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Необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач для неоднородного полигармонического уравнения в шаре.

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ISSN 2074-1863
???????? ?????????????? ??????. ??? 2. ? 2 (2010). ?. 41-52.
??? 517.95
??????????? ? ??????????? ???????
???????????? ??????? ????? ???
????????????? ?????????????????? ?????????
? ????
?.?. ????????, ?.?. ???????
?????????. ??????????? ??????? ? ?????????? ??????????? ? ??????????? ??????? ???????????? ??????? ????? ??? ????????????? ?????????????????? ?????????
? ????.
???????? ?????: ?????? ???????, ?????? ???????, ????????????????? ?????????.
1.
????????????????? ???????, ??????????????? ???????
?????????????????? ?????????
?????????? ?????????? ????????????????? ?????????
?m u(x) = 0,
?m = ?(?m?1 )
(1.1)
? ???????????? ??????? ? ? Rn ? ??????? ???????? ??, ??? ? ? ???????? ??????? ??
?????????? x1 , x2 , ..., xn , ?????????????? ????? ????????? ????????????? ??????????
????? (x1 , x2 , ..., xn ) ????????? n-??????? ???????????? Rn , n ? 1.
??????????? 1.1. ?????????? ??????? u(x) ????????? (1.1) ??????????
m-?????????????? ?????????, ??? ??? ??? m = 1 ? m = 2 ?????????? ??????? u(x)
????????? (1.1) ???????????? ????? ?????????????? ????????????? ? ???????????????
???????.
?????? ?????? m-?????????????
p ??????? ????? ???????? "????????????????? ???????". ? ?????????? ????? |x| = x21 + x22 + ... + x2n ????????? ????? x ? Rn . ????????
????????? ????????? ????????? E. Almansi (1899 ?.).
??????? 1.1 (1). ????? ? ? ???????????? ???????, ???????? ???????????? ??????
?????????. ????????????????? ??????? u(x) ? ???? ??????? ????? ??????????? ?
????
u(x) =
m?1
X
|x|2l ul (x),
(1.2)
l=0
??? ul (x) ? ????????? ????????????? ???????. ????????????? u(x) ? ???? (1.2) ???????????.
B.E. Kanguzhin, B.D. Koshanov, Necessary and sufficient conditions of resolvability
boundary problems for non-uniform polyharmoni?s equations in ball.
c ???????? ?.?., ??????? ?.?. 2010.
????????? 8 ??????? 2010 ?.
41
42
?.?. ????????, ?.?. ???????
??? ???????? ????????????? ?????????????????? ?????????
?m u(x) = f (x)
(1.3)
?????? ???? ?????? ??? ?????????? ??????????????? ???????.
??????????? 1.2. ??????????????? ???????? ????????? (1.3) ?????????? ??????? ?(x) = ?2m,n (x), ??????????????? ?? ???? Rn ?????????????????? ?????????
?m ?2m,n (x) = ?(x),
(1.4)
??? ?(x) ? ??????-??????? ??????.
???????? [2, 3], ??? ??????????????? ??????? ???????? ???????? ????????? ?????.
????? 1.1. ??????????????? ??????? ????????? (1.3):
?) ? ?????? ???????? n > 1 ? ?????? n, ??? ??????? n > 2m, ???????? ????????
?2m,n (x) = d2m,n |x|2m?n ,
(1.5)
???
d2m,n =
1
1
и
;
(2m ? n)2(m ? 1)(2(m ? 1) ? n)2(m ? 2)...(2 ? n)2 и 2 (2?)n
?) ? ?????? ?????? n, n ? 2m ???????? ????????
?2m,n (x) = d2m,n |x|2m?n ln |x|,
(1.6)
???
n
d2m,n
(?1) 2 ? 1
=
.
?(m)?(m ? n2 + 1)22m?1 ? n/2
2. ??????????? ??????? ???????????? ??????? ?????
??? ????????????? ?????????????????? ????????? ? ????
? ?????? ?????? ??????????????? ??????????? ??????? ???????????? ????????? ??????? ????? ??? ????????????? ?????????????????? ????????? ? ????.
????? m ? ??????????? ????? ? ? n-?????? ????????? ????
? = {x : |x| < 1} ?????????? ????????????????? ?????????
?m
x u(x) = f (x) x ? ?,
(2.1)
? ???????? ?????????
? k1
k u
?nx1 x???
? k2
k u
?nx2
x???
= ?1 (x), x ? S = ??,
= ?2 (x), x ? S,
(2.2)
...
? km
u
?nkxm
x???
= ?m (x), x ? S,
??? 0 ? k1 < k2 < ... < km ? 2m ? 1.
??????????? 2.1. ??? ?????????? ???????? ?????? (2.1)?(2.2) ????? ????????
??????? u(x) ? C 2m+? (?), ??????????????? ????????? (2.1) ? ??????? ???????? (2.2).
??????????? ? ??????????? ??????? ???????????? ??????? ?????. . .
43
???????? [1, 4, 5], ??? ??? ????????????? ??????????? ??????? ?? ???????? ??????
f (x), ?1 (x), ?2 (x), ..., ?m (x) ????????????? ??????????? ???? ?????:
1) ????????? ????????? ?? ?????????,
2) ????????? ??????? ???? ??????????????? ? ???????? ???????????????? ???????????
???????? ?????????.
? ?????? ?????? ???????? ?????? ????????? ?? ????????? ??????????? ???? 2, ?.?. ?????????? ????? ??????????? ? ??????????? ???????? ???? 2 ?????? ????????????? ??????? f (x), ?1 (x), ?2 (x), ..., ?m (x), ???? ?? ??????????? ???????? ??????????. ????, ?????
f (x) ? C ? (?) ? ?s (x) ? C 2m?ks +? (S), s = 1, m . ???? ?????????????? ???????? ???????????? ?????? (2.1)?(2.2) ? ???????? ????????.
1+?
? ???????, ??? f (x) ? C ? (?) ? ?(x)
? C (S) ????????, ??? ??? ????????????? ???
????? ?????? ??????? ?u = f, ?n u x?S = ?(x) ?????????? ? ?????????? ??????????
???????
Z
Z
f (x)dx.
?(s)ds =
S
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??? ??? ?????? (2.1), (2.2) ? ????????? ?????? ???????? ?????????? ?????? ???????, ??
??????????? ????????? ??????:
?????
????????
??????
?????????????
?????
???????
f (x), ?1 (x), ..., ?m (x) ? C ? (?) О C 2m?k1 +? (S) О C 2m?k2 +? (S)... О C 2m?km +? (S), ????? ??????? ?????? (2.1)?(2.2) ???? ??????????
?? ?????? ?????? ???????? ???????? ????????? ????? ??????.
????? ?2m,n (x, y) ? ??????????????? ??????? ????????? (2.1). ????? ???????? [3], ???
v(x) = ?2m,n ? f ???????? ???????? ????????????? ??????????????????
????????? (2.1),
R
??? ???? ? ???????? ??????? ???? ???????, ?? ???? ?2m,n ? f = ?2m,n (x ? y)f (y)dy. ????
?
u(x) ? ??????? ?????? (2.1), (2.2), ?? ???????? u(x) ? v(x) ???????????? m-?????????????
??????? ? ??????? ?. ??????? ???????? ??????? 1.1 ??????? ??????? ???? ? ????
u(x) = ?2m,n ? f +
m?1
X
|x|2j uj (x),
(2.3)
j=0
??? ?2m,n (x, y) ? ??????????????? ??????? ????????? (2.1), uj (x), j = 0, m ? 1, ? ????????? ????????????? ??????? ? ??????? ?.
?????????? ?????? ????? (2.3) ? ??????? ??????? (2.2), ????? ???????????
m?1
X
? ks u0
?uj
ks
+
[2j(2j ? 1)...(2j ? ks + 1)uj +
+ ...
2j(2j ? 1)...(2j ? ks + 2)
k
s
1
?nx
?nx
j=1
+
ks
1
? ks ?1 uj
? ks u j
? ks
2j ks ?1 +
= ?s (x) ? ks ?2m,n ? f, x ? S, s = 1, 2, ..., m,
?nx
?nkxs
?nx
(2.4)
??????????? ??????? ???????? ????????????? ??????? uj (x), j = 0, m ? 1, ?????? ?????? ?s (x), s = 1, m, ?2m,n ? f ? ?? ?????????? ??????????? ?? ????? S = {x : |x| = 1 }.
????? ???????, ??????????? ??????? ?????? (2.1), (2.2) ???????? ? ?????????? ????????????? ? ???? ? ??????? uj (x), j = 0, m ? 1, ?? ??????? ???????? (2.4).
?????????? ????????? (2.4) ?? ????? S ? ???????? ????????? ?????????
Z ks
? uj
?n uj (0), ks = 0
dSx =
(2.5)
k
s
0,
ks > 0,
?nx
S
??? ?n ? ??????? ????? S, ???????, ???
44
?.?. ????????, ?.?. ???????
m?1
X
j=[
(ks +1)
2
]
1
2j(2j ? 1)..(2j ? ks + 1)uj (0) =
?n
Z ? ks
?ks (x) ? ks ?2m,n ? f dSx ,
?nx
(2.6)
S
s = 1, 2, ..., m.
?????? ?????? ??????? ???????????? ??????? ????????? (2.6), ??????? ???????????? ????? ???????? ???????????? ??????? m ????????? ? m ???????????? uj (0), j = 0, m ? 1.
??? ????? ???????? ??????? ??????????? 2m О m ?? ???????
4!
и и и (2m ? 4)!/(2m ? 4)! (2m ? 2)!/(2m ? 2)!
1 = 2!
1 = 4!
1 = 6!
2!
6!
?
2!/1! 4!/3! 6!/5! и и и (2m ? 4)!/(2m ? 5)! (2m ? 2)!/(2m ? 3)!
?
?
2!/0! 4!/2! 6!/4! и и и (2m ? 4)!/(2m ? 6)! (2m ? 2)!/(2m ? 4)!
?
?
0
4!/1! 6!/3! и и и (2m ? 4)!/(2m ? 7)! (2m ? 2)!/(2m ? 5)!
?
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..
..
..
..
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..
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.
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0
0
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(2m
? 2)!/2!
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0
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(2m ? 2)!/1!
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0
0
(2m ? 2)!/0!
иии
0
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0
0
0
0
иии
? ????? ?????? ?????? ??????????? m
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u0 (0)
? u1 (0)
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um?1 (0)
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1
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1
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? n S ?2 (x) ? ?nkx2 ?2m,n ? f dSx
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F~ = ?
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m
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01
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x
????? A(k1 , k2 , ..., km ) ????????? ??????? ??????????? m О m, ??????? ????????? ? ???????? A, ? ??????? ??????????? ?????? ? ????????, ??????? k1 , k2 , ..., km .
????? ???????, ??????? (2.6) ? ????? ???????????? ?????? ???:
~ = F~
A(k1 , k2 , ..., km )U
(2.7)
?????? ? ???? ??????? ????????????????? ???????? ?????????
??????? 2.1. ????? f (x) ? C ? (?), ?ks (x) ? C 2m?ks +? (S), s = 1, m . ????? ??????????? ???????? ???????????? ??????? ?????? (2.1)?(2.2) ? ?????? C 2m+? (?) ??? ???????????? m ? ????? ?????? 0 ? k1 < k2 < ... < km ? 2m ? 1 ???????? ???????:
??????????? ? ??????????? ??????? ???????????? ??????? ?????. . .
rank A(k1 , k2 , ..., km ) = rank A(k1 , k2 , ..., km ), F~ ,
45
(2.8)
?? ???? ???? ??????????? ??????? ??????? (2.7) ?????? ????????? ? ?????? ???????
A(k1 , k2 , ..., km ).
3.
??????????? ??????? ???????????? ??????? ?????
??? ???????????????? ????????? ? ????
? ??????? 2.1 ???????? ??????????? ??????? ???????????? ??????? ?????? (2.1)?(2.2).
???????????, ??? ??? ???????? ????? ???????????? ????????? ???????????? ???????
?????? (2.1)?(2.2). ??? ??????????? ???????? ?????????? ?????? m = 2.
?????? m = 2, k1 = 1, k2 = 2 (??? ???????? ?????? ?: n ? ???????? ??? n ? ??????,
?? n > 4).
? ???? ?????? ??????? A(1, 2) ? (A(1, 2), F~ ) ????? ???
??1
0 2
0
2
A(1, 2) =
, (A(1, 2), F~ ) =
,
0 2
0 2 ??2
R
??? ??1 (x) = ?1 (x) ?
d4,n (4 ? n) |x ? y|2?n (|x| ? (x,y)
)f (y)dy,
|x|
|y|<1
(x, y) 2
?n
2?n
d4,n (4 ? n) (2 ? n) |x ? y| (|x| ?
) + |x ? y|
f (y)dy.
|x|
Z
??2 (x) = ?2 (x) ?
|y|<1
2 ??1 = 0, ?? ????
?? ??????? (2.8) ???????, ??? det 2 ??2 Z
{?1 (x) ? ?2 (x)+
|x|=1
Z
+
d4,n (4 ? n) (2 ? n) |x ? y|?n (1 ? (x, y))2 + |x ? y|2?n (x, y) f (y)dy}dSx = 0,
(3.1)
|y|<1
???
d4,n =
( n2 ? 2)
.
(2) 16 ? n/2
????????? ??? m = 2, k1 = 1, k2 = 2 ??????? (2.4) ? ????
?
?
?
?
?
?
?u0 (x)
?nx
+ 2u1 (x) +
? 2 u0 (x)
?n2x
?u1 (x)
?nx
= ?1 (x) ?
4 ?u?n1 (x)
x
R
d4,n (4 ? n) |x ? y|2?n (|x| ?
|y|<1
2 u (x)
1
+ ? ?n
h 2x
+ 2u1 (x) +
=
?
R
?
?
?
d4,n (4 ? n) (2 ? n) |x ? y|?n (|x| ?
? = ?2 (x) ?
|y|<1
(x,y) 2
)
|x|
(x,y)
)f (y)dy,
|x|
i
+ |x ? y|2?n f (y)dy, x ? S.
(3.2)
??????? ?????? ????????? (3.2) ?? ???????, ??????? ??????? ??????? ???????
??(x)
= {?1 (x) ? ?2 (x)+
?nx
46
?.?. ????????, ?.?. ???????
Z
d4,n (4 ? n) (2 ? n) |x ? y|?n (1 ? (x, y))2 + |x ? y|2?n (x, y) f (y)dy} = 0, x ? S, (3.3)
+
|y|<1
???
?(x) ? u0 (x) ? 3u1 (x) ? (x, grad[u0 (x) + u1 (x)]) = u0 (x) ? 3u1 (x) ? (x, ?)[u0 (x) + u1 (x)] (3.4)
? ????????????? ??????? ? ???? ?.
??? ????????, ??? ?????????? ??????? (3.1) ?????????? ? ?????????? ??? ????????????
?????? (3.3), (3.4). ??? ?????????? ??????? (3.1) ??????? ?(x) ???????? ? ???????????
Z
1
?(x) =
N (x, y){?1 (x) ? ?2 (x)+
?n
|x|=1
Z
+
d4,n (4 ? n) (2 ? n) |x ? y|?n (1 ? (x, y))2 + |x ? y|2?n (x, y) f (y)dy}dSx + C,
(3.5)
|y|<1
??? C ? ???????????? ??????????.
? ???? (3.4), (3.5) ?????
u0 (x) ? 3u1 (x) ?
?u0 (x) ?u1 (x)
?
= ?(x), x ? S.
?nx
?nx
(3.6)
????????? ?????? ?? ???????? (3.2) ? (3.6), ??????? ??????? ??????? ???????
?1 (x) = ?1 (x) + ?(x), x ? S ??? ????????????? ???????
?1 (x) = u0 (x) ? u1 (x), x ? ?.
(3.7)
???????? ??????? ?1 (x) ?? ??????? ????????, ?? (3.5) ? (3.7) ???????, ??? ????????????? ??????? u0 (x) ?????? ???? ???????? ???????? ????????? ??????? ??????
?u0 (x)
1
??1 (x)
u0 (x) ?
= ? ?(x) ? 3?1 (x) ?
, x ? S.
(3.8)
?nx
2
?nx
??????? u0 (x) ???? ?????? ???????? ?????????? ? ??? ????? ????? ???????? ? ???????????. ????? ???? ??? ??????? ?(x), ?1 (x), u0 (x) ?????????, ?? ????????? (3.7) ??????????
??????? u1 (x), ? ??????? ??????? ?????? (2.1), (2.2) ? ??????????????? ?????? ???????
?? ???????
Z
u(x) =
d4,n |x ? y|4?n f (y)dy + u0 (x) + |x|2 u1 (x).
|y|<1
????? ???????, ???????? ????????????? (????????????? ??? ???????? ? ??????? 2.1) ????????? ???????.
??????? 3.1. ????? f (x) ? C ? (?), ?1 (x) ? C 3+? (S), ?2 (x) ? C 2+? (S). ????? ??????????? ? ??????????? ???????? ???????????? ????????? ??????? ??????
?2 u = f (x), |x| < 1,
?u
?nx
= ?1 (x),
?2u
?n2x
= ?2 (x), |x| = 1,
|x| = 1,
(3.9)
??????????? ? ??????????? ??????? ???????????? ??????? ?????. . .
47
???????? ??????? (3.1), ?.?.
Z
{?1 (x) ? ?2 (x)+
|x|=1
Z
d4,n (4 ? n) (2 ? n) |x ? y|?n (1 ? (x, y))2 + |x ? y|2?n (x, y) f (y)dy}dSx = 0,
+
|y|<1
??? d4,n =
(n
?2)
2
(2) 16 ?
n/ .
2
?????? m = 2, k1 = 1, k2 = 3 (??? ???????? ?????? ?: n ? ???????? ??? n ? ??????,
?? n > 4).
????????? ??? m = 2, k1 = 1, k2 = 3 ??????? (2.4) ? ????
? ?u (x)
0
?
+ 2u1 (x) + ?u?n1 (x)
= ?1 (x) ? ?n? x ?4,n ? f, x ? S,
?
?nx
x
?
?
?
? 3
? u0 (x)
? 2 u1 (x)
? 3 u1 (x)
+ 3 и 2 ?u?n1 (x)
+
3
и
2
+
=
(3.10)
3
2
?n
?n
?n3x
x
x
x
?
?
?
?
?
? = ? (x) ? ? 3 ? ? f, x ? S.
3
?n3 4,n
x
? ?????? ?????? ??????????? ??????? ???????????? ???????????? ? ????
Z
Z
?3
?4,n (x, y)f (y)dy}dSx = 0.
{?3 (x) ?
?n3x
|x|=1
(3.11)
|y|<1
?????? ????????????? ??????? ? ???? ? ?? ???????
?u20 (x)
+ 6 u1 + 6 (x, ?)u1 + 6 (x, ?)2 u1 ,
?n2x
??????? ?? ??????? S ????????????? ???????
?(x) =
?
?3
?(x) = ?3 (x) ? 3 ?4,n ? f.
?nx
?nx
????????? ??????????? ???????? ?? ??????? ????????? ??????? (3.10). ????????? (3.11)
???????? ??????????? ? ??????????? ???????? ???????????? ?????? ???????, ?? ??????? ?(x) ???????? ??? ??????? ?????? ???????. ????? ???????, ?(x) ???????? ? ????????? ?? ??????????? ??????????.
??????? ????? ??????? ??????? ???????
?
? ?u?n0 (x) + 2u1 (x) + ?u?n1 (x) = ?1 (x) ? ?n? ?4,n ? f, x ? S,
x
x
x
(3.12)
2 u (x)
2 u (x)
?u
(x)
?
?
1
1
0
?
+
6
u
(x)
+
6
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?(x),
x
?
S,
+
1
2
2
?n
?nx
?n
x
x
??????? ????????? ? ??????? ??????? ??????????? ?? (3.10) ? ?????? ??? ????????????
??????? ?????? ???????. ???????? ?? (3.12) ???????? u1 (x), x ? S ? ????????? ?????
?1 (x) = 3u0 (x) ? 3u1 (x) ? (x, ?) [u0 + u1 ]??? x ? ?,
?????, ??? ?1 (x) ? ????????????? ? ???? ? ???????, ??????????????? ??????? ???????
??1
?
= 3?1 (x) ? 3
?4,n ? f ? ?(x), x ? S.
?nx
?nx
(3.13)
48
?.?. ????????, ?.?. ???????
??? ???????????? ????????? ?????? ??????? ?????????? ? ?????????? ?????????? ???????
Z
?
(3?1 (x) ? 3
?4,n ? f ? ?(x))dSx = 0.
(3.14)
?nx
|x|=1
???????????, ??????????? (3.14) ???????????, ????? ????????????? ??????? ?1 (x) ????????? ? ????????? ?? ??????????? ??????????.
??????? ????? ??????? ??????? ???????
?
? ?u0 (x) + 2u1 (x) + ?u1 (x) = ?1 (x) ? ? ?4,n ? f, x ? S,
?nx
?nx
?nx
(3.15)
? 3u0 (x) ? ?u0 (x) ? 3u1 (x) ? ?u1 (x) = ?1 (x), x ? S,
?nx
?nx
??????? ????????? ? ??????? ??????? ??????????? (3.10) ? ?????? ??? ???????????? ??????? ?????? ???????. ?? (3.15) ????? ?? ???????? ?????????
?
?4,n ? f + ?1 (x), x ? S,
(3.16)
?nx
?????????? ????? ?2 (x) = 3u0 (x) ? u1 (x) ??? x ? ?. ????????? ??????? ?2 (x) ????????
????????????? ? ????????????? ?????? ??????? (3.16). ?????? ???????, ??? ?2 (x) ?????????? ????????? ??? ??????? ?????? ???????. ?????? ???????
3u0 ? u1 = ?1 (x) ?
?2 (x) = 3u0 (x) ? u1 (x),
(x, ?) ?2 = 3 (x, ?) u0 ? (x, ?) u1
? ?1 (x) = 3u0 (x) ? 3u1 (x) ? (x, ?) [u0 + u1 ] ? ???? ?. ?????? ????? ????????? ???????
u0 (x) ? ?? ?????????? ???????????. ? ?????????? ????? ???????????
1
4
?1 (x) ? ?2 (x) + (x, ?) ?2 = ?2u1 (x) ? (x, ?) u1 ??? x ? ?.
3
3
?????????????, ??? ?????????? ????????????? ? ???? ? ??????? u1 (x) ?????????? ?????? ????????? ??????
1 ??2
4 ?u1
= ?2 (x) ? ?1 (x) ?
, x ? S.
3 ?nx
3 ?nx
????????, ??? ????????? ?????? ????? ???????????? ???????. ???? u1 (x) ??? x ? ? ????????, ?? ?? ?2 (x) ????? ?????????? ?????????? u0 (x) ??? x ? ?. ????? ???????, ???????????? ??????? ?????? ??? m = 2, k1 = 1, k2 = 3 ???????? ??? ?????????? ???????
(3.11) ? (3.14). ?????? ??????? ????????? ????????????, ??? ??? ??? ??????? ???? ?????
??????? ????????? ???????????? ?????????? ?????????.
???????, ??? ?? ????? ???? ??????? (3.14) ?????? ???????????. ?????????????, ?? ??????? ??????????? (3.12) ????????, ???
Z
Z
6 u1 (x)dSx = ?(x)dSx ,
2u1 (x) +
S
S
? ?? ??????? ??????????? (3.12) ???????, ???
Z
Z
?
2 u1 (x)dSx = (?1 (x) ?
?4,n ? f )dSx .
?nx
S
S
??????????? ? ??????????? ??????? ???????????? ??????? ?????. . .
49
?? ???? ???? ???????? ???????, ??? ??????????? (3.14) ?????? ???????????. ?????? ???????, ??? ??????????? ??????? (3.11) ???????? ????? ? ??????????? ??? ????????? ????????? ?????? ??? m = 2, k1 = 1, k2 = 3.
????? ???????, ????????? ???????? ?????????
??????? 3.2. ????? f (x) ? C ? (?), ?1 (x) ? C 3+? (S), ?3 (x) ? C 1+? (S). ????? ??????????? ? ??????????? ???????? ???????????? ??????? ??????
?2 u = f (x), |x| < 1,
?
u
?nx
?3
u
?n3x
(3.17)
= ?1 (x), |x| = 1,
= ?3 (x), |x| = 1
???????? ???????
Z
(?3 (x) ?
|x|=1
4.
?3
?4,n ? f )dSx = 0.
?n3x
??????????? ??????? ???????????? ??????? ????? ???
????????????? ?????????????????? ????????? ? ????
???????????? ???????? ????????? ?????? ??????.
??????? 4.1. ????? f (x) ? C ? (?), ?ks (x) ? C 2m?ks +? (S), s = 1, m . ????? ??????????? ? ??????????? ???????? ???????????? ??????? ?????? (2.1)?(2.2) ? ??????
C 2m+? (?) ??? ???????????? m ? ????? ?????? 0 ? k1 < k2 < ... < km ? 2m ? 1 ????????
??????? (2.8), ?.?.
rank A(k1 , k2 , ..., km ) = rank A(k1 , k2 , ..., km ), F~ .
?????????????? ??????? ????????????? ??????? 4.1 ???????? ?? ????????? ?????.
??????? ??????? ??????? ??????? (2.2) ? ????????-????????? ?????
~ + A1
A0 U
? ~
? km?1 ~
? km ~
U + ... + Akm?1 km?1 U
+ Ak m k m U
= F~0 ,
?nx
?n
?nx
x
x ? S,
(4.1)
~ = (u0 (0), u1 (0), ..., um?1 (0))T ,
??? U
? k1
? k2
? km
~
F0 = (?k1 ? k1 ?2m,n ? f, ?k2 ? k2 ?2m,n ? f, ..., ?km ? km ?2m,n ? f )T ,
?nx
?nx
?nx
A0 , A1 , ..., Akm ? ???????? ??????? ??????????? m О m, ?????? A0 = A(k1 , k2 , ..., km ).
????????, ??? ???? ??????? A0 ????? t, ??? t ? m. ?? ??????????? ????? ??????? ???
????????, ??? ?????????? ????????????? ??????? B ?????, ??? ????????? (m ? t) ?????
??????? BA0 ??????? ?????????? ????? ?????. ??????? ??? ????? ????????? (4.1) ??
??????? B, ????? ?????
? km?1 ~
? km ~
? ~
~
BA0 U + BA1
U + ... + BAkm?1 km?1 U + BAkm km U = B F~0 ,
?nx
?nx
?nx
?????? ????????, ???
km
~ + ... + [0, Em?t ]BAkm ? U
~ = [0, Em?t ]B F~0 ,
[0, Em?t ]BA0 U
?nkxm
x ? S,
x ? S,
(4.2)
(4.3)
50
?.?. ????????, ?.?. ???????
??? Em?t ? ????????? ??????? ??????????? (m ? t). ????? ??????, ??? [0, Em?t ]BA0 ?
??????? ???????. ????????? ?????
~ + [0, Em?t ]BA2 (x, ?) U
~ + ... + [0, Em?t ]BAkm ((x, ?))km ?1 U
~ , x ? ?,
?(x) = [0, Em?t ]BA1 U
????? ?(x) ???????? ???????? ????????? ?????? ???????
?x ?(x) = 0,
?
? = [0, Em?t ]B F~0 , x ? S.
?nx
??????????? ? ??????????? ???????? ???????????? ???? ?????? ???????? ???????
Z
[0, Em?t ]B
F~0 dSx = 0,
??
??????? ? ???????? ????????? ? ???????? (2.8). ????????????? ??????? ?(x) ?????????
? ????????? ?? ??????????? ?????????? ? ??????? ???? ???????. ??????, ??? ???????
?(x) ??? x ? ? ????????? ? ???????? ?? ???????? ?? ??????? ??? x ? S, ?????
~ + ... + [0, Em?t ]BAkm
[0, Em?t ]BA1 U
? km ?1 ~
U = ?(x),
?nkxm ?1
x ? S.
(4.4)
???????? ?????????? ??????? ???????? (4.4) ? ?????????? ?????????? ??????? (4.2),
???????
(
km ?1
~ = [Et , 0]B F~0 , x ? S,
~ + ... + [Et , 0]BAkm ?1 ? km ?1 U
[Et , 0]BA0 U
?nx
k
m
~ + ... + [0, Em?t ]BAkm ? km?1
~ = ?(x), x ? S.
[0, Em?t ]BA1 U
U
?n ?1
(4.5)
x
???????, ??? ? ??????? (4.5) ??????????? ?????????? ??????????? ??????? km ??? ???
[Et , 0]BAkm ? ??????? ???????.
????? ???????, ??? ??????? ???????? ??????? ?????????? ???????????, ???????? ?
??????? ???????. ????????? ????????? ???????, ????? ????????? ??? ?????????? ??????????? ?? ??????? ???????. ???????, ??? ??? ???? ??????????? ??????? ????? ??????????? ? ??????????? ??????? ?? ???????????? ?????? ???????????. ?? ???? ?????????????? ??????? ???????????? ?? ?????????. ??????? 4.1 ????????? ????????.
? ???????? ??????? ?????????? ?????? ???? ??????? ? ???????? ????????? [6]:
?m u(x) = f (x), |x| < 1,
(4.6)
? i u
= ?i (x), x ? S, i = 1, 2, ..., m,
?nix x?S
(4.7)
?? ???? ?????? ?????? ????????????? ??????? A(1, 2, ..., m).
? ???? ?????? rank A(1, 2, ..., m) = m ? 1, ????? ? ???? ??????? (2.8) ??????????? ????????? ???????????.
??????? 4.2. ??? ???????????? ?????? (4.6), (4.7) ??????????, ????? ???? ??????????????? ??????????? ??????? ??? ????? m ? 1, ?.?. ????? ????? ????? ?????????
??????????? ? ??????????? ??????? ???????????? ??????? ?????. . .
det(A(1, 2, ...m), F~ ) =
a11
a21
..
.
= ak1
..
.
am1
a12
a13
...
R
[?1 (x) ?
? f ] dSx
a22
a23
...
RS
?
?
?nx 2m,n
[?2 (x) ?
?2
?
?n2x 2m,n
? f ] dSx
[?k (x) ?
?k
?
?nkx 2m,n
? f ] dSx
..
.
ak2
..
.
ak3
..
S
..
.
R
.
...
S
..
.
am2
..
.
am3
...
j = 1, ...,
k+1 ..
.
..
.R
[?m (x) ?
S
? m?
?2m,n
?nm
x
? f ] dSx
51
= 0, (4.8)
???
(
akj =
0,
2
? 1,
2j(2j ? 1)..(2j ? k + 1) ,
j=
k+1 , ..., m ? 1.
2
5. ??????????? ? ??????????? ??????? ???????????? ????? ???
????????????? ???????????????? ????????? ? ???? ? ???????????
???????? ?????????
?????????? ???????????? ??????????????? ?????????
Lu ? ?2 u(x) = f (x)
(5.1)
n
? ???? ?r = {x : kxk < r } ? R , (??? ???????? ?????? ?: n ? ????????, ? ????? ???
?????? n, ???? n > 4).
? ??????? [7?9] ??? ????????? (5.1) ???? ????????? ??????? ????????? ??????? ??????
?-01, ?.?. ?????? ???????
? i u
= 0, i = 0, 1.
(5.2)
?nix x???r
???????????? ??????? u(x) ????? ???????????? ?????????????
Z
?1
u(x) = L f (x) = G4,n (x, y) f (y)dy,
(5.3)
?
??? G4,n (x, y) ? ??????? ????? ?????? ??????? (5.1)?(5.2) ????? ???? ???????? ? ????:
"
4?n #
y 4?n
1
y
1
4?n
и
|x ? y|
? x ? 2 r2 +
G4,n (x, y) =
(4 ? n)4 и (2 ? n) ?n
r
|y|
2?n
y 2 x 2 1
1
y 2 y 2?n
2
+
и
иr 1? 1 ? x ? 2 r .
(5.4)
2 и 4 и (2 ? n) ?n
r
r
r
|y|
??? ???????????????? ????????? (5.1) ?????????? ????????? ?????? ?-12:
Lu ? ?2 u(x) = f (x), x ? ?r = {x : kxk < r } ? Rn ,
? i u
= 0, i = 1, 2.
?nix x???r
?????????? ??????? 3.1 ??? ?????? ?????? ????? ????? ?????????
(5.5)
(5.6)
52
?.?. ????????, ?.?. ???????
??????? 5.1. ??????????? ? ??????????? ???????? ???????????? ?????? ?-12,
?.?. ?????? (5.5)?(5.6) ???????? ???????:
Z
Z (x, y)
(x, y) 2
?n
2?n
(2 ? n) |x ? y| (r ?
) ? 2|x ? y| (r ?
) f (y)dydSx = 0.
r
r
(5.7)
|x|=r |y|<r
?????? ?????????? ??? ???????????????? ????????? (5.1) ????????? ?????? ?-13:
Lu ? ?2 u(x) = f (x), x ? ?r = {x : |x| < r } ? Rn ,
? i u
= 0, i = 1, 3.
?nix x???r
?????????? ??????? 3.2 ????? ????? ?????????
(5.8)
(5.9)
??????? 5.2. ??????????? ? ??????????? ???????? ???????????? ?????? ?-13,
?.?. ?????? (5.8)?(5.9) ???????? ???????
?
R R (4?n)d4,n
?
|x ? y|2?n (r ? (x,y)
)f (y)dydSx ,
?
2r?n
r
? u1 (0) =
|x|=r
|y|<r
o
R R n
?n?2
?n
(x,y) 3
(x,y)
?
?n|x
?
y|
(r
?
)
+
3|x
?
y|
(r
?
)
f (y)dydSx = 0.
?
r
r
?
(5.10)
|x|=r |y|<r
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
?????? ??????????
E. Almansi, Sull?integrazione dell?equazione differenziale ?2n = 0 // Annali di Mat. 1899. V. 3,
? 2. P. 1?51.
??????? ?.?. ???????? ? ?????? ?????????? ??????. ?.: ?????, 1974. 808 ?.
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??????? ?.?. ? ????????? ????????? ????????????????? ??????? // ????????????????
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???????? ?.?., ??????? ?.?. ????????????? ? ???????? ??????? ????? ?????? ???????
??? ????????????????? ????????? // ?????????????? ??????. ?. 8, ? 1(27). ?. 50?58.
???????? ????????? ????????,
????????? ???????????? ??????????? ????? ???-??????,
??. ???????, 125,
050010, ?. ??????, ?????????
E-mail: kanbalta@mail.ru
???????? ??????????? ???????,
???????? ??????????, ??????????? ? ???????? ??? ??,
??. ???????, 125,
050010, ?. ??????, ?????????
E-mail: koshanov@list.ru
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