close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О бесконечно малых эквиареальных геодезических деформациях двумерных метрик.

код для вставкиСкачать
Вестник ТГПИ
Естественные науки
i
i
i1
, если i
i
i1
, если i Y
i
Так как
i1
0и
i
, если i
X \ i1
X
Y
неотрицательно для любого
.
i Y , то указанное решение нетривиаль-
но. Получаем противоречие, которое и завершает доказательство необходимости теоремы.
Достаточность теоремы справедлива согласно замечанию, указанному перед теоремой.
20 40 получаем следующий алгоритм установления нетривиальной разрешимости системы (I) относительно положительной части M подкольца M ; , ,
:
Из сказанного в пунктах
1) с помощью преобразований 1.-6. (п.
п.
30 ;

2) если среди вектор-столбцов вs s
рого принадлежат
3) если указанного в п.
M
20 ) приводим систему (I) к виду (III), указанному в
r системы (III) есть такой столбец, все элементы кото-
0 , то система разрешима относительно M ;

20 вектор-столбца не существует, и все вектор-столбцы вs s
системы (III) состоят из элементов множества M
система не разрешима относительно
r
0 (или они вообще отсутствуют), то
M ;
20 вектор-столбца не существует, и не все вектор-столбцы
r системы (III) состоят из элементов множества M
0 , то найдѐтся такой

вектор-столбец вs s r , в который одновременно входят элементы M и
M , то-
4) если же указанного в п.

вs s
гда вопрос о разрешимости системы относительно M сводится к вопросу о разрешимости
конечного числа новых систем, содержащих на одну неизвестную меньше.
1.
2.
3.
4.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Кривенко В.М. Соотношения предшествования, определяющие стабильные порядки на полугруппах // Междунар. конф. по алгебре, посвящѐнная памяти А.И. Мальцева (1909-1967): сб. научн. тр.
Новосибирск, 1989. С. 65.
Кривенко В.М. Алгоритм распознавания конечных совокупностей соотношений предшествования, определяющих стабильные порядки на свободных полугруппах // Междунар. конф. Математика в индустрии: сб. научн. тр. Таганрог, 1998. С. 209-212.
Нечаев В.И. Числовые системы. М.: Просвещение, 1975.
Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968.
В.Т. Фоменко
О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ЭКВИАРЕАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
ДВУМЕРНЫХ МЕТРИК
Известно [1], что всякая метрика Лиувилля ds
ласти D изменения параметров
u1 ,u 2 , g ij
2
g ij du i du j , заданная в односвязной об-
C 2 , допускает нетривиальную геодезическую де-
формацию, определяемую некоторым параметром
t , при которой геодезические линии остаются
2
геодезическими линиями деформируемой метрики ds t
18
g ij t du i du j . Если коэффициенты
Раздел I
Алгебра и геометрия
g ij t представимы в виде g ij t
g ij
кого порядка малости относительно
ds
зических деформациях метрики
если g ij
c0 g ij , c0
t
t
при
2
в классе
c1d , где c1
d
C 2 , считая при этом деформацию тривиальной,
const .
элемента
d
t – члены более высо-
0 , то можно говорить о бесконечно малых геоде-
t
Бесконечно малую деформацию метрики
ция
C2,
t , где g ij
g ij
ds 2
будем называть эквиареальной, если вариа1
площади
d
det g ij
2
du1du 2
удовлетворяет
условию
const .
В настоящей работе доказываются следующие теоремы.
Теорема 1. Всякая двумерная риманова метрика
рики, допускает в классе
C2
ds 2
C 2 , отличная от плоской мет-
класса
только тривиальную бесконечно малую геодезическую эквиареаль-
ную деформацию; при этом, если
d
c1 d
ds 2
, то
Теорема 2. Для того чтобы двумерная риманова метрика
c1 ds 2 .
ds 2
класса
C 2 , заданная в одно-
D , допускала нетривиальные бесконечно малые эквиареальные геодезические
2
деформации класса C , необходимо и достаточно, чтобы гауссова кривизна метрики тождест2
венно равнялась нулю, то есть, чтобы метрика ds была плоской; при этом, если
связной области
ds 2
E u, v du 2
G u, v dv 2 , u, v
ds 2
где
1
ds 2
E cos ~du 2
,
1
ds 2
c1 d
ds 2
2
, то
,
2 EG sin ~dudv G cos ~dv 2 ;
E sin ~du 2
ds 2
2
c1ds 2
d
D;
2 EG cos ~dudv G sin ~dv 2 ;
2
– произвольные вещественные постоянные,
2
0; ~
– функция класса
C 2 , оп-
ределяемая формулой
1
~ u, v
EG
2
Ev du Gu dv
;
L
L , соединяющей некоторую фиксированную точку
u, v области D , в которой вычисляется значение функции ~ .
интегрирование ведется вдоль любой кривой
u 0 ,v0
области
D
с точкой
§1. Уравнения, описывающие бесконечно малые геодезические эквиареальные деформации
метрики.
Система уравнений, описывающая бесконечно малые геодезические деформации метрики
ds 2
g ij du i du j
относительно искомых вариаций
k
g ij
,k
где
k
2 g ij
1 ij
g
6
,k
g jk
,i
g ij , имеет вид [2]:
g ik
,j
;
1
,
k
g ij ;
означает ковариантную производную по переменной
uk
в метрике
g ij .
19
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Выведем уравнения эквиареальных деформаций метрики
Это означает, что
c1 g , где g
g
g
g11 g 22
ds 2 . Имеем
det g ij . Отсюда следует, что g
g 22 g11
g12 g12
g 21 g 21
d
c1 d
.
2c1 g . Так как
g g ij g ij ,
то имеем:
g ij g ij
2
2c1
Это и есть уравнение эквиареальных бесконечно малых деформаций. Объединяя уравнения
1
,
2
, получим систему уравнений, описывающую бесконечно малые эквиареальные геодези-
ческие деформации метрики
1
Преобразуем систему
u
k
и учитывая, что
c1
ds 2
,
g ij du i du j
2
. Дифференцируя формулу
3
g ij
k
система уравнений
k
Таким образом, система уравнений
k
g ij
1
g ij
g ij g ij
Выпишем систему
ds 2
Имеем:
20
2
g ij .
ковариантно по переменной
const , получаем
g ij
В силу формулы
относительно искомых вариаций
5
0.
1
принимает вид:
0.
,
2
4
эквивалентна системе
0;
2c1 .
в предположении, что
E u, v du 2
3
G u, v dv 2 , u u 1 , v u 2 .
5
Раздел I
Алгебра и геометрия
Eu
E
Ev
E
Gu
E
Ev
E
Ev
2E
def
1
g11
2
g11
2
g 22
1
g 22
1
g12
2
g12
u
g11
v
g11
v
g 22
u
g 22
u
g12
v
g12
def
def
def
def
def
E g 22
G g11
Преобразуем систему
g11
E
g11
E
g 22
G
g 22
G
g12
EG
g12
EG
6
Ev
g12 0;
G
Gu
g12 0;
G
Gv
g 22 0;
G
Gu
g 22 0;
G
Eu Gu
g12
2 E 2G
g11
g11
g12
g12
g11
Gu
g 22
2G
2c1 EG.
Ev
2E
Gv
2G
0;
u
g12
EG
g12
EG
0;
v
Gu
EG
g12
EG
0;
u
Ev
EG
g12
EG
0;
v
Gu
EG
g11
E
0;
u
g 22
G
g 22
G
g11
E
0;
v
Gu
2 EG
Исследуем систему
7
0;
Gu
g11
2E
0;
7
Ev
2 EG
g 22
G
g12
Ev
g 22
2G
к виду:
Ev
EG
g11
E
6
2c1 .
g ij .
на ее разрешимость относительно искомых функций
§2. Доказательство теорем 1, 2.
Обратимся к уравнениям
75
,
76
системы
7
. Для разрешимости системы
7
необ-
ходимо выполнение условия:
g12
EG
uv
g12
EG
.
vu
Непосредственный подсчет показывает, что
g12
EG
uv
g12
EG
vu
Ev
2 EG
g 22
G
g11
E
v
Ev
2 EG
v
g 22
G
g11
E
21
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Gu
2 EG
g 22
G
Ev
EG
1
2
g11
E
v
u
Gu
EG
1
2
Gu
2 EG
Воспользуемся
ds
Edu
2
u
формулой
Gdv
2
u
Ev
2 EG
Ev
g12
EG
2
g 22
G
для
g11
E
Gu
g12
EG
Ev
g12
EG
вычисления
g 22
G
Gu
g12
EG
g11
E
Gu
2 EG
.
гауссовой
кривизны
K
метрики
:
1
2 EG
K
Ev
EG
v
Gu
EG
u
.
Тогда находим
g12
EG
g12
EG
uv
vu
8
Так как правая часть формулы
EG 0
a E , g 22
7
системы
71
8
g11
E
.
должна тождественно равняться нулю, то в силу
возможны два случая.
K
Случай 1. Пусть
g11
g 22
G
EG K
a
a
g11
E
и потому можно считать, что
– некоторая функция. Обратимся к последнему уравнению
2c1 ,
то есть
a c1
const .
Но тогда из уравнений
находим:
g12 Ev
Если
g 22
G
Тогда
a G , где a
. Имеем
74
0.
g12
альна, причем
a
0 , то имеем g ij
c1 . Если
g12
0 , g12 Gu
a g ij
0 , то Ev
0.
и потому бесконечно малая деформация триви-
Gu
0
и потому
K
0 . Складывая левые части уравнений 71
и
0 , что невозможно.
Этим доказана теорема 1 для случая 1.
K
Случай 2. Пусть
74
, получим:
g11
E
u
g 22
G
0,
u
g11
E
v
Это означает, что
g11
E
22
73
g 22
G
2b ,
g 22
G
0.
v
, а затем
72
и
Раздел I
Алгебра и геометрия
b const . Из уравнения 7 7
ние 7 3 , находим
где
g11
E
1
2
Из уравнений
72
и
1
2
g 22
G
74
g11
E
b c1 . Вычитая из уравнения 71
Ev
EG
u
уравне-
g12
EG
0.
9
g12
EG
0.
10
аналогично находим
g 22
G
75
Умножим уравнение
находим, что
Gu
EG
v
2 g12
EG
на
, а уравнение
9
g11
E
на
g 22
G
и сложим
полученные результаты. Имеем:
1
2
g11
E
g 22
G
g11
E
g 22
G
g 22
G
g11
E
g 22
G
u
2 g12
EG
g12
EG
v
2 g12
EG
g12
EG
0.
u
Аналогично находим:
1
2
g11
E
0.
v
Полученные равенства означают, что
1
4
где
2
g 22
G
g12
EG
2
R2 ,
R const . Отсюда следует, что
g11
E
где
g11
E
g 22
G
– функция, удовлетворяющая в силу
Отсюда следует при
9 , 10
R cos
u
R cos
v
R 0 и sin
n
g12
EG
2 R cos ,
Ev
,
EG
R sin
,
11
, условиям:
Ev
R sin
EG
Gu
R sin
EG
0;
0.
0 , что
v
Gu
EG
12
23
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Отметим, что при
альной.
R 0
или
sin
0
бесконечно малая деформация является триви-
Из условия 12 следует, что функция
в области
D
существует, если
uv
vu
, то
есть, если
Ev
EG
v
u
ds 2
Последнее условие означает, что метрика
визна
K
Gu
EG
0.
является плоской, то есть ее гауссова кри-
тождественно равна нулю. В этом случае имеем для односвязной области
u ,v
Ev
du
EG
u, v
u0 ,v0
Gu
dv
EG
c2 ,
где интегрирование ведется по любому контуру с концами в точках
c2
u 0 , v0 , u , v
77
g11
, из формул
c1 E
g12
g 22
0
c2 0
Формулы
c1G
13
, находим:
R cos
0
c2 E ;
R sin
0
c2
R cos
0
c2 G,
13
EG ;
удобно представить в виде:
c1 E
g12
g 22
R sin c2 ,
где
11
.
g11
E cos
EG sin
c1G G cos
R cos c2
E sin
0
0
;
0
EG cos
0
G sin
;
,
0
– произвольные постоянные,
0
2
2
0 . Этим заверша-
ется доказательство теоремы 2.
1.
2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
В.Ф. Каган. Основы теории поверхностей. ОГИЗ. М., 1948. Ч. II.
Н.С. Синюков. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979.
В.Т. Фоменко, В.В. Сидорякина, О.Н. Бабенко
4
ПОГРУЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ЕВКЛИДА В E В ВИДЕ ПОВЕРХНОСТИ
С ПЛОСКОЙ НОРМАЛЬНОЙ СВЯЗНОСТЬЮ И
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ВЕКТОРОМ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ
24
;
const .
Используя уравнение
где
D:
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
444 Кб
Теги
двумерные, малыш, геодезических, метрика, бесконечный, деформация, эквиареальных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа