close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Модель рекламной компании когда объем продаж зависит от влияния рекламы.

код для вставкиСкачать
УДК 519.2
Е.В. Астафьева, А.Ф. Терпугов
МОДЕЛЬ РЕКЛАМНОЙ КОМПАНИИ,
КОГДА ОБЪЕМ ПРОДАЖ ЗАВИСИТ ОТ ВЛИЯНИЯ РЕКЛАМЫ
Исследуется и оптимизируется математическая модель рекламной компании фирмы, производящей однородный товар, когда объем продаж товара в единицу времени зависит от влияния рекламы в этот момент времени.
Задача рекламы, как и всех маркетинговых инвестиций,
состоит в увеличении прибыли компании посредством роста объема продаж или повышения цен. Таким образом, реклама является «двигателем торговли». В работах автора
[1, 2] и в данной публикации рассмотрены некоторые модели влияния рекламы на деятельность фирмы и планирование рекламных компаний.
МОДЕЛЬ ВЛИЯНИЯ РЕКЛАМЫ
(1)
где параметр γ > 1 . Величину R (t ) будем считать
безразмерной; тогда величина κ1 имеет размерность
времени, а величина κ0 имеет размерность сек/руб.
В дальнейшем выгодно перейти к безразмерному
времени τ = t / κ1 и записывать уравнение (1) в виде
(2)
что мы и будем делать. Тогда коэффициент κ0 имеет
размерность 1/руб. Заметим еще, что при выполнении
условия dR d τ > 0 уравнение (2) приобретает вид
(3)
Отсюда находится явное выражение для α (τ) через
R ( τ) :
α ( τ) =
γ
⎤
1 ⎡⎛ dR ⎞
⎢⎜ ⎟ + R (τ)⎥ .
κ0 ⎣⎝ d τ ⎠
⎦
(4)
Постановка задачи на оптимизацию
Рассмотрим случай, когда стоимость затрат на
производство единицы товара равна с, а продается он
по розничной цене p. Пусть q( R(τ)) есть объем продаж в единицу времени, зависящий от влияния рекламы в этот момент времени. Тогда, обозначая через
Π (τ) доход от продажи товара, полученный к моменту времени τ, можем записать
⎤
dΠ
1 ⎡ dR γ
= ( p − c)q ( R(τ)) − ⎢⎛⎜ ⎞⎟ + R(τ)⎥ ,
dτ
κ0 ⎣⎝ d τ ⎠
⎦
∫
0
γ
⎡
⎤
⎛ dR ⎞
⎢ κ0 ( p − c )q( R (τ)) − ⎜ ⎟ − R (τ)⎥ d τ ⇒ max .
R ( τ)
⎝ dτ⎠
⎣
⎦
(6)
В дальнейшем будем использовать обозначение
κ0 ( p − c ) = a . Заметим, что это безразмерная величина.
Среди всех траекторий функции R (τ) особую роль
играет одна, которую мы будем называть стационарной. Она получается из следующих соображений.
Пусть R (τ) = R0 = const . Тогда dR d τ = 0 , и подынтегральное выражение в (6) принимает вид
aq ( R0 ) − R0 . Желание добиться максимума приводит
к требованию aq ( R0 ) − R0 ⇒ max , что, в свою очеR0
редь, дает уравнение для R0 :
aq ′( R0 ) = 1 .
(7)
Решение этого уравнения существует, если выполнено условие aq ′(0) > 1 .
Решение задачи оптимизации
γ
⎛ dR ⎞ + R (τ) = κ α(τ) .
⎜ ⎟
0
⎝ dτ⎠
и естественное желание максимизировать прибыль к
моменту времени Т приводит к задаче
Стационарная траектория
γ
γ
⎛ dR ⎞ sgn ⎛ dR ⎞ + R (τ) = κ α (τ) ,
⎜ ⎟
⎜ ⎟
0
⎝ dτ⎠
⎝ dτ ⎠
T
⎡
⎤
dR γ
κ0 Π (T ) = ∫ ⎢ κ0 ( p − c)q ( R(τ)) − ⎛⎜ ⎞⎟ − R(τ)⎥ d τ , (5)
d
τ
⎝ ⎠
⎦
0 ⎣
T
Пусть R (t ) есть величина, определяющая влияние
рекламы в момент времени t, а α(t ) – величина расходов на рекламу в единицу времени в момент времени t. В отличие от предыдущих работ, мы рассмотрим
следующее уравнение, определяющее зависимость
R (t ) от расходов α(t ) :
⎛ κ dR ⎞ sgn ⎛ dR ⎞ + R (t ) = κ α (t ) ,
⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
0
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
так что
Для решения уравнения (6) применим методы вариационного исчисления. В данном случае функционал имеет вид
γ
dR
F (τ, R, R ′) = aq ( R (τ)) − ⎜⎛ ⎟⎞ − R (τ) ,
⎝ dτ⎠
(8)
и он явно от τ не зависит.
В этом случае уравнение Эйлера имеет первый интеграл
F − R ′FR′ = C ,
который в рассматриваемом случае принимает вид
aq ( R (τ)) − R(τ) + ( γ − 1)( R ′(τ)) γ = C ,
или, в явном виде,
γ
dR
( γ − 1) ⎜⎛ ⎟⎞ = C − aq ( R(τ)) + R (τ) .
(9)
⎝ dτ⎠
Рассмотрим вопрос к константе С. В нашем случае
мы имеем задачу со свободным правым концом и
поэтому при T = τ должно выполняться условие
99
FR′ = 0 , что приводит к требованию R ′(T ) = 0 . Отсюда получаем уравнение, определяющее С:
C = aq ( R (T )) − R (T ) ,
и так как в этом случае ( aq ′( R (T )) − 1) ≠ 0 , то на верхнем пределе интеграл в (13) ведет себя как
R (T )
∫
так что окончательно уравнение (9) принимает вид
γ
dR
( γ − 1) ⎛⎜ ⎞⎟ =
⎝ dτ⎠
= a ( q( R(T )) − q ( R (τ) ) − ( R (T ) − R (τ) ) .
Разделяя переменные, получим
dR
[a ( q( R(T )) − q( R(τ) ) − ( R(T ) − R(τ) )]1 γ
=
(10)
=
(11)
dτ
.
( γ − 1)1 γ
С учетом естественного начального
R (0) = 0 получим решение в виде
R
τ = ( γ − 1)1 γ ∫
0
dz
[a ( q( R(T )) − q( z ) ) − ( R(T ) − z )]1 γ
условия
,
(12)
что дает явное выражение τ через R = R (τ) .
Это же уравнение определяет и неизвестную величину R (T ) . Подставляя в (12) τ = T , получим уравнение для определения R (T ) :
T = ( γ − 1)1 γ
R (T )
∫
0
dz
[a ( q( R(T )) − q( z ) ) − ( R(T ) − z )]1 γ
. (13)
Рассмотрим основные свойства соотношений (12)
и (13). Из (12) получаем
( R(T ) − z )1 γ
до разлагать с точностью до членов с ( R0 − z ) 2 . Получаем
a ( q( R0 ) − q ( z ) ) − ( R0 − z ) =
aq ′′( R0 )
=−
( R0 − z ) 2 + o ( R0 − z ) 2 ,
2
и поэтому на верхнем пределе интеграл в (13) ведет
себя как
(
R0
∫ (R
0
dz
− z )2 γ
T1 = ( γ − 1)1 γ
R0
dz
0
T
dR
2
( γ − 1)1 γ
1
1+
γ
[a ( q( R(T )) − q( R) ) − ( R(T ) − R )]
и так как при R < R0 aq ′( R ) − 1 >0, то и
aq ′( R ) − 1
,
γ
2
d τ
2
> 0 , что
dR
говорит о том, что зависимость τ от R является выпуклой вниз функцией.
Заметим, что при z → R (T ) знаменатель в подынтегральном выражении (13) обращается в ноль. Поэтому необходимо исследовать сходимость интеграла
(13).
Рассмотрим поведение подынтегрального выражения интеграла (13). Здесь возможны два случая:
а) R (T ) < R0 .
В этом случае, используя разложение в ряд Тейлора около точки z = R(T ) , получим
a ( q( R(T )) − q ( z ) ) − ( R (T ) − z ) =
= ( aq ′( R (T )) − 1)( R (T ) − z ) + o ( ( R (T ) − z ) ) ,
100
(14)
0
− z )]1 γ
.
(15)
T
γ≤2
γ>2
T1
dτ
= +∞ .
τ→T dR
Далее, находя вторую производную от τ по R, получим
=
.
∫ [a ( q( R ) − q( z ) ) − ( R
lim
d 2τ
)
Он сходится при γ > 2 и расходится при γ ≤ 2 .
Таким образом, примерный вид зависимости Т от
R(Т) имеет вид, изображенный на рис. 1. Заметим, что
при γ > 2 значению R (T ) = R0 соответствует конечное значение
0
то есть τ монотонно возрастает с ростом R. Далее, так
как при τ → T R → R(T ) , то
,
и, по признакам сходимости несобственных интегралов второго рода, он сходится. Таким образом, при
R (T ) < R0 формула (13) дает всегда конечные значения Т.
б) R (T ) = R0 .
Так как в этом случае aq ′( R0 ) − 1 = 0 , то в (14) на-
1γ
dτ
( γ − 1)
=
>0,
dR [ a ( q ( R(T )) − q ( R ) ) − ( R (T ) − R )]1 γ
dz
R0 R(T)
R0 R(T)
Рис. 1
Частный случай
Рассмотрим частный случай, когда
q( R ) = qm − (qm − q0 )e −βR .
(16)
Условие эффективности рекламы имеет в данном
случае вид aq ′(0) > 1 и превращается в условие
a(qm − q0 )β > 1 .
Стационарное значение R0 определяется уравнением a(qm − q0 )βe −βR0 = 1 , решение которого имеет
вид
1
R0 = ln ( a(qm − q0 )β) .
(17)
β
График для случая, когда β = 0,5 и комбинация
a(qm − q0 ) = 24,364, приведен на рис. 4.
Интеграл (13) приобретает вид
T = ( γ − 1)1 γ ×
R (T )
×
dz
∫
(
−βz
−βR (T )
, (18)
)
1γ
⎡⎣a (qm − q0 ) e − e
− ( R(T ) − z )⎤⎦
и надо строить графики зависимости Т от R(T) для
значений R(T) из области 0 < R (T ) < R0 .
Ниже приведены примеры таких графиков для
случая, когда β=0,5 и комбинация a(qm − q0 ) = 24,364
(рис. 2 и 3). Это соответствует тому, что R0 = 5.
0
T
1,5
2
2,5
6
10
60
40
20
1,001
1,1
1,5
2
8
κ0α(t)
0
6
2
4
R0
6
8 R(t)
Рис. 4
4
Выключение рекламы
2
R0
0
1
2
3
5 R(T)
4
Рис. 2
T
2,1
2,5
3
4
6
8
Незадолго до окончания периода деятельности Т
целесообразно прекратить выделение расходов на
рекламу, чтобы дожить до конца этого периода «по
инерции». Рассмотрим подробно этот процесс.
Пусть длительность периода деятельности Т достаточно велика, так что можно считать, что устанавливается R (t ) = R0 . Пусть в момент времени T − T*
выделение расходов на рекламу прекращается. Тогда
дифференциальное уравнение [2] принимает вид
−( R ′) γ + R = 0 ,
которое надо решить при начальном
R (T − T* ) = 0 . Разделяя переменные
6
dR
R1 γ
и интегрируя, получим
4
R
2
∫ z1 γ
R0
R0
0
1
2
3
5 R(T)
4
Рис. 3
Расходы на рекламу
R
0
= −d τ
τ
=−
∫
d τ = −(τ − T + T* ) .
T −T*
Вычисляя внутренний интеграл, получим
γ
R (τ)( γ−1) γ − R0( γ−1) γ = −
(τ − T + T* ) ,
γ −1
откуда окончательно
γ ( γ−1)
Рассмотрим выражение (12)
τ = ( γ − 1)1 γ ∫
dz
условии
dz
[a ( q( R(T )) − q( z ) ) − ( R(T ) − z )]1 γ
тогда
dτ
( γ − 1)1 γ
=
,
dR [ a ( q ( R (T )) − q( R ) ) − ( R (T ) − R )]1 γ
откуда
1γ
dR [ a ( q ( R (T )) − q( R ) ) − ( R (T ) − R )]
=
dτ
( γ − 1)1 γ
.
Расходы имеют вид
γ
⎛ dR ⎞ + R = a ( q( R (T )) − q ( R ) ) − ( R (T ) − R ) .
⎜ ⎟
γ −1
⎝ dτ⎠
,
γ
⎡
⎤
R (τ) = ⎢ R0( γ−1) γ −
(τ − T + T* )⎥
.
(19)
γ −1
⎣
⎦
Теперь рассуждаем следующим образом: если на
участке [T − T* , T ] не выключать расходы на рекламу,
то мы получим доход
⎛
1
⎞
⎜ aq ( R0 ) − R0 ⎟ T* .
κ0 ⎠
⎝
Если же мы прекратим выделение расходов на рекламу, то получим доход
γ ( γ−1)
⎛ ⎡ ( γ−1) γ
⎞
γ
⎤
aq
R
−
(
τ
−
T
+
T
)
⎜
⎟⎟d τ =
* ⎥
∫ ⎜ ⎣⎢ 0
γ −1
⎦
⎝
⎠
T −T*
T
T*
γ ( γ−1)
⎛⎡
⎞
γ ⎤
z⎥
= ∫ aq ⎜ ⎢ R0( γ−1) γ −
⎟⎟dz .
⎜⎣
γ −1 ⎦
⎝
⎠
0
101
Разность этих величин будет равна
γ ( γ−1)
T*
⎛ ⎡ ( γ−1) γ
⎞
⎛
1
⎞
γ ⎤
z⎥
−
⎟⎟dz – ⎜ aq ( R0 ) − R0 ⎟ T* ,
∫ aq ⎜⎜ ⎢⎣ R0
γ −1 ⎦
κ0 ⎠
⎝
⎝
⎠
0
и она достигает максимума, когда производная от этого выражения равна нулю. Это дает уравнение для
определения T* :
γ ( γ−1)
⎛⎡
⎞
1
γ
⎤
aq ⎜ ⎢ R0( γ−1) γ −
T* ⎥
⎟⎟ = aq ( R0 ) − R0 . (20)
⎜⎣
1
γ
−
κ
⎦
0
⎝
⎠
В рассматриваемом частном случае, когда
q( R ) = qm − (qm − q0 )e −βR , явное выражение для T*
имеет вид
( γ−1)
( γ−1)
R0
γ−1 ⎡
⎛ 1 ⎛ −βR0
⎞⎞ γ ⎤
γ
⎢
⎥ .(21)
− ⎜ − ln ⎜ e
+
T∗ =
R0
⎟⎟
γ ⎢
β ⎝
a κ0 (qm − q0 ) ⎠⎠
⎥⎦
⎝
⎣
Обозначим a κ0 (qm − q0 ) = g .
График (21) для β = 0,5 и R0 = 5 дан на рис. 5
T*
1,5
2
2,5
3
1,6
1,2
0,8
⎧ d Π ( τ) ( a ( R ) − c ) 2
=
− α(τ),
⎪⎪
4b
dτ
⎨
γ
⎪⎛ dR(τ) ⎞ + R(τ) = κ α(τ),
⎜
⎟
0
⎪⎩⎝ d τ ⎠
и нам необходимо решить задачу
T
⎡( a ( R ) − c ) 2 1 ⎛
dR γ ⎞⎤
Π (T ) = ∫ ⎢
− ⎜ R (τ) − ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟⎥ d τ⇒ max . (23)
R ( τ)
4b
κ0 ⎝
⎝ d τ ⎠ ⎠⎦
0⎣
В данном случае функционал имеет вид
F (τ, R, R ′) =
(a ( R (τ) − c) 2 1 ⎛
dR γ ⎞
− ⎜ R (τ) − ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ . (24)
4b
κ0 ⎝
⎝ dτ⎠ ⎠
В этом случае уравнение Эйлера имеет вид
dR γ ⎞
( a ( R ( τ) − c ) 2 1 ⎛
− ⎜ R (τ) − ( γ − 1) ⎜⎛ ⎟⎞ ⎟ = С .
4b
κ0 ⎝
⎝ dτ⎠ ⎠
τ = ( γ − 1)
Rτ
⎡ κ0
∫ ⎢⎣ 4b (( a( R(T )) − c )
0
− ( R (T ) − R ( z ) )⎤⎦
0
5
10
15
20
25
g
Рис. 5
СМЕЩЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СПРОС – ЦЕНА
ПАРАЛЛЕЛЬНО САМОЙ СЕБЕ
Пусть зависимость спрос – цена имеет вид
p + bq = a , или, в явном виде, p = a − bq . Данный вид
зависимости предполагает, что кривая спрос – цена с
течением времени смещается параллельно самой себе.
Тогда доход фирмы в единицу времени составит
величину
(a − bq − c)q − D .
Находя максимум этой величины по объему производства q, легко получить, что этот максимум досa−c
тигается при q =
и доход фирмы в единицу вре2b
мени при таком объеме производства равен
(a − c) 2
−D.
4b
Объем товара g (τ) , производимый в момент времени τ , определяется как
a ( R (τ)) − c
g ( τ) =
.
2b
Тогда получаем следующую систему уравнений,
описывающую рассматриваемую ситуацию:
102
(25)
Уравнение, определяющее С:
( a ( R(T )) − c )2 1
С=
− R (T ) .
4b
κ0
Окончательно уравнение Эйлера имеет вид
γ−1⎛ dR ⎞ γ
(26)
⎜ ⎟ =
κ0 ⎝ d τ ⎠
1
1
= ⎡⎣( a ( R (T )) − c )2 − ( a ( R (τ)) − c )2 ⎤⎦ − [ R (T ) − R(τ)] .
κ0
4b
С учетом естественного начального условия
R (0) = 0 получим решение в виде
1γ
0,4
(22)
2
)
− ( a( R ( z )) − c )2 −
−1 γ
(27)
dz ,
что дает явное выражение τ через R = R (τ) .
Подставляя τ = T , получим уравнение для определения R (T ) :
T = ( γ − 1)1 γ
R (T )
∫
0
⎡ κ0
2
2
⎢⎣ 4b ( a ( R (T )) − c ) − ( a( R( z )) − c ) −
(
)
− ( R (T ) − R ( z ) )⎤⎦
−1 γ
(28)
dz.
Частный случай
Рассмотрим частный случай, когда
q ( τ) =
am − (am − a0 )e −βR ( τ) − c
.
2b
(29)
Стационарное значение R0 определяется уравнением (am − (am − a0 )e −βR0 − c)(am − a )e−βR0 β = 2b , решение которого имеет вид
1
2β
ln
R0 =
. (30)
β(am − a0 ) β(a − c) − (β(a − c ) )2 − 8bβ
m
m
Интеграл (28) приобретает вид
1γ
T = ( γ − 1)
R (T )
∫
0
⎡ κ0
−βR (T )
− c) 2 −
⎢⎣ 4b ((am − (am − a0 )e
−(am − (am − a0 )e −βR ( z ) − c) 2 ) − ( R (T ) − z )⎤⎦
−1 γ
dz.
СМЕЩЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СПРОС – ЦЕНА
ПОД УГЛОМ
Объем товара g (τ) , производимый в момент времени τ , определяется как
g ( τ) =
a ( R (τ)) − c
.
2b( R (τ))
Тогда получаем следующую систему уравнений, описывающую рассматриваемую ситуацию:
τ = (γ −1)1 γ ×
Rτ
dz
×∫
(31)
⎡κ0 ⎛(a ( R (T )) − c) (a ( R ( z )) − c)2 ⎞
⎤
−
⎟⎟ − (R (T ) − R ( z ))⎥
⎢ ⎜⎜
b( R ( z )) ⎠
⎣ 4 ⎝ b( R (T ))
⎦
0
R (T )
×
∫
С=
( a ( R(T )) − c )2
4b( R(T ))
1γ
⎡κ0 ⎛(a ( R (T )) − c)2 (a ( R ( z )) − c)2 ⎞
⎤
−
⎟⎟ − (R (T ) − R ( z ))⎥
⎢ ⎜⎜
b( R ( z )) ⎠
⎣ 4 ⎝ b( R (T ))
⎦
Рассмотрим частный случай, когда
q ( τ) =
am − (am − a0 )e −βR ( τ) − c
4(bm − (bm − b0 )e −βR ( τ) )
.
(38)
Стационарное значение R0 определяется уравнением
(
)
2 am − (am − a0 )e −βR0 − c (am − a0 )e −βR0 ×
(
)
×β bm − (bm − b0 )e −βR0 −
(
− am − (am − a0 )e
1
− R (T ) .
κ0
−βR0
)
2
− c (bm − b0 )e−βR0 =
(
= 4 bm − (bm − b0 )e −βR0
)
2
.
Интеграл (37) приобретает вид
γ
γ −1⎛ dR ⎞
⎜ ⎟ =
κ0 ⎝ d τ ⎠
(35)
⎡( a ( R (T )) − c )2 ( a ( R (τ)) − c )2 ⎤ 1
=⎢
−
⎥ − [ R (T ) − R (τ)] .
4b( R (τ)) ⎦ κ0
⎣ 4b( R (T ))
С учетом естественного начального
R (0) = 0 получим решение в виде
.
Частный случай
γ
Окончательно уравнение Эйлера имеет вид
(37)
dz
В данном случае функционал имеет вид
(a ( R (τ) − c)
1⎛
dR ⎞
− ⎜ R (τ) − ⎜⎛ ⎟⎞ ⎟ . (33)
4b( R (τ))
κ0 ⎝
⎝ dτ⎠ ⎠
В этом случае уравнение Эйлера имеет вид
( a ( R ( τ) − c ) 2 1 ⎛
dR γ ⎞
− ⎜ R (τ) − ( γ − 1) ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ = С .
(34)
κ0 ⎝
4b( R (τ))
⎝ dτ⎠ ⎠
Уравнение, определяющее С:
,
что дает явное выражение τ через R = R (τ) .
Подставляя τ = T , получим уравнение для определения R (T ) :
0
T
⎡(a( R(τ)) − c) 2 1 ⎛
dR γ ⎞⎤
Π (T ) = ∫ ⎢
− ⎜ R (τ) − ⎜⎛ ⎟⎞ ⎟⎥ d τ⇒ max . (32)
R ( τ)
κ0 ⎝
4b( R (τ))
⎝ d τ ⎠ ⎠⎦
0⎣
F (τ, R, R ′) =
1γ
2
T = (γ −1)1 γ ×
⎧d Π (τ) (a( R (τ)) − c) 2
=
− α(τ),
⎪⎪
4b( R(τ))
dτ
⎨
γ
⎪⎛ dR(τ) ⎞ + R (τ) = κ α (τ),
⎜
⎟
0
⎪⎩⎝ d τ ⎠
и нам необходимо решить задачу
2
(36)
условия
(
)
2
−β R (T )
⎛
−c
κ0 ⎜ am − (am − a0 )e
⎢
T = ( γ − 1)
∫ ⎢ 4 ⎜ b − (b − b )e−βR (T ) −
0
m
m
0 ⎣
⎝
−1 γ
2
⎤
am − (am − a0 )e −βR ( z ) − c ⎞
⎟ − ( R(T ) − z )⎥ dz.
−
⎟
⎥
bm − (bm − b0 )e −βR ( z )
⎠
⎦
1γ
(
R (T ) ⎡
)
ЛИТЕРАТУРА
1. Астафьева Е.В., Терпугов А.Ф. Математическая модель влияния рекламы на деятельность фирмы // Четвертая Всерос. конф. по финансово-актуарной математике и смежным вопросам: Тез. докл. Красноярск, 2005. С. 19 – 20.
2. Астафьева Е.В., Терпугов А.Ф. Модель рекламной компании, когда цена продажи зависит от рекламы // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 13 – 20.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2005 г.
103
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
494 Кб
Теги
компания, зависит, реклама, влияние, продажи, объем, рекламное, модель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа