close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Норма линейного функционала над пространством h1.

код для вставкиСкачать
Раздел I.
Алгебра и геометрия

Доказательство. В соответствии с принятой в п.1 договорѐнности
не содержит тождестx . Если
ва x
содержит тождество x y (где переменные x и y различны), то, согласно

п.2 , IW(
) является многообразием. Если каждое тождество u=v из

жат более одной буквы, то, согласно п.2 , IW(
Если же
таково, что u и v содер-
) является многообразием.
содержит тождество u=v, где u= xi1 xi 2 ... xik (k
2) и v= x , то IW( ), согласно
теоремам 2. и 3., замкнут относительно эпиморфных образов и подполугрупп. Осталось заметить,
что если произвольная полугруппа
Ak ; k
K , то A;
A;
является декартовым произведением полугрупп
является раздуванием декартова произведения полугрупп Ak ; k
K .
Поэтому IW( ) замкнут относительно декартовых произведений. Согласно теореме Биркгофа [4]
IW( ) является многообразием. Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972. Т. 1. С. 136.
2. Кривенко В.М.. Полугруппы, в которых каждая 2-порожденная подполугруппа – нормальный комплекс / Современная алгебра: Межвузов. респ. тематический сб. Л., 1977. Вып. 6. С. 57–65;
3. Кривенко В.М., Кублановский С.И. Полугруппы, аппроксимируемые двухэлементными полугруппами / ХХIХ Герценовские чтения. Математика. Л., 1976. С. 24–26;
4. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1976. С. 337.
В.Г. Рябых, Г.Ю. Рябых
НОРМА ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД ПРОСТРАНСТВОМ H 1
Пусть ω – существенно ограниченная функция на T
{t : t
1} , и Hp – обычное про-
странство Харди в единичном круге. Обозначим через l ω линейный функционал над H1, определяемый формулой (всюду в дальнейшем t
1
2
l (X )
Здесь
ei ,
X (t ) (t )d , X
ei ):
H10 ,
L ,
H .
(1)
T
H10 – множество функций из H1 , равных нулю в начале координат.
Назовем функцию f экстремальной функцией для функционала l, если для нее выполняется:
l( f )
1. Будем считать
l, f
если
L
inf
a H
a
L
не у любого функционала над
H
функцией наилучшего приближения для
L ,
dist( , H ). Известно, что экстремальный элемент существует
H1 , в то же время наилучшее приближение
реализуется всегда.
В статье [1] получены необходимые и достаточные условия (не совпадающие между собой)
существования экстремальных функций.
В данной работе будет указано равносильное условие их существования. В ней же решается
давняя задача о вычислении нормы линейного функционала над пространством
H10 .
Нам понадобятся три следующих, хорошо известных, результата:
Пусть
к точке
и
– угловые предельные значения интеграла
1
(t )
dt при стремлении z
2 iTt z
T соответственно изнутри или извне T. Тогда:
59
Вестник ТГПИ
Естественные науки
1. Из теоремы Рисса ([2] гл. 9, п.3) вытекает: если
и
L p ,1
p
, то
Lp
C
Lp
являются угловыми граничными значениями функций соответственно из пространств
,
Hp и H .
0
p
2. По теореме Привалова ([3] гл.lll, (2.3:1)) для п.в.
( )
( )
3. Из той же теоремы при
( ),
L p (1
( )
( )
1
(t )
(v. p.)
dt.
i
t t
(2)
1
(t )
(v. p.)
dt
i
t
T
(3)
) следует
p
1
(t )
(v. p.)
dt и
i
t
T
( )
T выполняется
( )
Приведем доказанные ранее в [1] факты:
I. (ТЕОРЕМА 1 из [1])
Пусть
(
H2
1) и
(a1 и a2 некоторые функции из
10. При
1) для п.в.
1
t
l
H 2 – решения системы уравнений:
(t )
t (t ) (t ) ta1 (t )
(t )
t (t ) (t ) ta2 (t )
для п.в. t из T.
H 2 , а λ – вещественное число). Тогда:
существуют такие решения системы (4), что:
T выполняется
(t )
(t ) ,
2) экстремальную функцию функционала (1) можно представить в виде f (t )
20. Если
(
1) для п.в.
t
H2
1) и
H2
T выполняется
t (t ) (t ) .
решения системы (4), то:
(t )
2) наименьшее положительное λ равно 1
3) t
(4)
(t ) ,
l
,
f – экстремальная функция.
II. (ТЕОРЕМА 3 из [1])
Обозначим
T ( y )( )
1
y (t ) (t )
2 iT
(t )
t
( )
dt
(здесь интеграл понимается в смысле главного значения).
Тогда оператор T
10) при
L непрерывно отображает L2 в H2;
0
2 ) является положительным оператором над пространством H2;
30) если
60
VMO  L , то оператор T является компактным оператором из L2 в H2.
(5)
Раздел I.
Алгебра и геометрия
III. (ТЕОРЕМА 4 из [1])
Если у функционала (1) существует экстремальная функция, то Φ и Ψ из теоремы 1 являются решениями интегрального уравнения
2
Y( )
В котором
1
2 iT
(t )
,
l
(t )
t
(t )
( )
Y (t )dt ,
(6)
(t ) , а интеграл понимается в смысле главного зна-
(t )
чения.
Теперь будет доказана
ТЕОРЕМА 1. Пусть функция
(
вующим характеристическому числу
1) является решением уравнения (6), соответст-
H2
1
2
l
2
,а
0
– проекция
t
на H 2 , тогда:
1) экстремальная функция существует и представима в виде f=ζΦΨ;
2) 1/λ2 равно наименьшему характеристическому числу оператора T;
3) l
2
r (T ) , где r (T ) – спектральный радиус оператора T.
T
Доказательство.
Предположим противное: r (T )
l
2
2
и пусть μ=1/λ2
( l , r (T )] . В силу самосопряженно-
сти оператора T, которая следует из того, что что он положительный, μ является точкой непрерывного или точечного спектра.
Вначале предположим, что μ находится в непрерывной части спектра. По теореме из ([4], гл. VII.
т. 1.) существует последовательность {
Обозначим
2
T(
n
)
n
},
n
1 , для которой
H2
lim
2
T(
n
n
и заметим, что, т.к.
n
тельность (считаем, что сама
n
n
)
H2
0
0 , то существует ее подпоследова-
n H2
{ n } ), сходящаяся к нулю п.в. на T, следовательно, почти для всех ζ,
|ζ|=1, справедливы равенства
2
n( )
где
n
n( )
n
2 iT
– проекция
(t ) (t )
(t )
t
( )
dt ,
t
n
an , an
n
H2 ,
(7)
на H 20 , следовательно, выполняется
n
P(
2
n
)
n
2
C
(8)
n 2
Используя второе из равенств (7), имеем
2
2
T(
n
)( )
2 iT
n
(t )
(t )
t
( )
dt
2
1
(t
iT
n
an )
(t )
t
( )
dt
(9)
Упростим это выражение, используя теорему Привалова. Получим
2
T(
n )(
)
2
1 t
iT
n (t )
t
(t )
dt
( )
1 t n (t )
dt
iT t
(10)
61
Вестник ТГПИ
Естественные науки
1 t
iT
2
n (t )
(t )
t
dt
( )
n(
)
Вычитая из (10) равенство
1 t n (t )
iT t
0
dt
,
n
Имеем
2
T(
n
t
)( )
2
n
(t ) (t )
t
T
dt
( )
n
( ) .
(11)
dt .
(12)
Из теоремы Привалова следует:
n
( ) ( ) 2(
n
1 t n (t )
iT t
( ) ( ))
Преобразуем правую часть (11), заменяя в ней интеграл по формуле (12). Получим
2
T(
n
)( )
Откуда, полагая
2
n
n
( ) ( ) 2(
( ) ( )
2
T(
n
n
( ) ( ))
n
( ) ( ).
H 20 , имеем
( )
)( )
n
n
( ) ( )
n
( ).
Заменяя оператор из правой части (7) только что выведенным значением
n
( )
( )
n( )
n
( ) ( )
n( ) ( )
n
( )
2
T(
n
), получим
для п.в. ζ из T.
(13)
n( )
Вычитая и складывая равенства (13), имеем для п.в. ζ из T
(
n
( )
Здесь bn1
n
n
( ))
(
an , bn2
n
n
( )
n
bnj ( ) 
( )) ( )
n
( ), j
1,2.
an .
Заметим, что из ограниченности {
n
} и {
n
} следует существование слабо сходящейся
подпоследовательности. Будем считать, что сами Φn, Φn слабо сходятся. Положим Fn
отметим, что 2
тельность
Fn
2
2(
норм
n 2
2
Fn
n 2
2
)
или
2
Fn
2
Fn
Fn ,
n
n
и
, поэтому существует бесконечная подпоследова-
отграниченная
от
нуля,
а
по
неравенству
1 C эта последовательность ограничена сверху. Общий член такой под-
последовательности обозначим через Fn.
Проведем дальнейшее доказательство для Fn= Φn – Ψn. Перепишем (14)
применительно к этому случаю:
Fn ( )
(
Fn ( )) ( )
bn1 ( )
n
( ).
Теперь умножим обе части полученного равенства на Fn и проинтегрируем его. Имеем (
2
Fn2
62
1
2
(
0
Fn2 ) d
1
2
2
Fn n d .
0
ei )
Раздел I.
Алгебра и геометрия
После очевидных преобразований получим
2
l(
1
Fn2 )
Fn2
1
2
1
Fn n d
0
Fn
C
2
n 2
.
2
Отсюда следует существование на единичной сфере пространства
H10 последовательности
элементов, на которой достигается значение функционала l, равное 1/λ, большее его нормы, чего
быть не может. Следовательно, наше предположение о существовании непрерывного спектра приводит к противоречию.
Теперь предположим, что
на H 20 , т.е. для п.в.
1
2
( l , r (T )] и T ( )
2
опять проекция
T выполняется
t
Преобразуя
,а
a, a
H2,
(15)
T ( )( ) подобно тому, как это было сделано при выводе первого из равенств
2
(13), получим после присоединения (15)
( )
( ) ( )
t
a, a, a1
a1 ( ),
(16)
H 2.
(17)
Но при рассмотрении равенств (16) и (17) из второй части теоремы 1 из [1] следует, что 1/λ
не может быть дольше l , что говорит об ошибочности сделанного выше предположения.
Теорема полностью доказана.
Для случая, когда ω является рациональной функцией, не имеющей полюсов в z
1 , нор-
му функционала вида
n
k
Akmx ( m ) (ak ), x
l ( x)
H10,
(18)
k 1m 0
Часто встречающегося в задачах о нахождении точных констант, можно вычислить с помощью простого алгоритма, рассмотренного в [5] для функционала с m=νk=0.
ТЕОРЕМА 2. Норма функционала (18) равна наибольшему корню алгебраического уравнения D(μ)=0.
Доказательство.
Представим экстремальную функцию f в виде zF ( z )b( z ) , здесь F
H10 , и не равна нулю
в единичном круге, а b(z ) – ее функция Бляшке. Нетрудно проверить, что
( z)
( z)
1
F 2 ( z )(1 b( z ))
1
2
удовлетворяют теореме 1 из [1].
Вычислим оператор Сеге от обеих частей уравнения (4) Получим
( z)
1
2
2
t (t ) (t )
d
1 tz
0
l
Дифференцируя (19) последовательно j раз ( j
n
t (t )
1 tz
0,1,...,
k
Akm
k 0m 0
k
,k
t (t )
1 tz
m
(19)
t ak
1,2,..., n ), имеем
63
Вестник ТГПИ
Естественные науки
n
( j)
(t )
1 tz
k
( z)
Akm
k 0m 0
Полагая в этих равенствах z
ak и z
( j)
( m)
(20)
t ak
z
n
ak , получим систему из 2n
k
однородных ли-
k 1
нейных уравнений относительно неизвестных:
(a1 ),
'
(a1 ),...,
(
1)
(
(a1 ), (a2 ),...,
Присоединим к этой системе еще 2n
2)
(a2 ),..., (an ),...,
n
k
(
n
)
(an ), (a1 ),...,
(
n
)
(an ).
уравнений, полученных заменой всех членов на
k 1
сопряженные. Обозначим определитель новой системы через D(μ). Так как определитель этой системы Эрмитов, то корни уравнения D(μ)=0 вещественны, а наибольший из них, что следует из
теоремы 1 из [1], совпадает с l .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рябых В.Г. Необходимое и достаточное условие существования линейного функционала над H1 //
Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48. № 6. С. 1351–1360.
2. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1963.
3. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.: Гос. изд-во технико-теоретической
лит-ры, 1950.
4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука,
1966.
5. Рябых В.Г. Вид экстремальной функции линейного функционала над пространством H 1. Деп.
в ВИНИТИ 10.08.01. № 1857-В2001. С. 2–15.
В.В. Сидорякина
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ARG-ДЕФОРМАЦИИ ЦИЛИНДРА В Е4
Работа посвящена исследованию бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей в Е4.
В качестве примера рассматривается случай цилиндра.
Под деформацией поверхности F понимаем семейство
зависящее от параметра
t, t
t0 , t0 , t0
0 , причем при t
Ft поверхностей Ft , непрерывно
0
имеем
F0
F.
Если поверхность F задана уравнением
F: r
r u, v , u, v
D,
то аналитически деформация записывается в виде
Ft : r t
R u , v, t , u , v
Предполагаем, что функция
R
64
t0 , t0 .
представима следующим образом
Ft : r t
где z u , v – поле деформации,
D; t
r u, v
t z u, v
ot,
o t – члены более высокого порядка малости относительно t
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
445 Кб
Теги
норм, над, пространство, функционал, линейного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа