close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О конструктивном решении неполной обратной задачи штурма - Лиувилля.

код для вставкиСкачать
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 6. P. 7389.
2. Вагнер В.В. Теория отношений и алгебра частичных преобразований // Теория
полугрупп и ее приложения: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1965. Вып. 1.
С. 3197.
3. Henkin L., Monk J.D., Tarski A. Cylindric Algebras. North-Holland, Amsterdam,
part I, II, 1971, 1985.
4. Schein B.M. Relation algebras and function semigroups // Semigroup Forum. 1970.
Vol. 1. P. 162.
5. Boner F, P
oschel F.R. Clones of operations on binary relations // Contributions
to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 5070.
6. Bredikhin D.A. On varieties of semi-groups of relations with operations of
cylindrocation // Contributions to General Algebra. 2005.
7. Бредихин Д.А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Сер. математика. 1993. ќ 3. С. 2330.
8. Бредихин Д.А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. Мат. журн. 1997. Т. 38. С. 2941.
9. Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл.
РАН. 1998. Т. 360. С. 594595.
10. Andreka H., Bredikhin D.A. The equational theory of union-free algebras of
relations // Alg. Univers. 1994. Vol. 33. P. 1225.
УДК 517.984
1.
С.А. Бутерин
О КОНСТРУКТИВНОМ РЕШЕНИИ НЕПОЛНОЙ
ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ
Пусть {?n }n?0 спектр краевой задачи ШтурмаЛиувилля
L = L(q(x), h, H) :
?y 00 + q(x)y = ?y,
U (y) := y 0 (0) ? hy(0) = 0,
0 < x < ?,
V (y) := y 0 (?) + Hy(?) = 0,
(1)
(2)
где q(x) ? L(0, ?) комплекснозначная функция, а h, H комплексные
числа.
В статье исследуется одна неполная обратная спектральная задача
для L. Обратные задачи заключаются в восстановлении операторов по
некоторым их спектральным характеристикам [1]. Известно, что коэффициенты L однозначно восстанавливаются по функции Вейля, что равносильно, например, заданию спектров двух краевых задач для уравнения (1) с одним общим краевым условием. В неполных обратных задачах
требуется восстановить оператор по части спектральных данных при наличии о нем априорной информации. Рассмотрим следующую неполную
обратную задачу.
8
Задача 1. По спектру {? }
найти потенциал q(x) на интервале
(?/2, ?) и коэффициент H в предположении, что q(x) на (0, ?/2) и h
известны априори.
Различные аспекты задачи 1 в самосопряженном случае исследовались в [2, 3] и других работах (см. список лит-ры в [3]). В частности,
известна теорема единственности. В [3] получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи 1 в классе вещественных потенциалов из W2?1 [0, ?], причем доказательство конструктивно и основано на
методе оператора преобразования. В настоящей статье получен алгоритм
решения задачи 1, использующий интерполяцию, и параллельно доказана
следующая теорема единственности для несамосопряженного случая.
Задание спектра {?n }n?0 однозначно определяет коэффициенты L в предположении, что q(x) на (0, ?/2) и h известны априори.
n n?0
Теорема 1.
2. Пусть функции S(x, ?), ?(x, ?), ?(x, ?), ?(x, ?) являются решени-
ями уравнения (1) при условиях
S 0 (0, ?) = ?(0, ?) = ?(?, ?) = U (?) = 1,
S(0, ?) = U (?) = V (?) = V (?) = 0.
Собственные значения ?n , n ? 0, краевой задачи (1), (2) совпадают с
нулями ее характеристической функции ?(?) := h?(x, ?), ?(x, ?)i, где
hy, zi := yz 0 ? y 0 z. Очевидно, что ?(?) = V (?) = ?U (?). Кроме того,
известно (см., напр., [1]), что функция ?(?) определяется своими нулями
однозначно по формуле
?(?) = ?(?0 ? ?)
?
Y
?n ? ?
n=1
n2
.
(3)
Функции ?(x, ?) и M (?) := ?(0, ?) называются решением Вейля и функцией Вейля для L соответственно. Имеем
?(x, ?) = S(x, ?) + M (?)?(x, ?) = ?
?(x, ?)
,
?(?)
M (?) = ?
?0 (?)
,
?(?)
(4)
где ?0 (?) = ?(0, ?) характеристическая функция краевой задачи для
уравнения (1) с краевыми условиями y(0) = V (y) = 0. Пусть {?0n }n?0 спектр последней. Очевидно, что {?n }n?0 ? {?0n }n?0 = ?. При n ? ?
имеет место асимптотика (см., напр., [1])
2
?n = n + ? + o(1),
?0n
1 2
= n+
+ ? 0 + o(1),
2
?, ? 0 ? const.
Формулы (4) дают
?(x, ?) = ?0 (?)?(x, ?) ? ?(?)S(x, ?).
9
(5)
Введем обозначения
?1 (?) := ?? 0 (?/2, ?),
?01 (?) := ?(?/2, ?),
?(?) := ?0 (?/2, ?).
?(?) := ?(?/2, ?),
(6)
Заметим, что ?1 (?) характеристическая функция краевой задачи
?y 00 + q(x)y = ?y,
а функция
?/2 < x < ?,
y 0 (?/2) = V (y) = 0,
?01 (?)
M1 (?) := ?
?1 (?)
(7)
(8)
является функцией Вейля для (7). Функции ?(?) и ?(?), в свою очередь,
являются характеристическими функциями краевых задач для уравнения (1) на интервале (0, ?/2) с краевыми условиями Неймана и Дирихле
в точке ?/2 и общим краевым условием U (y) = 0 в точке 0 соответственно. Пусть {?n }n?0 и {?n }n?0 последовательности нулей функций ?(?) и
?(?) соответственно, тогда
?n = (2n)2 + ?1 + o(1),
?n = (2n + 1)2 + ?10 + o(1).
(9)
Пусть mn и m0n кратности нулей ?n и ?n соответственно (?n = ?n+1 =
= . . . = ?n+mn ?1 , ?n = ?n+1 = . . . = ?n+m0n ?1 ). Положим
S := {n : n ? N, ?n?1 6= ?n } ? {0},
S0 := {n : n ? N, ?n?1 6= ?n } ? {0}.
Далее, согласно (5) будем иметь
?01 (?) = ?0 (?)?(?) ? ?(?)S(?/2, ?),
)
(10)
0
0
??1 (?) = ? (?)?(?) ? ?(?)S (?/2, ?).
Согласно асимптотике функций ?(x, ?), ? 0 (x, ?) [1] при |?| ? ? будем
иметь
?
|Im?|?
??
= O exp
,
2
2
1
|Im?|? ??
0
d0 (?) := ?1 (?) ? cos
= O exp
,
2
?
2
d(?) := ?1 (?) + ? sin
?
?
?
(11)
?
?
?
где ?2 = ?. Кроме того, при достаточно больших |?| справедливы оценки
|Im?|?
, ? ? G1? ,
|?(?)| ? C? exp
2
|Im?|?
|?(?)| ? C? |?| exp
, ? ? G0? ,
2
где Ga? = {? = ?2 : |? ? 2n ? a| ? ?, n ? Z}.
10
(12)
Следующее утверждение следует из теоремы об интерполяции целых
функций [4], а также может быть доказано непосредственно, исходя из
(9), (11), (12).
Лемма 1. Задание чисел
(?)
{d(?) (?n )}?=0,mn ?1, n?S ,
{d0 (?n )}?=0,m0n ?1, n?S0
(13)
однозначно определяет функции ?1 (?), ?01 (?). При этом
?1 (?) = ?? sin
??
+ d(?),
2
?01 (?) = cos
??
+ d0 (?),
2
(14)
где
?
X
?(?)
d(?) =
d(?n )
,
0 (? )
(?
?
?
)?
n
n
n=0
d0 (?) =
?
X
n=0
d0 (?n )
?(?)
, (15)
(? ? ?n )?0 (?n )
если все нули функций ?(?), ?(?) простые, то есть mn = m0n = 1 для
всех n (случай кратных нулей внесет незначительные изменения).
Приходим к следующему алгоритму решения задачи 1 и утверждению
теоремы 1.
Пусть задан спектр {?n }n?0 , число h и функция q(x)
на (0, ?/2).
1) вычисляем функцию ?(?) по формуле (3);
2) строим функции ?(?), ?(?) по формулам (6) и находим их нули
?n , ?n , n ? 0;
3) находим числа (13) с помощью формул (10), (11);
4) строим функции ?1 (?), ?01 (?) по формулам (14), (15);
5) вычисляем функцию Вейля M1 (?) краевой задачи (7) по формуле (8)
и находим функцию q(x) на (?/2, ?) и коэффициент H, используя алгоритм 1 из [5].
Алгоритм 1.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ и ННС
(проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а), гранта Президента РФ
(проект НШ-2970.2008.1) и гранта Национального исследовательского
фонда Катара (проект NPRP 08-345-1-067).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит,
2007.
2. Hochschtadt H., Liebermann B. An inverse Sturm Liouville problem with mixed
given data // SIAM J. Appl. Math. 1978. Vol. 34. P. 676680.
3. Hryniv R.O., Mykytyuk Y.V. Half-inverse spectral problems for Sturm Liouville
operators with singular potentials // Inverse Problems. 2004. Vol. 20. P. 14231444.
11
4. Левин
лит., 1956.
5.
Б.Я.
Распределение корней целых функций. М.: Гос. изд-во техн.-теор.
Buterin S.A.
On inverse spectral problem for non-selfadjoint Sturm Liouville
operator on a nite interval // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 335, iss. 1. P. 739749.
УДК 517.518.82
И.Ю. Выгодчикова
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ
ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ
Рассматривается дискретная задача наилучшего равномерного приближения сегментной функции алгебраическим полиномом при наличии
ограничений на значения полинома сверху и снизу. Получен критерий
оптимальности в форме, сравнимой с известным в теории приближений
альтернансом П.Л. Чебышева.
1. Постановка задачи.
Пусть n, N целые числа, n ? 0,
N ? n + 1, T = {t0 < t1 < ... < tN }, A = (a0 , a1 , . . . , an ) ? Rn+1 ,
pn (A, t) = a0 + a1 t + . . . + an tn . На сетке T заданы сегментные
функции ?(·) и ?(·): ?(tk ) = [y1,k ; y2,k ],
y2,k ? y1,k , ?(tk ) =
= [?1,k ; ?2,k ],
?2,k ? ?1,k , k = 0, N . Обозначим через f (A, tk ) =
= max {pn (A, tk ) ? y1,k , y2,k ? pn (A, tk )}, g (A, tk ) = max{?1,k ? pn (A, tk ),
pn (A, tk ) ? ?2,k }, h (A) = maxk=0,N g(A, tk ).
Рассмотрим задачу:
?(A) := max f (A, tk ) ??
k=0,N
min
A?D={A?Rn+1 :h(A)?0}
.
(1)
2. Существование решения. Обозначим
??? = min ? (A) , < (?) = {A ? D : ? (A) = ??? } .
A?D
Рассмотрим задачу о псевдовнутренней оценке [1]:
?(A) := mink=0,N min{pn (A, tk )??1,k ; ?2,k ?pn (A, tk )} ?? maxA?Rn+1 . (2)
Обозначим множество решений задачи (2) через
? = A ? Rn+1 : ? (A) = ? ? ,
12
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
392 Кб
Теги
лиувилля, решение, обратное, неполной, задачи, штурм, конструктивное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа