close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нормализация основных структурных подрасслоений -распределения в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

код для вставкиСкачать
Нормализация основных структурных подрасслоений H -распределения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
УДК 514.75
Ю. И. Попов
НОРМАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ
СТРУКТУРНЫХ ПОДРАССЛОЕНИЙ H -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ОКРЕСТНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА
53
Построены поля внутренних нормализаций в смысле Нордена основных структурных Λ-, L-, H-подрасслоений гиперполосного H -распределения [1–3] аффинного пространства Аn в дифференциальной окрестности 2-го порядка. Показано, что в каждом центре А H -распределения для каждого из Λ-, L-, H-подрасслоений их соответствующие
нормали 1-го рода (L-виртуальная аффинная, Бляшке (первый аналог),
Тренсона) принадлежат одному пучку. В соответствующих биекциях
Бомпьяни — Пантази [2] им соответствуют пучки нормалей 2-го рода
Λ-, L-, H-подрасслоений. Выяснены аналитические признаки коинцидентности [4] H -распределения и его Λ-, L-, H-подрасслоений.
Norden inner normalization fields of basic structural subbundle of hyperband distribution are constructed in second order differential neighborhood
of affine space. It is showed that first order normal (L-virual affine normal,
Blashke normal, Trenson normal) corresponding to each of subbundle belongs
to the same sheaf in any center A. Sheafs of second order normal of Λ-, L-,
H-subbundle correspond to them in the Bompiani–Pantazi bijection. Analytical coincidence features of H -distribution and its Λ-, L-, H-subbundle was
clarified.
Ключевые слова: подрасслоения, нормализация, нормаль, тензор, квазитензор, распределение, коинцидентность, биекция.
Key words: subbundle, normalization, normal, tensor, quasitensor, distribution,
coincidence, bijection.
Во всей работе использована следующая схема индексов:
ˆ , ˆ , ˆ  m  1, n .
J , K , L  1, n; , ,  ,   m  1, n  1; i , j , k , s  1, m; a , b , c  1, n  1 ; 
1. Известно [2; 3], что в дифференциальной окрестности 2-го порядка регулярное H -распределение аффинного пространства Аn задается относительно репера R1 уравнениями
ˆ
ni   niK K , i   iK K , n   nˆ  , i   iK K ,
ˆ
 niK   niKL L ,  iK   niK n   iKL L ,  nˆ   n
ˆˆ ,
i
 i K   
K ni   i KL L
и соотношениями
 nn  [njk ]   n  [jk ]   ni[ j |i|k ]  0 .
© Попов Ю. И., 2014
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 10. С. 53—59.
53
Ю. И. Попов
Определители
def
 0  det  nij  0, L0  det  n  0, H0  det  nab  0
основных фундаментальных тензоров 1-го порядка соответственно Λ-,
L-, H-подрасслоений удовлетворяют уравнениям
d ln  0  2ii  mnn   K K ,
d ln L0  2   ( n  m  1)nn  LK K ,
d ln H0  2aa  ( n  1)nn  HK K ,
54
где
54
n
ba n
 K   nji  nijK , LK  
n  K , HK   n  abK ,
(1)
 K  ( m  2) nsK ns  m nK n ,
(2)
LK  (n  m  1) niK ni  (n  m  1) nK n ,
(3)
HK  (n  1) naK na .
(4)
В частности, в силу (2)—(4), придавая индексу К последовательно
значения i, , найдем дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют следующие функции:
 i   njk  nkji ,  i  (m  2) nsi ns ;
(5)
n
    njk  nkj ,    (m  2) nj nj  m
n ;
(6)
n
n j
Li  
n  i , Li  ( n  m  1) ji n ;
(7)
n
n
L   n 
, L  (n  m  1) nj nj  (n  m  1)
n ;
(8)
Hi   bcn  ncbi , Hi  (n  1) nji nj ;
(9)
j
n
n
n

H   bcn  cb
 , H  ( n  1) j n  ( n  1)  n .
(10)
С помощью функций Λi (5), Λ (6) и тензоров {  nij } , {  ni } , {  n } построим охваты квазитензоров 2-го порядка:
1
 j  nji , T n i  ni  T nKi K ;
m2
(11)
1


 K
(  i  ni     
n ), T n    T nK  ;
m
(12)
def
Tn i  
def
Tn   
def
T n a  {T n i , T n  }, T n a  na  T nKa K .
(13)
Известно [5], что для регулярных гиперполос Hm  An поле квазитензора {T n i } задает поле нормалей Тренсона [6] Тn-m 1-го рода. Отметим, что для гиперполосных распределений специального класса нормализация Тренсона введена в работе [7]. Имея это ввиду, мы сохраним
Нормализация основных структурных подрасслоений H -распределения
это название для нормалей T n m 1-го рода Λ-подрасслоения данного
H -распределения. Аналогично, будем говорить, что поля квазитензоров {T n  } (12) и {T n a } (13) в дифференциальной окрестности 2-го по-
рядка задают соответственно поля нормалей Тренсона 1-го рода L-, H-подрасслоений. В силу биекции Бомпьяни — Пантази [2] полям нормалей
Тренсона 1-го рода (11)—(13) соответствуют поля нормалей 2-го рода Λ-,
L-, H-подрасслоений:
55
 , T  T K ,
 T i   nij T n j  A
i
i
iK


n
K





T
T
T
T
A
,
 
 n


K  ,
 T   n T b  A , T  T K .
ab n
a
a
aK
 a
55
Итак, в дифференциальной окрестности 2-го порядка инвариантным образом построены поля внутренних нормализаций Тренсона
(T n i ; T i ), (T n  ; T  ), (T n a ; T a )
(14)
соответственно Λ-, L-, H-подрасслоений.
2. Проводя аналогичные построения с функциями Li (7) и L (8), последовательно получаем
1

Ls  nsi , L ni  ni  L nKi K ,
L ni  

nm1

1
 
( L  n  Li  ni ), L n  n  L nK K ,
L n  
1
n
m



L na  {L ni ; L n }, L na  na  L nKa K .


(15)
Поля нормалей 1-го рода в смысле Нордена соответственно Λ-, L-,
H-подрасслоений (15) будем называть в дальнейшем L-виртуальными
аффинными нормалями 1-го рода соответственно Λ-, L-, H-подрасслоений.
Замечание. Аффинные нормали (15) названы L-виртуальными, так
как их строение зависит от функций {Li }, {L } , ассоциированных с
L-подрасслоением.
Затем, используя соответствия Бомпьяни — Пантази, находим поля
L-виртуальных аффинных нормалей 2-го рода в смысле Нордена соответственно Λ-, L-, H-подрасслоений:
 L i   nijL n j  A i , L i  L iK K ,

n
K

(16)
L    L n  A  , L   L K  ,
n
b
K
 L   L  A , L  L  .
ab n
a
a
aK
 a
В результате непосредственно из (15), (16) получаем поля внутренних L-виртуальных аффинных нормализаций
(Lni ; L i ), (L n ; L  ), (Lna ; L a )
(17)
соответственно Λ-, L-, H-подрасслоений в аффинной окрестности 2-го порядка H -распределения.
Ю. И. Попов
3. Наконец, воспользуемся функциями Hi (9), H (10) и проведем аналогичные построения квазитензоров 2-го порядка:
def
1

Bn i  
Hs  nsi , Bn i  ni  BnKi K ,

n1

def
1




 K
( Hi  ni  H  
 Bn  
n ), Bn  n  BnK  ,

n
1

1
 a

i
a
ba
a
a
a K
Bn  {Bn ;Bn }, Bn   n  1 Hb  n , Bn  n  BnK  .

56
(18)
Поле квазитензора {Bn a } (18) для гиперповерхности [8] и для гиперплоскостного распределения [9—11] аффинного пространства задает
поле нормалей Бляшке [12]. В силу этого обобщенные поля нормалей
Бляшке (18) основных структурных подрасслоений (Λ-, L-, H-подрасслоений) H -распределения назовем первыми аналогами нормалей
Бляшке 1-го рода.
Поля нормалей Бляшке регулярных гиперполос аффинного пространства рассмотрены, например, в работах [13; 14], а для гиперполосных распределений аффинного пространства поля нормалей Бляшке
введены, например, в работах [1; 15].
В силу соответствия Бомпьяни — Пантази и соотношений (18):
 Bi   nijBn i  A i , Bi  BiK K ,

n
K

B   Bn  A  , B  BK  ,
 B   n B b  A , B  B K .
ab n
a
a
aK
 a
(19)
Поля нормалей (19) Λ-, L-, H-подрасслоений назовем первым аналогами нормалей Бляшке 2-го рода.
Из (18), (19) следует, что поля нормализаций Бляшке
(Bn i ; Bi ), (Bn  ; B ), (Bn а ; Ba )
(20)
соответственно Λ-, L-, H-подрасслоений внутренним образом определены в дифференциальной окрестности 2-го порядка. Резюмируя, приходим к следующему выводу:
Теорема 1. H -распределение во 2-й дифференциальной окрестности порождает поля внутренних нормализаций (14), (17), (20) его основных структурных подрасслоений (Λ-, L-, H-подрасслоений).
4. Из формул (18) в силу соотношений (5), (7), (11), (15) получаем:
1
1
Hs  nsi  
 nba  nabs  nsi 
n1
n1
1
1
1
n
si
  nji  nijs  nsi   


 s  nsi 
Ls  nsi 
n  s  n   
n1
n1
n1
m2
nm1 i
1

Tn i 
Ln .
( ( m  2)T n i  ( n  m  1)L ni ) 
n1
n1
n1
Bn i  
(21)
Согласно (21) справедлива
Теорема 2. Аффинные нормали 1-го рода Bnm ( A), T nm ( A), L nm ( A)
плоскости Λ(А) в каждом центре А H -распределения принадлежат однопа-
56
Нормализация основных структурных подрасслоений H -распределения
раметрическому пучку (n-m)-плоскостей Nn-m(ε), определенному внутренним
образом пучком квазитензоров
N ni (  )  T n i  (1  )L ni  L ni  ( T n i  L ni )
(22)
в дифференциальной окрестности 2-го порядка, причем нормаль Бляшке
m2
Bn m ( A) плоскости Λ(А) высекается из пучка (22) при  
.
n1
5. Аналогично, преобразуя функции Bn  (18) с использованием соотношений (1), (5)—(8), (15) приходим к следующему результату:
Bn   
57
1
1
Ha  na  
( Hi  ni  H  
n )
n1
n1
1
n

(  bcn  ncbi  ni   nbc  cb
n ) 
n1
1
js n
n
i

 n


(  njs  nsji  ni   n  
i  n   n  sj  n   n    n ) 
n1
1
1

( Li  ni  L  n ) 
(  i  ni     
n )
n1
n1
( n  m  1) 
m
Ln 
T n .

n1
n1
57

(23)
Из (23) следует
Теорема 3. Аффинные нормали 1-го рода Bm 1 ( A), T m 1 ( A), L m 1 ( A)
плоскости L(А) в каждом центре А H -распределения принадлежат однопараметрическому пучку плоскостей (m  1)-плоскостей N m 1 ( ) , определенному
внутренним образом пучком квазитензоров
N n (  )  T n   (1   )L n  L n  (T n   L n ) ,
(24)
причем нормаль Бляшке Bm 1 ( A) плоскости L(А) соответствует параметру
m
.
n1
В биекции Бомпьяни — Пантази пучку (22) соответствует пучок тензоров 2-го порядка

Ni ( )  L i  (T i  L i ),
(25)
который определяет в каждом центре А H -распределения пучок нормалей 2-го рода Nm1 ( ) плоскости Λ(А). В пучке Nm1 ( ) (25) нормали
Бляшке 2-го рода Bm 1 ( A) (первый аналог) соответствует параметр

m2
.
n1
Пучку нормалей 1-го рода N m 1 ( ) (24) плоскости L(А) в каждом
центре А соответствует пучок нормалей 2-го рода Nn m 2 (  ) , определяемый пучком тензоров 2-го порядка
N (  )  L   (T   L  ).
(26)
Ю. И. Попов
m
высекается нормаль 2-го рода
n1
Бляшке Bn m 2 ( A) (первый аналог) плоскости L(А).
Из пучка Nn m 2 (  ) (26) при  
Как следствие из теорем 2 и 3 вытекает
Теорема 4. Нормали первого рода: Бляшке B1 ( A) , Тренсона T 1 ( A) и L-виртуальная аффинная нормаль L 1 ( A) гиперплоскости Н(А) в каждом центре А
принадлежат одному однопараметрическому пучку, определяемому внутренним образом пучком квазитензоров 2-го порядка
N na ( )  L na  (T n a  L na ).
58
(27)
В биекции Бомпьяни — Пантази пучку квазитензоров (27) соответствует пучок тензоров
Na ( )  L a  (T a  L a ) ,
(28)
который задает в дифференциальной окрестности 2-го порядка внутренний пучок нормалей Nn m 2 (  ) 2-го рода плоскости Н(А).
6. Если нормаль Тренсона T 1 ( A) и L-виртуальная аффинная нормаль L 1 ( A) плоскости Н(А) в точке А совпадают, то, как это следует из
формул (21) и (23), нормаль Бляшке B1 ( A) тоже совпадает с ними, то
есть все три нормали совпадают. Действительно, пусть
( 23)
(T n a  L na )  (T n i  L ni , T n   L n ) 
( 21)
( 23)
 (Bn i  T n i  L ni ;Bn   L n  T n  ) 
( 21)
 (Bn a  L na  T n a ).
Аналогично, можно показать, что при совпадении любых двух
нормалей из указанных трех: B1 ( A) , T 1 ( A) , L 1 ( A) , в данном центре А
все три нормали совпадают. При этом условии все нормали 2-го рода
пучка (28) тоже совпадают. Верное и обратное утверждение: если нормали 2-го рода H -распределения из пучка (28) совпадают, то нормали
1-го рода H -распределения пучка (27) тоже совпадают.
Определение. H -распределение назовем коинцидентным [4], если
каждый из пучков нормалей 1-го и 2-го рода (27), (28) H -распределения вырождается в одну нормаль.
В силу этого определения приходим к следующим признаком коинцидентности Λ-, L-, H-подрасслоений данного H -распределения.
Теорема 5. Каждое в отдельности из Λ-, L-, H-подрасслоений данного
H -распределения коинцидентно тогда и только тогда, когда любые два квазитензора 2-го порядка из соответствующих троек (Bn i , T n i , L ni ) ,
(B  , T n  , L n ) , (Bn a , T n a , L na ) совпадают или, что равносильно, когда любые
два тензора 2-го порядка из соответствующих троек (Bi , T i , L i ) ,
(B , T  , L  ) , (Ba , T a , L a ) совпадают.
58
Нормализация основных структурных подрасслоений H -распределения
Список литературы
59
1. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов гиперполосного распределения аффинного пространства / Калининградский гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ,
№ 6807-В87 Деп., 1986.
2. Попов Ю. И. Введение в теорию регулярного гиперполосного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта, 2013. Вып. 10. С. 49—56.
3. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов H -распределения аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2013. Вып. 44.
С. 113—125.
4. Mihailescu T. Geometrie differential projective. Bucuresti Acad. RTR, 1958.
5. Попов Ю. И. Нормализация Тренсона гиперполосы Hm (  ) // Диф. геом.
многообр. фигур. Калининград, 2007. Вып. 38. С. 117—192.
6. Лисицына И. Е. Нормализация тренсона гиперполосы Hm аффинного
пространства // Там же. 1998. Вып. 29. С. 38—40.
7. Попов Ю. И. Введение связностей на H -распределения аффинного пространства // Там же. 2011. Вып. 42. С. 122—133.
8. Алшибая Э. Д. Дифференциальная геометрия гиперповерхности в многомерном аффинном пространстве // Тр. Тбилисского ун-та, 1968. Т. 129. С. 319—341.
9. Алшибая Э. Д. О распределении гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Сообщения АН Груз. ССР, 1970. Т. 60. С. 545—548.
10. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Тр. геом. семинара ВИНИТИ АН СССР. М.,
1974. Т. 5. С. 169–192.
11. Алшибая Э. Д. Геометрия распределений гиперплоскотных элементов в
аффинном пространстве. Тбилиси, 1990.
12. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. ОНТИ. М. ; Л., 1935.
13. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос : учеб. пособие. Калининград, 1983.
14. Попов Ю. И. Регулярные гиперполосы аффинного пространства : учеб.
пособие. Калининград, 2011.
15. Попов Ю. И. Нормали гиперполосного распределения аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1988. Вып. 19. С. 69—79.
Об авторе
Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: matsievsky@newmail.ru
About the author
Dr Juriy Popov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.
E-mail: matsievsky@newmail.ru
59
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа