close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О единственности решения одной обратной узловой задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом qin l{p}[0 Pi].

код для вставкиСкачать
УДК 517.927
А. Ю. Трынин
О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ
УЗЛОВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА
ШТУРМАЛИУВИЛЛЯ С ПОТЕНЦИАЛОМ q ? L [0, ?]
p
Достаточно полный обзор результатов, полученных в области изучения обратных задач ШтурмаЛиувилля, можно найти в известных
монографиях [13].
В работе [4] получены некоторые дифференциальные соотношения
в терминах дифференциалов Гато для узловых точек регулярной задачи ШтурмаЛиувилля с произвольными краевыми условиями третьего
рода.
Пусть q, w ? L[0, ?], тогда дифференциал Гато
функционала xk,n [q] (n ? N и 0 ? k ? n) при приращении w удовлетворяет соотношению
Теорема 1 [4].
1
?
Z
Dxk,n [q, w] = 2
y? 0 (xk,n , q, ?n )
w(? )y? 2 (?, q, ?n )?k,n (? ) d?,
(1)
0
где
?k,n (? ) =
1 ? ?k,n ,
??k,n ,
если ? ? [0, xk,n ],
если ? ? (xk,n , ?],
Z
?k,n =
xk,n
y? 2 (?, q, ?n ) d?.
0
Замечание. В случае, когда хотя бы одно краевое условие принима-
ет вид условий Дирихле: ? = 2?l, или ? = 2?l, l ? Z, т.е. x0,n [q] ? 0,
или xn,n [q] ? ? , соответствующий дифференциал Гато для любых
q, w ? L[0, ?]
Dx0,n [q, w] = 0 или Dxn,n [q, w] = 0.
С помощью этого дифференциального соотношения в работе [5] предложено решение некоторой обратной задачи ШтурмаЛиувилля, позволяющее определять потенциал и краевые условия дифференциального оператора по значениям дифференциалов Гато одного из нулей
xk,n [q] ? (0, ?) некоторой собственной функции y?(x, q, ?n [q]) при приращении w из множества W. В качестве W в [5] рассмотрены некоторые
множества классических и обобщјнных функций.
В настоящей работе изучаются некоторые условия единственности решения предложенной в [5] обратной узловой задачи ШтурмаЛиувилля.
72
Пусть q ? Lp [0, ?] и ?n = ?n [q] n-е собственное значение задачи ШтурмаЛиувилля
y? 00 + [? ? q]y? = 0,
sin ?y? 0 (0) + cos ?y?(0) = 0,
(2)
sin ? y? 0 (?) + cos ? y?(?) = 0,
где ?, ? ? R, а y?(x, q, ?n ) ? y?n (x) есть соответствующая ему ортонормированная собственная функция этой задачи ky?(·, q, ?n )kLp [0,?] = 1. Изменение потенциала q ? Lp [0, ?] задачи (2) на аддитивную константу q + C
?
приводит к сдвигу спектра ? = {?n }?
n=1 на ту же константу {?n + C}n=1 .
Поэтому считаем, что выполнено условие нормировки
?
Z
q(x) dx = 0.
(3)
0
Будем нумеровать нули функции y?n таким образом 0 ? x0,n < x1,n <
< · · · < xn,n ? ? . Зафиксируем некоторые n ? N и 0 ? k ? n, k ? Z. Обозначим через xk,n [q] функционал, ставящий в соответствие потенциалу q
k + 1-й нуль слева n-й собственной функции y?(x, q, ?n [q]). Договоримся
обозначать через
?(q + tw) ? ?(q)
t?0
t
D?[q, w] = lim
дифференциал Гато функционала ? : Lp [0, ?] ? R при приращении w ?
? Lp [0, ?].
Через Wp? [0, ?] обозначим множество определјнных на отрезке [0, ?]
функций, непрерывно дифференцируемых и имеющих вторую производную, суммируемую с p-й степенью, на [0, ?].
Пусть 1 ? p < ?, y?n и y??m , n, m ? N, некоторые
собственные функции двух задач ШтурмаЛиувилля с потенциалами
из Lp [0, ?], удовлетворяющими условиям нормировки (3), вида (2) и
Теорема 2.
y??00 + [?? ? q?]y?? = 0,
? = 0,
sin ??y??0 (0) + cos ??y?(0)
?
sin ?? y??0 (?) + cos ?? y?(?)
=0
(4)
имеют общий нуль x? , т. е. найдутся такие 0 ? k ? n, 0 ? l ? m,
n, m ? N, что x? = xk,n = x?l,m ? (0, ?), и дифференциалы Гато этого
нуля совпадают для любого приращения w ? Wp? [0, ?], т. е.
Dxk,n [q, w] = Dx?l,m [q?, w] для любого w ? Wp? [0, ?].
73
(5)
Тогда q? = q почти всюду на [0, ?], ?n = ??m и ?? = ?, ?? = ? .
Пусть при некоторых 0 ? k ? n, 0 ? l ? m,
?
n, m ? N, x = xk,n = x?l,m ? (0, ?) общий нуль рассматриваемых в
теореме (2) задач ШтурмаЛиувилля, тогда из теоремы (1) и (5) для
любого w ? Wp? [0, ?] имеем равенство
Доказательство.
0 = Dxk,n [q, w] ? Dx?l,m [q?, w] =
Z ?
1
2
=
w(? ) 2 y? (?, q, ?n )?k,n (? )?
0
y? 0 (x? , q, ?n )
1
2
?
2 y?? (?, q?, ??m )??l,m (? ) d?.
0
?
?
y? (x , q?, ??m )
(6)
В силу (1) функция
1
1
2
2
2 y? (?, q, ?n )?k,n (? ) ? 2 y?? (?, q?, ??m )??l,m (? )
y? 0 (x? , q, ?n )
y??0 (x? , q?, ??m )
принадлежит множеству Wp? [0, ?]. Взяв в качестве приращения обоих
дифференциалов Гато функцию
1
1
2
2
w(? ) = 2 y? (?, q, ?n )?k,n (? )? 2 y?? (?, q?, ??m )??l,m (? ),
y? 0 (x? , q, ?n )
y??0 (x? , q?, ??m )
из (6) получим соотношение
Z ?
1
2
2 y? (?, q, ?n )?k,n (? )?
0
y? 0 (x? , q, ?n )
2
1
2
?
2 y?? (?, q?, ??m )??l,m (? ) d? = 0.
y??0 (x? , q?, ??m )
(7)
Так как подынтегральная функция неотрицательна, то в силу теоремы 1 имеем представление
п.в.
? q?, ??m ) =
y?(?,
C1 y?(?, q, ?n ),
C2 y?(?, q, ?n ),
при ? ? [0, x? ],
при ? ? (x? , ?],
Ci 6= 0, i = 1, 2. (8)
Соотношение Ci 6= 0, i = 1, 2, следует из условия x? = xk,n = x?l,m ?
? (0, ?), и, значит, ?k,n (? ) 6= 0, ??l,m (? ) 6= 0. В силу того, что y? и y?? есть
решения дифференциальных уравнений задачи (2) при соответствующих
собственных значениях ?n , ??m и потенциалах q и q? , получаем
00
00
п.в. y? (?, q, ?n ) п.в. y?? (?, q?, ??m ) п.в.
q(? ) ? ?n =
y?(?, q, ?n )
=
74
? q?, ??m )
y?(?,
= q?(? ) ? ??m .
(9)
Проинтегрировав по ? полученное соотношение в пределах от 0 до ? с
учјтом нормировки (3), получим ?n = ??m .
Соотношения ?? = ?, ?? = ? также следуют из (2), (4) и (8).
Теорема доказана.
Обозначим через Ct2 [0, ?] множество функций пространства C 1 [0, ?]
дважды непрерывно дифференцируемых на каждом из сегментов [0, t)
и (t, ?]. В точке t ? [0, ?] вторые производные элементов множества Ct2 [0, ?] могут иметь разрыв первого рода. Для классических решений уравнения задачи ШтурмаЛиувилля (2) справедлива следующая
теорема.
Пусть некоторые собственные функции y?n и y??m , n, m ?
? N, двух задач ШтурмаЛиувилля с непрерывными потенциалами,
удовлетворяющими условиям нормировки (3), вида (2) и (4) имеют
общий нуль x? , т. е. найдутся такие 0 ? k ? n, 0 ? l ? m, n, m ?
? N, что x? = xk,n = x?l,m ? (0, ?), и дифференциалы Гато этого нуля
совпадают для любого приращения w ? Cx2? [0, ?], т. е.
Теорема 3.
Dxk,n [q, w] = Dx?l,m [q?, w] для любого w ? Cx2? [0, ?].
Тогда q? = q всюду на [0, ?], ?n = ??m и ?? = ?, ?? = ? .
Для того чтобы установить истинность теоремы 3
в доказательстве теоремы 2 доопределим потенциалы q и q? в соотношении (9) по непрерывности.
Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ
(проект 1.1436.2014К).
Доказательство.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Марченко В. А. Операторы ШтурмаЛиувилля и их приложения. Киев : Наук.
думка, 1977. -329 с.
2. Левитан Б. М. Обратные задачи ШтурмаЛиувилля. М. : Наука, 1984. -240
с.
3. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы ШтурмаЛиувилля и Дирака. М. :
Наука, 1988. 432 с.
4. Трынин А. Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи ШтурмаЛиувилля // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, вып. 4.
С. 133143.
5. Трынин А. Ю. Об одной обратной узловой задаче для оператора Штурма
Лиувилля // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, вып. 4. С. 116129.
75
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
354 Кб
Теги
лиувилля, единственности, решение, обратное, одной, оператора, узловой, потенциал, задачи, qin, штурм
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа