close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нагруженная краевая задача Римана для кусочно-голоморфно автоморфных функций с дополнительными условиями принадлежащими конечной группе дробно-линейных преобразований.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2012, том 55, №11
МАТЕМАТИКА
УДК 517.948
Р.Акбаров, К.Джураев
НАГРУЖЕННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ
КУСОЧНО-ГОЛОМОРФНО АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ С
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ, ПРИНАДЛЕЖАЩИМИ КОНЕЧНОЙ
ГРУППЕ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Кулябский государственный университет им. А.Рудаки
(Представлено академиком АН РеспубликиТаджикистан Л.Г.Михайловым 02.06.2012 г.)
В статье исследуется задача Римана для кусочно-голоморфных автоморфных функций с дополнительными задачами, принадлежащими конечной функциональной группе дробно-линейных преобразований.
Ключевые слова: краевая задача – нагрузка – автоморфная функция.
1. Предварительные сведения. Однозначной аналитической функцией F ( z) называют автоморфной по отношению к данной группе
 : 0  z   z, k  z  
 дробно-линейных постановок
ak z  bk
,  k  ak d k  ck bk  0, k  1, 2,, n,
ck z  d k
(1)
если она инвариантна относительно преобразований этой группы:
F k  z    F  z  .
(2)
Рациональные автоморфные функции образуют единственный класс однозначных функций,
автоморфных по отношению к конечным группам. Точки или фигуры, получаемые одна из
другой при помощи подстановок группы (1), называются эквивалентными. Автоморфная
функция, согласно (2), принимает в эквивалентных точках одно и тоже значение. Область,
которая не содержит двух различных эквивалентных между собой точек, но которая содержит точки, эквивалентные любой точке плоскости относительно рассматриваемой группы
 , называется фундаментальной областью группы (соответственно фундаментальной областью автоморфной функции).
Если группа не содержит целых подстановок, то есть если все Сk  0 , то фундаментальную область легко построить. Это будет внешность всех изометрических окружностей
группы, уравнения которых
Адрес для корреспонденции: Рахмат Акбаров. 735360, Республика Таджикистан, г. Куляб, ул. А.Сафарова 30,
Кулябский государственный университет . E-mail:akbarov-39@mail.ru
859
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №11
Ск z  dk  1, Сk  0 , k  1, 2,, n .
Автоморфные функции имеют в фундаментальной области одинаковое число нулей и полюсов и вообще любое свое значение принимают одинаковое число раз. Из этого свойства следует, что если автоморфная функция в фундаментальной области D не имеет полюса, то она
тождественно равна постоянной.
Особую роль в теории автоморфных функций играет так называемая основная функция группы . Это автоморфная функция
n 1
1
k  0 k  z   a
F  z  
(где а – любое фиксированное число), принимающая в каждой фундаментальной области
любое свое значение один раз. Если функция
n 1
F  z   k  z 
k 1
не вырождается тождественно в постоянную, то она является основной автоморфной функцией, имеющей полюс в бесконечно удалѐнной точке.
Если F  z  имеет полюс порядка æ в конечой точке, то она может быть представлена
в виде
Pæ( z )
 F  z   F  z  
æ
,
где z – бесконечно удалѐнная или эквивалентная ей точка.
2. Постановка задачи. Пусть D – одна из фундаментальных областей, целиком состоящая из обыкновенных точек фундаментальной группы (1), и пусть L0 – некоторая гладкая
замкнутая
кривая,
целиком
расположенная
в
области
D.
Обозначим
через
Lk  k  1, 2,, n  контуры, эквивалентные контуру L0 , то есть кривые, в которые переходит
кривая L0 при преобразованиях группы (1). В дальнейшем будем считать, что все линии Lk
различны между собой и могут пересекаться друг с другом и с L0 лишь в конечном числе
точек.
Рассмотрим следующую краевую задачу.
Найти кусочно–голоморфную автоморфную функцию Ф  z  , принадлежащую группе
 с линией скачков L0 , Н – непрерывно продолжаемое слева и справа на L0 по краевому условию
860
Математика
Р.Акбаров, К.Джураев
n
Ф   t   G  t  Ф   t   g  t    ii  t  , t  L0 , Ф     0,
(3)
i 1
где G  t  , g  t  , i  t   i  1, 2,, n  – заданные на L0 функции, удовлетворяющие условию
Гѐльдера, причѐм G  t   0 всюду на L0 (и тогда вводится обозначение индекса задачи
æ JndG t ) ; 1 ,  2 , ,  n – некоторые комплексные постоянные, подлежащие определению наряду с Ф  z  . Кроме того, неизвестные коэффициенты 1 ,  2 , ,  n следует подобрать так, чтобы существовало многообразие решений задачи (3),удовлетворяющее дополнительным условиям:
h
( )Ф  ( )d  p j , j  1, 2,..., m1 ,
(4+)
( )Ф  ( )d  g j , j  1, 2,..., m1  1, m1  2,..., m1  m2  m ,
(4-)
j
L0
h
j
L0
где h j  t  – линейно-независимые комплексные функции, а p j – комплексные постоянные.
Кривые Lk для функции Ф  z  будут также линиями разрыва. Учитывая краевое условие (3) и автоморфность искомой функции, решение будет удовлетворять краевым условиям
на всем контуре
n 1
L  L0 Lk ,
k 1
уравнения которого   k  z   0, или z  k1   ,   L0 ,
 k  1,, n 1 .
Если функции
k  z  отображают контур L0 в контуры Lk с сохранением направления обхода, то из (2)
Ф   t   Ф  k  t   , t  L0  D.
Подставляя в краевые условия (3), получаем:
n
Ф  k  t   G  t  Ф  k  t   g  t    k k  t  , t  L0 , Ф      0
k 1
или, заменяя t  L0 на k  t    j  t  , t  L j :
n
Ф   t   G  j  t   Ф   t   g  j  t     k k  j  t  , t  L j ,
k 1
Ф     0, j  1, 2,, n  1.
861
(5)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №11
Таким образом, на линиях Lk функция Ф(z) также удовлетворяет краевым условиям
задачи Римана (3). Краевые условия (3), (5) равносильны краевому условию (3) и соотношению
Ф k  z    Ф  z 
(6)
Поэтому при решении задачи Римана нет нужды выписывать краевые условия для искомой
функции на линиях, эквивалентных данной. Данного краевого условия (3) и соотношения (6)
вполне достаточно.
3. Решение краевой задачи. Будем считать, что контур L0 замкнут. Тогда и все контуры Lk , эквивалентные L0 , будут тоже замкнутыми. Каноническую функцию  ( z) для совокупности контуров L0 , Lk ,, Ln 1 можно построить как произведение канонических функций 0  z  , 1  z  ,, n1  z  , для каждого из этих контуров в отдельности. Известно [1], что
каноническая функция для всего контура L представится в виде
n 1
n 1
n1
 ( z )   0 k ( z )  k ( z )  t0  e
k 0
æ
0 k ( z )
k 0
,
(7)
k 0
0 ( z)  ( z  t0 )æe ( z )
0
0 ( z ) 
1 LnG( )
d ( ) ,
2 i L0   z
где t 0 – некоторая точка контура L0 , отличная от точек пересечения, æ – индекс функции
G(t ) . Функция  ( z) отлична от нуля всюду, кроме, может быть, бесконечно удаленной точки
и точек, ей эквивалентных, где она имеет порядок æ и инвариантно относительно всех подстановок группы  ( z)   k ( z) , (k  1, 2,....., n 1) и на контурах Lk удовлетворяет условию
  (t )  G (t )   (t ), t  Lk , (k  0,1, 2,...., n 1) . Обычным приѐмом факторизации приводим
краевое условие (3) к виду
  (t ) 
Ф  (t ) Ф  (t ) g k (t )  n
  
 k k  k
, t  Lk , (k=0,…,n-1).


 (t )  (t )
 (t )
 (t )
k 1
(8)
Это есть задача определения аналитической автоморфной функции по еѐ скачку. Используя
формулы Сохоцкого-Племели, непосредственной проверкой легко убедиться, что кусочноаналитическая функция
862
Математика
Р.Акбаров, К.Джураев
n
i ( )  d ( )
1 n 1  g ( )
1 n 1 g ( )
F ( ) d
 ( z) 








i







2 i k 0 L0   ( ) i 1  ( )    k ( z ) 2 i k 0 L0  ( ) F ( )  F ( z )
1
 ( ) F ( )d
1 n 1 n

 k i 
  g ( z )  0 ( z )



2 i k 0 L0 i 1
 ( ) F ( )  F ( z )
1
остаѐтся инвариантной относительно всех преобразований группы и удовлетворяет краевому
условию (8). Следовательно, функция
Фr ( z )   ( z )  g ( z)  0 ( z)  ,
1
 g ( z) 
2 i
где

k  0 L0
1 n 1
 0 ( z) 

2 i k 0 L
g ( )
F ( )d

,

 ( ) F ( )  F ( z )
1
n 1
n

i 1
k
i ( )
F ( )

  ( ) F ( )  F ( z )
(9)
(10)
является частным решением неоднородной задачи
n
Ф  (t )  G k (t ) Ф  (t )  g k (t )     ii i (t )  , k  0,1...., n  1
(11)
i 1
Прибавляя к (11) общее решение однородной задачи, задаваемое формулой
Ф0 ( z )   ( z ) 
Px 1 ( F )
 F ( z )  F ( z ) 
x 1
в случае æ  0, получим общее решение неоднородной задачи (11) в следующей форме:


Px 1 ( F )


,
Ф( z )  Ф0 ( z )  Фr ( z )   ( z )  g ( z )   ( z ) 
x 1 
F
(
z
)

F
(
z
)







(12)
где  ( z) – каноническое решение, определяемое формулой (7),  g ( z ),   ( z )  выражаются
соответственно формулами (9) и (10), Px 1 ( F ) – произвольный многочлен степени æ-1 от основной функции группы, Z  – бесконечно удалѐнная или любая эквивалентная ей точка. При
æ<0 нужно положить Px 1 ( F )  0 и, кроме того, потребовать, чтобы  g ( z)   ( z) на бесконечности обращались в нуль (-æ+1)-го порядка. Разложение  ( z) в окрестности бесконечно
удаленной точки будетиметь вид:
 ( z)  
 j
 j
 ( )
1   n 1 g ( ) 1
1   n 1 n
j 1

j 1
   k ( )k dz  z 
    i i  k ( )k z .


2 i j 1  k 0 L0  ( )
2 i j 1  k 0 L0 i 1  ( )


863
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №11
Приравнивая нулю коэффициенты, при z  j ( j  1, 2,...  æ) получим условия разрешимости
задачи
n
 g ( )
i ( )  n1 


i
k ( )kj i ( )d  0 , ( j  1, 2,.....,  æ).

L0    ( ) i1   ( )  
k 0
(13)
Условия разрешимости (13) равносильно записать
n
n
  
i 1
i
L0
i 1
i
n 1
i ( ) n1 
g ( ) 
j i

(

)

(

)
d



k ( )kj 1 ( )d


k
k



 ( ) k 0
k  0 L  ( )
n

или
i 1
где
( j  1, 2,....,  æ)
0
 ji 

L0
 i  f j , j  1, 2,...., |æ|-1,
ji
i ( ) n1 
  ( )kj 1d ,
  ( ) k 0 k
n 1
fj - 
k 0 L0
(14)
g ( ) 
 ( )kj 1 ( )d .
  ( ) k
Таким образом, мы имеем следующий результат
Теорема 1. Неоднородная краевая задача (3) при æ  0 безусловно разрешима. При
æ  0 она разрешима тогда и только тогда, когда выполняются (-æ) условия разрешимости
(13).
4. Определение неизвестных коэффициентов  i .
Находя из (12) Ф  (t ) и вставляя в (4 ), (4 ), получим две алгебраическихсистемы
(л.а.с) с двумя группами комплексных неизвестных С1 , C2 ,....C x 1 и 1 ,  2 ,... n
x 1

k 1

ik
n
Ck    ji i  d j , j  1, 2,..., m ,
 jk 
где
(15)
i 1
h j (t )   (t ) F k (t )dt
  F (t )  F (t )
k 1
:

L0


j

  ( )
1
d  
 1 h (t )  (t )l (t )
j

i
dt

h
(
t
)

(
t
)

dt
 
 .

  (t )
2 i L

(

)



(
t
)
k  0  2 L0
 
k
 L0
0


n 1
 ji   
d j  p j 
 n 1 g ( )

1
d
1 n 1
g (t )
j

h
(
t
)

(
t
)

dt

h j (t )   (t )  dt.








2 i L0
2 k 0 L0
 (t )
 k 0 L0  ( )   k ( ) 
Заметим, что при знаке () в (15) надо брать j  1, 2...., m1 , а при знаке (-) надо брать
j  m1  1, m1  2,....., m1  m2  m .
864
Математика
Р.Акбаров, К.Джураев
Теорема 2. Неоднородная краевая задача (3) в классе кусочно-голоморфных автоморфных функций, стремящихся к бесконечности, принадлежащих конечной группе дробнолинейных преобразований с дополнительными задачами (4 ) и (4 ), сводится к л.а.с. 19) ,
состоящей из двух подсистем, определяемых знаками (+) либо (-) с неизвестными
С1 , C2 ,.....Cx 1 и 1 ,  2 ,.... n .
Пусть в (3) будет æ  0 . Тогда:
1. Если m  æ  n  1 , то задача (3)- (4) безусловно разрешима, а еѐ общее решение,
задаваемое формулой (12), содержит æ  n  1  m  произвольных комплексных постоянных.
2. Если m  æ  n  1 и определитель из (15) отличен от нуля, то задача (3)- (4) имеет и притом единственное решение.
3. Если m>æ  n  1 и ранги основной и расширенной матрицы из (15) совпадают и
обозначены через r, тогда общее решение задачи, задаваемой формулой (12), содержит
(æ n 1)  r -произвольных постоянных.
В том случае, когда æ  0 , надо взять всюду  x 1 ( F )  0, а вместо л.а.с.(15) две отдельные системы, как и ранее в (15) при знаках плюс и минус:
n

i 1
 i   j , j  1, 2,..., m.

ji
(16)
И кроме того, у нас есть условия разрешимости (14):
n

i 1
 i  f j , j  1, 2,...., |æ|-1.
ji
Теорема 3. Пусть æ  0 . Тогда:
1. Если m+|æ| 1  n , то задача (3)- (4  ) всегда разрешима и еѐ общее решение, задаваемое формулой Ф( z)   ( z) ( z), содержит n  (m  |æ|-1) произвольных комплексных постоянных:
2. Если m  |æ|-1=n и определитель системы (15), (20) отличен от нуля, то задача
(3)- (4  ) имеет и притом единственное решение;
3. Если m  |æ|-1>n, то для разрешимости задачи (3)- (4  ) необходимо и достаточно,
чтобы совпадали ранги основной и расширенной объединяющей матриц (14), (16) , тогда
общее решение содержит n  r произвольных комплексных постоянных.
Поступило 06.06.2012 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977, 638 с.
865
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №11
2. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций-Казань:Издательство
Казанского университета, 1977, 301 с.
3. Михайлов Л. Г., Акбаров P. – ДАН РФ, 2009, т. 425, №5, с.1-5.
Р.Акбаров, К.Љураев
МАСЪАЛАИ КАНОРИИ РИМАН БАРОИ ФУНКСИЯЊОИ ЌИСМАН
ГОЛОМОРФЇ АВТОМОРФ, БО ШАРТЊОИ ИЛОВАГИИ ШАКЛИ
МОМЕНТЊОИ, ГУРЎЊИ ОХИРНОКЇ ТАБДИЛДИЊИЊОИ
КАСРЇ – ХАТТЇ
Донишгоњи давлатии Кўлоб ба номи А.Рўдакї
Дар маќола масъалаи канории Риман барои функсияњои ќисман голоморфї автоморф,
бо шартњои иловагии шакли моментњо, ки ба гуруњи охирноки табдилдињињои касрї-хаттї
мутаалиќ њаст, татќиќот гузаронида шудааст.
Калимањои калидї: масъалаи канорї – сарборї – функсияњои автоморф.
R.Akbarov, K.Juraev
LOADED BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A PEICEWISE RIMAN
HOLOMORPH, AFTOMORPHIE FUNCTION WITH THE ADDITIONAL
CONDITION WITH A FINITE GROUP OF FRACTIONAL LINEAR FORMATION
A.Rudaki Кulyab State University
In article problem of Rimana for piece-golomorph automorph functions with additional conditions on required function belonging final group fractionally linear transformed is investigated.
Key words: Boundary problems – loading – automorphie function.
866
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа