close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О лагранжевых механических системах с неинтегрируемой линейной связью.

код для вставкиСкачать
Почти контактное метрическое пространство называется многообразием Кенмоцу [6], если выполняются условия d? = 0, d? = 2? ? ?.
Известно (см. [6]), что почти контактное метрическое пространство является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда выполняется
условие
~
(?~x ?)~y = ??(~y )?~x ? g(~x, ?~y )?.
(3)
Равенство (3) влечет следующее равенство (см. [6]): L?~g = 2(g????).
Отсюда следует, что для многообразия Кенмоцу L?~g(~x, ~
y ) = 2g(~x, ~y ),
~x, ~y ? ?D. Имеет место
Теорема 3. Если ?
метрическая N -связность многообразия
Кенмоцу, то g(~x, ~y ) = g(N~x, ~y ), ~x, ~y ? ?D.
N
n
Таким образом, для метрической N -связности многообразия Кенмоцу
эндоморфизм N совпадает с тождественным оператором: ?N = (?, ~v ).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.
2012. Т. 12, вып. 1. С. 1622.
2. Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические
пульверизации // Изв. вузов. Сер. Математика. 2013. ќ 4. С. 19.
3. Галаев С. В., Гохман А. В. Внутренняя связность, ассоциированная с вполне
интегрируемым лежандровым слоением // Математика. Механика : cб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 16. С. 2225.
4. Gelfand I., Retakh V., Shubin M. Fedosov Manifolds // Advances in Mathematics.
1998. Vol. 136. ќ 1. P. 104140.
5. Bejancu A. Kahler contact distributions // J. of Geometry and Physics. 2010.
Vol. 60. P. 19581967.
6. Pitis G. Geometry of Kenmotsu manifolds. Publishing House of Transilvania
University of Brasov, Brasov : 2007. 160 p.
УДК 514.764
С. В. Галаев, А. В. Гохман
О ЛАГРАНЖЕВЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С
НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ
На основе использования геометрической структуры распределения
контактного метрического многообразия определяются дифференциальные операторы, которые приводят к уравнениям Лагранжа механической системы с неинтегрируемой линейной связью. Среди механических
систем с неинтегрируемой линейной связью выделяются регулярные механические системы, для которых фундаментальная форма определяет
15
допустимую симплектическую форму распределения продолженной почти контактной метрической структуры. Вводится понятие динамической системы. Формулируются теоремы, утверждающие, что динамическая система, соответствующая механической системе, является полупульверизацией, а также, что динамическая система механической системы с однородной кинетической энергией совпадает с пульверизацией.
Пусть X гладкое многообразие нечетной размерности n, ?T X ?
C (X) модуль гладких векторных полей на X . Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса C ? . Предположим, что на многообразии X задана контактная
~ ?, g).
метрическая структура (?, ?,
Карту K(x? ) (?, ?, ? = 1, ..., n, a, b, c, e = 1, ..., n ? 1) многообразия X будем называть адаптированной к распределению D, если D? =
= span( ?x? n ) [1, 2]. Пусть P : T X ? D проектор, определяемый разложением T X = D?D? , и K(x? ) адаптированная карта. Векторные поля
P (?a ) = ~ea = ?a ? ?na ?n линейно независимы и в области определения
соответствующей карты порождают систему D: D = span(~ea ).
Тензорное поле t типа (p, q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если
t полилинейное отображение t : ?(D)p ? ?(D? )p ? F (X), где F (X) кольцо гладких функций на X .
Говорят, что над распределением D задана связность, если распредеe = ???1 (D), где ? : D ? X естественная проекция, разбивается
ление D
e = HD ? V D, где V D вертикальное распрев прямую сумму вида D
деление на тотальном пространстве D. Введем на D структуру гладкого
многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте
K(x? ) на многообразии X сверхкарту K?(x? , xn+a ) на многообразии D,
где (xn+a ) координаты допустимого вектора в базисе ~ea = ?a ? ?na ?n .
Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта
Gab (xa , xn+a ) такого, что HD = Span(~?a ), где ~?a = ?a ? ?na ?n ? Gba ?n+b .
Связность над распределением определяется внутренней линейной связностью следующим образом Gab (xa , xn+a ) = ?abc (xa )xn+c .
Введем понятие N -продолженной связности. Зададим векторное поле ~u на многообразии D, имеющее следующее координатное представление ~u = ?n ? Nba xn+b ?n+a , где эндоморфизм N : D ? D может быть
выбран произвольно. N -продолженная связность осуществляет параллельный перенос допустимого вектора вдоль произвольных кривых многообразия X и может быть применима к любому допустимому тензорному полю. В частности, применение N -продолженной связности к (до16
пустимому) метрическому тензору g допускает следующее координатное
описание: ?a gbc = ~ea gbc ? ?dab gdc ? ?dac gbd , ?n gbc = ?a gbc ? Nbd gdc ? ?dc gbd .
Пусть, далее, ? допустимая замкнутая внешняя 2-форма максимального ранга, например, фундаментальная форма структуры. В
общем случае ? 6= ? . Будем называть ? допустимой симплектической
структурой. Под контактным гамильтоновым векторным полем, ассоциированным с функцией f , в [3] понималось единственное векторное поле ~u,
~ )? ? df . Рассмотрим боудовлетворяющее равенствам i~u ? = f , i~u ? = (?f
лее общий случай, заменяя форму ? = d? на произвольную допустимую
симплектическую структуру ?.
Теорема 1. Пусть ? допустимая симплектическая структу-
ра, f гладкая функция на многообразии X . Тогда существует единственное векторное поле ~u = ua~ea + un ?n такое, что 1. i~u ? = f , 2.
~ )? ? df.
i~u ? = (?f
Искомое векторное поле однозначно определяется равенством
~u = ?ac (~ec f )~ea + f ?n .
(1)
Векторное поле ~u назовем обобщенной гамильтоновой системой, а
первое слагаемое в правой части (1) допустимой обобщенной гамиль~ ? ?D
e на
тоновой системой с гамильтонианом f . Векторное поле S
многообразии назовем полупульверизацией на многообразии X , если вы~~v ) = ~v , ~v ? D.
полняется условие ?? (S
~ будем называть пульверизацией, если она удоПолупульверизацию S
~ S]
~ = S
~ , где C
~ = xn+a ?n+a влетворяет дополнительному условию [C,
поле Лиувилля на D. Имеет место
Теорема 2. Внутренняя связность определяет пульверизацию S~ ,
~ = xn+a~?a , где ~?a =
координатное представление которой имеет вид: S
= ?a ? ?na ?n ? ?cab xn+b ?n+c .
Для определения необходимых в дальнейшем операторов, действующих на многообразии D, воспользуемся N -продолженной метрической связностью, автоматически возникающей на многообразии с почти контактной метрической структурой. В этом случае на многообразии D возникает поле базисов (~
?a = ?a ? ?na ?n ? ?bac xn+c ?n+b , ~u =
?n ?Nba xn+b ?n+a , ?n+a ), которому соответствует поле кобазисов (dxa , ?n =
= dxn +?na dxa , ?n+a = dxn+a +?abc xn+c dxb +Nba xn+b dxn ). Вертикальный эндоморфизм V : T D ? T D определим следующем образом: V (~
?a ) = ?n+a ,
V (?n+a ) = V (~u) = ~0. Вертикальное дифференцирование iV алгебры
дифференциальных форм локально определяется формулами iV f = 0,
iV (dxa ) = iV (?n ) = 0, iV (?n+a ) = dxa .
17
Коммутатор dV = [iV , d] является антидифференцированием степени 1 и называется вертикальным антидифференцированием.
Механической системой с нулевой внешней силой будем называть
пару M = (X, T ), где X многообразие с контактной метрической структурой, T гладкая функция на распределении D. Будем называть X
конфигурационным многообразием, D фазовым пространством, а T кинетической энергией. Замкнутая форма ? = ddV T называется фундаментальной формой механической системы M . Механическая система M называется регулярной, если ограничение фундаментальной форe является допустимой симплектической формой.
мы на распределении D
Векторное поле ~x назовем динамической системой, соответствующей механической системе M , если ~x допустимая обобщенная гамильтонова
~ . Справедливость следующей теоремы
система с гамильтонианом T ? CT
проверяется непосредственными вычислениями.
Теорема 3. Динамическая система, соответствующая механиче-
ской системе M , является полупульверизацией на X .
На многообразии X с контактной метрической структурой
~ ?, g, X) определяется механическая система с кинетиче(D, ?, ?,
ской энергией T = 21 gab xn+a xn+b . Такую механическую систему будем
называть контактной метрической механической системой.
Динамическая система контактной метрической механической системы M = (X, T ) совпадает с пульверизацией.
Теорема 4.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.
2012. Т. 12, вып. 1. С. 1622.
2. Вагнер В. В. Геометрия (n ? 1)-мерного неголономного многообразия в nмерном пространстве // Труды cеминара по векторному и тензорному анализу, 1941.
Вып. 5. С. 173255.
3. Pitis G. Hamiltonian Fields and Energy in Contact Manifolds // International
Journal of Geom. Methods in Modern Physics. 2008. Vol. 5, iss. 1. P. 6377.
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
330 Кб
Теги
связь, линейной, система, лагранжевы, неинтегрируемыми, механической
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа