close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Многомерное обобщенное распределение Лапласа.

код для вставкиСкачать
2015
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№3(86) Ч.2
УДК 519.2
МНОГОМЕРНОЕ ОБОБЩЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛАПЛАСА
И.В.Золотухин
MULTIVARIATE GENERALIZED LAPLACE DISTRIBUTION
I.V.Zolotukhin
Санкт-Петербургский филиал института океанологии им. П.П.Ширшова РАН, igor.zolotukhin@gmail.com
В работе вводится многомерное обобщенное распределение Лапласа (MGLD) как смесь n-мерных векторов,
составленных из независимых одномерных центрированных нормальных случайных величин со случайными дисперсиями,
имеющими многомерное показательное распределение Маршалла—Олкина. Выведена формула для характеристической
функции. Подробно рассмотрено двумерное распределение; найдены явные выражения для плотности и моментов
распределения. Изучены важные частные случаи предлагаемого распределения.
Ключевые слова: многомерное геометрическое распределение, распределение Лапласа, смесь распределений,
характеристическая функция
In this paper multivariate generalized Laplace distribution has been obtained as a variance mixture of n-dimensional
vectors of independent univariate normal centered variables with different variances with respect to Marshall—Olkin multivariate
exponential distribution. The results include the formula for characteristic function. Bivariate distribution has been investigated in
details; the density and the moments have been explicitly calculated. Also, the important special cases of distribution have been
discussed.
Keywords: multivariate exponential distribution, Laplace distribution, mixture of distributions, characteristic function
мерных распределений. Такие распределения
должны обладать основными свойствами одномерного распределения Лапласа, и их маргинальные
распределения должны относиться к тому же самому типу.
Обычно используются следующие два метода
получения многомерного распределения Лапласа, а
также их обобщения и модификации.
Случай А. Многомерное распределение, порожденное независимыми одинаково распределенными
случайными величинами, имеющими одномерное
распределение Лапласа, и задающееся характеристической функцией
1. Введение
Классическое одномерное распределение Лапласа часто используется как пример распределения «с
хвостами, более тяжелыми, чем нормальные».
Оно задается своей характеристической функцией
1
(t ) 
(1)
2t 2
1
2
или, эквивалентно, через плотность
f (x) 

2x
,   0,    x  .
exp 
 

Название «многомерное распределение Лапласа» используется для различных классов много
1
n
2
(t1,...,tn ) 

i 1
15
1
.
2t 2
1 i i
2
(2)
2015
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Случай Б. Эллиптически контурное распределение Лапласа, задающееся характеристической
функцией
1
(t1,...,tn ) 
.
(3)
1 n 22
1
i ti
2
Другой, более громоздкий вывод этого утверждения предложен в [1].
3. Двумерное обобщенное распределение Лапласа
Предлагается следующий алгоритм моделирования двумерного вектора ( X1, X 2 ), распределенного
по закону Лапласа. Пусть для фиксированной ковариационной матрицы  координаты X 1, X 2 имеют
независимые центрированные нормальные распределения с дисперсиями 12 , 22 , а вектор (12 ,  22 ) имеет
двумерное показательное распределение.
К настоящему времени имеются различные определения двумерного показательного распределения,
к примеру [2-4]. Желательно, чтобы это распределение
обладало характеристическим свойством одномерного
показательного распределения, а именно свойством
отсутствия последействия. Маршалл и Олкин (см. [4],
Lemma 1) доказали, что для этого необходимо и достаточно, чтобы двумерное распределение состояло из
двух независимых показательно распределённых компонент. Обобщённое свойство отсутствия последействия предложено ими в следующем виде:

i 1
Это распределение получается как слабый предел соответствующим образом нормализованных случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов с конечными вторыми моментами
N
X
(4)
j,
№3(86) Ч.2
j 1
здесь N — случайная величина, имеющая геометрическое распределение с параметром p, независимая от
Xj, и p стремится к нулю.
Распределения с характеристической функцией (3) входят в класс геометрически стабильных
распределений. Они имеют разнообразные приложения, поскольку суммы вида (4) появляются в различных вопросах биологии, экономики, финансов и
т.п.
В статье предлагается новый подход к построению многомерного распределения Лапласа.
Его можно получить как смесь n-мерных векторов,
составленных из независимых одномерных центрированных нормальных случайных величин со случайными дисперсиями, имеющими многомерное
показательное распределение Маршалла-Олкина. В
этот новый класс распределений оба распределения
(2) и (3) будут входить как частные случаи.
u  0, v  0, z  0,
P(12
 u  z, 22
 v  z) / 12  u, 22  v)  P(12  z, 22  z ).
(6)
Маршалл и Олкин доказали, что двумерное
распределение удовлетворяет условию (6) тогда и
только тогда, когда выполняется:
G (12  u, 12  v)  exp(1u  2v  12 max{u, v});
Распределение Лапласа можно получить следующим образом. Пусть случайная величина X имеет
центрированное нормальное распределение с дисперсией 2 , и эта дисперсия сама является случайной
(7)
u  0, v  0, 1  0, 2  0, 12  0.
Распределение (7) называется двумерным показательным распределением типа Маршалла—
Олкина. В общем случае оно имеет как абсолютно
непрерывную, так и сингулярную часть (см. [4], Theorem 5.1). Именно для   1   2  12
 

G (x, y)  1 2 Ga ( x, y)  12 Gs ( x, y);


где Gs (x, y)  exp() max{x, y}) есть сингулярное сла-
величиной. При этом распределение 2 показатель-
гаемое, а Ga (x, y) 
2. Представление распределения Лапласа
как смеси нормальных распределений
ное, с математическим ожиданием 20.
12
exp( max{x, y}) — абсолютно непрерывное.
1   2
Маршалл и Олкин вывели следующую формулу для преобразования Лапласа двумерного показательного распределения:
M ( z1, z2 )  E exp( z112  z2 22 ) 
1
f 2 (u)  exp(u), u  0;

1
(5)
E 2   02.

Формула полной вероятности для математических ожиданий дает следующее выражение для его ха-



 ut2

рактеристической функции: (t)  exp 
 udu 
 2

0




exp(1x  2 y  12 max{x, y})
1  2
 exp(z u  z v)dG(u, v) 
1
2
00
1
.
t2
1
2


А это в точности характеристическая функция
(1) распределения Лапласа.
Иными словами, распределение Лапласа получается как смесь нормальных распределений с дисперсиями, распределенными по показательному закону.
(1  12 )( 2  12 )

(1  12  z1)( 2  12  z2 )
12 z1 z2
.
(  z1  z2 )(1  12  z1)(2  12  z2 )
(8)
Пусть дисперсии (12 , 22 ) двумерного нормального распределения распределены, в свою очередь, по
двумерному показательному закону типа Маршалла—
Олкина. Формула полной вероятности для математи16
2015
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
ческих ожиданий позволяет вывести следующее выражение для характеристической функции:
где K0 есть модифицированная функция Бесселя
третьего рода нулевого порядка (см. Приложение).
Заметим, что распределение вектора (X,Y) не содержит сингулярных компонент, в отличие от распределения Маршалла—Олкина.
Рассмотрим два частных случая более подробно.
1
I. 12  0; 1   2    2 .
0
Как следует из (9), при этих предположениях
X и Y — независимые одинаково распределенные по
закону Лапласа случайные величины с плотностью

 ut 2 vs 2 
 t2 s2 
exp 

dG(u, v)  M  , .
2 
 2
2 2
00
Затем, используя (8), получим:
(1  12 )( 2  12 )
(t , s) 

(1  12  t 2 / 2)( 2  12  s 2 / 2)
(t , s) 

t2 s2
2 2

. (9)
(  t 2 / 2  s 2 / 2)(1  12  t 2 / 2)( 2 12  s 2 / 2)
Распределение с характеристической функцией
(9) будем называть двумерным обобщённым распределением Лапласа (BGLD).
Найдем из (9) характеристические функции
компонент:
(1  12 )
( 2  12 )
 X (t ) 
; Y (s) 
.
2
(1  12  t / 2)
( 2  12  s 2 / 2)
Мы видим, что (t, s)   X (t )Y (s), следовательно, компоненты зависимы.
Одномерные распределения оказываются распределенными по закону Лапласа со следующими
плотностями:
12
f X ( x) 
f ( x, y) 
 2  12
exp( 2( 2  12 ) y ).
2
Высшие моменты могут быть вычислены посредством формулы (9):
fY ( x) 
а плотность равна f ( x, y) 
EX 2nY 2m 

(n  k)
 (2n 1)!!(2m 1)!!m(n 1

(k 1)(1  12)nk mk

k 0

f (, ) 
m1

(m  k)
;
 n(m 1
mk nk 

(
k

1
)(



)

2
12

k 0

4. Многомерное обобщённое распределение Лапласа

12
K 2 ( x 2  y 2 ) 
 0
Теперь рассмотрим аналогичный алгоритм
моделирования многомерного распределения Лапласа. Пусть для фиксированных 2i (i  1,...,n) вектор
X  ( X 1,..., X n ) имеет центрированное нормальное
2
 (   ) exp(  x 1  12  y  2 ) 
 2 1 12


x 2 
 exp    z 1  12 
 dz 

 
z
2

0

распределение:

y 2 
 exp    w  2 
 dw 
w 2 
 
0

2
 (   ) exp(  y  2  12  x 1 ) 
 1 2 12
n
G ( x1,..., xn )  exp(

2

x  
 exp    z 1 
 dz 
z 2 
 
0

2

y  
 exp   w  2  12 
 dw,

 
w
2

z
 x  
i i
i 1


X  N n (0, ),   diag(12 ,...,2n ). При
этом вектор  2  (12 ,..., 2n ) тоже случайный и имеет
многомерное показательное распределение типа
Маршалла—Олкина со следующей функцией надежности:
z

1 2   2 
.
K
2 20 0  0 
В этом случае радиус-вектор и полярный угол
являются независимыми случайными величинами.
Таким образом, эти два частных случая распределения BGLD соответствуют Случаю А и Случаю
Б, предложенным ранее.
EX Y   0 для   2n или   2m.
Следовательно, cov( X ,Y )  EXY  0, и компоненты X
и Y некоррелированы, но зависимы.
Наконец, плотность вектора (X,Y) можно записать так:

 2( x 2  y 2 ) 
1

.
K
0

0
20 

Такая плотность принадлежит классу эллиптически контурных распределений [5].
Запишем ее в полярных координатах:
n1

2
exp( 2 ( x  y )).
2
в
полярных
координатах:
Плотность

f (, )   exp( 2( cos   sin  )).
2
Видим, что угловое распределение не является
равномерным; радиус-вектор и полярный угол зависимы.
1
II. 0  1   2 ; 12  2 .
0
Используя (9) и (10), вычислим характеристическую функцию:
12
(t , s) 
,
12  t 2 / 2  s 2 / 2
1  12
exp( 2(1  12 ) x ),
2
f ( x, y ) 
№3(86) Ч.2


ij
Например, для n = 3
17
max(xi , x j ) 
max(xi , x j , xk )  ...  12...n max(x1, x2 ,..., xn )).
i j k
(10)
ij
i j
2015
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Отметим, что в сферических координатах, в
отличие от декартовых, случайный вектор состоит из
независимых компонент.
G (x1, x2 , x3 )  exp(1 x1   2 x2  3 x3  12 max(x1, x2 ) 
 13 max(x1, x3 )   23 max(x2 , x3 )  123 max(x1, x2 , x3 )).
Очевидно, характеристическая функция вектора X будет равна
 
2
2
 n t 2j x j 
 dG(x1,...,xn)  M  t1 ,...,tn . (11)
(t1,...tn)  ... exp 
2

2 
2 

 j1

0 0
Явное выражение этой функции, а также характеристических функций проекций вектора X на
все координатные гиперплоскости найдено в [6].
Распределение с характеристической функцией
(11) будем называть многомерным обобщённым распределением Лапласа (MGLD).
Опять рассмотрим два частных случая более
подробно.
1
I. 1   2   n    2 ; все остальные констан0
ты  — нулевые.
Этот случай тривиален и соответствует Случаю
А. Вектор X состоит из независимых одинаково распределенных по закону Лапласа одномерных случайных величин.
1
II. 11...1    2 ; все остальные константы 
0
— нулевые.
Имеем
характеристическую
функцию

(t1,...tn ) 
.

t12
tn2 
    ...  
2
2


Приложение
Будем искать плотность распределения вектора (X,Y). Двумерную функцию распределения
типа Маршалла—Олкина обозначим через G(u,v).
Тогда
G(u, v)  1 G X (u)  GY (v)  G (u, v),
(12)

где G (u, v) вычисляется в соответствии с (7). Формула полной вероятности дает следующее выражение
для плотности безусловного распределения вектора
(X,Y):

 x2 y2 
exp   dG(u, v).
uv
 2u 2v 
00
Принимая во внимание выражение для функции G(u,v) в (7), нетрудно показать, что одномерные
распределения 12 и 22 будут показательными, с
плотностями
f (x, y) 
1
2

1
g 12 (u)  (1  12 ) exp((1  12 )u), u  0,
g 22 (v)  ( 2  12 ) exp(( 2  12 )v), v  0.
(13)
Запишем плотность f(x,y):
f (x, y) 
1
2

 x2 y 2 
exp   g2 (u) du dG(v / u), (14)
1
uv
 2u 2v 
1

00
здесь G(v / u) 
G(u, v) / u
— условная функция расg2 (u)
1
Плотность вероятности:
1
f (x1,..., xn )  n / 2 (n1) / 2 10n / 2 
 2
 2( x12  ...  xn2 ) 
.
 ( x12  ...  xn2 )1/ 2n / 4 Kn / 21

0



Здесь K  (u) есть модифицированная функция
Бесселя третьего рода с индексом  .
Такая плотность является частным случаем
многомерного распределения Лапласа, предложенного Андерсоном [5]; случай соответствует Случаю Б.
Будем использовать следующее выражение для
функции K  (u) (см. [7]):
пределения.
Принимая во внимание (5), (12) и (13), найдем
1  exp( 2v), u  v  0;

G(v / u)  
1
1  1  12 exp  (1  12 )v  12u, v  u  0.
Ясно, что функция G(v/u) имеет скачок в точке
u. Величина скачка будет
1 
P(u)  1
(15)
 exp  2u ,



1 12 
а условная плотность:
G(v / u)
(v / u) 

v
 2 exp( 2v), u  v  0;

  1( 2  12 )
(16)
1  1  12 exp   2v  12 (v  u), v  u  0.
Используя (13), (15) и (16), перепишем (14) в
следующей форме:


u2 
t 1 exp  t  dt, u  0.
4t 

0
В сферических координатах условная плотность (R, 1,...,n1 ) при фиксированном значении 2
равна:
f (, 1,..., n1 / 2 ) 
1 u
K  (u)   
2 2 
№3(86) Ч.2


f ( x, y) 
 2 
n1 cos n2 1 cos n3 2...cos n2

exp
  2  ;
(2)n / 2 n
 2 
0    , 0  i   i  1,...,n  2, 0  n1  2.
Для безусловной плотности R имеем:
 2 
n / 2
.
f R ()  1n / 2 n / 43 / 4
K n / 21
0 2
(n / 2)
 0 
 x2

1 1  12
1
exp   1  12 u du(

2
2
u
u
u


0

u
1   y 2

2
 y2

 1 
exp    2u  
exp    2v dv 

2
v
 1  12   2u
v
 0




 exp(1u)

u
 y2

exp   ( 2  12 )v dv) 
2
u
v (1  12 )


1( 2  12 )
 I1  I 2  I 3.
18
2015
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
5.
Здесь


12
K 21  2  12 x2  y2  ;
 0
2
I2  21  12  exp x 1  12  y 2 

I1 
6.
7.
2
2

 z 

x
y
exp  
 z 1  12  dz exp  
 w 2  dw;
 
 
 z 2
 w 2
0
0



1.

w
2.


3.
2
2




y
x
exp  
 w 2  12  dw exp  
 z 1  dz;




w
2
z
2

 0 

0
K 0 (u) есть модифицированная функция Бесселя третьего рода [7].
4.
5.
2.
3.
4.
Anderson D.N. A multivariate Linnik distribution // Statist.
Probab. Lett. 1992. V.14. P.333-336.
Zolotukhin I.V. The Study of the Laplace Transform of
Marshall-Olkin Multivariate Exponential Distribution //
Topics in Statistical Simulation. N.Y.: Springer, 2014.
P.531-539.
Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по математическим функциям. М.: Мир, 1979. 832 с.
References
2
I3  12  12  exp x 1  y 2  12 

1.
№3(86) Ч.2
Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979. 448 с.
Mardia K.V. Families of bivariate distributions. V.27. L.:
Griffin, 1970. 109 р.
Gumbel E.J. Bivariate exponential distributions // J. Amer.
Statist. Assoc. 1960. V.55(292). P.698-707.
Marshall A.W. and Olkin I.A. A multivariate exponential distribution // J. Amer. Statist. Assoc. 1967. V.62(317). P.30-44.
6.
7.
19
Vapnik V.N. Vosstanovlenie zavisimostei po empiricheskim
dannym [Reconstruction of dependencies based on empirical
data]. Moscow, “Nauka” Publ., 1979. 448 p.
Mardia K.V. Families of bivariate distributions. London,
Griffin, 1970. 109 р.
Gumbel E.J. Bivariate exponential distributions. Journal of
the American Statistical Association, 1960, v.55(292),
pp.698-707.
Marshall A.W., Olkin I.A. A multivariate exponential distribution. Journal of the American Statistical Association, 1967,
vol. 62 (317), pp. 30-44.
Anderson D.N. A multivariate Linnik distribution. Statistics
& Probability Letters, 1992, vol. 14, pp. 333-336.
Zolotukhin I.V. The Study of the Laplace Transform of Marshall-Olkin Multivariate Exponential Distribution. Topics in
Statistical Simulation, Springer N.Y., 2014, pp. 531-539.
Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical
Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.
New York, Dover Publications. 698p. (Russ. ed.: Abramovits
M., Stigan I. Spravochnik po matematicheskim funktsiiam.
Moscow, “Mir” Publ. 1979. 832 p.).
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
498 Кб
Теги
обобщенные, лапласа, распределение, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа