close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий.

код для вставкиСкачать
xy = 0 ? yx = 0 (10); y 6= 0 ? xy 2 = x2 (11).
Теорема 4. Квазимногообразие Q{?} не является многообразием
и не имеет конечного базиса квазитождеств. Класс R{?} не может
быть охарактеризован никакой конечной системой элементарных аксиом и не является квазимногообразием.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 4. P. 73 89.
2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations // J.
Symbolic Logic. 1953. Vol. 18. С. 188189.
3. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Доклады РАН. 1998. Т. 360. С. 594595.
4. B
oner P., P
oschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions
to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 5070.
5. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными
операциями // Изв. вузов. Сер. математическая. 1993. ќ 3. С. 2330.
6. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирск. мат. журн. 1997. T. 38. С. 2941.
7. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions// Colloq. Math.
Soc. J. Bolyai. 1994. Vol. 54. P. 111124.
8. Bredikhin D. A. Varietes of groupoids associated with involuted restrictive
bisemigroups of binary relations// Semigroup Forum. 1992. Vol. 44. P. 87192.
9. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов бинарных отношений // Изв.
Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13,
вып. 1, ч. 1. С. 9398.
УДК 514.764
А. В. Букушева
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ПОЧТИ ПАРАКОНТАКТНЫХ
МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ
Аннотация. Вводится понятие почти параконтактной эрмитовой
структуры. Находятся условия, при которых почти параконтактная метрическая структура является почти параконтактной эрмитовой структурой.
Пусть X гладкое многообразие нечетной размерности n, ?(X) ?
C (X)-модуль гладких векторных полей на X . Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса C ? . Почти парарконтактной метрической структурой
~ ?, g) тензорных полей на X , где ? на X называется совокупность (?, ?,
тензор типа (1, 1), называемый структурным эндоморфизмом, ?~ и ? 8
вектор и ковектор, называемые соответственно структурным вектором
и контактной формой, g (псевдо) риманова метрика [1]. При этом
~ = 1, ?(?)
~ = 0, ? ? ? = 0, ?2 X
~
~ =X
~ ? ?(X)
~ ?,
?(?)
~ ?Y~ ) = g(X,
~ Y~ ) ? ?(X)?(
~ Y~ ), X,
~ Y~ ? ?(X).
g(?X,
~ Y~ ) = g(X,
~ ?Y~ ) называется фунКососимметрический тензор ?(X,
даментальной формой структуры. Многообразие, на котором фиксирована почти параконтактная метрическая структура, называется почти параконтактным метрическим многообразием. В случае, когда
? = d? , почти параконтактная метрическая структура называется параконтактной метрической структурой. Почти параконтактная метрическая структура называется нормальной, если N? ? 2d? ? ?~ = 0, где
N? кручение Нейенхейса, образованное тензором ?. Нормальная параконтактная метрическая структура называется парасасакиевой структурой. Будем говорить, что почти параконтактная метрическая структура почти нормальная, если выполняется условие N? ?2(d???)? ?~ = 0.
Почти нормальные почти параконтактные метрические пространства
в дальнейшем будем называть почти параконтактными эрмитовыми
пространствами. Различие в понятиях нормальной почти параконтактной метрической структуры и почти параконтактной эрмитовой структуры раскрывается следующей очевидной теоремой.
Почти параконтактная эрмитова структура является нормальной тогда и только тогда, когда выполняется следующее
условие: ?(?~u, ?~v ) = ?(~u, ~v ), ~u, ~v ? ?D.
Тензорное поле типа (p, q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если координатное представление поля в адаптированной карте K(x? )
a ...a
(?, ?, ? = 1, 2, ...., n; a, b, c, e = 1, 2, ..., n ? 1) [2] имеет вид: t = tb11...bqp~ea1 ?
... ? ~eap ? dxb1 ? ... ? dxbq .
Назовем допустимое тензорное поле интегрируемым, если в окрестности каждой точки многообразия X найдется адаптированная карта,
относительно которой компоненты поля постоянны. Форма ? = d? является одним из примеров интегрируемой допустимой тензорной структуры. Если распределение D интегрируемо, то всякая допустимая интегрируемая структура является интегрируемой структурой на многообразии X . Следующие две теоремы доказываются с использованием адаптированных координат.
Допустимая структура ? интегрируема тогда и только тогда, когда имеет место равенство P (N? ) = 0.
Теорема 1.
Теорема 2.
9
Теорема 3. Почти параконтактная метрическая структура явля-
ется почти параконтактной эрмитовой структурой тогда и только
тогда, когда допустимая структура ? интегрируема.
Под внутренней линейной связностью в неголономном многообразии D[3] понимается отображение ? : ? D Ч ? D ? ? D, удовлетворяющее следующим условиям:
1)?f1 u~1 +f2 u~2 = f1 ?u~1 + f2 ?u~2 ,
2)?~u f~v = f ?~u~v + (~uf )~v ,
где ? D модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определятся из соотношения ?~ea ~eb = ?cab~ec .
Кручение внутренней линейной связности S по определению пола~ Y~ ) = ? ~ Y~ ? ? ~ X
~ ? P [X,
~ Y~ ]. Таким образом, в
гается равным S(X,
X
Y
c
адаптированных координатах мы имеем Sab
= ?cab ? ?cba .
~ ?, g) почти параконтактная метрическая структура.
Пусть (?, ?,
Имеет место следующая теорема:
Пусть ? внутренняя линейная связность без кручения, заданная на почти параконтактном метрическом многообра~ Y~ ) =
зии X , тогда на X существует связность с кручением S(X,
~ Y~ ), X,
~ Y~ ? ? D совместимая с ?.
= ? 41 P (N? )(X,
Рассмотрим произвольную внутреннюю связность ? на X без кручения. Определим допустимое тензорное поле
~ Y~ ) следующим образом:
Q(X,
Теорема 4.
Доказательство.
~ Y~ ) = (??~y ?)X
~ + ?((? ~ ?)X)
~ + 2?((? ~ ?)Y~ ),
4Q(X,
Y
X
~ Y~ ? ? D. Рассмотрим внутреннюю линейную связность ?
? , опрегде X,
~ Y~ ).
? ~ Y~ = ? ~ Y~ + 4Q(X,
деляемую равенством ?
X
X
Чтобы показать, что заданная связность совместима с ?, убедимся в
? ~x (?~y ) = ?(?
? ~x~y ). Проводя непосредственные
справедливости равенства ?
вычисления, получаем:
~ ?Y~ ) = (? ~ ?)X
~ + ?((? ~ ?)X)
~ + 2?((? ~ ?) ? ?Y~ ),
4Q(X,
Y
?Y
X
~ Y~ ) = ?((? ~ ?)X)
~ + (? ~ ?)X)
~ + 2(? ~ ?)Y~ ,
4? Q(X,
Y
Y
X
~ ?Y~ ) ? ? Q(X,
~ Y~ ) = ?(? ~ ?)Y~ .
Далее, получаем Q(X,
X
~
~
?
~ Y~ ) = Q(X,
~ Y~ )?
Для кручения S(X, Y ) связности ? имеем: S(X,
~ .
?Q(Y~ , X)
Расписывая последнее равенство, убеждаемся в справедливости теоремы. Следующая теорема является следствием теоремы 4.
10
Теорема 5. Почти параконтактное метрическое многообразие до-
пускает внутреннюю связность ? без кручения такую, что ?1 ? = 0,
тогда и только тогда, когда допустимая структура ? интегрируема.
Пусть ? - связность без кручения такая, что
?1 ? = 0. Если использовать эту ? в доказательстве теоремы 5, то по~ Y~ ) = ? 1 P (N? )(X,
~ Y~ ) = 0, X,
~ Y~ ? ? D.
лучим: S(X,
4
Добавляя к этому условию равенство ?n ?ab , получаем равенство
~ Y~ ) = 0, X,
~ Y~ ? T X , что в силу теоремы 2 эквивалентно инP (N? )(X,
тегрируемости ?. Обратное очевидно.
Доказательство.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Alekseevsky D. V., Medori C., Tomassini A. Maximally homogeneous para-CR
manifolds // Ann. Global Anal. Geom. 2006. Vol.30, ќ 1. P. 127.
2. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.
2012. Т. 12, вып. 1. С. 1622.
3. Вагнер В. В. Геометрия (n ? 1)-мерного неголономного многообразия в nмерном пространстве // Труды cеминара по векторному и тензорному анализу. 1941.
вып. 5. С. 173255.
УДК 517.984
С. А. Бутерин, В. А. Юрко
О ВОССТАНОВЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ ПО ИНФОРМАЦИИ
О ПЕРВОМ СОБСТВЕННОМ ЗНАЧЕНИИ
1. В статье доказываются теоремы типа Амбарцумяна для широкого
класса дифференциальных операторов. Классическая теорема Амбарцумяна имеет дело с краевой задачей:
?y 00 (x) + q(x)y(x) = ?y(x), x ? (0, ?),
(1)
y 0 (0) = y 0 (?) = 0, q(x) ? L(0, ?),
с вещественным потенциалом q. Пусть {?n }n?0 собственные значения (1). Если q(x) = 0 почти всюду на (0, ?), то ?n = n2 , n ? 0. Амбарцумян доказал обратное утверждение.
Если ?n = n2 , n ? 0, то q(x) = 0 почти всюду на (0, ?).
Имеет место более общее утверждение, так как нет необходимости задавать весь спектр, достаточно иметь информацию о первом собственном
значении. Точнее, теорема Амбарцумяна может быть сформулирована
следующим образом.
Теорема 1.
11
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
345 Кб
Теги
почта, параконтактных, некоторые, многообразие, метрические, класса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа