close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Несколько замечаний о нётеровости по уравнениям.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 2. С. 24–28.
УДК 512.57+512.7
М.В. Котов
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О НЁТЕРОВОСТИ
ПО УРАВНЕНИЯМ*
Алгебра называется нётеровой по уравнениям, если любая система уравнений от
конечного числа переменных эквивалентна над этой алгеброй некоторой своей конечной подсистеме. В статье устанавливаются некоторые свойства нётеровых по
уравнениям алгебр. В частности, доказывается, что факторалгебра любой нётеровой
по уравнениям алгебры по замкнутой в топологии Зарисского конгруэнции является
нётеровой по уравнениям.
Ключевые слова: топология Зарисского, нётеровость по уравнениям, универсальная
алгебраическая геометрия, алгебраические множества.
Введём используемые в этой работе понятия алгебраической геометрии
над алгебраическими системами, следуя Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясникову, В. Н. Ремесленникову [1; 2].
Пусть L – язык без предикатных символов, x = ( x1 , x2 ,…, xn ) – конечный набор переменных, t1 ( x ) , t2 ( x ) – термы языка L от переменных x .
Формула t1 ( x ) = t2 ( x ) называется уравнением. Любое множество уравнений языка L от переменных x называется системой уравнений.
Пусть A = 〈 A, L〉 – алгебра языка L . Точка a ∈ An называется решением уравнения s( x ) языка L от n переменных x над алгеброй A , если A |= s(a) . Точка a ∈ An называется решением системы уравнений S ( x )
над алгеброй A , если точка a является решением каждого уравнения
системы S ( x ) .
Множество всех решений системы уравнений S ( x ) от n переменных
называется алгебраическим над A множеством и обозначается VA ( S ( x )) .
Совокупность всех алгебраических над
чим A A,n .
A
множеств B ⊆ An
обозна-
Топологией Зарисского Z A,n на множестве An называется топология,
предбазой замкнутых множеств которой является совокупность всех алгебраических над A множеств A A,n .
Две системы уравнений S1 ( x ) и S2 ( x ) языка L называются эквивалентными над алгеброй A , если их множества решений совпадают. Алгебра A называется нётеровой по уравнениям, если для любого целого
положительного n любая система уравнений S ( x ) от n переменных x
эквивалентна своей некоторой конечной подсистеме S0 ( x ) ⊆ S ( x ) .
Пусть 〈 X , T〉 – топологическое пространство. Непустое множество
Y ⊆ X называется неприводимым в топологии T , если для любых замкнутых в топологии T множеств Y1 , Y2 ⊆ X из включения Y ⊆ Y1 ∪ Y2 следует, что Y ⊆ Y1 или Y ⊆ Y2 .
Сформулируем следующий результат, который будет полезен нам далее.
***Исследование поддержано Министерством образования и науки РФ, проекты № 14.В37.21.0359 и 0859.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 11-01-00081-а.
© М.В. Котов, 2013
Несколько замечаний о нётеровости по уравнениям
Теорема 1 [1]. Если алгебра A нётерова по уравнениям, то любое непустое замкнутое в топологии Зарисского Z A,n множество Z можно представить в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств Z = Y1 ∪ Y2 ∪ … ∪ Ym . Более
того, если Yi ⊄ Y j и Yi ≠ Y j , i ≠ j , то такое
разложение единственно с точностью до
перестановки компонент.
Докажем следующий критерий нётеровости по уравнениям, который понадобится
нам в дальнейшем.
Лемма 1. Алгебра A = 〈 A, L〉 не является нётеровой по уравнениям тогда и только
тогда, когда найдутся последовательность
элементов (ai )i∈N , ai ∈ An , и последовательность уравнений ( si ( x ))i∈N языка L такие,
A |≠ si (ai ) для всех i , и A |= s j (ai ) для
всех j < i .
что
Доказательство.
Необходимость.
Пусть A не является нётеровой по уравнениям, тогда по определению найдётся система уравнений S ( x ) , не эквивалентная никакой своей конечной подсистеме. Покажем
по индукции существование искомых последовательностей. В качестве a0 выберем
любой элемент из An \ VA ( S ( x )) , а в качестве
s0 ( x ) – такое уравнение системы S ( x ) ,
что a0 ∉ VA ( s0 ( x )) . Далее, положим a1 равным
какому-нибудь
элементу
из
VA ( s0 ( x )) \ VA ( S ( x )) , а в качестве s1 ( x ) выбе-
рем любое уравнение из S ( x ) , для которого
a1 ∉ VA ( s1 ( x )) . И так далее, пусть a0 , a1 ,…, am
и s0 ( x ), s1 ( x ),…, sm ( x ) с требуемыми свойствами уже построены. В качестве am +1
выберем
любой
элемент
из
VA ( s0 ( x ), s1 ( x ),…, sm ( x )) \ VA ( S ( x )) . Такой эле-
мент всегда найдётся, так как S ( x ) не эквивалентна никакой своей конечной подсистеме, а в качестве sm +1 ( x ) выберем любое
уравнение, для которого am +1 ∉ VA ( sm +1 ( x )) .
Достаточность. Рассмотрим систему
уравнений S ( x ) = {si ( x )}i∈N . Несложно заметить, что ai ∉ VA ( S ( x )) для любого i . Но для
любой конечной подсистемы S0 ( x ) = {si ( x )}i∈I
элемент a max I +1 принадлежит VA ( S0 ( x )) .
Введём следующее удобное обозначение.
Пусть L – язык, A – множество и B ⊆ A .
Тогда язык, полученный из L добавлением
множества константных символов {cb }b∈B ,
обозначим LB . Если A = 〈 A, LB 〉 – алгебра
такого языка, то будем подразумевать, что
cb A = b для любого b ∈ B .
25
Пусть L ⊆ L′ – расширение языка, если
A = 〈 A, L〉 и A′ = 〈 A, L′〉 такие алгебры, что
f A = f A′ для любого функционального сим′
A
A
вола f ∈ L и c = c для любого константно-
го символа c ∈ L , то будем говорить, что A′
является расширением алгебры A .
Лемма 2. Пусть A = 〈 A, L〉 – некоторая
алгебра, B = 〈 B, L〉 – подалгебра алгебры A .
Если алгебра A нётерова по уравнениям и
алгебра B конечно порождена, то расширение A′ = 〈 A, LB 〉 алгебры A также нётерово
по уравнениям.
Доказательство. Пусть подалгебра B
порождается конечным набором элементов b , c – такой набор константных символов, что c A = b . Для любого терма t ( x ) языка LB через t ′( x, c ) обозначим терм языка L , в котором все константные символы
cb заменены на их выражения через c .
Рассмотрим
произвольную
систему
уравнений S ( x ) языка LB . Взяв для каждо-
t1 (x ) = t2 (x ) этой системы
уравнение t1′( x, c ) = t2′ ( x, c ) , построим систему
S ′( x, c ) языка L . Заметим, что VA′ ( S ( x )) =
= VA′ ( S ′( x, c )) . Заменив c набором переменных y , получим систему уравнений S ′( x, y )
языка L . Так как алгебра A нётерова
го
уравнения
по уравнениям, то найдётся такая подсистема
S0′ ( x, y )
системы
S ′(x, y ) ,
что
VA ( S0′ ( x, y )) = VA ( S ′( x, y )) . Откуда получаем,
что VA ( S0′ ( x, c )) = VA ( S ′( x, c )) . Построим систему S0 ( x ) , взяв для каждого уравнения
системы S0′ ( x, y ) уравнение системы S ( x ) ,
из которого оно было получено. Так как
VA′ ( S0 ( x )) = VA′ ( S ( x )) , то S0 ( x ) будет искомой конечной подсистемой.
Лемма 2 в случае групп доказана в работе Г. Баумслага, А. Г. Мясникова, В. Н. Ремесленникова [4], в случае булевых алгебр –
в работе А. Н. Шевлякова [6], в случае идемпотентных коммутативных полугрупп – в
работе А. Н. Шевлякова [5].
Будем говорить, что алгебра A нётерова по уравнениям от n переменных, если
любая система уравнений S ( x ) от n переменных x эквивалентна своей некоторой
конечной подсистеме S0 ( x ) ⊆ S ( x ) . Пусть
Lgr = {⋅,−1 ,1} – язык теории групп. В работе
Г. Баумслага, А. Г. Мясникова, В. Н. Ремесленникова [4] сформулирована следующая
проблема.
Проблема 1
[4].
Пусть
группа
G = 〈G, Lgr,G 〉 нётерова по уравнениям от од-
М.В. Котов
26
ной переменной. Следует ли отсюда, что
группа G нётерова по уравнениям?
Решение этой проблемы автору не известно. Тем не менее, в общей ситуации для
доказательства нётеровости по уравнениям
нельзя ограничиться рассмотрением систем
уравнений от одной, двух или любого другого фиксированного числа переменных.
Предложение 1. Для любого целого положительного n существует алгебра, которая нётерова по всем уравнениям от не
более чем n переменных, но которая не является нётеровой по уравнениям.
Доказательство.
Рассмотрим
следующую серию алгебраических систем:
A n = 〈 N,{ f k }k∈N ,0〉 ,
где
функциональные
символы f k
местности n
интерпретирова-
f k ( x1 , x2 ,…, xn ) = 0 ,
если найдётся i такой, что xi = 0 , или
i≠ j,
что
xi = x j ,
найдутся
такие
ны следующим образом:
f k ( x1 , x2 ,…, xn ) = max( x1 , x2 ,…, xn , k ) иначе.
Докажем, что алгебра A n является нётеровой по уравнениям от m переменных,
где m < n . Рассмотрим терм t ( x1 , x2 ,…, xm ) .
Найдём в нём самое глубокое вхождение
символа f k . Если среди аргументов этого
символа есть 0 , то вхождение этого символа
можно заменить на 0 . Иначе же, так как
m < n , среди аргументов этого символа найдутся хотя бы две одинаковые переменные,
следовательно, это вхождение можно также
заменить на 0 . После этого снова найдём
самое глубокое вхождение символа f k и
применим те же рассуждения. Таким образом, если терм содержал хотя бы одно вхождение f k , то его в записи уравнений можно
заменить на 0 . Таким образом, можно считать, что любое уравнение от m переменных, m < n , имеет один из следующих видов: 0 = 0 , xi = 0 , xi = x j . В этом случае любая система уравнений будет эквивалентна
некоторой своей конечной подсистеме.
Докажем, что алгебра A n не является
нётеровой по уравнениям. Пусть уравнение
sk ( x1 , x2 ,…, xn ) имеет вид f k ( x1 , x2 ,…, xn ) = xn .
Рассмотрим
систему
уравнений
S ( x1 , x2 ,…, xn ) = {sk ( x1 , x2 ,…, xn )}k∈N\{0,1,…,n} . Выберем какую-нибудь конечную подсистему S0 ( x1 , x2 ,…, xn ) = {sk ( x1 , x2 ,…, xn )}k∈I . Пусть
m = max I . Заметим, что точка ( m − n + 1,
m − n + 2, …, m) является решением системы S0 ( x1 , x2 ,…, xn ) , но не является решением
системы S ( x1 , x2 ,…, xn ) .
В работе Г. Баумслага, А. Г. Мясникова
и В. А. Романькова [3] доказана следующая
теорема.
Теорема 2 [3]. Пусть группа G нётерова по уравнениям, N – нормальная подгруппа группы G , N является конечным
объединением алгебраических над G множеств. Тогда группа G / N также нётерова
по уравнениям.
Теорема 2 допускает следующее обобщение на случай произвольных алгебр.
Теорема 3. Если алгебра A нётерова
по уравнениям, конгруэнция θ на алгебре A является замкнутым в топологии
Z A,2 множеством, то алгебра A / θ также
нётерова по уравнениям.
Доказательство. Предположим противное. Пусть алгебра A = 〈 A, L〉 нётерова по
уравнениям, θ является замкнутым в Z A,2
множеством, но алгебра A / θ = 〈 A / θ , L〉 не
является нётеровой по уравнениям. Тогда по
лемме 1 найдутся последовательность элементов (ai )i∈N , ai ∈ An , и последовательность
уравнений (t1i ( x ) = t2i ( x ))i∈N
языка L такие,
A / θ |= t1i (ai / θ ) ≠ t2i (ai / θ ) для всех i ,
и A / θ |= t1 j (ai / θ ) = t2 j (ai / θ ) для всех j < i .
что
Откуда следует, что
(t1Ai (ai ), t2Ai (ai )) ∉ θ
для
всех i и (t (ai ), t (ai )) ∈ θ для всех j < i .
A
1j
A
2j
Так как алгебра A нётерова по уравнениям, то по теореме 1 конгруэнцию θ можно представить в виде θ = Y1 ∪ Y2 ∪ … ∪ Ym ,
где Yi – алгебраические над A множества.
Отсюда следует, что найдутся такой индекс k0 , 1 ≤ k0 ≤ m , и такое бесконечное
подмножество
индексов
I 0 ⊆ N \ {0} , что
(t (ai ), t (ai )) ∈ Yk0 для всех i ∈ I 0 . АналогичA
10
A
20
но, найдутся такой индекс k1 , 1 ≤ k1 ≤ m , и
такое бесконечное подмножество индексов
I1 ⊆ I 0 \ {1} , что (t11A (ai ), t21A (ai )) ∈ Yk1 для всех
i ∈ I1 . И вообще, для любого натурального l
найдутся такой индекс kl , 1 ≤ kl ≤ m , и такое бесконечное подмножество индексов
I l ⊆ I l −1 \ {l} , что (t1Al (ai ), t2Al (ai )) ∈ Ykl для всех
i ∈ Il .
Так как алгебра A нётерова по уравнениям, то любое алгебраическое множество
является множеством решений некоторой
конечной системы. Пусть Yk = VA ( Sk ( x1 , x2 )) ,
1 ≤ k ≤ m , где все системы уравнений
Sk ( x1 , x2 ) конечны. Рассмотрим систему
уравнений
S ( x ) = ∪ l∈N Skl (t1l ( x ), t2 l ( x )) . Так
как алгебра A нётерова по уравнениям,
то система S ( x )
эквивалентна некоторой
конечной
подсистеме
S0 ( x ) =
Несколько замечаний о нётеровости по уравнениям
= ∪ l∈I Skl (t1l ( x ), t2 l ( x )) , пусть r = max I . Заметим,
что
если
a ∈ VA ( S ( x )) ,
то
(t (a), t (a)) ∈ θ для любого l , следовательно,
A / θ |= t1l (a / θ ) = t2l (a / θ ) для любого l ∈ N . С
другой стороны ai ∈ VA ( S0 ( x )) для всех i ∈ I r .
Пусть i0 = min I r , тогда A / θ |= t1i0 (ai0 / θ ) =
A
1l
A
2l
= t2i0 (ai0 / θ ) . Получили противоречие с выбором последовательности (ai )i .
Рассмотрим
два
примера.
Пусть
G = 〈G, Lgr,G 〉 – некоторая группа и Z(G) – её
центр. Определим конгруэнцию θ
следую-
щим образом: x ~θ y ↔ x −1 y ∈ Z(G) . Заметим,
что в этом случае конгруэнция θ является
множеством решений системы S ( x, y ) =
= {[ g , x −1 y ] = 1}g∈G . Следовательно, факторгруппа любой нётеровой по уравнениям
группы по её центру снова является нётеровой по уравнениям (это также следует из
теоремы 2). Пусть LLa – язык теории алгебр
Ли, L = 〈 A, LLa, A 〉 – алгебра Ли и Z(L) – её
центр. В этом случае рассмотрим конгруэнцию θ , заданную правилом:
x ~θ y ↔
↔ x − y ∈ Z(L) . Аналогично конгруэнция θ
является
множеством
решений
системы S ( x, y ) = {[a, x − y ] = 0}a∈L . Откуда получаем, что факторалгебра любой нётеровой по
уравнениям алгебры Ли по её центру также
является нётеровой по уравнениям.
Пусть A = 〈 A, L〉 – алгебра языка L .
Отображение f : An → Am называется термальным, если существуют такие термы
t1 ( x ), t2 ( x ),…, tm ( x ) языка L от n переменных
x , что
f (a) = (t1 (a), t2 (a),…, tm (a)) для всех
a ∈ A . В работе [2] доказывается следующее
предложение.
Предложение 2 [2]. Пусть A = 〈 A, L〉 –
n
n
m
произвольная алгебра, f : A → A – термальное отображение. Тогда
f −1 (Y ) любого алгебраического над A множества Y является алгебраическим над A множеством;
2) прообраз f −1 ( Z ) любого замкнутого в
топологии Зарисского Z A,m множества Z
1) прообраз
является замкнутым в топологии Зарисского Z A,n множеством.
Для образов при термальных отображениях такое утверждение не имеет места.
Тем не менее, в некоторых случаях некоторое описание образов алгебраических множеств при термальных отображениях все же
можно получить. Для этого введём несколько обозначений и определений. Рассмотрим
27
алгебру A = 〈 A, L〉 . Пусть B A,n – семейство
конечных булевых комбинаций алгебраических множеств из A A,n . Множество выполнимости формулы ϕ ( x ) над алгеброй A – это
множество {a ∈ An | A |= ϕ (a)} . Пусть D A,n –
семейство множеств выполнимости над A
формул языка L с n свободными переменными.
Предложение 3. Пусть T – некоторая
теория языка L , допускающая элиминацию
кванторов, A = 〈 A, L〉 – нётеровая по уравнениям модель теории T и f : An → Am –
термальное отображение. Тогда
1) для
каждого k
семейство
множеств D A,k совпадает с семейством B A,k ;
2) образ f ( Z ) любого замкнутого в топологии Зарисского Z A,n множества Z
яв-
ляется конечной булевой комбинацией алгебраических над A множеств;
3) образ f (Y ) любого алгебраического
над A множества Y является конечной
булевой комбинацией алгебраических над A
множеств;
4) проекция
любого
алгебраического
множества Y является конечной булевой
комбинацией алгебраических над A множеств.
Доказательство.
1. Пусть X ∈ D A,n , тогда найдётся такая
формула ϕ ( x ) , что X = {a ∈ A | A |= ϕ (a)} .
Так как T допускает элиминацию кванторов, то найдётся бескванторная формула ϕ qf ( x ) такая, что X = {a ∈ An | A |= ϕ qf (a)} .
n
Следовательно, X является конечной булевой комбинацией множеств решений над A
некоторых уравнений. С другой стороны,
пусть X является конечной булевой комбинацией алгебраических над A множеств.
Так как алгебра A нётерова по уравнениям,
то любое алгебраическое над A множество
является множеством решений некоторой
конечной системы уравнений. Следовательно, X является множеством выполнимости
над A некоторой бескванторной формулы.
2. Пусть Z ∈ Z A,n . Заметим, что b ∈ f ( Z )
тогда и только тогда, когда найдётся a ∈ Z
такой, что b = f (a) . Из теоремы 1 следует,
можно
представить
что
множество Z
в виде Z = Y1 ∪ Y2 ∪ … ∪ Yk , где Yi – алгебраические множества. Из пункта 1 получаем, что найдётся такая формула ϕ ( x ) ,
что Z = {a ∈ An | A |= ϕ ( a)} . Так как f – термальное отображение, то существуют такие
термы
t1 ( x ), t2 ( x ),…, tm ( x ) ,
что
f ( a) =
= (t1 (a), t2 (a),…, tm (a)) для всех a ∈ An . Откуда
М.В. Котов
28
f ( Z ) = {b ∈ Am | ∃x ϕ ( x ) ∧
∧b1 = t1 ( x ) ∧ b2 = t2 ( x ) ∧ … ∧ bm = tm ( x )} . Снова
применяем пункт 1 и получаем, что f ( Z )
получаем,
что
является конечной булевой комбинацией
алгебраических над A множеств.
3. Очевидное следствие пункта 2.
4. Следует из пункта 3 и того факта, что
отображения проектирования pi : An → An −1 ,
задаваемые
правилами
pi (a) = ( a1 ,…, ai −1 ,
ai +1 ,…, an ) , являются термальными отображениями.
Предложение 3 можно применить, например, в случае нетривиальных делимых
абелевых групп без кручения, так как любая
абелева группа нётерова по уравнениям [4],
а теория нетривиальных делимых абелевых
групп без кручения допускает элиминацию
кванторов [7, с. 77]. В случае алгебраически
замкнутых полей этот результат хорошо известен [7, с. 88].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V.
Unification theorems in algebraic geometry //
Algebra and Discrete Mathematics. 1 (2008). 80–
112.
[2] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания //
Фундамент. и прикл. матем. 17:1 (2012). 65–
106.
[3] Baumslag G., Myasnikov A., Roman'kov V. Two
theorems about equationally Noetherian groups //
J. Algebra. 194 (1997). 654–664.
[4] Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V.
Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets
and ideal theory // J. Algebra, 219 (1999), 16–79.
[5] Shevlyakov A. Commutative idempotent semigroups at the service of universal algebraic geometry // Southeast Asian Bull. Math. 35:1 (2011).
111–136.
[6] Shevlyakov A. Algebraic geometry over linear
ordered semilattices, Algebra and Model Theory 8: Collection of papers. Novosibirsk : NSTU,
2011. P. 116–131.
[7] Marker D. Model Theory: An Introduction,
Springer, 2002.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
434 Кб
Теги
уравнения, несколько, замечания, нётеровости
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа