close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О восстановлении решения некоторых краевых задач сплайн-функциями первого порядка.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2014, том 57, №11-12
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.П.Пулатов
О ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
СПЛАЙН-ФУНКЦИЯМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 02.10.2014 г.)
В работе рассматриваются методы восстановления решения некоторых краевых задач математической физики сплайн-функциями первого порядка дефекта 1 и интерполяционными линейными сплайнами. Полученные результаты на классе Липщица порядка 1 являются неулучшаемыми.
Ключевые слова: краевые задачи – задача Дирихле – задача Неймана – гармонические функции –
бигармонические функции – сплайны.
1. В данной заметке рассмотрим конкретные применения сплайн-функции первого порядка
дефекта 1 к следующим краевым задачам математической физики:
а) краевая задача Дирихле для бигармонического уравнения: требуется найти бигармоническую в области D  {( x y)  x 2  y 2   2  1} функцию u(   t ) 0    1 0  t  2  удовлетворяющую уравнению
2
 2
1 
1 2 




 2
 u (   t )  0
   2 t 2 
 
(1)
для которой
u(   t )  1  g (t )
u(   t )
 1  0

(2)
б) краевая задача Неймана для уравнения Лапласа в единичном круге: найти гармоническую
функцию u1 (   t ) (0    1 0  t  2 ) удовлетворяющую уравнению
 2 1 
1 2 




 2
 u (   t )  0
   2 t 2  1
 
(3)
и двум граничным условиям
u1 (   t )
 1   (t )

2
  (t )dt  0
(4)
0
Известно [1], что решение задачи (1) – (2) существует и задаётся формулой
Адрес для корреспонденции: Пулатов Махмуд Пирмаматович. 734003, Республика Таджикистан, г.Душанбе,
ул.Рудаки, 121, Таджикский государственный педагогический университет. E-mail: makhmud@mail.ru
813
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
u(   t )  u(g    t ) 
где ядро

2014, том 57, №11-12
1

2


(t  u)g (u)du
0
(t ) имеет вид
 (t ) 
(1   2 )(1   cos t )
 0    1
2(1  2  cos t   2 )
Непосредственным вычислением коэффициентов Фурье для ядра

(t ) получаем следующее
разложение в ряд Фурье [2]
1   1

  1  (1   2 )k   k cos kt 
 (t ) 
2 k 1  2



1  k
1
   cos kt  (1   2 ) k  k cos kt
2 k 1
2
k 1
Также известно [3], что решение задачи (3) – (4) существует, определяется с точностью до постоянной и задается формулой
u1 (   t )  u1 (    t )  C 
1

2
   (t   ) ( )d 
C  const
(5)
0
где

k
k 1
k
  (t )  
cos kt 0    1
(6)
– ядро Неймана.
Рассмотрим следующий метод восстановления решения краевых задач Дирихле (1) – (2) для
бигармонического уравнения и Неймана (3) – (4) для уравнения Лапласа в единичном круге. Через
H 1 обозначим класс функций f (t ) удовлетворяющих условию
 f (t  )  f (t  )  t   t   
2. Восстановление решения краевой задачи (1) – (2)
Пусть ti  i  n i  ti    (2n) (i  0 1 2…) и S (t )  S ( f  t ) – периодический сплайн
порядка 1 дефекта 1 по разбиению {ti } однозначно определяемый по функции f (t )  C[0 2 ] условием
S ( f  i ) 
n

ti

f ( )d  i  1 2… 2n
ti1
814
(7)
Математика
М.П.Пулатов
Свёртке u(g    t )  u(g    t ) 
1

2


(t   )g ( )d  являющейся решением краевой задачи
0
(1) – (2) с учетом (7), поставим в соответствие функцию
S1 (u(g   ) t ) 
1

2


(t   ) S (g  )d 
(8)
0
Рассмотрим задачу вычисления точной верхней грани величины
sup{ u(g    t )  S1 (u(g   ) t )  g  H 1}
(9)
Нам понадобится следующая
Лемма [4]. Пусть f  H 1  (t )  f (t )  S ( f  t )
t
t
0
0
1 (u )    (u )du   [ f (u )  S ( f  u )]du
Тогда для любых t [0  ] выполняется неравенство
  2

 4  n    


 1 (t   )  1 (t )   ( )  
2
 
 4n 2
0  

n

n

(10)
  
Существует функция f 0  H 1 для которой при некотором t в (10) имеет место знак равенства при всех  из [0  ]
Заметим, что величина (9) не зависит от t так что не нарушая общности, можно считать
t  0 Поэтому имеем
u(g    0)  S1 (u(g   ) 0) 

 2
1





1
2

(t )1 (t )dt 
 2

( )[g ( )  S (g  )]d 

0
3  2
1





(t )1 (t )dt
2
В силу леммы, для g  H 1 имеем:
 2


 (t )1 (t )dt 

 2
3  2


2
 (t )1 (t )dt 

 2



(t )  (2t )dt 
0



2
815


(t )  (2  2t )dt 
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №11-12
Введя обозначения
 (t )   (2t ) 0  t    2  (2  2t )   2     
будем иметь
 u(g    0)  S1 (u(g  ) 0) 

1



 (t ) (t )dt 

0
1


[


(t )  C0 ]  (t )dt 
(11)
0
Вычисляя интеграл в правой части (11), получаем
 u(g    0)  S1 (u(g  ) 0) 

 2 1
4
 2 1 2  2  1 
2  2  1 
2
 
sin 
   (1   )
sin 
 
  0 (2  1)2
 4n
 
 4n

 0 2  1
8

(12)
Легко подсчитать, что знак равенства в (12) имеет место, если g (t ) является интегралом от
sgnsint. Таким образом, справедлива следующая
Теорема 1. Для восстановления решения краевой задачи (1) – (2) методом (8) при всех значениях t имеет место точная оценка
sup{ u(g    t )  S1 (u(g   ) t )  g  H 1} 


 2 1
4
 2 1 2  2  1 
2  2  1 
2
sin


(1


)
sin 
 




  0 (2  1)2
 4n
 
 4n

  0 2  1
8

(13)
Отметим, что если сплайн S ( f  t ) определить не условием (7), а условиями
S ( f  )  g ( i ) i  1 2… 2n
то точная оценка погрешности величины (9) на классе H 1 равна
sup{ u(g    t )  S1 (u(g   ) t )  g  H 1} 

2   2 n (2 1) 1
 2 n(2 1)
2


 (1   )


4n  n  0 (2  1)2 
 1 2  1

Используя очевидные равенства
 2 n (2 1) 1 1   2 n
 ln
  2n 

2n
2 1 
 0 2  1


 2 n (2 1)
n
1  r 2n
 2 n  ln
dr

2
 0 1  r 2n
 0 (2  1)

запишем соотношение (14) в виде
sup{ u(g    t )  S1 (u(g   ) t )  g  H 1} 
816
(14)
Математика
М.П.Пулатов



2
4n  2 n

 ln
0


1  r 2n
1
1   2n
2 1
2n 
 ln

dr

(1


)


 2

1  r 2n

1   2n


Правые части равенств (13) и (14) в пределе при   1 стремятся к   2n но при   0
имеют разные предельные значения, а именно, соотношение (13) стремится к нулю, а (14) стремится
к значению   4n
3. Восстановление краевой задачи Неймана (3) – (4)
Не останавливаясь на подробностях, отметим, что изложенный в пункте 2 метод восстановления применим также к краевой задаче (3) – (4), и если полагать
S2 (u1 (   ) t )  C 
1

2
   (t   )s(  )d 
0
и сплайн порядка 1 дефекта 1 s(  ) однозначно определить условием
s(  ti ) 
n

ti
  ( )d 
i  1 2… 2n
(15)
ti 1
то простые вычисления приводят к следующему утверждению.
Теорема 2. Для восстановления решения краевой задачи (3) – (4) методом (8) при всех значениях t имеет место точная оценка
sup{ u1 (    t )  S2 (u1 (   ) t )    H 1} 

Если
же
ломаную
 2 1
(2  1)
sin 2


3
  1 (2  1)
4n
8

s(  t )
вместо
(15)
определить
(16)
условиями
интерполяции
s(  ti )   (ti ) i  1 2… 2n то точная погрешность на классе H 1 будет равна величине
sup{ u1 (    t )  S2 (u1 (   ) t )    H 1} 
1   (2 1)2 n


 n 2  0 (2  1)3
(17)
В заключении отметим, что методы восстановления (16) и (17) в отличие от методов (13) и
(14) имеют одинаковые предельные значения, как при   1 так и при   0
Поступило 02.10.2014 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1978.
2. Шабозов М.Ш. Наилучшее и наилучшее одностороннее приближения ядра бигармонического
уравнения и оптимальное восстановление значений операторов. – Укр. мат. журнал, 1995, т.47,
№11, с.1549-1557.
817
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №11-12
3. Бугров Я.С. Свойства полугармонических функций. – Изв. АН СССР. Серия матем. 1958, т.22,
с.491-514.
4. Корнейчук Н.П. О приближении сверток периодических функций. – Вопросы анализа и приближения. – Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1989, с.76-80.
М.П.Пулатов
ОИДИ БАРЌАРОРКУНИИ ЊАЛЛИ БАЪЗЕ МАСЪАЛАЊОИ КАНОРЇ БА
ВОСИТАИ СПЛАЙН-ФУНКСИЯЊОИ ТАРТИБИ ЯКЎМ
Донишгоњи давлатии педагогии Тољикистон ба номи С.Айнї
Дар маќола методњои барќароркунии баъзе масъалањои канории муодилањои физикаи
математикї ба воситаи сплайн-функсияњои тартиби аввали дефекти 1 ва сплайнњои хаттї
интерполятсионї дида шудаанд. Натиљањои ба даст овардашуда барои синфи Липшитси тартиби якўм бењтар нашавандаанд.
Калимањои калидї: масъалањои канорї – масъалаи Дирихле – масъалаи Нейман – функсияњои
гармоникї – функсияњои бигармоникї – сплайнњо.
M.P.Pulatov
ON THE RECONSTRUCTION OF THE SOLUTION OF SOME BOUNDARY
VALUE PROBLEMS SPLINE FUNCTIONS OF THE FIRST ORDER
S.Ainy Tajik State Pedagogical University
The paper deals with methods of restoration solutions of some boundary value problems of mathematical physics spline-functions of order 1 and defect interpolation linear splines. The results obtained on the
class Lipschits order 1 cannot be improved more than that.
Key words: boundary value problems – Dirichlet’s problem – Neumann problem – harmonic functions –
biharmonic functions – splines.
818
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
432 Кб
Теги
первого, решение, функциям, восстановлен, некоторые, задачи, краевых, сплайн, порядке
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа