close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Начально-краевые задачи для неклассических систем уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2014, том 57, №7
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
Б.А.Рахмонов
НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 19.12.2013 г.)
В работе для многомерной неклассической системы уравнений второго порядка с переменными коэффициентами доказывается однозначная разрешимость граничных задач в ограниченных и
в неограниченных пространственных областях.
Ключевые слова: неклассическая система уравнений – система уравнений составного типа – характеристический определитель – начально-краевые задачи – вырождающиеся гиперболические системы – интегральный оператор.
В (m  1) – мерном пространстве Rm1  {(t x)  x  Rm  t  R} рассмотрим систему уравнений
 2U n
 t U  (1  t n ) grad (divU )  0 n  0
2
t
(1)
где U (t x)  (u1 u2  um ) – искомая вектор-функция,  grad  div – операторы Лапласа, градиента
и дивергенции по x  R m  Характеристический определитель системы (1) имеет вид
 (0  1 2  m )  (02    2 )(02  t n   2 )m1   2  12  22    m2 
Следовательно, при n  2k  1 в полупространстве t  0 система (1) эллиптична, а в полупространстве t  0 является системой составного типа [1,2]. При n  2k система (1) в обоих полупространствах имеет как вещественные, так и мнимые характеристики. При t  0 система характеристически вырождается.
Задача: В полупространстве Rm1  {(t x)  x  R m  t  0} для системы (1) рассмотрим следующую начальную задачу: найти регулярное в Rm1 решение системы (1), стремящееся к нулю на
бесконечности и удовлетворяющее начальным условиям
U (0 x)  ( x)
(2)
rotUt (0 x)  ( x)
(3)
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Бахтовар Абдуганиевич. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе,
пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: Bakhtovar-1989@mail.ru
544
Математика
Б.А.Рахмонов
где ( x) ( x) – заданные достаточно гладкие и стремящиеся к нулю на бесконечности функции.
Действуя на (1) операциями div и rot по x  R m , заметим, что функция (t x)  divU
удовлетворяет уравнению
 2
   0
t 2
(4)
а вектор-функция  (t x)  rotU удовлетворяет системе вида
 2 n
 t   0
t 2
(5)
Тогда задача (1)–(3) распадается на задачу Коши
 (0 x)  rot( x) t (0 x)  ( x)
(6)
для вырождающейся гиперболической системы (5) и на задачу Дирихле (0 x)  div( x) для уравнения Лапласа (4).
Задача Дирихле для уравнения Лапласа однозначно определяет функцию (t x ) при t  0
[3].
Рассмотрим задачу Коши для вырождающейся системы (5) с начальными условиями (6).
Задача (5)–(6) заменой
1
y  (1  a )t 1a  a 
n
1
n2
приводится к задаче
 
 2 a 

 0
y 2 y y
y  
 (0 x )  rot lim 
 ( x )

y 0 1  a

 y
(7)
a
(8)
Легко видеть, что общее решение уравнения (7) при 0  a  1 из класса C 2 ( Rm1 )  C ( Rm )
представимо в виде [4,5]
 ( y x)  Tma ( f )  y1aTm2a ( g )
где
Tma ( f ) 
m
m 1 a
1
f ( x   y )d 
2  2
2

A

(1




)
d






k2 
m 1 a

m a


2
2
Ama  1 (1    )
k 1
 1
545
(9)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №7
f ( x)  f ( x1 x2  xm ) g ( x)  g ( x1 x2  xm ) – произвольные непрерывные вектор-функции точек
гиперплоскости y  0    1 – сфера с центром в начале координат и радиусом 1.
Формула (9) даёт возможность решать задачу Коши (7)–(8).
Используя интегральное представление (9) и граничные условия (8), увидим, что
 (0 x)  f ( x)  rot( x)
 

 Tma ( f )  (1  a ) y  aTm2a ( g )  y1a Tm2a ( g )
y y
y
 y    y  

Tma ( f )  (1  a )1a Tm2a ( g ) 



1

a

y
1

a

y




a
a
 1  

 y Tm2a ( g )
 1  a  y
a
 y  
lim 
 (1  a )1a g ( x )

y 0 1  a

 y
a
(1  a)1a g ( x)  ( x) g ( x)  (1  a)a 1 ( x)
Тогда решение задачи (7)–(8) даётся формулой
1 a
y 
 ( y x )  Tma ( rot )  
 Tm2a ( )
1 a 
(10)
Переходя к переменной t , решение задачи (5)–(6) представим
 (t x)  Tma (rot)  t  Tm2a ()
(11)
Таким образом, функции  ( x t ) и ( x t ) определены однозначно. Тогда при фиксированном t  0
переопределённая система с заданными правыми частями
divU  (t x) rotU   (t x)
(12)
при выполнении условия div  0 совместна и её решение представляется в виде
U (t  x )  

1
 (t  )
grad 
d 
m 2
(m  2)   
m   x 
R
1
 (t  )
rot 
d 
(m  2)    Rm    x m2
(13)
где    – площадь поверхности единичной сферы в R m .
Покажем, что формула (13) является также решением задачи (1)–(3). Из (13) с учётом (4) и (5)
имеем
546
Математика
Б.А.Рахмонов
 2U
1
tt (t  )
1
 (t  )

grad 
d 
rot  tt m2 d 
2
m 2
t
(m  2)   
  x 
(m  2)    Rm    x 
Rm

1
(t  )
1
t n  (t  )
grad 
d


rot
m2
m    x m2 d 
(m  2)   
(
m

2)



m   x 
R
R


1
 (t  )
  grad   
d

 
 (m  2)    m    x m2
R




1
 (t  )
t n rot  
d

 
 (m  2)    m    x m2
R


  grad  t n rot  ( grad  t n rot )
То есть
 2U
 ( grad  t n rot )
2
t
(14)
а с другой стороны, применяя к (13) операцию t n   (1  t n ) grad (div) получим


1
 (t  )
t n U  (1  t n ) grad (divU )  t n grad   
d  
m

2

 (m  2)    m    x 

R




1
 (t  )
t n rot 
d  
 (m  2)    m    x m2

R




1
 (t  )
(1  t n ) graddiv  grad
d

 

(m  2)    Rm    x m2




1
 (t  )
(1  t n ) graddiv  rot
d

 

(m  2)    Rm    x m2


 t n grad  t n rot  (1  t n ) grad  ( grad  t n rot )
Таким образом,
t n U  (1  t n ) grad (divU )  ( grad  t n rot )
(15)
Из равенств (14) и (15) следует, что формула (13) удовлетворяет системе (1).
Полагая в (13) t  0 и принимая во внимание равенство  (0 x)  rot и равенство
(0 x)  div , увидим, что формула (13) удовлетворяет начальному условию (2):
547
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
U (0 x )   grad

2014, том 57, №7
1
(0  )
1
 (0  )
d 
rot 
d 
m 2

(m  2)    Rm    x 
(m  2)    Rm    x m2
1
div
1
rot
grad 
d 
rot 
d 
m 2
(m  2)   
  x 
(m  2)    Rm    x m2
Rm


1
( )
  graddiv 
d  
m

2

 (m  2)    m    x 

R




1
( )
 rotrot 
d  
m

2

 (m  2)    m    x 

R




1
( )
  graddiv 
d  
 (m  2)    m    x m2

R




1
( )
 graddiv 
d

 
 (m  2)    m    x m2
R




1
( )
 
d

  ( x )
m

2
 (m  2)    m    x 
R


Далее, в силу второго равенства (6) имеем
U t (t x )   grad
1
t (t  )
1
t (t  )
d  rot
d 
m 2


(m  2)    Rm    x 
(m  2)    Rm    x m2
U t (0 x )   grad
1
t (0  )
1
t (0  )
d  rot
d 
m 2


(m  2)    Rm    x 
(m  2)    Rm    x m2


1
t (0  )
rotU t (0 x )  rot  grad
d

 
m

2
m    x 

(
m

2)



R




1
( )
 rot  rot
d  
m

2



(m  2)    Rm    x 




1
( )
rotrot 
d  
m

2

 (m  2)    m    x 

R




1
( )
rotU t (0 x )  rotrot 
d  
 (m  2)    m    x m2

R


Отсюда, учитывая равенство rotrotU  graddivU  U , будем иметь
548
Математика
Б.А.Рахмонов


1
( )
rotU t (0 x )   
d   ( x )
m

2

 (m  2)    m    x 

R


то есть функция U (t x ) , определяемая формулой (13), удовлетворяет также начальному условию (3).
Таким образом, имеет место следующий результат.
Теорема. Если ( x ) и ( x ) достаточно гладкие в R m функции, то начальная задача
(1)–(3) однозначно разрешима и её решение представимо в виде (13), где (t x ) – решение задачи
Дирихле для уравнения Лапласа (4), а  (t x ) – решение задачи Коши для вырождающейся гиперболической системы (5).
Пусть
G
–
ограниченная
область
в
Rm ,
а

–
её
граница.
В
цилиндре
t  {(t x)  t  0 x  G} рассмотрим смешанную задачу: найти в цилиндре  t решение системы
(1), удовлетворяющее начальным условиям (2)–(3) и граничным условиям
divU H  0 rotU H  0 rotU ( x)  0
(16)
(nUt (0 x))  ( x) x  
(17)
где n – единичный вектор нормали в точке x   , а заданные функции ( x) ( x) ( x)  C  , H –
боковая поверхность цилиндра.
Действуя аналогично случаю задачи (1)–(3), смешанную задачу (1)–(3), (16)–(17) сведём к задаче Дирихле  H  0 (0 x)  div( x) для уравнения Лапласа (4) и к смешанной задаче
 (0 x)  rot t (0 x)  ( x)  H  0  ( x)  0 для вырождающейся гиперболической системы (5), а граничное условие (17) – к условию Неймана для гармонической функции.
Доказано, что смешанная задача (1), (2)–(3), (16)–(17) однозначно разрешима и её решение
представляется в явном виде.
Поступило 30.12.2013 г.
Л И Т Е РАТ У РА
Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. – М.: Наука, 1987, 415 с.
Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений. – Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.
Курант Р. Уравнения с частными производными. – М.: МИР, 1964, 830 с.
Gilbert R.P. Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations. – Acad. Press, New YorkLondon, 1969.
5. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. – Душанбе: Изд-во ТГУ
им. В.И.Ленина, часть 1, 1980, 127 с.
1.
2.
3.
4.
549
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №7
Б.А.Рањмонов
МАСЪАЛАЊО БО ШАРТЊОИ ИБТИДОЇ ВА КАНОРЇ БАРОИ
СИСТЕМАЊОИ ЃАЙРИКЛАССИКИИ МУОДИЛАЊОИ ТАРТИБИ ДУЮМ
БО КОЭФФИСИЕНТЊОИ ТАЃЙИРЁБАНДА
Донишгоњи миллии Тољикистон
Дар маќола масъалањо бо шартњои ибтидої ва канорї барои як системаи
ѓайриклассикии муодилањои тартиби дуюм мавриди тадќиќ ќарор гирифта, исбот карда мешавад, ки ин масъалањо якќимата њалшаванда мебошанд ва њалли онњо ба намуди ошкор дода мешаванд.
Калимањои калидї: системаи муодилањои ѓайриклассикї – системаи муодилањои намуди таркибї –
муайянкунандаи характеристикї – масъалаи ибтидою канорї (омехта) – системаи гиперболии
махсшаванда – оператори интегралї.
B.A.Rahmonov
MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE NON-CLASSICAL SYSTEM
OF EQUATIONS OF SECOND ORDER WITH VERIABLES COEFFICIENTS
Tajik National University
In this article for the non-classical system of the Partial Differential Equations consider’s the statement of the well-posed problem in a half-space and in a cylindrical domain.
Key words: non-classical systems of equations – systems of equations of composite type – characteristic form
– mixed value problems – degenerate hyperbolic systems – integral operator.
550
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
403 Кб
Теги
начальной, уравнения, система, коэффициента, неклассическая, задачи, краевых, порядке, второго, переменных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа