close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах для классов функций задаваемых модулями непрерывности.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №7
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева
О НАИЛУЧШИХ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ВЕСОВЫХ КВАДРАТУРНЫХ
ФОРМУЛАХ ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ МОДУЛЯМИ
НЕПРЕРЫВНОСТИ
В статье рассматриваем квадратурную формулу
b
n
q ( t ) f ( t ) dt
pk f (t k )
Rn ( f ; q ; T , P ) ,
(1)
k 0
a
в которой весовая функция q (t ) неотрицательна на интервале ( a , b ) и интегрируема (может
быть, в несобственном смысле) по Риману, T
вектор коэффициентов, а
{tk } - некоторый вектор узлов, P { pk } -
Rn ( f ; q;T , P) - погрешность квадратурной формулы (1) на
функции f (t ).
Если M – некоторый класс функций { f (t )} определенных на отрезке [a, b] , то через
Rn ( M ; q; T , P) sup{| Rn ( f ; q; T , P) |: f
M}
обозначим погрешность квадратурной формулы (1) на этом классе функций и пусть  –
множество векторов P
{ pk } , для которых формула (1) имеет смысл. Требуется при задан-
ной положительной весовой функции q (t ) найти величину [1], [2]:
n
Если существует вектор P0
( M; q; T ) inf{Rn (M; q; P, T ) : P
}.
(2)
{ pk 0}  такой, для которого в (2) достигается нижняя грань,
т.е. если
n
( M; q;T ) Rn (M; q : P0 , T ),
то квадратурная формула (1) называется наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированных узлах T
{tk }.
Всюду далее, в качестве M рассмотрим класс H
H [a, b] - функций f (t ) , оп-
ределенных на отрезке [a, b] и для любых двух точек t ' , t ' ' [a, b] удовлетворяющих условию
| f (t ' )
f (t ' ' ) |
589
(| t ' t ' ' |),
(3)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
где
2006, том 49, №7
(t ) - заданный модуль непрерывности. В частности, при
получаем класс Липщица H
1
(t) t из неравенства (3)
H 1[a, b] - функций f (t ) для любых t ' , t ' ' [a, b] , удовле-
творяющих неравенству
| f (t ' )
f (t ' ' ) | | t ' t ' ' | .
В этих обозначениях справедлива следующая
Теорема 1. Пусть [a, b]
[0,1] и q(t ) sin t. Тогда среди квадратурных формул
вида (1) с фиксированными узлами T
квадратурной формулой на классе H
1
2
sin t f ( t ) dt
sin
0
2
4n
*
k / n} наилучшей по коэффициентам
{tk : tk
является формула
[ f (0)
2
f (1)]
n 1
sin
При этом наилучшая оценка остатка на всем классе H
2n k
sin
1
k
k
f
n
n
R n ( f ). (4)
равна
1/ 2 n
*
n
( H ; sin t ; T )
2
sin t cos t ctg
0
В частности, при
( t ) dt .
2n
(5)
(t) t для класса H 1 имеем:
n
( H 1 ; sin t ; T * )
1
1 2 cos
2
2n
tg
4n
.
Доказательство. В работе [2] доказано, что квадратурная формула (1) с произвольными узлами T
{tk : a t0
t1 ... tn
1
tn
b} и весовой функцией q (t ) 0 будет наи-
лучшей по коэффициентам формулой на классе H , если ее коэффициенты определить равенствами
xk
pk
1
q(t )dt, k
0,1,..., n ,
xk
где x0
a, xn
1
b, xk
(tk
1
tk ) / 2, k 1,2,...,n.
При этом легко подсчитать, что
(b t n 1 ) / 2
(t1 a ) / 2
n (H
; q; T )
q (a t ) (t )dt
0
q (b t ) (t )dt
0
590
(6)
Математика
М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева
n 1
(tk
1
tk )/ 2
(tk tk
q (t k
k 1
t ) ( t ) dt
)/2
q (t k
0
t ) ( t ) dt .
(7)
0
В частности, для вектора равноотстоящих узлов T
1/ 2 n
n 1
q ( t ) q (1 t )
q
k 1
0
*
k / n} из (7) следует, что
{tk : tk
; q; T * )
n (H
Вычислив P
1
k
n
t
q
k
n
t
( t ) dt .
(8)
{ pk } по формуле (6) для q(t ) sin t , получаем коэффициенты формулы
(4). Для доказательства равенства (5) из (8) с учетом тождества (см.[3], формулу 1.344(1),
стр.44)
n 1
k
n
sin
k 1
ctg
2n
имеем:
n (H
1. / 2 n
; sin t ; T * )
n 1
sin t
sin (1 t )
sin
k 1
0
1/ 2 n
k
n
t
n 1
2 sin t 2 cos t
sin
k 1
0
sin
k
n
k
n
t
( t ) dt
( t ) dt
1/ 2 n
2
sin t cos t ctg
0
2n
( t ) dt ,
откуда и следует утверждение теоремы 1.
Имеет место также
Теорема 2. Пусть [ a , b ]
мул вида (1) с фиксированными узлами T
ентами P
t
. Тогда среди всех квадратурных фор-
{t k : t k
k / n} и произвольными коэффици-
[ 0 ,1] и q ( t ) e
*
{ p k } наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой на классе
H является формула
591
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
1
t
e f (t )dt
2e
1/ 4 n
0
1
sh
f (0) 2e
4n
2006, том 49, №7
1 1/ 4 n
1
1
sh
f (1) 2sh
4n
2n
При этом наилучшая оценка остатка на всем классе H
n
t
( H ;e
n 1
k /n
e
f
k 1
k
n
Rn ( f ).
равна
;T * )
1/ 2 n
{e
t
e
1 t
2 cht ( e
1
e
1/ n
)(1 e
1/ n
)
1
} ( t ) dt .
(9)
0
В частности,
1
t
n ( H ;e
3 (1 e
4n
*
;T )
1
)
4 e 1
,
4n 2
(10)
и имеет место предельное равенство
lim n
n
n
( H 1 ;e
t
,T * )
3
1
1
.
4
e
Доказательство. Равенство (9) вытекает из (8) непосредственным вычислением. Полагая в (9)
( t ) t и вычисляя интегралы, получаем
n
1
1
( H 1 ;e
t
1 1/ 2 n
e
e
2n
;T * ) 1
1
1
1
e
2n
1/ 2 n
1
1
1
sh
4 sh 2
n 2n
4n
1
e
e
1 e
1/ n
1/ n
.
(11)
Воспользуясь асимптотическими равенствами
ex
1 x, x
0 и sin x
x, x
0,
после несложных вычислений из равенства (11) получаем правую часть соотношения (10),
тем самым завершаем доказательство теоремы 2.
В практике вычислений более удобной является следующая
Теорема 3. Пусть [ a , b ]
[ 1,1]. Тогда среди квадратурных формул вида (1) с весо-
вой функцией q(t ) 1/ 1 t 2 фиксированными узлами T
вольными коэффициентами P
лой на классе H
**
{t k : t k
cos k / n} и произ-
{ p k } наилучшей по коэффициентам квадратурной форму-
[ 1,1] является формула
592
Математика
М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева
1
n 1
f ( t ) dt
1 t
1
2n
2
[ f ( 1)
f (1)]
n
f cos
k 1
k
n
R n ( f ).
При этом для точной оценки погрешности формулы (12) на всем классе H
(12)
[ 1,1] имеет
место равенство
/2n
2
( H [ 1,1]; ( 1 t )
n
1
**
;T
)
2n
( t ) dt .
0
Доказательство. Квадратурную формулу (1) с весовой функцией q ( t )
вектором узлами T
1
**
{t k : t k
p 0 f ( 1)
2
1 t
1
0 ,1,..., n ) запишем в виде
cos( k ) / n}, ( k
n 1
f ( t ) dt
1/ 1 t 2 и
p k f cos
k 1
k
n
p n f (1) R n ( f ).
(13)
Полагая в формуле (13)
t
cos , 1 t 1, 0
,
( )
f (cos ) ,
(14)
p n ( ) Rn ( ) ,
(15)
получаем формулу
n 1
( )d
p 0 (0)
k 1
0
где
k
n
pk
( ) H [ 0 , ]. Тогда из (13) - (15) следует, что
1
n 1
f ( t ) dt
Rn ( f )
1 t
1
p 0 f ( 1)
2
p k f cos
k 1
n 1
( )d
p 0 (0)
k
n
pk
k 1
0
k
n
pn ( )
p n f (1)
R n ( ),
откуда согласно определению получаем
n
( H [ 1,1]; ( 1 t 2 )
1
; T ** ) inf R n ( H [ 1,1]; ( 1 t 2 )
; T ** , P )
P
inf R n ( H [ 0 , ];T 0 , P )
P
где положено T
1
0
{
k
:
k
k / n}, ( k
n
( H [ 0 , ];T 0 ) ,
0 ,1,..., n ).
593
(16)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №7
Из (16) ясно, что для нахождения точной оценки погрешности квадратурной формулы
(13) на классе функций H
(15) на классе H
[ 1,1] достаточно найти точную оценку погрешности формулы
[ 0 , ]. С этой целью оценим величину в правой части равенства (16).
Оценку снизу получим, следуя методу, изложенному в статье [4], а именно сопоставим вектору узлов T
0
{
:
k
k / n} множество
k
H 0 [ 0, ] { :
H [ 0, ], (
При произвольном векторе узлов P
sup{| R n ( ; T 0 , P ) |:
k
) 0, k
0,1,...,n}.
{ p k } для этого множества имеем:
H 0 [ 0 , ]}
0
( )d ,
(17)
0
где
( ),
0
( )
0
/ 2n,
k
| , ( 2 k 1) / 2 n
n
),
( 2 n 1) / 2 n
|
(
( 2 k 1) / 2 n , k 1, 2 ,... n 1
.
Таким образом, из (17) следует, что
n
( H [ 0 , ]; T 0 )
n
( H 0 [ 0 , ]; T 0 )
0
( )d
0
n 1 ( 2 k 1) / 2 n
/ 2n
( )d
k 1 ( 2 k 1) / 2 n
0
/2n
2
k /n
n 1
( )d
k 1
0
2
2 ( n 1)
k / n}, (k
n
d
/2n
( )d
0
Теперь оценим величину
k
n
k /n
/2n
( )d
)d
/2n
d
( 2 k 1) / 2 n
0
k
(
( 2 k 1) / 2 n
k
n
/2n
лов T 0 { k :
k
| d
n
|
2n
( )d .
(18)
0
( H [ 0 , ]; T 0 ) сверху. С этой целью для вектора уз-
0,1,..., n) положим
594
Математика
М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева
P0
{ pk 0 : pk 0
/ n , k 1, 2,...,n 1; p 0
Очевидно, что для произвольной функции
( )
pn
/ 2 n}.
H [ 0 , ] погрешность формулы
(15) представима в виде
/2n
0
0
R n ( ;T , P )
[ ( )
( 0 )] d
0
n 1 ( 2 k 1) / 2 n
k
n
( )
k 1 ( 2 k 1) / 2 n
d
[ ( )
( )]d .
(19)
( 2 k 1) / 2 n
Оценивая по абсолютной величине равенство (19) с учетом определения класса H
[ 0, ]
будем иметь
/2n
0
0
| R n ( ;T , P ) |
( )d
0
n 1 ( 2 k 1) / 2 n
k
| d
n
|
k 1 ( 2 k 1) / 2 n
/2n
(
)d
2n
( )d ,
( 2 k 1) / 2 n
0
откуда и следует оценка сверху
/2n
0
n
( H [ 0 , ]; T )
0
0
R n ( H [ 0 , ]; T , P ) 2 n
( )d .
(20)
0
Утверждение теоремы теперь с учетом равенства (16) следует из сопоставления неравенств
(18) и (20).
Замечание. Легко доказать, что формула (12) является квадратурной формулой наивысшей алгебраической точности [5], а формула (13) с вектором коэффициентами
P0
pk 0 : pk 0
n
; k 1, 2 ,..., n 1; p 0
pn
2n
является квадратурной формулой трапеции.
Институт математики
Поступило 15.12.2006 г.
АН Республики Таджикистан,
Хорогский госуниверситет имени М.Назаршоева
595
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №7
Л И Т Е РАТ У РА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. – М.:Наука, 1974, 224 с.
2. Лебедь Г.К. – Мат.заметки. – 1968, т.3, №5, с.577-586.
3. Градштейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и произведения. – М.: Наука, 1962,
1100 с.
4. Корнейчук Н.П. – Мат.заметки. – 1968, т.3, 5, с.565-576.
5. Ермолаева Л.Б. – Известия вузов. Математика, - 2000, №3(454), с.25-28.
М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева
ОИДИ ФОРМУЛАЊОИ КВАДРАТУРИИ ВАЗНДОРИ АЗ РЎИ
КОЭФФИЦИЕНТЊО БЕЊТАРИН БАРОИ СИНФИ ФУНКСИЯЊО, КИ БА
ВОСИТАИ МОДУЛИ БЕФОСИЛАГЇ ДОДА ШУДААНД
Дар маќола ќимати аниќи формулањои квадратурии вазндор барои синфи
функсияњое, ки ба воситаи модулњои бефосилагї муайян карда шудаанд, ёфта шудааст.
M.Sh.Shabozov, Z.A.Parvonaeva
ON THE BEST BY COEFFICIENT WEIGHT QUADRATURE FORMULAS, SET
BY CONTINUES MODULES
In article exact value of weight quadrature formulas for some class function, which defined
by continues modules are found.
596
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа