close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О возможности использования табличного процессора MS Excel при изучении темы «Числовая последовательность и ее предел».

код для вставкиСкачать
УДК 378. 02: 51
О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ТАБЛИЧНОГО ПРОЦЕССОРА MS EXCEL ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ
«ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ»
© 2008 М. В. Бородина
старший преподаватель кафедры алгебры, геометрии и
теории обучения математике
email: sergboro@kursknet.ru
Курский государственный университет
Предлагаемая статья посвящена возможности использования табличного процессора MS Excel на лекционных занятиях по математическому анализу в вузе. Такое применение табличного процессора призвано наглядно проиллюстрировать абстрактные математические понятия и тем самым дать возможность студентам осмыслить и усвоить их за меньший промежуток времени.
Ключевые слова: математический анализ, лекции, числовые последовательности,
подпоследовательности, предел последовательности, табличный процессор, макрос.
Одним из основных факторов, определяющих эффективность лекционных занятий, следует считать оптимальное сочетание словесного способа подачи информации с
ее наглядным иллюстрированием, естественным развитием которого является переход
к иллюстрированию динамическому, интерактивному. Такой переход стал возможен в
первую очередь благодаря широкому распространению вычислительной техники и современных информационных технологий.
В данной статье рассматривается возможность использования табличного процессора MS Excel на лекционных занятиях по математическому анализу в вузе. Его
применение позволит наглядно проиллюстрировать абстрактные математические понятия. Такое преподнесение новой информации студентам значительно уменьшит промежуток времени, затрачиваемый ими на осмысление и усвоение материала. Кроме того,
использование подобного программного средства естественным образом позволяет
ввести в лекционный процесс требуемую интерактивную составляющую.
Ниже приведены примеры использования табличного процессора Excel при изучении темы «Числовая последовательность и ее предел».
Напомним определение последовательности.
Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2,…, n,… ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число xn, то множество занумерованных действительных чисел x1, x2,…, xn,…
(1)
называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Числа xn называются членами последовательности (1) [Ильин, Поздняк 1982: 58].
Наиболее распространенные способы задания последовательностей – это аналитический способ (т.е. с помощью формулы n-го члена an=f(n)) и рекуррентный, при котором любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предшествующие (один или несколько).
После введения данного понятия и способов задания последовательностей целесообразно привести примеры последовательностей. С помощью Excel последователь-
ности можно представить как в табличном виде, так и в графическом. На рисунках ниже проиллюстрированы последовательности, задаваемые формулами:
6n
d n  n  n  1  n и cn 
.
n!
У преподавателя появляется возможность оперативно управлять представляемой
вниманию аудитории информацией – от корректировки параметров диаграмм до изменения самих последовательностей.


Последовательность {d n }, d n =(n )*((n +1)-(n ))
0,5
0,49
0,48
0,47
0,46
0,45
0,44
0,43
0,42
0,41
0
5
10
15
20
25
n
Последовательность {c n }, c n =6 /n !
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
Аналогичным образом легко иллюстрируется понятие подпоследовательности.
Здесь имеется возможность продемонстрировать, что подпоследовательность получена
из данной последовательности и сама является последовательностью.
На рисунках ниже рассмотрены последовательность an , an  n 2 и ее подпосле2
довательность bk , bk  3k  .
Последовательность {n^2} (1) и ее подпоследовательность {(3n)^2} (2)
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
Напомним определение еще одного понятия теории последовательностей.
Число a называется пределом последовательности {an}, если для любого положительного числа  существует номер N, такой что при всех n, n > N, выполняется неравенство | an – a | <  [Ильин, Поздняк 1982: 64].
Это одно из наиболее трудно воспринимаемых студентами понятий, и его иллюстрация требует иного подхода – возможность «проигрывания» различных ситуаций
является здесь настоятельной необходимостью.
Для достижения поставленной цели может быть задействована такая возможность Excel, как использование макросов. Макрос, представляющий собой подпрограмму на языке программирования Visual Basic, записанную в особом листе Excel,
приведен ниже:
Программа-макрос по заданному значению  находит номер члена последовательности aN, начиная с которого выполняется неравенство | an – a | < , сам член последовательности aN и следующие за ним 10 членов последовательности: aN+1, aN+2, …,
aN+10. Тот факт, что все члены последовательности, начиная с aN (не только выведенные
на экран), удовлетворяют неравенству | an – a | < , доказывается аналитически. На ри-
n  5
сунке поставленная задача решена для последовательности {an}= 
 (2) и =0,01.
 2n 
При изменении значения  в ячейке E5 соответствующий номер члена последовательности находится с помощью программы-макроса, запускаемой нажатием кнопки с надписью «Найти номер члена последовательности» (см. рисунок).
Вычисление производится очень быстро, что позволяет лектору решить поставленную
задачу для нескольких значений . Конечно, невозможно для каждого , >0, найти
свой номер, начиная с которого выполняется неравенство | an – a | < , (да в этом и нет
необходимости), но смысл соответствующего понятия становится наглядным. Следует
отметить, что формула члена последовательности может быть изменена так же легко,
как и значение .
В том, что 0,5 действительно является пределом последовательности (2), легко
убедиться аналитическим методом. Предварительно заметим, что N, вообще говоря,
зависит от выбора числа . Поэтому будем писать N  вместо N. Рассмотрим модуль
разности xn 
1 n5 1 n5n
5
1
5

 

и оценим ее величину xn  
  для
2
2n 2
2n
2n
2 2n
5
. Таким образом, в качестве N  можно взять наибольшее целое число, не пре2
5
5
восходящее
, т.е. целую часть числа
. Этим и доказано, что 0,5 есть предел по2
2
следовательности (2).
И в заключение остановимся на примере использования MS Excel при изучении
теоремы о предельном переходе в неравенстве. Напомним ее формулировку.
Пусть {xn}, {yn} – сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a.
Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, члены последовательности {zn} удовлетворяют неравенствам xn  z n  yn . Тогда последовательность {zn} сходится и имеет
предел a [1, с. 69].
n
Рассмотрению этой теоремы может предшествовать задача:
Выяснить вопрос о пределе последовательностей {xn}, {yn}, {zn}, если
n
n
1
1
1
xn 
, yn 
, zn 


.
2
2
2
2
2
n n
n 1
n 1
n 2
n n
Нахождение пределов последовательностей {xn} и {yn} не вызовет затруднений у
студентов:
n
n
1
n
xn  lim
 lim
 lim
 1,
lim
2
2
n 
n 
n  n n   n  n n  1  1
n
n
n
n
1
n
yn  lim
 lim
 lim
 1.
lim
2
2
n 
n 
n  1 n  n  1 n  1  1
n2
n
Сложнее обстоит дело с последовательностью {zn}. Возможно, кто-то из студентов выскажет свои гипотезы, которые можно проверить экспериментально, наблюдая
результат как в табличном виде (для нахождения членов последовательности {zn} использован макрос), так и в графическом.
Последовательности {x n } (1), {y n } (2), {z n } (3)
1,2
1
0,8
(1)
0,6
(3)
(2)
0,4
0,2
0
0
5
10
15
20
25
Благодаря представленным таблицам и диаграммам студенты самостоятельно
делают вывод о том, что пределом последовательности {zn} также является 1. Встает
вопрос: почему? А ответ на экране: для натурального числа n, меньшего или равного
21, выполняется неравенство xn  z n  yn . И можно доказать, что это неравенство справедливо при любом натуральном n. В самом деле
n

2

n n
1
2
n 1

1
2

n n
1
2
n 1
1
2

n n

1
n2  1

1
2
n n
n
n2  1

1
2
n 1

1
2
n 2

1
2

n n
.
Таким образом, процесс решения задачи позволяет студентам самостоятельно
сформулировать теорему, доказательство которой проводится уже аналитически.
При использовании компьютера в ходе лекции необходимо учитывать, что таблицы и диаграммы не являются доказательством того, что та или иная последовательность имеет определенный предел, является убывающей (или возрастающей), а лишь
иллюстрируют эти понятия. Находить предел последовательности или доказывать, что
она возрастает, необходимо с помощью аналитических методов.
Не следует также забывать, что перенасыщение лекции избыточной наглядностью может оказать эффект, противоположный ожидаемому, а именно может отрицательно повлиять на активность студентов, усвоение ими изучаемых тем и просто утомит их.
Библиографический список
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа, Ч.1 – М.: Наука,
1982.
Додж М., Кината К., Стинсон К. Эффективная работа с Microsoft Excel 97 –
СПб.: Питер, 1998.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
344 Кб
Теги
предел, числовая, процессов, возможности, табличного, использование, excel, изучения, темы, последовательность
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа