close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых классах n-продолженных связностей.

код для вставкиСкачать
10. Бутерин С. А. Обратная спектральная задача восстановления оператора
свертки, возмущенного одномерным оператором // Мат. заметки. 2006. Т. 80, вып. 5.
С. 668682.
УДК 514.764
С. В. Галаев
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ N -ПРОДОЛЖЕННЫХ
СВЯЗНОСТЕЙ
Пусть X гладкое многообразие нечетной размерности n = 2m + 1 с
~ ?, g)
заданной на нем почти контактной метрической структурой (?, ?,
[1]. Пусть, далее, ? внутренняя связность на X [1]. Продолженная связность [2] определяется внутренней связностью и эндоморфизмом N : D ? D. В настоящей работе рассматриваются два случая построения продолженной связности. В первом случае мы рассматриваем
продолженные связности, совместимые с допустимой симплектической
структурой. Во втором определяем вид эндоморфизма N для связности, возникающей на многообразии Кенмоцу.
Внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством некоторого векторного
расслоения. В случае внутренней связности в качестве такого расслоения
выступает распределение D. Говорят, что над распределением D задана
e = ???1 (D), где ? : D ? X естественсвязность, если распределение D
e = HD ? V D, где
ная проекция, разбивается в прямую сумму вида D
V D вертикальное распределение на тотальном пространстве D.
Пусть ? внутренняя линейная связность, определяемая горизонтальным распределением HD, и N : D ? D поле допустимого тензора
типа (1,1). N -продолженной связностью назовем связность в векторном
g ? V D, тарасслоении (D, ?, X), определяемую разложением T D = HD
g = HD?Span(~u), где ~u~x = ~??(N~x)v , ~? = ?n , ~x ? D, (N~x)v кую, что HD
вертикальный лифт. Относительно базиса (~
?a , ?n , ?n+a ) [2] поле ~u получает следующее координатное представление: ~u = ?n ? Nba xn+b ?n+a . Будем
использовать следующее обозначение для N -продолженной связности:
?N = (?, N ). В двух частных случаях, когда N = 0 и N = idD , будем
писать соответственно ?1 = (?, 0) и ?~v = (?, ~v ), где ~v поле Лиувилля:
~v = xn+a ?n+a .
Пусть ? допустимая симплектическая структура [3]. Внутреннюю
линейную связность ? будем называть внутренней симплектической
12
связностью, если ?~x ?(~y , ~z) = 0, ~x, ~y , ~z ? ?D. N -продолженную симметричную связность ?N = (?, N ) будем называть N -продолженной
симплектической связностью, если ?N ? = 0. Последнее равенство сводится к двум равенствам: ?~xN ?(~
y , ~z) = ?~x ?(~y , ~z) = 0, ?N
?(~y , ~z) = 0,
?~
~x, ~y , ~z ? ?D. Таким образом, N -продолженная симплектическая связность получается из внутренней симплектической связности добавлением эндоморфизма N такого, что выполняется ?N
?(~y , ~z) = 0.
?~
Теорема 1. Пусть ?
произвольная N -продолженная связность
без кручения. Рассмотрим тензоры N1 и N2 , определяемые соответственно равенствами
N
?~xN ?(~y , ~z) = ?(N1 (~x, ~y ), ~z), ~x, ~y , ~z ? ?D;
?~xN ?(~y , ~z) = ?(N2~y , ~z).
Тогда связность ?N2 , определяемая условиями
1
1
(1)
?~xN2 ~y = ?~xN ~y + N1 (~x, ~y ) + N1 (~y , ~x),
3
3
1
N
2
?N
~
y
=
?
N2~y , ~x, ~y ? ?D,
(2)
~
y
+
?~
?~
2
является N -продолженной симплектической связностью.
Легко проверить, что ?N2 симметричная связ2
ность. Равенство ?N
?(~x, ~y ) = 0 можно проверить, используя (1) и
?~
следуя доказательству аналогичного утверждения для симплектических связностей (см., напр., [4]). Используя (2), докажем равенство
2
?N
?(~x, ~y ) = 0. Имеем
?~
Доказательство.
2
~ x, ~y ) ? ?(?N2 ~x, ~y ) ? ?(~x, ?N ~y ) =
?N
?(~
x
,
~
y
)
=
??(~
~
?~
?
?~
1
1
= ?N
?(~x, ~y ) ? ?(N2~x, ~y ) ? ?(~x, N2~y ) =
?~
2
2
1
1
= ?N
?(~
x
,
~
y
)
?
?(N
~
x
,
~
y
)
+
?(N2~y , ~x) =
2
?~
2
2
1 N
1 N
?(~
x
,
~
y
)
?
= ?N
?
?(~
x
,
~
y
)
+
? ?(~y , ~x) = 0,
~
~
?
2 ?
2 ?~
что и доказывает теорему.
Теорема доказана.
Существует бесконечно много N -продолженных симплектических
связностей. Покажем, что каждую внутреннюю симплектическую связность можно продолжить бесчисленным множеством способов до N продолженной симплектической связности. Действительно, пусть ?N
?~
13
произвольная N -продолженная симплектическая связность. Легко убеN1
1
диться, что связность ?N
x = ?N
x +N2~x, где ?(N2~x, ~y ) =
~ ~
~ такая, что ?~ ~
?
?
?
?(N2~y , ~x), является N -продолженной симплектической связностью. Причем, N1 = N + N2 .
Оснащение почти контактного метрического многообразия богатым
набором тензорных структур влечет рассмотрение наряду со связностью ЛевиЧивиты других примечательных связностей. Мы остановимся здесь лишь на работе Бежанку [5], который определяет связность ?B
на многообразии Сасаки с помощью формулы
~
? ~x~y ? ?(~x)?
? ~y ?~ ? ?(~y )?
? ~x ?~ + (? + c)(~x, ~y )?.
?~xB = ?
В адаптированных координатах отличными от нуля компонентами ?B?
??
1 ad
B
Ba
a
связности ? являются ?bc = ?bc = 2 g (~eb gcd + ~ec gbd ? ~ed gbc ). Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической
в более общем случае почти контактной метрической структурой, чем
структура Сасаки. Действительно, так как ?B
n gab = ?n gab , то метричность связности Бежанку эквивалентна (почти) K -контактности почти
контактной метрической структуры. Определим на многообразии с почти контактной метрической структурой связность ?N с помощью равенства ?~xN = ?~xB ~
y + ?(~x)N~y , где N эндоморфизм из теоремы 2. Назовем введенную связность N -связностью. Отличными от нуля компо1 ad
a
a
нентами N -связности, самое большее, будут ?N
eb gcd +
bc = ?bc = 2 g (~
a
Na
+~ec gbd ? ~ed gbc ), ?nc = Nc . Кручение N -связности определяется равенством S N (~x, ~
y ) = 2?(~x, ~y )?~ + ?(~x)N~y ? ?(~y )N~x. Непосредственными вычислениями в адаптированных координатах проверяется справедливость
следующего утверждения: N -связность, определяемая N -продолженной
метрической связностью, является метрической связностью.
Допустимая дифференциальная 2-форма максимального ранга ? является допустимой симплектической формой тогда и
только тогда, когда существует совместимая с ней симметричная
связность Бежанку.
Теорема 2.
Доказательство. Если ? допустимая симплектическая форма, то
достаточно положить в карте Дарбу коэффициенты искомой связности
равными нулю. Пусть теперь ?1 = (?, 0) симметричная связность Бежанку, сохраняющая форму ? . Условие d?nab = 31 ?n ?ab выполняется, так
как N = 0. Далее, проводя циклическую перестановку индексов в равенстве ~ea ?bc = ?dab ?dc + ?dac ?bd и складывая затем полученные равенства,
получаем ~ea ?bc + ~eb ?ca + ~ec ?ab = 0, что и доказывает теорему.
Теорема доказана.
14
Почти контактное метрическое пространство называется многообразием Кенмоцу [6], если выполняются условия d? = 0, d? = 2? ? ?.
Известно (см. [6]), что почти контактное метрическое пространство является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда выполняется
условие
~
(?~x ?)~y = ??(~y )?~x ? g(~x, ?~y )?.
(3)
Равенство (3) влечет следующее равенство (см. [6]): L?~g = 2(g????).
Отсюда следует, что для многообразия Кенмоцу L?~g(~x, ~
y ) = 2g(~x, ~y ),
~x, ~y ? ?D. Имеет место
Теорема 3. Если ?
метрическая N -связность многообразия
Кенмоцу, то g(~x, ~y ) = g(N~x, ~y ), ~x, ~y ? ?D.
N
n
Таким образом, для метрической N -связности многообразия Кенмоцу
эндоморфизм N совпадает с тождественным оператором: ?N = (?, ~v ).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.
2012. Т. 12, вып. 1. С. 1622.
2. Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические
пульверизации // Изв. вузов. Сер. Математика. 2013. ќ 4. С. 19.
3. Галаев С. В., Гохман А. В. Внутренняя связность, ассоциированная с вполне
интегрируемым лежандровым слоением // Математика. Механика : cб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 16. С. 2225.
4. Gelfand I., Retakh V., Shubin M. Fedosov Manifolds // Advances in Mathematics.
1998. Vol. 136. ќ 1. P. 104140.
5. Bejancu A. Kahler contact distributions // J. of Geometry and Physics. 2010.
Vol. 60. P. 19581967.
6. Pitis G. Geometry of Kenmotsu manifolds. Publishing House of Transilvania
University of Brasov, Brasov : 2007. 160 p.
УДК 514.764
С. В. Галаев, А. В. Гохман
О ЛАГРАНЖЕВЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С
НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ
На основе использования геометрической структуры распределения
контактного метрического многообразия определяются дифференциальные операторы, которые приводят к уравнениям Лагранжа механической системы с неинтегрируемой линейной связью. Среди механических
систем с неинтегрируемой линейной связью выделяются регулярные механические системы, для которых фундаментальная форма определяет
15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
324 Кб
Теги
связность, некоторые, продолженном, класса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа