. Корягин С.И., Клачек П.М. Прикладные расчетные методы, модели и алгоритмы, применяемые при ограничении и управлении дорожным
движением. Изд-во БФУ им.И. Канта, Калининград, 2011, 143с.
5. Клачек П.М., Корягин С.И., Колесников А.В.,
Минкова Е.С. Гибридные Адаптивные интеллектуальные системы. Часть 1. Теория и технология
разработки, Изд-во БФУ им.И.Канта, Калининград, 375с.
1
Дворниченко Роман Игоревич, аспирант кафедры «Технологии транспортных процессов и сервиса» БФУ
им. И. Канта, тел. (4012) 33-82-84, E-mail: dvorstroiinvest@mail.ru;
2
Пятикоп Алексей Дмитриевич, студент 4-го курса БФУ им. И. Канта, тел. +7 911 491 45 96
ТЕХНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СЕРВИСА №2(24) 2013
13
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа