close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

НАИЛУЧШИЕ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖёННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2011, том 54, №9
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Д.С.Сангмамадов
НАИЛУЧШИЕ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПЕРВОГО РОДА
Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 20.07.2011 г.)
В работе для классов дифференцируемых функций, у которых градиент функций по норме
пространства Lp 1
p
ограничен, вычислена точная оценка погрешности квадратурных фор-
мул для приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода.
Ключевые слова: криволинейные интегралы первого рода – вектор коэффициентов и вектор узлов –
квадратурная формула – погрешность.
Одной из актуальных задач численного анализа является задача приближѐнного интегрирования функций, заданных на конечном или бесконечном отрезке [a b] К настоящему времени экстремальная задача об отыскании наилучшей квадратурной формулы и получении точного еѐ остатка
решена для регулярных интегралов на классах функций с ограниченной по норме производной в пространстве W ( r ) Lp [a b] r
0 1 2 …1 p
и классах W ( r ) H [a b] r
012…
Все полученные результаты до 1979 г. приведены Н.П.Корнейчуком в дополнении к монографии [1]. Тем не менее многие такие вопросы, как оптимизация приближѐнного вычисления сингулярных интегралов, криволинейные интегралы, остались вне рамках указанной монографии.
В данной заметке рассмотрим задачу приближѐнного вычисления криволинейных интегралов
первого рода в виде следующей квадратурной формулы, использующей линейные комбинации конечного числа подынтегральной функции
N
f ( M )ds
pk f ( M k ) RN ( f
)
(1)
k 0
N
где f (M )
f ( x y) M k
k
0 N Сумму
pk f ( M k ) будем называть квадратурной суммой,
k 0
p k и M k – соответственно, коэффициентами и узлами, RN ( f
)
RN ( f
формулы (1) на функцию f заданную и определѐнную вдоль кривой
pk M k ) – погрешность
R 2 Для достижения вы-
Адрес для корреспонденции: Сангмамадов Давлатмамад Сайфович. 734055, Республика Таджикистан,
г.Душанбе, пр.Борбад, 48/5, Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан.
E-mail: davlat@mail.ru
709
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №9
сокой точности вычислений при заданном N необходимо возможно лучшим образом воспользоваться выбором коэффициентов p k и узлами M k в квадратурной формуле (1).
Мы приводим здесь решение задачи Сарда [1] для квадратурной формулы (1), когда кривая
задана параметрическими уравнениями, узлы M k равномерно распределены на отрезке [0 L] где L
– длина
Всюду далее через MQ ( L) обозначим класс плоских спрямляемых кривых
непрерывной
кривизны, расположенных в области
Q {( x y ) x 2
y2
L2 }
у которых длина не более L Из курса дифференциальной геометрии известно [2], что параметрические уравнения кривой
MQ ( L) отнесѐнной к длине дуги s(0 s
x
Обозначая через sk sk
Mk
x(s) y
L
(2)
[0 L] значения длины дуги s
которые соответствуют точкам
перепишем квадратурную формулу (1) следующим образом:
L
N
f ( x( s) y( s))ds
pk f ( x( sk ) y ( sk )) RN ( f
s0
s1
s2 … sN
(1 1)
Пусть Wp Q ()
W (1 1) Lp ( Q) 1 p
– класс функций f (M )
x f
L
p
(3)
L – произвольное разбиение отрезка [0 L]
почти всюду в области Q существуют частные производные f
f
)
k 0
0
где 0
y ( s) 0 s
L) как параметру, имеют вид
grad f
f
p
x
2
f
y
2
p
f ( x y) у которых
y и выполняется условие
1 p
ds
M
(4)
0
Ясно, что для каждой функции f
Wp(1Q1) () каждая кривая
MQ ( L) погрешность квадратур-
ной формулы (3), имеет вполне определѐнное значение
L
RN ( f
)
N
f ( x( s) y( s))ds
pk f ( x( sk ) y( sk ))
k 0
0
За величину, характеризующую точную оценку погрешности квадратурной формулы на всѐм
(1 1)
классе функций Wp Q ( M ) на заданной кривой
RN Wp(1Q1) ()
На классе
MQ ( L) всех кривых
MQ ( L) примем величину
sup RN ( f
)
f
Wp(1Q1) ()
длина которых не превосходит L наибольшую по-
грешность квадратурной формулы (3) обозначим через
710
Математика
Д.С.Сангмамадов
RN Wp(1Q1) () MQ ( L)
sup RN (Wp(1Q1) ())
M Q ( L)
(5)
В дальнейшем предположим, что квадратурная формула (3) точна для функции
N
f ( x y) const что влечѐт за собой выполнение равенства
pk
L Очевидно, что величина по-
k 1
грешности (5) на классах функции Wp(1Q1) ( M ) и кривых MQ ( L) зависит от вектора коэффициентов
P { pk }kN 0 и вектора узлов S {sk }kN 0 то есть
RN Wp(1Q1) () M Q ( L)
RN Wp(1Q1) () MQ ( L) P S
Требуется при фиксированном векторе узлов S
N Wp(1Q1) () MQ ( L) S
sk sk
k
L
N
N
найти величину
k 0
inf RN Wp(1Q1) () MQ ( L) P S
(6)
P
Если существует вектор коэффициентов P0
{ pk0 }kN 0 для которого достигается нижняя
грань в (6), то есть если
N Wp(1Q1) () MQ ( L) S
RN Wp(1Q1) () MQ ( L) P 0 S
(7)
то квадратурная формула (3) называется наилучшей или оптимальной по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированном векторе узлов S
Отметим, что задача (7) является одним из наи-
более часто встречающихся в приложениях случаев равностоящих узлов, когда отрезок [0 L] разделѐн на N равных частей L
L N точками sk
Для произвольной функции f
kL k
0N
Wp(1Q1) () как функции f ( x(s) y(s)) одного переменного
запишем формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши и подставим в квадратурную формулу (3). Тогда погрешность квадратурной формулы (3) представим в виде
L
RN ( f
)
0
f x( s ) y ( s )
x
f x( s ) y ( s )
y
dx
ds
dy
( s)ds
ds
(8)
где ядро (s) определяется равенством
N
( s )
L s
pk ( sk
s)0 u 0
[max(0 u )]0
k 0
Оценивая
( x
правую
s)2 ( y
s) 2
часть
(8)
согласно
неравенству
1 для произвольной функции f
711
Гельдера
и
учитывая
тождество
Wp(1Q1) () получаем оценку сверху
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
L
RN ( f
f
x
)
0
1 p
L
p
f
x
s
L
2011, том 54, №9
y
ds
s
1q
L
(s) ds
q
ds
0
1q
L
q
( s) ds
0
1q
1
p
(s ) ds
q
M
0
Рассмотрим кривую
1 p
p
f
y
0
1
1
q
(9)
MQ ( L) которая задана параметрическими уравнениями
s
y
2
x
s
2
0 s
L
Wp(1Q1) () в виде
и выберем функцию f
y
x
f ( x y)
( s )ds
0
( s )ds
0
где
( s)


2
p
q
( s)
Lp [0 L ]
p
q
sgn ( s)
N
( s )
L
2s
2s)0
pk ( sk
k 0
Подставляя функцию f ( x y ) и
в равенство (5), убедимся, что в неравенстве (9) имеет
место знак равенства. Этим доказано, что правая часть неравенства (9) является точной верхней гра(1 1)
ницей на множествах функций Wp Q () и кривых MQ ( L)
1q
L
RN W
(1 1)
pQ
() MQ ( L) P S

( s) ds
q
(10)
0
L
От чисел P
{ p0 p1 … pN } в оценке (10) зависит лишь интеграл
( s) q ds и коэффици0
енты p k нужно выбрать так, чтобы указанный интеграл принимал наименьшее значение. Очевидно,
что экстремальная пара f
Положим qk
sk
L
и
не единственная.
k
( s)
pk
L
k 1 N Тогда имеем:
s
L 1
L
N
k
k 1
712
k
S
L
0
L ( s L)
Математика
Д.С.Сангмамадов
В правой части равенства (10) сделаем замену переменной
s L и, учитывая, что ядро
( ) имеет вид
N
( ) 1
dk
k 1
0
k
N
L
и является линейной функцией на каждом из отрезков
1
N
i
(i 1 2 … N )
N
N
( ) 1
k
k 1
и что точную нижнюю грань в выражении (10) реализуют числа
k
0 N (см., например,
1 N k
[3. стр.229-230]), получаем следующее утверждение
Теорема. Среди квадратурных формул вида (3) с фиксированными векторами узлов
T
tk tk
k
L
N
Wp(1Q1) () 1 p
N
наилучшей
по
коэффициентам
формулой
на
классе
функций
k 0
и классе кривых MQ ( L) является формула
L
f ( x( s) y( s))ds
0
L
N
N
f x
k 0
kL
N
y
kL
N
RN ( f )
При этом
1
N W
(1 1)
pQ
() MQ ( L) S
1
L q
2N q 1 q
1 q
Отметим, что вопросы приближѐнного вычисления криволинейных интегралов первого рода
для других классов функций рассмотрены в работах [4,5].
Поступило 20.07.2011 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
5.
Никольский С.М. Квадратурные формулы – М.:Наука, 1979, 256 с.
Финников С.П. Курс дифференциальной геометрии – М.:Гостехиздат, 1952, 343 с.
Крылов В.И. Приближѐнное вычисление интегралов – М.:Наука, 1967, 500с.
Вакарчук С.Б. – Укр. матем. журнал, 1986, т.38, , с.643-645.
Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. – ДАН РТ, 2010, т.53, 6, с.415-419.
713
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №9
Д.С.Сангмамадов
ФОРМУЛАЊОИ КВАДРАТУРИИ АЗ РЎИ КОЭФФИСИЕНТЊО БЕЊТАРИН
БАРОИ ЊИСОБКУНИЊОИ ТАЌРИБИИ ИНТЕГРАЛЊОИ КАЉХАТТАИ
ЉИНСИ ЯКУМ
Донишкадаи соњибкорї ва хизмати Љумњурии Тољикистон
Дар маќола барои синфи функсияњои дифференсиронидашаванда, ки градиенти
функсияњо аз рўи нормаи фазои Lp 1
p
мањдуд аст, бањои аниќи хатогии формулањои
квадратурї барои интегралњои каљхаттаи љинси якум њисоб карда шудааст.
Калимањои калидї: интегралњои каљхаттаи љинси якум – вектор коэффисиентњо ва вектор
гирењњо – формулаи квадратурї – хатогї.
D.S.Sangmamadov
THE BEST QUADRATURE FORMULAS BY COEFFICIENTS
FOR APPROXIMATE CALCULATION OF CURVILINEAR INTEGRALS
OF THE FIRST TYPE
The Enterpriser Institute and Service of Republic Tajikistan
In the article for some classes differentiable functions in which the gradient functions by the norm of
the space is bounded Lp 1
p
and the exact evaluation of the error quadrature formula for the approx-
imate calculation curvilinear integrals of the first type is calculated.
Key words: the curvilinear integral of the first type – vector coefficient and vector nodes – the quadrature
formula – error.
714
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа