close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О математическом моделировании в дорожном строительстве.

код для вставкиСкачать
М.В. Кретов
УДК 519.688:541
М.В. Кретов
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
В ДОРОЖНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ
76
Рассматриваются вероятностные модели для оценки качества дорожно-строительных материалов. Построена математическая модель современного асфальтобетонного завода с несколькими асфальтосмесительными установками. Дана методика определения надежности работы завода по выпуску асфальтобетонных смесей.
Models of probability for an estimation of quality of roadbuilding materials are considered. The mathematical model of the
modern asphalt-concrete factory with several asphalt-mixing installations is constructed. The technique of definition of reliability of work
of a factory on release asphalt-concrete mixes is given.
Продолжается построение математических моделей с применением
методов теории вероятностей и математической статистики [1—4].
1. Вероятностные методы оценки качества
дорожно-строительных материалов
Методы теории вероятностей и математической статистики можно
использовать для оценки качества прочности дорожно-строительных
материалов, а также для их исследования на водонасыщение, износ и
деформацию. Рассмотрим исследование N образцов асфальтобетонной
смеси на водонасыщение. Для определения закона распределения случайной величины ξ (водонасыщения) нужно результаты исследования
представить в виде сгруппированного статистического ряда [5]:
Интервал водонасыщения [x i − 1 , x i )
Частота ki
[x0 , x1 )
k1
…
…
[xn − 1 , xn )
kn
n
∑ ki = N .
i =1
Выдвигаем гипотезу H , состоящую в том, что распределение водонасыщения имеет определенный вероятностный закон, в качестве
которого чаще всего рассматривают нормальный закон распределения
с параметрами a и σ , равными выборочному среднему x и выборочному среднему квадратическому отклонению S , так как объем выборВестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 76—81.
76
О математическом моделировании в дорожном строительстве
77
ки N считается большим, например больше 50. Чтобы проверить гипотезу H, состоящую в том, что распределение водонасыщения асфальтобетонной смеси имеет нормальный закон распределения с уровнем
значимости, например, равным α = 0 ,01 , можно воспользоваться критерием К. Пирсона или критерием А. Н. Колмогорова [6—7]. Методика
проверки гипотезы как у К. Пирсона, так и у А.Н. Колмогорова одинакова, остановимся на рассмотрении критерия А.Н. Колмогорова. Схема
его применения для проверки выдвинутой нами гипотезы H выглядит
следующим образом.
Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления выборочной статистики λ = D N , сводят в таблицу:
77
Интервал
изменения
наблюдаемых
значений случайной величины ξ ,
[xi − 1 , xi )
Час- Нормирован- Значение вы- Теоретическая
Δi =
тота
борочной
функция расный
= F ∗ (ui ) −
функции распределения
интервал
ki
пределения
[ui − 1 , ui )
1 + Φ(ui ) − F (u )
i
для правого F (ui ) =
2
xi − x
ui =
конца интерS
вала
[ui − 1 , ui )
k1
(− ∞ , u1 )
[u1 , u2 )
…
kn
[un − 1 , un )
0
Менее x0
[x0 , x1 )
…
[xn − 1 , xn )
…
0
F (u1 )
Δ1
F (u2 )
F (u2 )
Δ2
…
…
F (un )
…
Δn
∗
F (un )
∗
n
Сумма N = ∑ k i .
i =1
Из последнего столбца таблицы определяют значение выборочной
статистики D = max F ∗ (ui ) − F (ui ). Вычисляем наблюдаемое значение выui
борочной статистики λ 0 = D N . Из таблицы распределения Колмогорова [8] по заданной вероятности α находим критическое значение λ α .
Критерий для проверки гипотезы H формулируется следующим
образом: если λ 0 < λ α , то нет оснований для отклонения гипотезы о том,
что водонасыщение асфальтобетонной смеси имеет нормальное распределение с параметрами x и S . В противном случае выдвинутую гипотезу отклоняют. Как правило, на практике оказывается, что λ 0 < λ α ,
поэтому водонасыщение асфальтобетонной смеси считают нормально
распределенной случайной величиной ξ с параметрами x и S . Аналогичное исследование можно было провести и для других качественных характеристик асфальтобетонной смеси, а также для других дорожно-строительных материалов, например гравия и щебня.
Итак, для качественных характеристик дорожно-строительных материалов можно строить доверительные интервалы с заранее заданной
надежностью их оценки. При этом доверительные интервалы, соответствующие одному и тому же коэффициенту доверия, получаются са-
М.В. Кретов
мыми короткими, так как статистические оценки для качественных характеристик дорожно-строительных материалов являются эффективными.
2. Вероятностная модель асфальтобетонного завода
78
Рассмотрим асфальтобетонный завод, содержащий n смесителей,
каждый из которых может обслуживать только одну машину. Для получения асфальтобетона на завод приезжают машины, загружаются
асфальтобетонной смесью и уезжают. Если в момент приезда автомашины все смесители заняты отпуском асфальтобетона, то она ожидает
начала обслуживания. В момент освобождения смесителя из очереди на
обслуживание заезжает очередной автосамосвал. Будем считать, что
дисциплина очереди, то есть порядок загрузки автомобилей асфальтобетоном в рассматриваемом случае роли не играет.
Формально процесс отпуска асфальтобетона является дискретной
цепью Маркова с пространством состояний E = {0 , 1, K} [9] . Такты процесса обслуживания соответствуют шагам цепи Маркова. Состояние
k ∈ E означает наличие k автомобилей под загрузкой на заводе. За каждый такт с вероятностью α приезжает новая машина на завод и с вероятностью q k = μ ⋅ min (k , n ) завершается загрузка автомобиля, где μ > 0 −
интенсивность загрузки одним смесителем, k − число автомобилей,
α
стоящих под загрузкой. При этом считают, что α + μn < 1 , r =
< 1.
μn
Описанная выше модель является дискретной цепью Маркова размножения и гибели — на каждом шаге цепь или остается в том же состоянии k , или переходит в соседние состояния k + 1 или k − 1 . Поэтому для стационарных вероятностей a k = lim p i(,nk) имеет место система
n→∞
∞
уравнений a k = ∑ ai pi , k , k = 1, 2 , ... , которая в нашем случае имеет вид
i =1
a 0 = (1 − p 0 )a 0 + q 1 a 1 , a k = (1 − p k − q k )a k + q k + 1 a k + 1 + p k −1 a k −1 ,
k = 1, 2 , ... , где p k = α для всех k ∈ E . Легко видеть, что для
k
k = 1, 2 , ..., n
p0 p1 ... p k −1
1
1 ⎛α⎞
= αk
= ⎜ ⎟ ,
μ ⋅ 2μ ⋅ ... ⋅ kμ k! ⎜⎝ μ ⎟⎠
q 1 q 2 ... q k
k
а для k = n + 1, n + 2, ...
p0 p1 ... pk−1
1
1 ⎛ α⎞
1
= αk
= ⎜ ⎟ nn−k = nnr k ,
μ ⋅ 2μ ⋅ ...⋅ (n − 1)μ ⋅ nμ ⋅ ...⋅ nμ n! ⎜⎝ μ ⎟⎠
q1q2 ... qk
n!
k
k
n
∞
n 1 ⎛α⎞
p p ... p k −1 n 1 ⎛ α ⎞
1
1 ⎛α⎞ r
= ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ + n n ∑ r k = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
,
значит, ∑ 0 1
k = 1 q q ... q
k =n + 1
k =1 k! μ
k =1 k! μ
n
!
n
!⎝ μ ⎠ 1−r
⎝ ⎠
⎝ ⎠
1 2
k
при r < 1 рассматриваемая сумма конечна. Параметр r назовем коэффициентом загрузки смесителей асфальтобетонного завода.
Итак, действительно существует стационарный режим [9] .
−1
∞
p p ...p
Из очевидных формул a = ⎜⎛ 1 + ∑ p0 p1 ...p k − 1 ⎞⎟ и a k = 0 1 k − 1 a0
0
⎟
⎜
q 1q 2 ...q k
k = 1 q 1 q 2 ...q k ⎠
⎝
при k = 1, 2 , ... находим выражения для вероятностей состояний:
∞
78
О математическом моделировании в дорожном строительстве
−1
79
k
n
n
⎛
1 ⎛α⎞
1 ⎛ α ⎞ r ⎞⎟ ,
a0 = ⎜ 1 + ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎜
n! ⎝ μ ⎠ 1 − r ⎟
k = 1 k! ⎝ μ ⎠
⎝
⎠
⎧ 1 ⎛ α ⎞k
⎪ ⎜⎜ ⎟⎟ a0 , k = 1,2 ,..., n
⎪ k! μ
,
ak = ⎨ ⎝ ⎠ k
⎪ 1 ⎛⎜ α ⎞⎟ n − k
⎪ n! ⎜ μ ⎟ n a0 , k = n + 1, n + 2 ,...
⎩ ⎝ ⎠
которые позволяют вычислить среднюю длину очереди автомашин,
среднее число автомашин под загрузкой асфальтобетоном и т. д.
Пример. Пусть n = 4 , α = 0 ,1 , μ = 0 ,05 . Коэффициент загрузки смесителей асфальтобетона r = 0 ,1 /( 4 ⋅ 0 ,05) = 0 ,5 < 1 , значит, стационарный режим существует. Распределение вероятностей числа автомашин,
находящихся на асфальтобетонном заводе под загрузкой и стоящих в
очереди, можно представить в виде следующей таблицы:
k
αk
0
0,130
1
0,260
2
0,260
3
0,173
4
0,087
5
0,035
6
0,012
7
0,003
8
0,001
9
0,0
3. О надежности работы асфальтобетонного завода
Асфальтобетонный завод включает ряд сооружений: асфальтосмеситель, накопительный бункер и т. д. В свою очередь, каждое из них
содержит несколько узлов и устройств. Отказ любого устройства приводит в нерабочее состояние асфальтобетонный завод.
Найдем вероятность безотказной работы исследуемого завода, который состоит из n устройств. Время работы k -го устройства есть случайная величина ξ k с Fk (t ) = P(ξ k < t ) , т. е. вероятность k -му устройству
быть исправным в момент времени t равна Fk (t ) = 1 − Fk (t ). Случайные
величины ξ k практически независимы [5]. Состояние k -го устройства
⎧ 0 , если k − е устройство исправно в момент t,
e k (t ) = ⎨
⎩1, если k − е устройство неисправно в момент t.
Тогда завод задается двоичным вектором e (t ) = (e1 (t ), e 2 (t ), ..., en (t )) .
Предположим, что завод может находиться только в двух положениях
— исправном и неисправном:
⎧ 0 , если в момент t завод исправен,
ϕ0 (t ) = ⎨
⎩1, если в момент t завод неисправен.
Состояние устройств завода в каждый момент времени однозначно
его определяет: ϕ0 (t ) = ϕ(e1 (t ),..., en (t )) .
Введем упорядоченность [2 ] на множестве двоичных векторов:
e = (e1 , e 2 ,..., en ) < e ′ = (e′1 , e′2 ,..., e′n ) , если для всех k e k e′k . Если завод неисправен, то дополнительные отказы устройств не могут перевести его
в рабочее состояние. Это означает, что из неравенства e′ < e ′ следует,
что ϕ(e ) ϕ(e ′) . Функция ϕ определяет разбиение всех n -мерных дво-
79
М.В. Кретов
ичных векторов
E = {e }
на два подмножества: исправных
E+ = { e : ϕ( e ) = 0} и неисправных E− = { e : ϕ( e ) = 1} устройств. Пусть
τ = inf{t : e(t ) ∈ E− } — время безотказной работы завода, F(t ) = P(τ < t ) — ве-
роятность отказа завода до момента t , F (t ) = P( τ t ) — вероятность безотказной работы завода до момента t . Тогда выражение для вероятности безотказной работы завода будет следующим: F (t ) = ∑ p( e ) , где
()
n
pe =∏
80
k=1
e∈E +
Fk1−ek
(t) (t) — вероятность того, что завод в момент
Fkek
t находится
в состоянии e .
Устройства на заводе фактически соединены последовательно [10] ,
n
поэтому вероятность безотказной его работы равна F (t ) = ∏ Fk (t ) .
k =1
n
Так как 1 − ∑ Fk
k =1
n
∏ (1 − Fk )
n
1 − ∑ Fk + ∑ Fk Fj
i =1
k< j
1−
n
1⎛
n
2
⎞ ,
⎠
∑ Fk + 2 ⎜⎜ ∑ Fk ⎟⎟
k =1
⎝ k =1
,
абсолютная
погрешность
которой
не
превышает
F (t ) ≈ ∑ Fk
k =1
n
то
2
k =1
⎞
1⎛
⎜ ∑ Fk ⎟ .
2 ⎜⎝ k =1 ⎠⎟
n
Найдем интенсивность [10] выхода из строя завода:
n
n
F ′ (t ) n
F ′(t )
′
′
λ (t ) = −
= −(ln F (t )) = − ∑ (ln Fk (t )) = − ∑ k = ∑ λ k (t ) ,
F (t )
k =1
k = 1 Fk (t )
k =1
∞
т. е. сумму интенсивностей отказа устройств. Если t k = Mξ k = ∫ Fk (t )dt —
∞
0
среднее время работы k -го устройства, а T = Mτ = ∫ F (t )dt — среднее
время работы завода, то T
−1
0
⎛
1⎞
⎜⎜ ∑ ⎟⎟ .
t
⎝ k =1 k ⎠
n
Список литературы
1. Кретов М.В. Вероятностные методы оценки прочности строительных материалов // Материалы международной научной конференции. Калининград:
Изд-во КГТУ, 2003. С. 228.
2. Он же. Применение дисперсионного анализа в дорожном строительстве //
Материалы международной научной конференции. Калининград: Изд-во
КГТУ, 2004. С. 158—159.
3. Он же. Математическая модель асфальтобетонного завода с несколькими
смесителями // Материалы международной научной конференции. Калининград: Изд-во КГТУ, 2005. С. 398—399.
4. Он же. О надежности работы асфальтобетонного завода // Там же.
С. 399—400.
5. Он же. Теория вероятностей и математическая статистика. Калининград:
Янтарный сказ, 2004.
80
О математическом моделировании в дорожном строительстве
6. Ширяев А.Н. Вероятность-1. М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
7. Он же. Вероятность-2. М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
8. Большов Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.:
Наука, 1983.
9. Андронов А.М., Копытов Е.А., Гринглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика. СПб.: Питер, 2004.
10. Барзилевич Е.Ю., Беляев Ю.К., Каштанов В.А. и др. Вопросы математической теории надежности. М.: Радио и связь, 1983.
Об авторе
М.В. Кретов — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.
81
81
УДК 551.510.535
М.А. Никитин, О.А. Смирнов
РОЛЬ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТОКОВ
В ТОКОВОЙ СТРУКТУРЕ НА ГЕОМАГНИТНОМ ЭКВАТОРЕ
Воспроизведены основные токовые структуры экваториальной ионосферы, главная из которых — экваториальный электроджет. Определена решающая роль вертикальных токов в
формировании шир-эффекта на геомагнитном экваторе.
Basic current structure of equatorial ionosphere in general and
equatorial electrojet in particular was showed. Determinate significance of vertical current in slit-effect formation at geomagnetic equator was defined..
Введение
Основным и наиболее исследованным элементом экваториальной
токовой структуры, несомненно, является экваториальный электроджет. В настоящее время в области, примыкающей к геомагнитному
экватору, работает 26 ионосферных станций, ведущих круглосуточные
наблюдения. Объявление 1993 года международным годом экваториального электроджета способствовало появлению значительного количества публикаций с экспериментальными данными и их обобщениями [1-4]. На этом фоне вертикальные токи на геомагнитном экваторе
выглядят менее значительными, однако, как будет показано ниже, без
их учета невозможно найти правдоподобного объяснения ряду особенностей в токовой системе на геомагнитном экваторе.
Описание метода
Численные расчеты, проведенные в рамках модели крупномасштабных электрических полей, позволили достаточно детально воспроизвести структуру электрических полей и токов в экваториальной иоВестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 81—86.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
29
Размер файла
330 Кб
Теги
строительство, моделирование, математические, дорожной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа