close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О достаточных критериях устойчивости решений дифференциальных уравнений гиперболического типа.

код для вставкиСкачать
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.9
И. В. Бойков, В. А. Рязанцев
О ДОСТАТОЧНЫХ КРИТЕРИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ
РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Аннотация. Работа посвящена анализу устойчивости в смысле Ляпунова решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с коэффициентами, зависящими от времени. Исследование устойчивости основано на применении преобразования Фурье по
пространственным переменным для перехода от исходной задачи к параметрической системе обыкновенных дифференциальных уравнений в спектральной области и на последующем анализе устойчивости решения этой системы
при использовании преобразований Ляпунова и логарифмических норм. Предложен алгоритм, позволяющий получать достаточные критерии устойчивости
решений конечных систем линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа с коэффициентами, зависящими от времени, а также даны
примеры применения этого алгоритма к исследованию устойчивости решений
гиперболического уравнения и системы гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами. Предложенный метод может быть использован при
исследовании динамических систем, описываемых системами гиперболических уравнений.
Ключевые слова: устойчивость, гиперболические уравнения, преобразование
Ляпунова, логарифмическая норма.
I. V. Boykov, V. A. Ryazantsev
ON THE STABILITY CRITERIA OF SOLUTIONS OF PARTIAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS OF HYPERBOLIC TYPE
Abstract. The paper is dedicated to the analysis of Liapunov stability of solutions of
systems of linear partial differential equations of hyperbolic type with timedepending coefficients. Investigation of stability is based on the use of Fourier
transformation in space variables for the transition from original problem to parametric system of ordinary differentials equations in spectral domain, and the further
analysis of solutions of the system with the use of Liapunov transformations and
logarithmic norms. An algorithm that enables to obtain criteria of stability of solutions of finite systems of linear hyperbolic equations with time-depending coefficients has been proposed, and also several examples of application of the algorithm
for the investigation of stability of solutions of hyperbolic equation and of the system of hyperbolic equations with constant coefficients have been given. The devised
algorithm can be used for investigation of dynamical systems that are governed by
systems of hyperbolic equations.
Key words. Liapunov stability, hyperbolic equations, Liapunov transformation, logarithmic norm.
Введение
Анализ устойчивости решений уравнений в частных производных
представляет огромный интерес в связи с многочисленными приложениями
в физике и технике. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
Physics and mathematics sciences. Mathematics
33
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
в частных производных является предметом большого числа исследований,
результаты которых широко представлены в литературе; в первую очередь
следует назвать публикации [1–4], включающие в себя обширные библиографии.
Предметом настоящей работы является проблема устойчивости тривиальных решений линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. В данной публикации развивается подход, ранее использованный
в работах [5, 6], для исследования устойчивости решений уравнений параболического типа. Этот подход основывается на применении преобразования
Фурье для перехода от гиперболических уравнений к соответствующим
обыкновенным дифференциальным уравнениям в спектральной области и последующей оценке их решений с помощью логарифмических норм. Логарифмическая норма некоторого оператора A задается формулой [7]
Λ ( A ) = lim
I + hA − 1
h↓0
h
,
и в случае, если A – комплексная матрица, логарифмическая норма Λ ( A )
в пространстве с нормами
 n
x =
xk
 k =1

12
2


 n n
и A =
aij
 i =1 j =1


12
2



вычисляется по следующей формуле [7, 8]:
 A + A∗ 
Λ ( A ) = λ max 
,
 2 
(1)
где λ max – максимальное собственное значение матрицы; A∗ – матрица, сопряженная к A .
В данной работе формулируется и доказывается теорема, связывающая
устойчивость тривиального решения гиперболического уравнения с существованием для соответствующего дифференциального уравнения в спектральной области матрицы Ляпунова, переводящего матрицу исходного
уравнения в матрицу с отрицательной логарифмической нормой. Описывается возможный подход к нахождению матрицы Ляпунова, а также приводятся
примеры получения критериев устойчивости с помощью построения такой
матрицы для некоторых простых классов гиперболических уравнений.
1. Основная теорема
Рассмотрим задачу Коши для системы линейных уравнений в частных
производных гиперболического типа с коэффициентами, зависящими от времени:
∂ 2u (t , x)
∂t 2
= A(t )
∂u (t , x) n
∂ 2u (t , x)
+
Bk (t )
+ Bn +1 (t )u (t , x);
∂t
∂xk2
k =1

u (t0 , x) = u00 ( x);
34
(2)
(3)
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
∂u (t0 , x)
= u01 ( x);
∂t
(4)
T
где u (t , x) = ( u1 (t , x),..., um (t , x) ) , x = ( x1 ,..., xn ) , и A(t ) и Bk (t ) , k = 1, n + 1 –
квадратные матрицы порядка m .
Исследование устойчивости решения задачи Коши (2)–(4) будем проT
водить в банаховом пространстве вектор-функций f ( x) = ( f1 ( x),..., f m ( x) )
c нормой
12
∞ ∞

2
2
f =  ...  f1 ( x) + ... + f m ( x)  dx1...dxn 




 −∞ −∞

 
.
(5)
При каждом фиксированном значении t норма функции u (t , x)
определяется формулой
12
∞ ∞

2
2
u (t , x) =  ...  u1 (t , x) + ... um (t , x)  dx1...dxn 




 −∞ −∞

 
.
(6)
Будем считать, что решение u (t , x) задачи (2)–(4) существует при t ≥ t0
∂ 2u (t , x)
∂u (t , x)
и
суммируемо
∂t
∂t 2
с квадратом по пространственным переменным.
Применим к задаче (2)–(4) преобразование Фурье по пространственным
переменным, в результате чего получим
и вместе со своими производными
∂ 2U (t , ω)
∂t 2
= A(t )
∂U (t , ω) n
−
Bk (t )ω2kU (t , ω) + Bn +1 (t )U (t , ω);
∂t
k =1

(7)
∂U (t0 , ω)
= U 01 (ω);
∂t
(8)
U (t0 , ω) = U 00 (ω),
(9)
где ω = ( ω1 ,..., ωn ) .
V1 (t , ω) = U (t , ω)
Сделаем
замену
неизвестных
функций
и
∂U (t , ω)
V2 (t , ω) =
. Тогда вектор-функции V1 (t , ω) , V2 (t , ω) при каждом фикси∂t
рованном ω∈ R n подчиняются следующему операторному уравнению [7, 8]:
∂V
= Ψ (t , ω)V ,
∂t
T
где V = (V1 ,V2 )
(10)
– ( 2m ) -мерная вектор-функция,
Physics and mathematics sciences. Mathematics
35
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 0
Ψ (t , ω) = 
 B (t , ω)
I 
,
A(t ) 
(11)
n
причем B (t , ω) = Bn+1 (t , ω) −
 ωi2 Bi (t ) , а
0 и I – соответственно нулевая и
i =1
единичная квадратные матрицы порядка m .
T
Введем новую неизвестную вектор-функцию P = ( P1 , P2 )
V (t , ω) = Γ(t , ω) P(t , ω) , и преобразуем уравнение (10):
такую, что
∂P
= Φ (t , ω) P,
∂t
где
T
P (t , ω) = ( P1 (t , ω),..., P2m (t , ω) ) ,
(12)
Φ = Γ −1ΨΓ − Γ −1
∂Γ
;
∂t
Γ
– матрица
Ляпунова, удовлетворяющая при всех фиксированных ω∈ R n следующим
условиям [9]:
∂Γ
1) матрица Γ(t , ω) имеет непрерывную производную
при t ≥ t0 ;
∂t
∂Γ(t , ω)
2) коэффициенты матриц Γ(t , ω) и
ограничены в интервале
∂t
[ t0 , ∞ ) ;
3) величина det Γ ( t , ω) ограничена снизу некоторой положительной
постоянной.
Замечание 1.1. Условие п. 2, наложенное на матрицу Γ(t , ω) , в
{
}
частности, означает, что существует матрица Γ(ω) = γij (ω) такая, что при
n
каждом фиксированном ω∈ R при всех i, j = 1, 2m выполняются неравенства
{
}
γ ij ( t , ω) ≤ γij ( ω) , где Γ(t , ω) = γ ij (t , ω) .
Нормы вектор-функции P (t , ω) определяются формулами
P ( t , ω) =
2m
 Pk ( t , ω)
2
k =1
, P (t , ω) 1 = max Pk (t , ω) .
k =1,2 m
Справедливы следующие неравенства:
2
2m


2
P ( t , ω) = max Pk (t , ω) =  max P k (t , ω)  ≤
Pk (t , ω) = P (t , ω) ,
1 k =1,2 m
 k =1,2m

k =1
2m
P (t , ω) =

k =1
2
Pk (t , ω) ≤
2m

2


 max Pk (t , ω)  ≤ 2m P (t , ω) 1 .

k =1  k =1,2 m

Следовательно, справедлива оценка
36
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
1
P (t , ω) ≤ P (t , ω) 1 ≤ P(t , ω) .
2m
(13)
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1.1. Пусть функции f (ω) и g (ω) непрерывны, неотрицательны
∞

и интегрируемы на всей вещественной оси, причем
−∞
Тогда справедливо представление
∞

f (ω) g ( ω) d ω > 0 .
∞
f (ω) g (ω)d ω = μ
−∞
 g (ω)d ω,
(14)
−∞
где константа μ определяется формулой
μ = f (c), − ∞ < c < ∞.
Доказательство. По определению несобственного интеграла I рода
в смысле главного значения имеем
Ai
∞

f (ω) g (ω)d ω = lim
i →∞
−∞

f (ω) g (ω)d ω,
− Ai
где Ai – некоторая бесконечно возрастающая последовательность действительных чисел. По обобщенной теореме о среднем для любого значения Ai
справедливо представление
Ai

Ai
f (ω) g (ω) d ω = f (ωi )
− Ai

g (ω)d ω.
− Ai
Ai

Поскольку пределы lim
i →∞
Ai
f (ω) g (ω)d ω и lim
i →∞
− Ai

g (ω)d ω существуют
− Ai
и конечны, то существует и конечен предел lim f (ωi ) , причем
i →∞
Ai
lim
lim f (ωi ) =
i →∞
i →∞

− Ai
lim

= −∞
Ai
i →∞
∞
f (ω) g (ω)d ω

f (ω) g (ω)d ω
∞
= μ.
 g (ω)d ω
g (ω)d ω
−∞
− Ai
Тот факт, что число μ является значением функции f (ω) , где
−∞ < ω < ∞ , следует из непрерывности функции f (ω) на всей вещественной
прямой, условия 0 < μ < ∞ и формулы lim f (ω) = 0 , вытекающей из
ω→±∞
условия интегрируемости функции f (ω) на числовой оси. Лемма доказана.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
37
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Исследуем устойчивость тривиального решения уравнения (7) к возмущению начальных условий (8), (9). При этом исследовании будем использовать логарифмическую норму, определяемую формулой (1).
Зафиксируем малые возмущения U 00 (ω) = ε1 (ω), U 01 (ω) = ε 2 (ω) . Тогда
T
вектор-функция V (t0 , ω) принимает вид V (t0 , ω) = ( ε1 (ω), ε2 (ω) ) , а векторфункция P (t0 , ω)
неравенству
ω∈ R n
удовлетворяет
ε1 (ω) + ε 2 (ω) ⋅ Γ −1 ( t0 , ω) .
(15)
при каждом фиксированном
P ( t0 , ω) ≤
2
2
Введем обозначение B [ a, r ] для замкнутого шара в пространстве R 2m
радиуса r с центром в точке a . Пусть логарифмическая норма Λ ( Φ (t , ω) )
матрицы Φ (t , ω) при всех t ≥ t0 и ω∈ R n удовлетворяет неравенству
Λ ( Φ (t , ω) ) < −α(ω), α ( ω) > 0.
(16)
Докажем, что при всяком фиксированном ω∈ R n траектория P (t , ω)
уравнения (12) при t0 ≤ t < ∞ не покидает шара B [ 0,δ0 ] , где δ0 = P ( t0 , ω) .
Для доказательства предположим противное: пусть при некотором значении
 в момент времени T траектория уравнения (12) покидает шар
ω=ω
B [ 0, δ0 ] . Тогда представим это уравнение следующим образом:
)
∂P(t , ω
 (t, ω
 ) P (t, ω
 )+ Φ
 ) P (t, ω
 ),
= Φ (T , ω
∂t
(17)
 (t, ω
 ) = Φ (t, ω
 ) − Φ (T , ω
 ).
где Φ
Решение операторного уравнения (17) можно представить в виде
t
 ( s, ω
 ) = eΦ (T ,ω )(t −T ) P (T , ω
 ) + eΦ (T ,ω )(t − s ) Φ
 ) P ( s, ω
 ) ds.
P (t , ω

(18)
T
Переходя к нормам, имеем
) ≤ e
P (t , ω
 )(t −T )
Φ (T ,ω
t
) +
P(T , ω
e
 )(t − s )
Φ (T ,ω
 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 )ds .
Φ
(19)
T
Оценим первое слагаемое в правой части формулы (19):
 (t −T )
Φ T ,ω
 ) ≤ e−α (ω )(t −T ) P(T , ω
) .
e ( )
P (T , ω
(20)
Для второго слагаемого, используя двустороннюю оценку (13),
получаем
t

T
38

 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 )ds ≤ 2т
eΦ (T ,ω)(t − s ) Φ
t
e
T
 )(t − s )
Φ (T ,ω
 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 )ds ≤
Φ
1
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
t
≤ 2т
e
 )(t − s )
Φ (T ,ω
1
T
t
≤ 2т
e
 )(t − s )
Φ (T ,ω
 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 ) ds ≤
⋅ Φ
1
 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 ) ds ≤
⋅ Φ
1
T
t

 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 ) ds ≤
≤ 2т e −α (ω)(t − s ) ⋅ Φ

1
T
t

 ( s, ω
 ) P ( s, ω
 ) ds.
≤ 2т e −α (ω)(t − s ) ⋅ Φ

(21)
T
 (t, ω
 ) следует, что для любого как угодно
Из структуры оператора Φ
малого δ(T ) , δ(T ) > 0 , найдется такой промежуток времени ΔT (ω) , что
 (t , ω
 ) P (t , ω
 ) ≤ δ (T ) P(t , ω
) .
Φ
(22)
Из неравенств (21), (22) следует оценка
t

t
 (t − s ) 

Ψ T ,ω
 ) P ( s, ω
 ) ds ≤ δ (T ) 2m e−α( ω)(t − s ) P( s, ω
 ) ds.
e ( )
Φ ( s, ω

T
(23)
T
Из выражений (19), (23) имеем
) ≤e
P (t , ω
 )(t −T )
−α( ω
t

 ) + δ (T ) 2m e
P (T , ω
 )( t − s )
−α( ω
 ) ds.
P ( s, ω
T
 ) . Тогда
Введем в рассмотрение функцию ϕ ( s ) = e−α (ω )(t − s ) P ( s, ω
последнее неравенство запишется следующим образом:
t

ϕ ( t ) ≤ ϕ (T ) + δ (T ) 2m ϕ( s )ds.
(24)
T
Применяя к (24) неравенство Гронуолла – Беллмана и возвращаясь
к нормам, получим
 ) ≤ e[ −α (ω )+δ(T ) 2m ](t −T ) P(T , ω
) .
P (t , ω
Поскольку
число
δ(T )
может
быть
выбрано
(25)
таким,
что
−α(ω) + δ(T ) 2m < 0 , то из (25) следует неравенство
 ) ≤ P (t0 , ω
) .
P (t , ω
Таким образом, получаем противоречие, обосновывающее справедливость при любом ω∈ R n неравенства
Physics and mathematics sciences. Mathematics
39
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
P (t , ω) ≤ P (t0 , ω) .
Так как V (t , ω) = Γ(t , ω) P(t , ω) , то, используя (15), имеем следующую
оценку:
2
≤ V (t , ω)
2
⋅
1
P (t0 , ω)
U (t , ω)
≤ Γ ( ω)
2
2
≤ Γ ( t , ω) P(t , ω)
2
≤ Γ ( t , ω)
2
⋅
1
P(t , ω)
2
≤
2
2
2
2
≤  ε1 (ω) + ε 2 (ω)  ⋅ Γ ( ω) ⋅ Γ −1 ( t0 , ω) . (26)


Существование матрицы Γ ( ω) следует из замечания 1.1.
Фиксируя векторы начальных возмущений ε1 (ω) и ε 2 (ω) достаточно
2
2
малыми, мы можем сделать множитель  ε1 (ω) + ε 2 (ω)  сколь угодно


малым. Следовательно, если матрица Γ(t , ω) непрерывна по ω , то для любых
Γ ( ω)
и Γ −1 ( t0 , ω) можно выбрать такие функции ε1 (ω) и ε 2 (ω) , что
правая часть неравенства (26) оказывается суммируемой по ω в пространстве
L2 ( R n ) . Кроме того, легко видеть, что ε1 (ω) и ε 2 (ω) можно выбрать такими,
что (ε12 (ω) + ε 22 )) ≤ ε(ω)(| U 00 (ω) |2 + | U 01 (ω) |2 ), где ε(ω) ((ε(ω)>0) такая
−
функция, что выражение ε(ω) || Γ(ω) 2 |||| Γ −1 (t0 , ω) ||2 ограничено при всех ω.
Поэтому интегрируя неравенство (26) и применяя доказанную лемму,
получаем
( )
2
U (t , ω) 2 ≤| ε(ω* ) | Γ ω*
∞
×
∞
 ...   U 00 (ω)
−∞ −∞
2
2
(
⋅ Γ −1 t0 , ω*
)1 ×
2
2
+ U 01 (ω)  d ω1...d ωn ,

где ω* – фиксированная точка в R n , а через U (t , ω) 2 обозначена норма
вектор-функции U (t , ω) в пространстве L2 ( R n ) . Применяя формулу
Планшереля и извлекая квадратный корень, имеем окончательно
12
 ∞ ∞

2
2
u (t , x) 2 ≤ C  ... u00
(ω) + u01
(ω) d ω1...d ωn 


−∞ −∞

 
,
где C = Γ ( ω1 ) ⋅ Γ −1 ( t0 , ω2 ) . Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть элементы матриц A(t ) и B (t ) уравнения (2)
непрерывны и ограничены по переменной t и существует матрица Γ(t , ω) ,
удовлетворяющая условиям:
∂Γ
1) матрица Γ(t , ω) имеет непрерывную производную
при t ≥ t0 ;
∂t
40
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
∂Γ
ограничены в интервале [t0 , ∞ ) ;
∂t
ограничена снизу некоторой положительной
2) коэффициенты матриц Γ(t , ω) и
3) величина det Γ ( t , ω)
постоянной.
4) матрица Γ(t , ω) непрерывна по ω ;
5) при каждом значении t ≥ t0 и ω∈ R n логарифмическая норма
∂Γ
, вычисляемая по формуле (1), отрицательна.
матрицы Φ = Γ −1ΨΓ − Γ −1
∂t
Тогда тривиальное решение системы гиперболических уравнений (2)
устойчиво.
Теорема 1.1 позволяет свести анализ устойчивости к поиску матрицы
Γ(t , ω) , удовлетворяющей сформулированным условиям. Покажем, что при
определенных ограничениях на коэффициенты уравнения соответствующая
матрица Γ(t , ω) существует.
Введем следующее определение.
Определение 2.1. Будем говорить, что квадратная матрица Φ порядка
2n , n = 1, 2,... , принадлежит классу Ωn , если ее можно представить в виде
 H1
Φ =
 −K ∗

K 
,
H 2 
где H1 , H 2 и K – квадратные матрицы порядка n , причем элементы
диагональных матриц H1 и H 2 имеют отрицательные действительные части.
Нетрудно убедиться, что вычисляемая по формуле (1) логарифмическая
норма матрицы Λ ( Φ ) , принадлежащей классу Ωn , будет отрицательной, а из
доказательства теоремы следует, что решение дифференциального уравнения
с такой матрицей будет устойчивым.
Воспользуемся теоремой 1.1 для анализа устойчивости тривиальных
решений гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами, для
котороых указаннный анализ является особенно простым в силу того, что
∂Γ
≡0.
искомая матрица Γ не зависит от t и, тем самым,
∂t
Рассмотрим задачу Коши для линейного одномерного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами:
∂ 2u
∂t 2
= a1
∂u
∂ 2u
+ b1
+ b2u;
∂t
∂x 2
(27)
∂u (t0 , x)
= u01 ( x);
∂t
(28)
u (t0 , x) = u00 ( x).
(29)
Исследование устойчивости решения задачи Коши будем проводить
в банаховом пространстве функций f ( x) с нормой
Physics and mathematics sciences. Mathematics
41
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
12
∞

2
f ( x) = 
f ( x) dx 


 −∞


.
При каждом фиксированном значении t
определяется формулой
норма функции u (t , x)
12
∞

2
u (t , x) =  u (t , x) dx 


 −∞


.
Будем считать, что решение u (t , x) задачи (27)–(29) существует при
всех значениях t ≥ t0 и вместе со своими производными ∂u / ∂t и ∂ 2u / ∂t 2
суммируемо с квадратом по пространственной переменной.
Применим к задаче (27)–(29) преобразование Фурье по пространственной переменной, в результате чего получим
∂ 2U
∂t
2
= a1
∂U
− b1ω2U + b2U ;
∂t
(30)
∂U (t0 , ω)
= U 01 (ω);
∂t
(31)
U (t0 , ω) = U 00 (ω).
(32)
Сделаем замену независимых функций:
V1 (t , ω) = U (t , ω) ,
V2 (t , ω) =
∂U (t , ω)
.
∂t
Тогда функции V1 (t , ω) , V2 (t , ω) при каждом фиксированном ω∈ R
подчиняются следующему операторному уравнению:
∂V (t , ω)
= Ψ (ω)V (t , ω),
∂t
(33)
0
1

T
где V (t , ω) = (V1 (t , ω),V2 (t , ω) ) и Ψ (ω) = 
.
2
 b − b ω a 
1
 2 1
Поставим задачу отыскания удовлетворяющей условиям теоремы 1.1
матрицы Γ такой, что матрица Φ = Γ −1ΨΓ принадлежит классу Ω1 . Для
этого введем представление
Γ
Γ= 1
 Γ3
Γ2 
.
Γ4 
(34)
Матрица Γ удовлетворяет матричному уравнению ΓΦ = ΨΓ . С учетом
представления (34) это уравнение можно записать в виде системы:
42
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
Γ1H1 − Γ 2 K ∗ = Γ3 ,

Γ1K + Γ 2 H 2 = Γ 4 ,

∗
Γ3 H1 − Γ 4 K = B ( ω) Γ1 + AΓ3 ,
Γ K + Γ H = B (ω)Γ + AΓ ,
4 2
2
4
 3
(
(35)
)
где A = ( a1 ) и B ( ω) = b2 − b1ω2 .
Так как H1 , H 2 и K – квадратные матрицы порядка 1 × 1 , то они
коммутируют. Следовательно, систему (35) можно переписать следующим
образом:
 H1Γ1 − K •Γ 2 − Γ3 = 0,

 K Γ1 + H 2 Γ 2 − Γ 4 = 0,

 b ω2 − b  Γ + [ H − a ] Γ − K ∗Γ = 0,
2 1
1
1 3
4
 1
 2
 b1ω − b2  Γ 2 + K Γ3 + [ H 2 − a1 ] Γ 4 = 0.
Выразив из первых двух уравнений неизвестные Γ3 и Γ 4 , подставим
их в два последних уравнения, в результате чего получим следующую
систему:
{
} {
}
 b ω2 − b + H 2 − a H − KK ∗ Γ + a K ∗ − H K ∗ − H K ∗ Γ = 0,
2
1
1 1
1
1
1
2
2
 1
(36)

{ H1K + H 2 K − a1K } Γ1 + b1ω2 − b2 + H 22 − a1H 2 − KK ∗ Γ 2 = 0.

{
}
Обозначим матрицу системы (36) символом Θ :
 b1ω2 − b2 + H12 − a1H1 − KK ∗

[ a1 − H1 − H 2 ] K ∗

.
Θ=
2
2
∗

H
H
a
K
b
b
H
a
H
KK
+
−
ω
−
+
−
−
[ 1 2 1]
1
2
2
1 2


Предположим, что коэффициенты a1 , b1 , b2 удовлетворяют условиям:
a1 < 0, b1 > 0, b2 < −a12 / 4.
(37)
a
a2
Тогда выбором K = b1ω2 − b2 − 1 и H1 = H 2 = 1 мы можем сделать
2
4
матрицу Θ нулевой. В этом случае системе уравнений (36) будет удовлетворять любая пара чисел
вид
( Γ1, Γ 2 )T ,
Γ1


Γ = a1
 Γ1 − K Γ 2
2
а искомая матрица Γ будет иметь
Γ2

.
a
K Γ1 + 1 Γ 2 

2
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(38)
43
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Легко видеть, что при любых действительных и не равных
одновременно нулю значениях Γ1 , Γ 2 определитель заданной таким образом
(
)
матрицы Γ , равный K Γ12 + Γ 22 , отличен от нуля. Следовательно, матрица
Γ имеет обратную и матрица Φ = Γ −1ΨΓ принадлежит классу Ω1 . Фиксируя,
например, Γ1 = 1 и Γ 2 = 0 , получаем матрицу
1
Γ =  a1

2
0
.
K 

Нетрудно убедиться, что указанная матрица Γ удовлетворяет всем
условиям теоремы 1.1. Следовательно, доказана следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть коэффициенты a1 , b1 и b2 уравнения (27)
удовлетворяют условиям (37). Тогда тривиальное решение задачи Коши для
уравнения (27) устойчиво.
Замечание 2.1. Матрица Γ может быть задана по формуле, отличной
от формулы (38), в этом случае устойчивость тривиального решения
уравнения (27) может быть доказана при ограничениях, отличных от
ограниченй (37). Например, матрицу Γ можно ввести по формуле
1 
 1
−

a1  ,
Γ(ω) =  a1

 −ξ(ω) 1 + ξ(ω) 


где значения функции ξ(ω) при любом ω∈ R и при b2 < 0 могут быть вы b ω2 − b
2

2 − 1, b1ω − b2  так, чтобы соответствуюбраны на промежутке  1


a12
a12


{
}
щая матрица Φ ( ω) = ϕij (ω) системы (12), где
a 2ξ 2 (ω) + b2 − b1ω2
ϕ11 (ω) = 1
,
a1 (1 + 2ξ(ω) )
2
b ω2 − b2 − a12 (1 + ξ(ω) )
,
ϕ22 (ω) = 1
a1 (1 + 2ξ(ω) )
ϕ12 (ω) = −ϕ12 (ω) = −
(
b1ω2 − b2 + a12 ξ 2 (ω) + ξ(ω)
a1 (1 + 2ξ(ω) )
),
принадлежала классу Ω1 . Приведенное замечание дает возможность сформулировать следующее утверждение.
Теорема 2.2. Пусть коэффициенты a1 , b1 и b2 уравнения (27)
удовлетворяют условиям
44
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
b1 > 0, b2 < −χ, χ > 0.
(39)
Тогда тривиальное решение задачи Коши для уравнения (27)
устойчиво.
Теперь воспользуемся теоремой 1.1 для анализа устойчивости
тривиального решения задачи Коши для системы гиперболических уравнений
с постоянными коэффициентами:
 ∂ 2u
∂u
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u2
+ b15u1 + b16u2 ,
 21 = a 1 + b11 21 + b12 21 + b13 22 + b14
∂t
∂x1
∂x2
∂x1
∂x22
 ∂t
(40)

∂u2
∂ 2u1
∂ 2u1
∂ 2u2
∂ 2u2
∂ 2u2
+ b25u1 + b26u2 ;
 2 = a ∂t + b21 2 + b22 2 + b23 2 + b24
2
∂
∂
∂
∂
∂
t
x
x
x
x

1
2
1
2
∂u1 ( t0 , x1 , x2 )
∂t
= u11 ( x1 , x2 ),
∂u2 ( t0 , x1 , x2 )
∂t
= u12 ( x1 , x2 );
u1 ( t0 , x1 , x2 ) = u01 ( x1 , x2 ), u2 ( t0 , x1 , x2 ) = u02 ( x1 , x2 ).
(41)
(42)
Будем считать, что решение задачи (40)–(42) существует при всех t ≥ t0
и вместе со своими частными производными второго порядка по
пространственным переменным суммируемо с квадратом в R 2 . При этом
предположении применим к (40)–(42) преобразование Фурье по x1 и x2 ,
в результате чего при каждом фиксированном наборе значений ω∈ R 2
получим следующую задачу Коши:
 ∂ 2U
∂U
2
2
2
2
 21 = a 1 − b11ω1 U1 − b12 ω2U1 − b13ω1 U 2 − b14ω2U 2 + b15U1 + b16U 2 ,
∂t
 ∂t
(43)

∂U 2
∂ 2U 2
2
2
2
2
 2 = a ∂t + b21ω1 U1 + b22 ω2U1 + b23ω1 U 2 + b24 ω2U 2 + b25U1 + b26U 2 ;
 ∂t
∂U1 (t0 , ω1 , ω2 )
∂U 2 (t0 , ω1 , ω2 )
= U11 (ω1 , ω2 ),
= U12 (ω1 , ω2 );
∂t
∂t
(44)
U1 (t0 , ω1 , ω2 ) = U 01 (ω1 , ω2 ), U 2 (t0 , ω1 , ω2 ) = U 02 (ω1 , ω2 ).
(45)
В операторной форме система (43)–(45) записывается следующим
образом:
∂ 2U
∂t
2
=A
∂U
+ B (ω)U ,
∂t
(46)
T
где U = (U1 ,U 2 ) ,
 b15 − b11ω12 − b12 ω22
a 0
A=
B
ω
=
,
( ) 

2
2
0 a
 b25 − b21ω1 − b22 ω2
Physics and mathematics sciences. Mathematics
b16 − b13ω12 − b14 ω22 
.
b26 − b23ω12 − b24 ω22 
(47)
45
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Сделав замену V1 = U1 , V2 = U 2 ,
V3 =
к уравнению
∂U1
∂U 2
, V4 =
, приходим
∂t
∂t
∂V
= Ψ (ω)V ,
∂t
T
где V = (V1 ,V2 ,V3 ,V4 )
 0
и Ψ (ω) = 
 B(ω)
(48)
I
.
A
Поставим задачу нахождения квадратной матрицы Γ порядка 4,
удовлетворяющей условиям теоремы 1.1 и переводящей матрицу Ψ
в принадлежащую классу Ω2 матрицу Φ . Представим блочную матрицу Γ
в виде (34), тогда система уравнений относительно неизвестных Γ k , k = 1, 4,
запишется в виде (35), где матрицы A и B (ω) задаются формулами (47).
Положим, что матрица K является симметрической и чисто мнимой,
т.е. для нее справедливо тождество K = − K ∗ ; кроме того, положим
H = H1 = H 2 . Тогда система (35) может быть переписана следующим
образом:
Γ1H + Γ 2 K = Γ3 ,
Γ K + Γ H = Γ ,
 1
2
4

Γ
+
Γ
=
H
K
B
( ω) Γ1 + AΓ3 ,
4
 3
Γ3 K + Γ 4 H = B (ω)Γ 2 + AΓ 4 .
Подставляя выражения для Γ3 , Γ 4 в два последних уравнения
системы, получаем следующую систему относительно Γ1 , Γ 2 :
Γ  H 2 + K 2  − AΓ H − B(ω)Γ + Γ [ KH + HK ] − AΓ K = 0,
1
1
2
2
 1


Γ1 [ KH + HK ] − AΓ1K + Γ 2  H 2 + K 2  − AΓ 2 H − B (ω)Γ 2 = 0.



(49)
Введем в рассмотрение матрицы B1 (ω) и B 2 (ω) как симметрические
матрицы, являющиеся решениями уравнений
B (ω)Γ = Γ B (ω)
и
B (ω)Γ 2 = Γ 2 B 2 (ω) . Пусть матрица Γ1 ищется в виде
 γ (1)
Γ1 =  1
 0

1
1 1
0 
,

γ (1)
2 
матрица Γ 2 связана с матрицей Γ1 соотношением Γ 2 = σΓ1 , где σ –
фиксируемый произвольно ненулевой параметр (вещественный или
комплексный). Тогда AΓ1 = Γ1 A и AΓ 2 = Γ 2 A ; кроме того, непосредственно
легко убедиться, что B (ω) = B (ω) = B (ω) , причем матрица B (ω) может быть
1
2
представлена следующим образом:
46
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика


B11 (ω)

B ( ω) = 
 γ (1) (ω)
 1
B (ω)
 γ (1) (ω) 21
 2

B 12 (ω) 

γ1(1) (ω)
,


B22 (ω)


γ (1)
2 (ω)
(50)
где Bij (ω) , i, j = 1, 2, – соответствующие элементы матрицы B(ω) , задаваемой второй формулой (47), причем коэффициенты γ1(1) (ω), γ (1)
2 (ω) (вещественные или комплексные) матрицы Γ1 выбираются так, чтобы при всех
ω∈ R 2 выполнялось условие
2
 γ (1) 
2 
B 21(ω) = 
B (ω) .
2 12
 γ (1) 
 1 
При сделанных предположениях система (49) сводится к системе
 H 2 + K 2 − AH − B ( ω) = 0,

 KH + HK − AK = 0.
(51)
A
A2
и K = B (ω) +
; тогда непосредственной под2
4
становкой легко убедиться, что система (51) выполняется. Стало быть система (49) имеет нетривиальные решения на описанных классах матриц Γ1 , Γ 2 .
Ранее было потребовано, чтобы элементы диагональной матрицы
A
H=
имели отрицательные действительные части, а матрица
2
Зафиксируем H =
A2
K = B (ω) +
4
(52)
была симметрической и чисто мнимой. Для того чтобы эти требования выполнялись, достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
a < 0, b11 > 0, b12 > 0, b23 > 0, b24 > 0;
(53)
b15 < −a 2 / 4, b26 < −a 2 / 4.
(54)
Из системы (35) следует, что искомая матрица Ляпунова Γ определяется формулой
Γ1

Γ=
 ( H + σK ) Γ1
σΓ1

.
( σH + K ) Γ1 
Physics and mathematics sciences. Mathematics
(55)
47
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Нетрудно убедиться, что построенная согласно (55) матрица Γ удовлетворяет всем условиям теоремы 1.1. Таким образом, справедлива следующая
теорема.
Теорема 2.2. Пусть коэффициенты a , bij , i = 1, 2 , j = 1,6 ,
удовлетворяют условиям (53), (54). Тогда тривиальное решение задачи Коши
для уравнения (43) устойчиво.
Замечание 2.2. Критерий устойчивости, определяемый теоремой 2.2,
по соображениям простоты получен для системы (43), в которой матрица
A = aij
определяется формулами a11 = a22 = a , a12 = a21 = 0 . Однако
{ }i, j =1,2
проведенные рассуждения могут быть распространены и на случай матрицы
A = aij
с произвольными элементами aij .
{ }i, j =1,2
Список литературы
1. К р е й н , С . Г . Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве /
C. Г. Крейн, М. И. Хазан // Итоги науки и техники. Математический анализ. – М. :
ВИНИТИ, 1983. – Т. 21. – С. 130–264.
2. С и р а з е тд и н о в , Т. К . Устойчивость систем с распределенными параметрами /
Т. К. Сиразетдинов. – М. : Наука, 1987. – 232 с.
3. Х е н р и , Д . Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений /
Д. Хенри. – М. : Мир, 1985. – 376 с.
4. Ше с та к о в , А . А . Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами / А. А. Шестаков. – М. : Наука, 1990. – 320 с.
5. Б о й к о в , И . В. Устойчивость решений параболических уравнений с дробными
производными / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 4. –
С. 84–100.
6. Б о й к о в , И . В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений /
И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2008. – 244 с.
7. Д а л е ц к и й , Ю . Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – М. : Наука, 1970. – 536 с.
8. Д е к к е р , К . Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Декккер, Я. Вервер. – М. : Мир, 1988. – 334 с.
9. Г а н тм а х е р , Ф. Р . Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Физматлит, 2010. –
560 с.
References
1. Kreyn S. G., Khazan M. I. Itogi nauki i tekhniki. Matematicheskiy analiz [Science and
technology results. Mathematical analysis]. Moscow: VINITI, 1983, vol. 21, pp. 130–
264.
2. Sirazetdinov T. K. Ustoychivost' sistem s raspredelennymi parametrami [Stability of
distributed parameter system]. Moscow: Nauka, 1987, 232 p.
3. Khenri D. Geometricheskaya teoriya polulineynykh parabolicheskikh uravneniy [Geometric theory of semilinear parabolic equations]. Moscow: Mir, 1985, 376 p.
4. Shestakov A. A. Obobshchennyy pryamoy metod Lyapunova dlya sistem s raspredelennymi parametrami [Generalized direct Lyapunov’s method for distributed parameter systems]. Moscow: Nauka, 1990, 320 p.
48
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Математика
5. Boykov I. V., Ryazantsev V. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy
region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics
and mathematics sciences]. 2012, no. 4, pp. 84–100.
6. Boykov I. V. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy [Stability of differential eqations’ solutions]. Penza: Izd-vo Penz. gos. un-ta, 2008, 244 p.
7. Daletskiy Yu. L., Kreyn M. G. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy v banakhovom prostranstve [Stability of differential eqations’ solutions in Banach space].
Moscow: Nauka, 1970, 536 p.
8. Dekker K., Verver Ya. Ustoychivost' metodov Runge-Kutty dlya zhestkikh nelineynykh
dif-ferentsial'nykh uravneniy [Stability of Runge-Kutta methods for rigid non-linear
defferential equation]. Moscow: Mir, 1988, 334 p.
9. Gantmakher F. R. Teoriya matrits [Matrix theory]. Moscow: Fizmatlit, 2010, 560 p.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Boykov Il'ya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: math@pnzgu.ru
Рязанцев Владимир Андреевич
аспирант, Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Ryazantsev Vladimir Andreevich
Postgraduate student, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 517.9
Бойков, И. В.
О достаточных критериях устойчивости решений дифференциальных уравнений гиперболического типа / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). – С. 33–49.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
49
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
465 Кб
Теги
типа, решение, уравнения, критериям, достаточно, дифференциальной, устойчивость, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа