close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Непрерывные модели и гравитационные аналогии в одной задаче гидравлики.

код для вставкиСкачать
Ма▓ема▓и╖е▒кие
▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование
1999. В╗п. 4, ▒.69-73.
УДК 519.1
НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
И ГРАВИТАЦИОННЫЕ АНАЛОГИИ
В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ГИДРАВЛИКИ
Н.Ф. Жи╡алкина
The calculation of the oil piperline optimum work is discussed in this paper.
The reduction of this problem to the continuous model allows to use the
gravitational optimization algorithm.
В ка╖е▒▓ве и▒╡одной п░облем╗ ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ зада╖а гид░авли╖е▒кого
░а▒╖е▓а оп▓имал╝н╗╡ ░ежимов ░або▓╗ ░азве▓вленного не┤▓еп░овода, п░ед▒▓авл┐╛╣а┐ ▒обой зада╖│ ╢ело╖и▒ленного п░ог░амми░овани┐. Сведение ее к
неп░е░╗вной модели позвол┐е▓ и▒пол╝зова▓╝ менее ▓░│доемкие оп▓имиза╢ионн╗е алго░и▓м╗, в ╖а▒▓но▒▓и, ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ одно из возможн╗╡ п░ак▓и╖е▒ки╡ п░иложений г░ави▓а╢ионного ме▓ода оп▓имиза╢ии.
Соде░жа▓ел╝на┐ по▒▓ановка зада╖и: на каждой ве▓ке ░азве▓вленного не┤▓еп░овода (░и▒. 1) имее▓▒┐ до 20 на▒о▒н╗╡ ▒▓ан╢ий. В ▒во╛ о╖е░ед╝, на ▒▓ан╢ии
Ри▒. 1. Две ве▓ки не┤▓еп░овода
│▒▓ановлено о▓ 4 до 8 на▒о▒ов из 30-▓и возможн╗╡ ▓ипов, кажд╗й из ко▓о░╗╡
имее▓ ▒во╛ ╡а░ак▓е░и▒▓ик│: зави▒имо▒▓╝ напо░а и КПД о▓ ░а▒╡ода (░и▒. 2).
Э▓и на▒о▒╗ мог│▓ подкл╛╖а▓╝▒┐ ░азли╖н╗м об░азом: па░аллел╝но, по▒ледова▓ел╝но, па░аллел╝но-по▒ледова▓ел╝но (░и▒. 3). Е▒▓е▒▓венно, ╖▓о в зави▒имо▒▓и о▓ вкл╛╖ени┐, в╗░аба▓╗ваем╗й напо░ б│де▓ ░азли╖н╗м. К░оме ▓ого
имее▓▒┐ ░┐д ▒│╣е▒▓венн╗╡ ▓е╡ни╖е▒ки╡ ог░ани╖ений: геодези╖е▒кие в╗▒о▓╗,
пе░евал╝н╗е ▓о╖ки и ▓.д. Таким об░азом, задае▓▒┐ ка░▓а возможн╗╡ ░еализ│ем╗╡ напо░ов на каждой ▒▓ан╢ии (░и▒. 4). Зада╖а ▒о▒▓ои▓ в на╡ождении ▓акого
c 1999 Н.Ф. Жи╡алкина
E-mail: zhihal@univer.omsk.su
Ом▒кий го▒│да░▒▓венн╗й │ниве░▒и▓е▓
70 Н.Ф. Жи╡алкина. Неп░е░╗вн╗е модели и г░ави▓а╢ионн╗е аналогии...
Ри▒. 2. Г░а┤ик зави▒имо▒▓и напо░а H и КПД о▓ ░а▒╡ода Q
Ри▒. 3. Па░аллел╝но-по▒ледова▓ел╝ное ▒оединение на▒о▒ов
вкл╛╖ени┐
на▒о▒ов, ╖▓об╗ п░и по▒▓о┐нном ▒│мма░ном напо░е на в▒ей ▓░а▒▒е
P
N
k
( i=1 Hi =Pconst1, где Nk { ╖и▒ло ▒▓ан╢ий, Hi { напо░, в╗░аба▓╗ваем╗й на i-й
▒▓ан╢ии), Ni=1k Hi Ci=i б╗ла б╗ минимал╝на, где Ci { ▒▓оимо▒▓╝ ╜лек▓░о╜не░гии и i { КПД на▒о▒ов на i-й ▒▓ан╢ии.
Пе░е╡од о▓ ди▒к░е▓ной модели к неп░е░╗вной позвол┐е▓ (в неко▓о░ом п░иближении) замени▓╝ ▒│мм╗ на оп░еделенн╗й ин▓ег░ал. Тем ▒ам╗м и▒╡одна┐
зада╖а
инд│╢и░│е▓▒┐ к зада╖е пои▒ка ┤│нк╢ии H(x), дл┐ ко▓о░ой вели╖ина
R
1
1= 0 (HC (H )= (H ))dx мак▒имал╝на:
Nk
X
i=1
Hi = const1 =)
Nk
X
HiCi
i=1
Z1
0
Hdx const1x const;
1
! max:
!
min
=
)
R
1
HC
(H )
i
0 (H ) dx
Далее возникае▓ воп░о▒ о в╗бо░е ме▓ода оп▓имиза╢ии. В на▒▓о┐╣ее в░ем┐
дл┐ ░е╕ени┐ п░ак▓и╖е▒ки╡ зада╖ пои▒ка ╜к▒▓░ем│ма (мак▒им│ма) ┤│нк╢ии в▒е
╖а╣е п░имен┐╛▓▒┐ оп▓имиза╢ионн╗е алго░и▓м╗, и▒пол╝з│╛╣ие е▒▓е▒▓венн╗е
и ме╡ани╖е▒кие аналогии. Более под░обно о▒▓ановим▒┐ на г░ави▓а╢ионном алго░и▓ме [1]. В зави▒имо▒▓и о▓ по▒▓ановки зада╖и и на╖ал╝н╗╡ данн╗╡ ▒│╣е▒▓в│╛▓ ░азли╖н╗е ва░иан▓╗ ░а▒╖е▓н╗╡ ┤о░м│л данного ме▓ода. Но в▒е они
о▒нован╗ на ▓ом, ╖▓о вме▒▓о одного ▓ек│╣его п░иближени┐ ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐
неко▓о░а┐ поп│л┐╢и┐ ▓о╖ек, и на каждой и▓е░а╢ии алго░и▓ма ▒│мма░н╗й ╕аг
п░ои▒╡оди▓ в нап░авлении к наиболее "▓┐жел╗м ╖а▒▓и╢ам", ▓.е. к ▓ем ▓о╖кам,
в ко▓о░╗╡ зна╖ение ╢елевой ┤│нк╢ии мак▒имал╝но на данной апп░ок▒има╢ионной ▒е▓ке.
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1999. В╗п. 4.
71
Ри▒. 4. Ка░▓а ░еализ│ем╗╡ напо░ов
Е▒ли ░а▒▒ма▓░ива▓╝ г░а┤ик ┤│нк╢ии H (x) как ма▓е░иал╝н│╛ ▓о╖к│ в неко▓о░ом бе▒коне╖номе░ном п░о▒▓░ан▒▓ве, ▓о ░а▒▒▓о┐ние межд│ дв│м┐ ▓акими
└╖а▒▓и╢ами┴ H i и H j оп░едел┐е▓▒┐ п░и помо╣и но░м╗ в п░о▒▓░ан▒▓ве L2:
v
u
Z1
u
u
i
j
kH H kL = t jH i H j j2dx:
2
0
Ма▓е░иал╝ной ▓о╖ке H ▒▓ави▓▒┐ в ▒оо▓ве▓▒▓вие ее ма▒▒а:
1
M (H ) = R 1
:
0 (HC (H )= (H ))dx
По▒ле ▓ого, как и▒╡одна┐ зада╖а п░ед▒▓авлена в ▓е░мина╡ г░ави▓а╢ионного алго░и▓ма, об░а▓им▒┐ к одной из ░еализа╢ий п░едложенного ме▓ода
оп▓имиза╢ии (░и▒. 5). Обла▒▓╝╛ оп▓имиза╢ии ┐вл┐е▓▒┐ "-ок░е▒▓но▒▓╝ ┤│нк-
Ри▒. 5. H m { п░ед▒▓ави▓ел╝ ▓ек│╣ей поп│л┐╢ии ▓о╖ек в L2
╢ии H 0 = const на о▓░езке [0; 1]. В ка╖е▒▓ве на╖ал╝ной поп│л┐╢ии ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ Rконе╖ное
╖и▒ло ┤│нк╢ий H m, п░ед▒▓авл┐╛╣и╡ ▒обой ломан╗е, дл┐ ко1 m
▓о░╗╡ 0 H dx = const и зна╖ение ┤│нк╢ии в i-й ▓о╖ке ░азбиени┐ о▓░езка
72 Н.Ф. Жи╡алкина. Неп░е░╗вн╗е модели и г░ави▓а╢ионн╗е аналогии...
[0; 1] (i = 1 : : : Nk ) ░авно в╗░аба▓╗ваемом│ на i-й ▒▓ан╢ии напо░│ п░и одном из
возможн╗╡ вкл╛╖ений на▒о▒ов.
Оп▓имиза╢ионна┐ п░о╢ед│░а закл╛╖ае▓▒┐ в ко░░ек▓и░овке ┤│нк╢ии H m на
╕аге t + 1 в зави▒имо▒▓и о▓ ее └ма▒▒╗┴ и └ма▒▒╗┴ ▓ак наз╗ваемой │▒░едненной
┤│нк╢ии H av на ╕аге t:
H m (t + 1) = H m(t) + H av (t; m);
(
m
= M m(tM)+M(tav) (t;m)
av
= M m(Mt)+M(t;mav()t;m)
и в в╗бо░е л│╖╕ей ▒ ▓о╖ки з░ени┐ к░и▓е░и┐ оп▓имиза╢ии └╖а▒▓и╢╗┴. Ф│нк╢и┐
H av (t; m) в╗╖и▒л┐е▓▒┐ как ▒░еднее ▒░еди H j (t), где j п░инимае▓ в▒е возможн╗е
зна╖ени┐ о▓ 1 до Nk , либо ┤│нк╢ии H j (t) в╗би░а╛▓▒┐ из неко▓о░ой ок░е▒▓но▒▓и
H m (t) в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ ░ади│▒ом взаимодей▒▓ви┐ [1].
(H )
П│▒▓╝ в пе░вом п░иближении HC
(H ) = H
| :{z: : H}. Без ог░ани╖ени┐ об╣ноN
▒▓и можно ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о ┤│нк╢и┐ H ╖е▓на┐ и на о▓░езке [0; 1] п░ед▒▓авима в
виде ░┐да Ф│░╝е:
H (x) = C0 +
1
X
n=1
Cn cos(nx):
Тео░е▓и╖е▒кие ░а▒╖е▓╗ позвол┐╛▓ ▒дела▓╝ ▒лед│╛╣ие в╗вод╗:
1) N = 2, ▓.к.
Z1
0
▓о
Z1
0
cos(kx) cos(nx)dx =
Z1
Fk dx = (C0 +
k
X
n=1
0; k 6= n
1
2;
k = n;
Cn cos(nx))2dx = C02 +
k
1X
2
2 n=1 Cn:
0
R
1
Таким об░азом, F dx не │б╗вае▓ п░и k ! 1, ▒ледова▓ел╝но, max(M ) = M ,
0
k
k
0
где Mk { └ма▒▒а┴, о▓ве╖а╛╣а┐ ┤│нк╢ии H k . Ин╗ми ▒ловами, ╢елева┐ ┤│нк╢и┐
мак▒имал╝на на кон▒▓ан▓е.
2) N = 3, ▓.к.
Z1
▓о, нап░име░,
Z1
0
0
Z1
3
X
0
n=1
F3dx = (C0 +
cos(kx) cos2(nx)dx =
0; k 6= 2n
1;
4
k = 2n;
Cn cos(nx))3dx = C03 + 43 C12(2C0 + C2) + 43 C22(2C0 + C1):
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1999. В╗п. 4.
73
Не▓░│дно заме▓и▓╝, ╖▓о п░и неко▓о░╗╡ о╖евидн╗╡ ог░ани╖ени┐╡ на ко╜┤┤и╢иен▓╗ ░азложени┐ (данн╗е ог░ани╖ени┐ мог│▓ ▒ледова▓╝ и из ┤изи╖е▒кого
▒м╗▒ла ┤│нк╢ии H : нео▓░и╢а▓ел╝но▒▓╝, ог░ани╖енно▒▓╝ и ▓.д.) пол│╖аем ▓е
же ░ез│л╝▓а▓╗, ╖▓о и дл┐ N = 2.
3) Е▒▓е▒▓венно п░едположи▓╝, ╖▓о и в об╣ем ▒л│╖ае п░и полиномиал╝ной
(H )
зави▒имо▒▓и HC
(H ) о▓ H мак▒им│м ╢елевой ┤│нк╢ии б│де▓ до▒▓ига▓╝▒┐ на
H = const. Но в▒лед▒▓вие ▓е╡ни╖е▒ки╡ ог░ани╖ений (мак▒имал╝но и минимал╝но доп│▒▓им╗е давлени┐ на в╡оде в ▒▓ан╢и╛, мак▒имал╝но доп│▒▓имое
давление на в╡оде в коллек▓о░, на в╗╡оде из ▒▓ан╢ии, геодези╖е▒кие в╗▒о▓╗ и
▓.д.) ▓акой ░ежим об╗╖но не ░еализ│ем на п░ак▓ике. Следова▓ел╝но, оп▓имал╝ной ▒▓░а▓егией ┐вл┐е▓▒┐ пои▒к ▓акого доп│▒▓имого ░а▒п░еделени┐ ░еализ│ем╗╡
напо░ов, п░и ко▓о░ом ░або▓а╛╣ие ▒▓ан╢ии как б╗ └░азмазан╗┴ по в▒ей ве▓ке.
П░именение г░ави▓а╢ионного алго░и▓ма дл┐ квад░а▓и╖ной и к│би╖е▒кой
зави▒имо▒▓ей дае▓ аналоги╖н╗е ░ез│л╝▓а▓╗. В ╡оде ╖и▒ленн╗╡ ╜к▒пе░имен▓ов
найден╗ неко▓о░╗е ог░ани╖ени┐ на о▒новн╗е па░аме▓░╗ алго░и▓ма: ░ади│▒
взаимодей▒▓ви┐ должен б╗▓╝ до▒▓а▓о╖но велик, об┐за▓ел╝на зави▒имо▒▓╝ и о▓ └ма▒▒╗┴, в неко▓о░╗╡ ▒л│╖а┐╡ ┤ик▒а╢и┐ наиболее └▓┐жел╗╡┴ ╖а▒▓и╢
позвол┐е▓ на╡оди▓╝ л│╖╕ие ░е╕ени┐.
След│╛╣им ╕агом ┐вл┐е▓▒┐ ░а▒▒мо▓░ение более ░еали▒▓и╖ной зада╖и, когда не │дае▓▒┐ в╗┐ви▓╝ зави▒имо▒▓╝ к░и▓е░и┐ оп▓имиза╢ии о▓ ┤│нк╢ии H . В
╜▓ом ▒л│╖ае ▓акже п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ возможн╗м и▒пол╝зование г░ави▓а╢ионного
алго░и▓ма, ╖▓о, в ▒во╛ о╖е░ед╝, позволи▓ на╡оди▓╝ доп│▒▓имое ░а▒п░еделение
░еализ│ем╗╡ напо░ов, о▓ве╖а╛╣ее к░и▓е░и╛ оп▓имал╝но▒▓и.
Ли▓е░а▓│░а
1. Жи╡алкина Н. Ф., Файз│ллин Р. Т. Г░ави▓а╢ионн╗е аналогии в зада╖е оп▓имиза╢ии // Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1999. Ом▒к: ОмГУ.
В╗п. 2.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
315 Кб
Теги
аналоги, одной, гравитационное, непрерывные, задачи, модель, гидравлика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа