close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА В L 2 v[-1 1].

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2014, том 57, №3
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
К.Тухлиев, Дж.Х.Бекназаров
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ СУММАМИ
ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА В L2,μ[-1,1]
Худжандский государственный университет им. Б.Г.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 23.12.2013 г.)


В гильбертовом пространстве L2 

1  x2

1

 [1 1]  получены точные неравенства типа

Джексона-Стечкина, связывающие величину En 1 ( f ) – наилучшее приближение функции f алгебраическими полиномами степени  n  1 с введённым В.А.Абиловым и Ф.В.Абиловой обобщённым
модулем непрерывности m -го порядка m (
r
f  t ) , где
– некоторый дифференциальный опера-
тор второго порядка. Для некоторых классов функций, определяемых оператором


той  , вычислены значения различных n-поперечников в пространстве L2 

1  x2
и мажоран-

1

 [1 1]  .

Ключевые слова: наилучшее приближение – суммы Фурье-Чебышёва – обобщённый модуль непрерывности – n -поперечники.
1. Экстремальная задача отыскания точных констант в неравенстве типа Джексона для суммируемых 2 -периодических функций f в пространстве L2  L2 [0 2 ] с конечной нормой
1 2
f
L2
 1 2 2

   f ( x )dx 
 0

рассматривалась во многих работах (см. [1] и приведённую там литературу). В последнее время появился ряд работ, в которых аналогичные задачи рассматриваются на конечном отрезке. А.Г.Бабенко
[2] получил точное неравенство типа Джексона в случае приближения на отрезке [0  ] действительных измеримых чётных 2 -периодических функций вида f ( x)   (cos x) подпространством косинус-полиномов

n 1  


n 1

( x )   ak cos kx ak  

k 0
2
в пространстве L  [0  ](  1   1) с конечной нормой
Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, мкр., 20,
Худжандский государственный университет. E-mail: kamaridin.t54@mail.ru
177
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №3
1 2
f
L2  
2 1
2  1
  2 

x 
x
   f ( x ) sin   cos  dx  
2
 2 
 0

В дальнейшем указанная задача в общем случае при
    1  2 рассмотрена
Д.В.Чертовой [3], а при любых     1  2 – Во Хи Куком [4]. Для функции многих переменных
в Lp (
d
) со степенным весом аналогичная задача решена в работе А.В.Иванова и В.И.Иванова [5].
Отметим также работу С.Б.Вакарчука [6], где доказано точное неравенство типа Джексона
для приближения действительных измеримых на отрезке [11] функций f подпространством
n1
– алгебраических полиномов степени  n  1
n 1



p

p
(
x
)

ak x k  ak  
 n 1 n 1

n 1


k 0
в пространстве L2 [11] с нормой
f
L2 [ 11]



1

1
1 2

f ( x )dx   

2
В данной работе мы продолжим исследование в этом направлении и докажем точное неравенство типа Джексона для наилучшего приближения действительных измеримых на отрезке [11]
функций f ( x ) с весом  ( x )  ( 1  x 2 ) 1 элементами подпространства Pn 1 в гильбертовом пространстве
1



L2 [11]  L2   1  x 2   [11] 



с нормой

f 2  f L [ 11]  
2

1

1
1 2

dx   
1  x2 
f 2 ( x)
Следуя работе [7], в пространстве L2 [11] рассмотрим оператор
Fh f ( x ) 
 


1
f x cos h 1  x 2 sin h  f x cos h 1  x 2 sin h  



2
(1.1)
который будем называть оператором обобщённого сдвига, и введём специальный модуль непрерывности m -го порядка следующим образом. Пусть
h ( f  x)  Fh f ( x)  f ( x)  ( Fh  E ) f ( x)
178
Математика
К.Тухлиев, Дж.Х.Бекназаров
 ( f  x)  h (
m
h
m 1
h
m
( f ) x)  ( Fh  E ) f ( x)   ( 1) mk   Fhk f ( x)
k 0
k
m
m
где Fh0 f ( x)  f ( x) Fhk f ( x)  Fh ( Fhk 1 f ( x)) k  1 2… m m 
и E – единичный оператор в про-
странстве L2 .
Определим модуль непрерывности m -го порядка равенством

m ( f  t )  sup  hm ( f )

 h  t 
(1.2)
cos(k arccos x ) k  1 2…
(1.3)
2 
Пусть далее
1
T0 ( x ) 

2
 Tk ( x ) 

– ортонормированная система многочленов Чебышева первого рода в пространстве L2 [11] . Тогда,
как хорошо известно,

f ( x )   ck ( f )Tk ( x )
(1.4)
k 0
есть ряд Фурье-Чебышёва функции f  L2 [11] , а
1
ck ( f ) 
f ( x)

1  x2
1
Tk ( x )dx
(1.5)
– коэффициенты Фурье-Чебышёва. Равенство в (1.4) нужно понимать в смысле сходимости в пространстве L2 [11] .
Пусть теперь
d2
d
 (1  x ) 2  x
– дифференциальный оператор второго порядка. Опеdx
dx
2
раторы высших порядков определим рекуррентным путём:
r
f 
(
r 1
f ) (r  2 3…) Заметим,
что многочлены (1.3) удовлетворяют дифференциальному уравнению [8, с.47]
(1  x 2 )T k ( x)  xT k ( x)  k 2Tk ( x)  0
(1.6)
а потому из (1.6) вытекают равенства
Tk ( x)  k 2Tk ( x)…
Tk ( x)  (1)r k 2 rTk ( x)
r
(1.7)
В [7] доказано, что для произвольной функции f  L2 [11] , имеющей обобщённые производные в смысле Леви [8, c.172], коэффициенты Фурье-Чебышёва (1.5) ряда (1.4) удовлетворяют соотношениям
ck ( f )  ( 1)r k 2 r ck (
179
r
f ) k  1 2…
(1.8)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №3
ck ( Fh f )  cos kh  ck ( f ) k  1 2…
(1.9)
где функция Fh f определена равенством (1.1).
Через
L(22r ) [11] ( r 

 L(0)
2  [ 1 1]  L2  [1 1])
f  L2 [11] , у которых производная
r
обозначим
множество
функций
f принадлежит пространству L2 [11] . Пользуясь ра-
r)
венством Парсеваля и соотношениями (1.7)-(1.9), для произвольной функции f  L(2
2  [ 1 1] получа-
ем
 mh (
r
f)
2
2 

  (1  cos kh)2 m k 4 r ck2 ( f )
(1.10)
k 1
Учитывая равенство (1.10), согласно определению модуля непрерывности (1.2), запишем
m (
Пусть
n1
r


f  t )  sup  k 4 r ck2 ( f )(1  cos kh) 2 m  h  t  
 k 1

– совокупность алгебраических многочленов степени  n  1 ,
лучшее приближение функции f  L2 [11] элементами подпространства

n 1
( f )2  inf  f  pn1

2 
 pn1 


n 1 


n 1
( f )2 – наи-
n1 :

Хорошо известно [8], что
1 2
n 1
( f )2  f  Sn 1 ( f )
2 
 

   ck2 ( f )  
 k 0

где
n 1
Sn 1 ( f  x )   ck ( f )Tk ( x )
k 0
– частичная сумма n -го порядка ряда (1.4). Данная статья является продолжением работы [10]. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть m n r   r  21  (2r)  p  2 h  (0   n] Тогда справедливо равенство
sup
f L(22 r )
2m nn2r1 ( f )2
 2 h p
 2  t m (
h 0
1 p

r
f  t )2 dt 

 2 h  nt 2 mp 
  2  t  sin  dt 
h

2
 0 

1 p

(1.11)
r)
Функция f 0 (t )  Tn (t )  ( 2   ) cos(n arccos x)  L(2
2  [ 11] реализует верхнюю грань в ра-
венстве (1.11).
180
Математика
К.Тухлиев, Дж.Х.Бекназаров
Теорема 2. Пусть m n r   r  21  (2r)  p  2 h  (0   n] Тогда справедливо равенство
22 m1 p nn2r11 p ( f )2
sup
f L(22 r )
h p
  m (
0
 nh 
 {2(mp  1)}  sin 
2 

1 p
1 p
1 p

r
f  t )2 sin ntdt 


(1.12)
r)
Верхнюю грань в (1.12) реализует функция f 0 (t )  Tn (t )  L(2
2  [1 1]
Обозначим через bn (M L2 ) d n (M L2 )  n (M L2 ) d n (M L2 )  n (M L2 ) соответственно бернштейновский, колмогоровский, линейный, гельфандовский и проекционный n поперечники выпуклого центрально-симметричного компакта M в пространстве L2   Известно, что
между указанными n -поперечниками выполняются неравенства:
bn  M L2   d n  M L2   d n  M L2    n  M L2    n  M L2  
Пусть (t ) 0  t   – такая произвольная непрерывная неубывающая функция, что
(0)  0 Символом Wm(2 pr ) ( ) 1  (2r)  p  2 r 
торых при любом h 

r)
обозначим класс функций f  L(2
2   для ко-
выполняется условие
h
2
tmp (
2 
h 0
r
f  t )2 dt   p (h)
Полагаем также
(1  cos t )m  (1  cos t )m  если 0  t    2m  если t   
n 1
W
(2 r )
m p
( ) 
 sup 
def
L2  
n 1
( f )2  f Wm(2 pr ) ()
Теорема 3. Пусть m n r   1  (2r )  p  2 и функция  при любом h 

удовлетворя-
ет условию
p
  (t )    
 (  n)    nh 

  
1


mp
(1

cos
t
)
dt
  (1  cos t ) dt  
0
0

2 nh
mp

Тогда выполняются равенства
n (Wm(2 pr ) () L2 ) 
2
 ( m  3 p )
n 1
(Wm(2 pr ) ()) L2  
 2

   1
n     2  t (sin t )2 mp dt 
 n   0

2 r
181
1 p

(1.13)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №3
где n () – любой из перечисленных выше n -поперечников.
Множество функций  удовлетворяющих условию (1.13), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция
1
 (h)  h
 p
2  2

2 mp
  
 где       t  sin t  dt   2 (0    2mp)
2  0

Теорема 4. Пусть m n r   1  (2r )  p  2 Если функция  при любом h 

удовле-
творяет условию (1.13) теоремы 2, то при всех s  01… r имеют место равенства
sup{
2
 ( m2 p )
n
n 1
(
2( r  s )
s
f )2  f Wm(2 pr ) ()} 
 2

2 mp
   1
    2  t  sin t  dt 
 n  0

1 p

Поступило 23.12.2013 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов
2π-периодических функций и точные значения их поперечников. – Матем. заметки, 2011, т.90, №5,
с.764-775.
2. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2-приближений на отрезке
с весом Якоби и проективных пространствах. – Известия РАН, серия матем., 1998, т.62, №6, с.2752.
3. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp 1  p  2 с периодическим весом Якоби. –
Известия ТулГУ. Естественные науки, 2009, вып.1, с.5-27.
4. Кук Во Тхи. Операторы обобщенного сдвига в пространствах Lp на торе с весом Якоби и их применение. – Известия ТулГУ. Естественные науки, 2012, вып.1, с.17-43.
5. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2 ( R d ) со степенным весом. – Труды ИММ УрО РАН, 2010, т.16, №4, с.180-192.
6. Вакарчук С.Б. О неравенствах типа Джексона в L2 [11] и точных значениях n -поперечников
функциональных классов. – Укр. матем. вiсник, 2006, т.3, №1, с.116-133.
7. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Об одной квадратурной формуле. – Журнал выч. матем. и мат. физ.,
2002, т.42, 4, с.451-458.
8. Сеге Г. Ортогональные многочлены. – М.: Физматгиз, 1962, 500 с.
9. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука,
1969.
10. Шабозов М.Ш., Тухлиев К.
-функционалы и точные значения n -поперечников некоторых клас-
сов из L2 ((1  x 2 )1 2  [11]) – Изв. ТулГУ. Естест. науки, 2014, вып.1, ч. 1, с. 83-97.
182
Математика
К.Тухлиев, Дж.Х.Бекназаров
К.Тухлиев, Љ.Х.Бекназаров
ОИД БА НАЗДИККУНИИ БЕЊТАРИНИ ФУНКСИЯЊО БО ЁРИИ
СУММАЊОИ ФУРЙЕ-ЧЕБЫШЁВ ДАР L2 [11]
Донишгоњи давлатии Хуљанд ба номи Б.Ѓ.Ѓафуров


Дар фазои гилбертии L2 

1  x2

1

 [1 1]  нобаробарињои аниќии намуди Љексон
Стечкин ёфта шудаанд, ки байни наздиккунии бењтарини функсияњои
f ( x ) аз рўи
бисёраъзогињои алгебравии тартибашон  n  1 ва модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби m -ўм, ки аз тарафи В.А.Абилов ва Ф.В.Абилова дароварда шудааст m (
r
f  t ) , ки
–
ихтиёри оператори дифференсиалии тартиби дуюм мебошад, вобаста мекунанд. Барои баъзе
ва мажорантаи  муайян шудаанд, ќимати
синфи функсияњо, ки ба воситаи оператори


n -ќутрњои гуногун дар фазои L2 

1  x2

1

 [1 1]  њисоб карда шудаанд.

Калимањои калидї: наздиккунии бењтарин – суммаи Фурйе-Чебышёв – модули бефосилагии умумикардашуда – n -ќутрњо.
K.Tukhliev, J.Kh.Beknazarov
ABOUT THE BEST APPROXIMATION OF FUNCTIONS BY SUMMS
FOURIER-CHEBYSHEV IN L2 [11]
B.G.Gafurov Khugand State University


In the Hilbert space L2 

1  x2

1

 [1 1]  the exact inequalities of Jackson-Stechkin were ob
tained and connecting En 1 ( f ) – the best approximation of f by algebraic polynomials of degree  n  1
were added due to V.A.Abilov and F.V.Abilov which are the generalized modulus of continuity m th order
m (
r
f  t ) where
is some second order differential operator. For any clas of function defined by


and majorant  the exact values of different n -widths in the space L2 

1  x2

1

 [1 1]  are calculated.

Key words: the best approximation – summs Fourier-Chebyshev – generalized modulus of continuity –
n-widths.
183
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
478 Кб
Теги
приближение, наилучшее, чебышева, фурье, суммами, функции
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа