close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О восстановлении дифференциальных операторов по информации о первом собственном значении.

код для вставкиСкачать
Теорема 5. Почти параконтактное метрическое многообразие до-
пускает внутреннюю связность ? без кручения такую, что ?1 ? = 0,
тогда и только тогда, когда допустимая структура ? интегрируема.
Пусть ? - связность без кручения такая, что
?1 ? = 0. Если использовать эту ? в доказательстве теоремы 5, то по~ Y~ ) = ? 1 P (N? )(X,
~ Y~ ) = 0, X,
~ Y~ ? ? D.
лучим: S(X,
4
Добавляя к этому условию равенство ?n ?ab , получаем равенство
~ Y~ ) = 0, X,
~ Y~ ? T X , что в силу теоремы 2 эквивалентно инP (N? )(X,
тегрируемости ?. Обратное очевидно.
Доказательство.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Alekseevsky D. V., Medori C., Tomassini A. Maximally homogeneous para-CR
manifolds // Ann. Global Anal. Geom. 2006. Vol.30, ќ 1. P. 127.
2. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.
2012. Т. 12, вып. 1. С. 1622.
3. Вагнер В. В. Геометрия (n ? 1)-мерного неголономного многообразия в nмерном пространстве // Труды cеминара по векторному и тензорному анализу. 1941.
вып. 5. С. 173255.
УДК 517.984
С. А. Бутерин, В. А. Юрко
О ВОССТАНОВЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ ПО ИНФОРМАЦИИ
О ПЕРВОМ СОБСТВЕННОМ ЗНАЧЕНИИ
1. В статье доказываются теоремы типа Амбарцумяна для широкого
класса дифференциальных операторов. Классическая теорема Амбарцумяна имеет дело с краевой задачей:
?y 00 (x) + q(x)y(x) = ?y(x), x ? (0, ?),
(1)
y 0 (0) = y 0 (?) = 0, q(x) ? L(0, ?),
с вещественным потенциалом q. Пусть {?n }n?0 собственные значения (1). Если q(x) = 0 почти всюду на (0, ?), то ?n = n2 , n ? 0. Амбарцумян доказал обратное утверждение.
Если ?n = n2 , n ? 0, то q(x) = 0 почти всюду на (0, ?).
Имеет место более общее утверждение, так как нет необходимости задавать весь спектр, достаточно иметь информацию о первом собственном
значении. Точнее, теорема Амбарцумяна может быть сформулирована
следующим образом.
Теорема 1.
11
Теорема 2.
1
Если ?0 =
?
Z
?
q(x) dx, то q(x) = ?0 почти всюду
0
на (0, ?).
В данной статье приводятся обобщения теоремы 2 на широкие классы
краевых задач. Отметим, что некоторые частные обобщения теоремы 1
даны в [37], где требуется задание бесконечного спектра. Ниже мы покажем, что эти результаты являются весьма частными случаями теорем 3
и 5.
2.
Рассмотрим краевую задачу L = L(q) для уравнения
`y := ?y 00 (x) + q(x)y(x) = ?y(x), x ? (0, ?), q(x) ? L(0, ?),
(2)
с вещественным q(x) и с произвольными самосопряженными краевыми
условиями Uj (y) = 0, j = 1, 2, и (если необходимо) с произвольными
дополнительными условиями внутри интервала. В частности, это могут быть двухточечные краевые условия (распадающиеся или нераспадающиеся), многоточечные, интегральные и интегро-дифференциальные
краевые условия. Можно дополнительно задавать, например, условия
разрыва вида
y(?j + 0) = aj y(?j ? 0), y 0 (?j + 0) = bj y 0 (?j ? 0) + cj y(?j ? 0),
j = 1, m, ?j ? (0, ?),
или другие виды условий внутри интервала. Отметим, что формулировка и доказательства теоремы 3 не зависят от вышеупомянутых
условий. Для удобства все условия для L кратко будем называть
S-условиями. Итак, L порождается уравнением (2) и самосопряженными
S-условиями. Краевая задача L является самосопряженной; ее спектр
дискретный, вещественный и ограничен снизу. Пусть {?n }n?0 (?n ? ?n+1 ,
limn?? ?n = +?) и {yn (x)}n?0 собственные значения (с учетом кратностей)
и собственные функции L соответственно. Обозначим (y, z) :=
R
=
?
0
y(x)z(x) dx.
Наряду с L рассмотрим задачу L? := L(q?) того же вида, но с другим
потенциалом q?. Условимся, что если некоторый символ a обозначает объект, относящийся к L, то a? будет обозначать аналогичный объект для L?,
и a? := a ? a?.
Пусть q?(x) известна и фиксирована. Например, можно взять q?(x) ? 0.
Пусть
Теорема 3.
?0 = ??0 +
(q? y?0 , y?0 )
,
(y?0 , y?0 )
12
где y?0 (x) собственная функция L? для ??0 . Тогда
q(x) = q?(x) + ?0 ? ??0 почти всюду на (0, ?).
Доказательство.
(3)
Так как
? 0 , y?0 ) ((` ? `)y?
? 0 , y?0 )
(`y?0 , y?0 ) (`y?
(q? y?0 , y?0 )
=
+
= ??0 +
= ?0 ,
(y?0 , y?0 )
(y?0 , y?0 )
(y?0 , y?0 )
(y?0 , y?0 )
то y?0 (x) собственная функция L для ?0 . В частности, ?y?000 (x)+
+q(x)y?0 (x) = ?0 y?0 (x), и мы приходим к (3).
Теорема доказана.
Отметим, что ??0 может быть как простым, так и кратным. Формулировка и доказательство не зависят от кратности.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих теорему 3.
Рассмотрим краевую задачу (1). Пусть q?(x) ? 0. Тогда
??0 = 0, y?0 (x) ? 1, и из теоремы 3 вытекает классическая теорема 2.
Рассмотрим краевую задачу:
Пример 1.
Пример 2.
?y 00 (x) + q(x)y(x) = ?y(x), y(0) = y(?) = 0.
Пусть q?(x) ? 0. Тогда ??0 = 1, y?0 (x) = sin x, и теорема 3 приводит к
следующему следствию.
Если
Следствие 1.
2
?0 = 1 +
?
?
Z
q(x) sin2 x dx,
0
то q(x) = ?0 ? 1 почти всюду на (0, ?).
Рассмотрим краевую задачу:
Пример 3.
?y 00 (x) + q(x)y(x) = ?y(x), y 0 (0) ? hy(0) = y 0 (?) ? hy(?) = 0.
Пусть q?(x) ? 0. Тогда ??0 = ?h2 , y?0 (x) = ehx , и получаем следующее
следствие.
Если
Следствие 2.
2h
?0 = ?h + 2h?
(e ? 1)
2
Z
?
q(x)e2hx dx,
0
то q(x) = ?0 + h2 почти всюду на (0, ?).
Отметим, что более слабые версии следствий 1, 2 можно найти в [4].
13
Пример 4. Рассмотрим краевую задачу:
?y 00 (x)+q(x)y(x) = ?y(x), y 0 (0)?hy(0)+hy(?) = y 0 (?)?hy(?)+hy(0) = 0.
Пусть q?(x) ? 0. Тогда ??0 = 0, y?0 (x)
Z ? 1.
1 ?
Если ?0 =
q(x) dx, то q(x) = ?0 почти всюду
Следствие 3.
?
на (0, ?).
0
Пример 5. Рассмотрим периодическую краевую задачу:
?y 00 (x) + q(x)y(x) = ?y(x), y(0) = y(?), y 0 (0) = y 0 (?).
Пусть q?(x) ? 0. Тогда ??0 = 0, y?0 (x)
Z ? ? 1.
1
q(x) dx, то q(x) = ?0 почти всюду
Если ?0 =
Следствие 4.
?
на (0, ?).
0
Пример 6. Рассмотрим антипериодическую краевую задачу:
?y 00 (x) + q(x)y(x) = ?y(x), y(0) = ?y(?), y 0 (0) = ?y 0 (?).
Пусть q?(x) ? 0. Тогда ??0 = ??1 = 1 (двукратное собственное значение) и
y?0 (x) = ? sin x + ? cos x. Теорема 3 дает следующее следствие.
Пусть
Следствие 5.
2
?0 = 1 +
?(?2 + ? 2 )
Z
?
q(x)(? sin x + ? cos x)2 dx
0
при каких-либо фиксированных ? и ?, |?| + |?| > 0 Тогда q(x) = ?0 ? 1
почти всюду на (0, ?).
3. Аналогичные результаты верны и для других типов краевых задач.
Для примера приведем здесь теоремы, относящиеся к дифференциальным операторам высших порядков и матричным операторам Штурма
Лиувилля.
Рассмотрим краевую задачу L1 для самосопряженного дифференциального уравнения:
n (n)
`1 y := i y
+
n?1
X
pk (x)y (k) = ?y, x ? (0, ?),
k=0
с произвольными самосопряженными краевыми условиями. Обозначим
через {?n }n?0 и {yn (x)}n?0 собственные значения и собственные функции L1 соответственно. Пусть L?1 краевая задача того же вида, но с
другим коэффициентом p?0 (x).
14
Теорема 4. Пусть
?0 = ??0 +
(p?0 y?0 , y?0 )
,
(y?0 , y?0 )
где y?0 (x) собственная функция L?1 для ??0 . Тогда p0 (x) = p?0 (x) + ?0 ? ??0
почти всюду на (0, ?).
Рассмотрим краевую задачу L0 для матричного уравнения Штурма
Лиувилля
Y 00 + Q(x)Y = ?Y, x ? (0, ?), Y = [yk ]k=1,m ,
Q(x) = [Qkj ]k,j=1,m , Q = Q? ,
с произвольными самосопряженными краевыми условиями. Пусть
{?n }n?0 и {Yn (x)}n?0 собственные значения и собственные функции L0
соответственно. Если Y = [yk ]k=1,m , Z = [zk ]k=1,m , то положим (Y, Z) :=
m Z
X
k=1
?
yk (x)zk (x) dx.
Теорема 5. Пусть
0
?0 = ??0 +
(Q?Y?0 , Y?0 )
,
(Y?0 , Y?0 )
где Y?0 (x) собственная функция L?0 для ??0 . Тогда Q?(x)? ??0 I Y?0 (x) = 0
почти всюду на (0, ?).
В частности, теорема 5 верна и для операторов ШтурмаЛиувилля
на произвольном компактном графе [8]. Однако для графа этот результат можно улучшить (см. ниже п. 4).
Рассмотрим краевую задачу:
Пример 7.
?Y 00 + Q(x)Y = ?Y, Y 0 (0) = Y 0 (?) = 0.
Возьмем
Q?(x) ? 0. Тогда ??0 = ??1 = . . . = ??m?1 = 0. Пусть
Z
?
Qss (x) dx = 0, s = 1, m.
0
Следствие 6. Если ? = 0, то Q(x) = 0 почти всюду на (0, ?).
4. Пусть ? произвольный компактный граф с конечным числом
0
вершин v1 , . . . vm и конечным числом ребер e1 , . . . , ep . Очевидно, что
1 ? m ? 2p. Параметризуем каждое ребро ej параметром x = xj ?
? [0, Tj ], j = 1, p. При этом каждая вершина для содержащих ее ребер ej может ассоциироваться как с 0, так и с Tj , а также с двумя
15
этими значениями одновременно (в последнем случае ej петля). Обозначим через R(vk ) множество ребер, содержащих вершину vk . Тогда
R(vk ) = R0 (vk ) ? R1 (vk ), где множество R0 (vk ) состоит из ребер, для
которых vk ассоциирована с 0, a R1 (vk ) из ребер, для которых vk ассоциирована с Tj . Отметим, что пересечение R0 (vk ) ? R1 (vk ) может быть
не пусто. Всякую функцию f, определенную на графе ?, можно представить в виде вектора (но не вектор-функции) f = [fj ]j=1,p , где функция
fj = fj (x), x ? [0, Tj ], определена на ребре ej . Рассмотрим на графе ?
уравнение Штурма Лиувилля
`j yj := ?yj00 + qj (x)yj = ?yj ,
0 < x < Tj , j = 1, p,
(4)
где функция q = [qj ]j=1,p называется потенциалом, причем qj (x) вещественнозначные функции, и qj (x) ? L(0, Tj ). Пусть функция y = [yj ]j=1,p
удовлетворяет стандартным условиям склейки:
yj1 |vk = yj2 |vk для всех ej1 , ej2 ? R(vk ) (непрерывность),
X
X
0
yj0 (Tj ) (условие Кирхгофа).
yj (0) =
(5)
(6)
ej ?R1 (vk )
ej ?R0 (vk )
Заметим, что если vk граничная вершина (то есть #R(vk ) = 1), то
условие (5) теряет смысл, а условие (6) является краевым условием Неймана.
Пусть ?0 первое собственное значение краевой задачи (4)(6). Имеет
место следующее обобщение теоремы Амбарцумяна для графа.
Если
Теорема 6.
?0
p
X
j=1
Tj =
p Z
X
j=1
Tj
qj (x) dx,
0
то qj (x) = ?0 почти всюду на (0, Tj ), j = 1, p.
Достаточно рассмотреть случай ?0 = 0. Покажем,
что константа y = C (yj (x) ? C, j = 1, p) является собственной функцией, соответствующей собственному значению ?0 = 0. Согласно условию
теоремы имеем
Доказательство.
(`y, y) ? 0,
(`C, C) = C
2
p Z
X
j=1
Tj
qj (x) dx = 0,
0
где ( · , · ) скалярное произведение в L2 (?), а ` оператор, соответствующий краевой задаче (4)(6). Отсюда заключаем, что C собственная
16
функция, соответствующая первому собственному значению. Подставляя в (4), приходим к утверждению теоремы.
Теорема доказана.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 13-01-00134).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ambarzumyan V. Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zs.f.Phys. 1929. Vol. 53.
P. 690695.
2. Freiling G. , Yurko V. A. Inverse Sturm-Liouville Problems and their Applications
//NOVA Science Publishers. New York, 2001.
3. Yurko V. A. The inverse spectral problem for dierential operators with
nonseparated boundary conditions. //J. Math. Anal. Appl. 2000. Vol.250. P. 266289.
4. Chern H.-H., Law C.-K., Wang H.-J. Extensions of Ambarzumyan's theorem to
general boundary conditions //J. Math. Anal. Appl. 2001. Vol. 263, ќ2. P. 333-342.
(corrigendum: 2005 Vol.309, P. 764768).
5. Horvath M. On a theorem of Ambarzumian // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A.
2001. Vol. 131., ќ4. P. 899907.
6. Carlson R. Ambarzumian's theorem for trees. Electr //J. Di. Eq. 2007. Vol. 142.,
9p.
7. Yang C.-F., Yang X.-P. Some Ambarzumian-type theorems for Dirac operators.
// Inverse Problems. 2009. Vol.25. 09012 (13pp).
8. Yurko V. A. Inverse spectral problems for dierential operators on arbitrary
compact graphs //Journal of Inverse and Ill-Posed Proplems 2010. Vol.18, ќ3. P. 245261.
УДК 511.3+519.4
А. М. Водолазов
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД ОБОСНОВАНИЯ
ТЕОРИИ ИДЕАЛОВ
Хорошо известно, что при расширении поля рациональных чисел происходит нарушение основной теоремы арифметики, которая утверждает об однозначности разложения целых чисел в произведении простых.
Для востановления этого свойства приходится рассматривать не числа, а идеалы и доказывается однозначность разложения в произведении
простых идеалов. Существуют различные способы доказательства этого
факта. Один из них предложен Золаторевым [1] и базируется на понятие
p-делимости. С каждым простым числом кольца целых чисел связывается p-адическое нормирование и его пополнение Qp поле p-адических
чисел. Используя теорию нормирований, мы и докажем основную теорему Золаторева.
Пусть K = Q(?) конечное расширение поля Q. У поля Q при
фиксированном простом p можно определить p-адическое нормирование ordp . Для любых x = ab , где a, b ? Z, пусть a = pr a1 , (a1 , p) = 1
17
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
378 Кб
Теги
дифференциальной, восстановлен, оператора, первое, значение, информация, собственных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа