close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых классах функций.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 10 Выпуск 2 (2009)
УДК 517.965
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
© 2009.
И. В. Денисов (г. Тула)
Аннотация
В работе исследуются классы функций, определяемые функциональными неравенствами.
Библиография: 3 названия.
1 Введение
При решении краевых задач математической физики методом верхних и
нижних решений появляется необходимость исследования классов функций,
определяемых функциональными неравенствами. Такие неравенства введены
автором в работах [1], [2] и исследовались в работе [3]. Настоящая статья уточняет поставленные ранее проблемы и существенно расширяет представления о
введенных классах.
В статье сохранены обозначения, принятые в исследовании рассмотренных
краевых задач.
2
Постановка задачи
Оптимальным вариантом было бы выполнение следующего условия.
Условие ( 1 ). Значение функции F (u?0 ) = 0, а производная Fu? (u) > 0 для
всех значений u ? [u?0 , ?].
Однако приходится вводить дополнительные условия. Именно, определим
следующие классы функций.
C
Определение
4. Функция F (u) принадлежит классу {F1 , ?}, если значе-
ние функции F (u?0 ) = 0 и для любых значений s и t из промежутка [0, ? ? u?0 ]
выполняются два условия:
80
И. В. ДЕНИСОВ
1. неравенство
(
F
либо
(
F
) (
)
st
s
u?0 + s + t ?
? 1?
F (u?0 + t) ?
? ? u?0
? ? u?0
(
)
t
? 1?
F (u?0 + s) ? 0,
? ? u?0
) (
)
s
st
+ C+ ? 1 ?
F (u?0 + t) ?
u?0 + s + t ?
? ? u?0
? ? u?0
(
)
t
? 1?
F (u?0 + s) > 0,
? ? u?0
(1)
(2)
где число C+ ? (0, u2 ? ?), число u2 > ? и производная Fu? (u) > 0 на
промежутке [u?0 , u2 ];
2. неравенство
(
F
либо
(
F
) (
)
st
s
u?0 + s + t ?
? 1?
F (u?0 + t) ?
? ? u?0
? ? u?0
)
(
t
F (u?0 + s) ? 0,
? 1?
? ? u?0
)
) (
st
s
u?0 + s + t ?
? C? ? 1 ?
F (u?0 + t) ?
? ? u?0
? ? u?0
(
)
t
? 1?
F (u?0 + s) < 0,
? ? u?0
(3)
(4)
где число C? ? (0, u?0 ? u1 ), число u1 < u?0 и производная Fu? (u) > 0 на
промежутке [u1 , ?].
Определение
5. Функция F (u) принадлежит классу {F2 , ?}, если в опре-
делении 1 вместо неравенств (3), (4) выполняются соответственно неравенства
[
]
(
(
)
(
)
? )
F u?0 + s + t ? 2 st ?F u?0 +s ?F u?0 +t ?(st)?3/2 s2 z(t)+t2 z(s) ? 0, (3a)
и
)
(
)
(
)
[
]
?
?3/2 2
2
s z(t)+t z(s) < 0,
F u?0 + s + t ? 2 st ? C? ?F u?0 +s ?F u?0 +t ?(st)
(
(4a)
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
где
?
81
w
F (u?0 + u)du ? wF (u?0 + w).
z(w) =
0
Отметим, что классы {F, ?} не пусты, так как при ? ? u?0 левая часть
неравенства (2) стремится к значению F (u?0 + C+ ), которое положительно, а
левые части неравенств (4) и (4a) стремятся к значению F (u?0 ? C? ), которое
отрицательно.
3 Связь неравенств (1), (2) с некоторыми "традиционными" свойствами функций
Преобразуем неравенства (1), (2) к удобному для исследования виду. Заметим, что
(
)(
)
st
s
t
u?0 + s + t ?
= ? ? (? ? u?0 ) 1 ?
1?
,
? ? u?0
? ? u?0
? ? u?0
(
)
(
)
s
t
u?0 + s = ? ? (? ? u?0 ) 1 ?
, u?0 + t = ? ? (? ? u?0 ) 1 ?
.
? ? u?0
? ? u?0
Множеством значений всех трех величин является один и тот же промежуток (u?0 , ?], на котором функция F (u) имеет положительную производную.
Левую часть неравенства (2) представим в виде
(
(
)(
)
)
w1
w2
F ? ? (? ? u?0 ) 1 ?
1?
+ C+ ?
? ? u?0
? ? u?0
) (
(
))
(
w2
w1
F ? ? (? ? u?0 ) 1 ?
?
? 1?
? ? u?0
? ? u?0
(
) (
(
))
w2
w1
? 1?
F ? ? (? ? u?0 ) 1 ?
.
? ? u?0
? ? u?0
Сделаем замену
x=1?
и введем функцию
s
,
? ? u?0
y =1?
t
? ? u?0
(
)
f (z) = F ? ? (? ? u?0 )z .
(5)
(6)
В результате такой замены переменные x, y следует брать из промежутка
[0, 1). График функции f (z) получается из графика функции F (u) симметрией
относительно прямой u = ? и последующим растяжением в ? ? u?0 раз. Поэтому
82
И. В. ДЕНИСОВ
положительность производной F ? (u) на промежутке [u?0 , ?] влечет отрицательность производной f ? (z) на промежутке [0, 1]. Точка u из области определения
функции F (u) переходит в точку z области определения функции f (z) по правилу
??u
z=
.
? ? u?0
Точка u2 переходит в точку
z2 = ?
u2 ? ?
< 0,
? ? u?0
а точка u1 переходит в точку
z1 =
? ? u1
> 1.
? ? u?0
Обратный переход от функции f (z) к функции F (u) происходит по формуле
(
)
??u
.
F (u) = f
? ? u?0
Характер выпуклости функции f (z) на промежутке [0, 1] с учетом симметрии оказывается таким же как у функции F (u) на промежутке [u?0 , ?]. Неравенства (1) и (2) принимают вид
f (xy) ? xf (y) ? yf (x) > 0
(7)
и
C+
> 0,
(8)
? ? u?0
соответственно. Все множество интересующих нас функций f (z) отнесем к классу G, который определим следующим образом.
f (xy ? ?) ? xf (y) ? yf (x) > 0,
Определение
?=
6. Назовем классом G множество функций f (z), где z ? R,
если
1) производная f ? (z) < 0 на промежутке [0, 1];
2) значение f (1) = 0.
В классе G выделим два подкласса G0 и G1 .
Определение
7. Назовем подклассом G0 множество функций класса G,
удовлетворяющих неравенству (7) для всех x, y ? [0, 1].
Определение
8. Назовем подклассом G1 множество функций класса G с
производной f ? (z) < 0 на промежутке [z2 , 1], удовлетворяющих неравенству
(8) для всех x, y ? [0, 1] при каком-либо ? ? (0, ?z2 ).
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
83
Неравенство (7) для xy ?= 0 можно записать в виде
f (x) f (y)
f (xy)
+
6
,
x
y
xy
(9)
где x, y ? (0, 1]. Это неравенство имеет простой геометрический смысл, так как
отношение f (z)/z является тангенсом угла наклона к положительному направлению оси Oz радиус-вектора, проведенного в точку (z, f (z)) графика функции
f (z). Исследуем связь условия (7) с выпуклостью функции f (z).
Теорема
1. Если f (z) функция класса G и вторая производная f ?? (z) > 0
для z ? [0, 1], то f (z) принадлежит подклассу G0 .
Установим справедливость неравенства (7). Будем считать, что x 6 y, и докажем более сильное неравенство
Доказательство.
xf (y) + yf (x) 6 l(xy),
(10)
где x, y ? [0, 1], а l(z) секущая графика функции f (z), проходящая через
точки (z, l(z)) и (1, 0). Для x, y ? (0, 1) неравенство (10) можно записать в
виде
f (x)
xf (y) + yf (x) 6
(1 ? xy).
1?x
Сделаем тождественные преобразования:
(1 ? x)(xf (y) + yf (x)) 6 f (x)(1 ? xy),
(1 ? x)xf (y) + yf (x) ? xyf (x) 6 f (x) ? xyf (x),
(1 ? x)xf (y) 6 (1 ? y)f (x),
f (x)
f (y)
6
.
1?y
x(1 ? x)
Здесь
f (x)
= tg ?,
1?x
где ? угол наклона секущей l(x) к отрицательному направлению оси абсцисс.
Аналогично,
f (y)
= tg ?,
1?y
где ? угол наклона секущей l(y) к отрицательному направлению оси абсцисс.
Из свойств функции f (выпуклость вниз, убывание и f (1) = 0) следует неравенство tg ? ? tg ?, или
f (x)
f (y)
6
.
1?y
1?x
84
И. В. ДЕНИСОВ
Так как x ? (0, 1), то тем более
f (y)
f (x)
6
,
1?y
x(1 ? x)
так что неравенство (10) оказывается верным для x, y ? (0, 1).
Если x = 0, то неравенство (10) имеет вид yf (0) 6 l(0) и является верным,
так как f (0) = l(0).
Если y = 1, то неравенство (10) имеет вид xf (1) + f (x) 6 l(x) и является
верным, так как f (1) = 0, а f (x) = l(x).
Таким образом, справедливость неравенства (10) установлена. Теорема доказана.
Следствие
1. Если f (z) функция класса G и отрезок всякой секущей,
проведенной при z ? (0, t0 ) через точки (z0 , f (z0 )) и (z, f (z)), на участке (0, z)
расположен не выше графика функции f (z), то f (z) принадлежит подклассу
G0 .
4 О выполнении неравенств (1), (2) для многочленов
Отметим, что принадлежность функции подклассу G0 не гарантирует положительности второй производной на каком-либо промежутке. Более того, подклассу G0 принадлежат некоторые функции, вторая производная которых всюду отрицательна. Примерами таких функций являются квадратичные функции
с отрицательной второй производной (см. ниже теорему 2).
Для проверки неравенств (7) и (8) введем функцию
h? (x, y) = f (xy ? ?) ? xf (y) ? yf (x).
(11)
Проверим выполнение неравенства (7) или (8), где в качестве функции f (z)
рассматривается многочлен. Функция h? (x, y) будет симметрическим многочленом. Поэтому естественно сделать замену переменных
s = x + y,
t = xy.
(12)
При этом единичный квадрат 0 6 x, y 6 1 перейдет в область D, ограниченную линиями
1) 0 6 s 6 1, t = 0;
2) t = s ? 1, 1 6 s 6 2;
3) t = s2 /4, 0 6 s 6 2.
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
85
Точки (x, y) и (y, x), симметричные относительно диагонали y = x, перейдут
в одну и ту же точку (s, t). Поэтому образом единичного квадрата 0 6 x, y 6 1
будет область D, накрываемая дважды.
В результате замены (12) многочлен h? (x, y) представится в виде
h? (x, y) = H? (s, t).
(13)
Вместо неравенства (8) будем проверять в области D неравенство
H? (s, t) > 0.
(14)
Представление (13) позволяет понизить степень многочлена h? (x, y). Например, если f (z) многочлен 2-й степени, то h? (x, y) будет многочленом 4-й степени, а H? (s, t) многочленом 2-й степени. Если f (z) многочлен 3-й степени, то
h? (x, y) будет многочленом 6-й степени, а H? (s, t) многочленом 3-й степени, и
т. д. Однако, граница области D криволинейна. Поэтому, если f (z) многочлен
2-й степени, то H? (s, t) на границе области D будет многочленом 4-й степени,
правда от одной переменной. Если f (z) многочлен 3-й или более высокой степени, то при проверке неравенства (14) придется иметь дело с уравнениями 6-й
и более высоких степеней, которые в общем виде не разрешаются в радикалах.
Вследствие этого, естественно ожидать, что если f (z) многочлен 2-й степени,
то неравенство (14) можно проверить для всех возможных случаев. Если же
f (z) многочлен 3-й или более высокой степени, то проверка неравенства (14)
вызовет технические трудности.
В классе G рассмотрим многочлены 2-й степени
[
]
f (z) = A(z ? 1)(z ? a) = A z 2 ? (1 + a)z + a .
Теорема
2. Многочлены 2-й степени класса G принадлежат подклассу
G0 .
В силу специфики неравенств (7), (8) можно считать,
что A = ±1. Если A = 1, то a > 1 и на промежутке [0, 1] вторая производная
f ?? (z) > 0. По теореме 1 такие функции принадлежат подклассу G0 , то есть
выполняется неравенство (7).
Если A = ?1, то
f (z) = ?z 2 + (1 + a)z ? a
Доказательство.
и абсцисса вершины параболы равна (1+a)/2. Так как рассматриваются только
функции класса G, то 1 + a < 0, или a < ?1. Рассмотрим значения функции
H? (s, t) :
H? (s, t) = f (t ? ?) ? x[?y 2 ? (1 + a)y + a] ? y[?x2 ? (1 + a)x + a] =
= f (t ? ?) + st ? 2(1 + a)t + as.
86
И. В. ДЕНИСОВ
Отсюда заключаем, что H? (s, t) многочлен 2-й степени. Для ? = 0 имеем
H0 (s, t) = f (t) + st ? 2(1 + a)t + as.
Производная
?H0 (s, t)
= t + a < 0,
?s
так как a < ?1, t ? [0, 1]. Поэтому внутри области D нет точек экстремума.
Исследуем поведение функции H0 (s, t) на границе области D. На участке 0 6
s 6 1, t = 0 значения
H0 (s, 0) = f (0) + as = ?a + as = ?a(1 ? s) > 0.
На участке s = t + 1,
0 6 t 6 1 значения
H0 (t + 1, t) = f (t) + (t + 1)t ? 2(1 + a)t + a(t + 1) = f (t) + t2 ? (1 + a)t + a = 0.
На участке t = s2 /4,
0 6 s 6 2 значения
H0 (s, s2 /4) = f (s2 /4) + s3 /4 ? (1 + a)s2 /2 + as =
= ?s4 /16 + s3 /4 ? (1 + a)s2 /4 + as ? a = ?(s ? 2)2 (s2 + 4a)/64 > 0.
Так как внутри области D функция H0 (s, t) не имеет точек экстремума и
на границе принимает только неотрицательные значения, то H0 (s, t) > 0 всюду в области D. Значит, многочлены 2-й степени и при A = ?1 принадлежат
подклассу G0 . Теорема доказана.
Далее в классе G рассмотрим многочлены 3-й степени
(
)
[
]
f (z) = A(z ? 1) z 2 + pz + q = A z 3 + (p ? 1)z 2 + (q ? p)z ? q .
Можно считать, что A = ±1.
Теорема
3. Многочлены 3-й степени вида
(
)
f (z) = (z ? 1) z 2 + pz + q
(15)
класса G принадлежат подклассу G0 .
Доказательство.
Единственно возможным является случай
f (z) = (z ? 1)(z ? a)(z ? b) = z 3 ? (1 + a + b)z 2 + (a + b + ab)z ? ab,
где a < 0 < 1 < b. Обозначим значение производной f ? (z) в точке z = 0 через
k:
f ? (0) = a + b + ab = k < 0,
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
87
а точку перегиба графика функции f (z) через ? :
?=
1+a+b
,
3
f ?? (?) = 0.
Тогда функцию f (z) можно записать в виде
f (z) = z 3 ? 3?z 2 + kz ? ab.
Если точка перегиба ? 6 0, то вторая производная f ?? (z) > 0 на промежутке
[0, 1] и функция f (z) принадлежит подклассу G0 по теореме 1.
Далее считаем, что точка перегиба ? > 0. Условия b > 1, ? > 0, k < 0
определяют область допустимых значений параметров a и b:
?
b > 1
?
1+a+b > 0 .
?
a + b + ab < 0
Рассмотрим функцию H0 (s, t) :
(
)
(
)
H0 (s, t) = f (t) ? x y 3 ? 3?y 2 + ky ? ab ? y x3 ? 3?x2 + kx ? ab =
(
)
= f (t) ? xy x2 + y 2 + 3?xy(x + y) ? 2kxy + ab(x + y) =
(
)
= f (t) ? t s2 ? 2t + 3?st ? 2kt + abs = f (t) ? s2 t + 2t2 + 3?st + abs ? 2kt.
Производная
?H0
= ?2st + 3?t + ab.
?s
Стационарные точки производной имеют вид (s0 , t0 ), где
s0 =
3?t0 + ab
.
2t0
Если величина s 6 0 или > 2, то производная ?H0 /?s не меняет знака
на интересующем нас промежутке. Если же 0 < s < 2, то точка (s0 , t0 ) может оказаться точкой максимума. В любом случае для проверки неравенства
H0 (s, t) ? 0 достаточно установить его истинность только на границе области
D.
На участке 0 6 s 6 1, t = 0 значения
H0 (s, 0) = f (0) + abs = ?ab + abs = ?ab(1 ? s) > 0.
На участке s = t + 1, 0 6 t 6 1 значения
H0 (t + 1, t) = f (t) ? t3 + 3?t2 ? qt + ab = 0.
88
И. В. ДЕНИСОВ
На участке t = s2 /4, 0 6 s 6 2 значения
(
)
(
)
H0 s, s2 /4 = f s2 /4 ? s4 /8 + 3?s3 /4 ? qs2 /2 + abs =
= s6 /64 ? (1/8 + 3?/16) s4 + 3?s3 /4 ? qs2 /4 + abs ? ab =
[
]
= (s ? 2)2 s4 + 4s3 ? 4(a + b)s2 ? 16ab /64 =
]
[
= (s ? 2)2 s4 + 4s3 ? 4qs2 ? 4ab(4 ? x2 ) /64 > 0.
Так как внутри области D функция H0 (s, t) не имеет точек минимума, а на
границе принимает только неотрицательные значения, то значения H0 (s, t) > 0
всюду в области D. Теорема доказана.
Следствие
2. Если функция f (z) вида (15) принадлежит классу G и точ-
ка перегиба ? > 1, то f ?? (z) < 0 всюду на промежутке [0, 1] и, в то же время,
функция f (z) принадлежит подклассу G0 .
Замечание. Функцию H0 (s, t) для многочлена
f (z) = (z ? 1)(z ? a)(z ? b)
можно минимизировать по параметрам a и b. Минимальные значения будут
доставляться при a = ?1/2 и b = 1.
Теорема
4. Многочлены 3-й степени вида
f (z) = ?(z ? 1)(z 2 + pz + q)
(16)
класса G принадлежат подклассу G0 или подклассу G1 за исключением случаев, когда параметры p и q находятся в некоторой области ?0 , лежащей в
полуполосе
p < q < p + r0 ,
1
q < (p2 + p + 1),
3
где r0 некоторое число из промежутка (0, 3).
Доказательство. Если функция f (z) не имеет точек максимума на промежутке (??, 0), то функция f (z) убывает на промежутке (??, 1] и, следовательно, нет ограничения сверху на выбор постоянной C. Поэтому можно выбрать достаточно большое C, при котором неравенство (8) будет выполняться.
Значит, функция f (z) будет принадлежать подклассу G1 .
Остается рассмотреть случай, когда функция f (z) на промежутке (??, 0)
имеет точку максимума, которую будем обозначать буквой µ. Соответственно,
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
89
функция F (u) на промежутке (?, ?) имеет точку максимума, которую будем
обозначать буквой M. Точки µ и M связаны между собой соотношением
µ=?
M ??
.
? ? u?0
При наличии такой точки максимума появляется ограничение на выбор числа ? :
M ??
0??<
,
? ? u?0
соответственно
0 ? C < M ? ?.
Заметим, что в рассматриваемом случае вторая производная f ?? (z) < 0 всюду на промежутке [0, 1].
Лемма
1. Пусть f (z) функция вида (16) класса G с отрицательной вто-
рой производной на промежутке [0, 1]. Функция f (z) принадлежит подклассу
G0 тогда и только тогда, когда
q ? p + 3.
Доказательство.
Рассмотрим функцию
H0 (s, t) =
[ 3
]
[
]
= f (t) + x y + (p ? 1)y 2 + (q ? p)y ? q + y x3 + (p ? 1)x2 + (q ? p)x ? q =
(
)
= f (t) + t s2 ? 2t + (p ? 1)st + 2(q ? p)t ? qs.
H0 (s, t) =
[ 3
]
[
]
= f (t) + x y + (p ? 1)y 2 + (q ? p)y ? q + y x3 + (p ? 1)x2 + (q ? p)x ? q =
(
)
= f (t) + t s2 ? 2t + (p ? 1)st + 2(q ? p)t ? qs.
Исследуем эту функцию на экстремум в области D. Вычислим производные:
?
H0 (s, t) = 2st + (p ? 1)t ? q ,
?s
?2
H0 (s, t) = 2t ,
?s2
?
H0 (s, t) = f ? (t) + s2 ? 4t + (p ? 1)s + 2(q ? p) ,
?t
Так как в области D производные
?2
H0 (s, t) > 0,
?s2
?2
H0 (s, t) = f ?? (t) ? 4 .
2
?t
?2
H0 (s, t) < 0 ,
?t2
90
И. В. ДЕНИСОВ
то функция H0 (s, t) не имеет точек экстремума. На границе области D функция
H0 (s, t) принимает следующие значения.
На участке 0 6 s 6 1, t = 0 :
H0 (s, 0) = f (0) ? qs ? f (0) ? q = f (0) ? f (0) = 0.
На участке s = t + 1,
06t61:
[
]
H0 (t + 1, t) = f (t) + t (t + 1)2 ? 2t + (p ? 1)(t + 1)t + 2(q ? p)tq (t + 1) =
[
]
= f (t) + t3 + (p ? 1)t2 ? q = f (t) ? f (t) = 0.
06s62:
[
]
H0 (s, s2 /4) = f (s2 /4) + s s3 + 2(p ? 1)s2 + 4(q ? p)s ? 8q =
(
)
= f (s2 /4) + s(s ? 2) s2 + 2ps + 4q /8,
На участке t = s2 /4,
где
(
)(
)
f (s2 /4) = ? s2 ? 4 s4 + 4ps2 + 16q /64.
Упростим вид H0 (s, s2 /4) :
[
(
)
(
)]
H0 (s, s2 /4) = ?(s ? 2) (s + 2) s4 + 4ps2 + 16q ? 8s s2 + 2ps + 4q /64 =
(
)
= ?(s ? 2)2 s4 + 4s3 + 4ps2 ? 16q /64.
Значения H0 (s, s2 /4) ? 0 тогда и только тогда, когда
(
)
g(s) = ? s4 + 4s3 + 4ps2 ? 16q ? 0.
Исследуем функцию g(s) при s ? [0, 2]. Производная
(
)
g ? (s) = ?4s s2 + 3s2 + 2p < 0.
Поэтому g(s) убывает на промежутке [0, 2] и значения
g(s) ? g(2) = ?16(3 + p ? q).
Таким образом, значения H0 (s, s2 /4) ? 0 тогда и только тогда, когда ?16(3+
p ? q) ? 0, то есть 3 + p ? q ? 0, или q ? p + 3. Лемма доказана.
Следствие
3. Пусть f (z) функция вида (16) класса G с отрицатель-
ной второй производной на промежутке [0, 1]. Функция f (z), не принадлежит
подклассу G0 тогда и только тогда, когда
q < p + 3.
(17)
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
91
Дальнейшие исследования естественно посвятить функциям f (z), которые
принадлежат классу G, имеют вид (16), где параметр q < p + 3, и имеют отрицательную вторую производную на промежутке [0, 1].
Функция f (z) имеет точку максимума µ, которую можно найти из условия
?
f (z) = 0 :
f ? (z) = ?3z 2 ? 2(p ? 1)z ? (q ? p),
3z 2 + 2(p ? 1)z + (q ? p) = 0.
Здесь дискриминант 4(p ? 1)2 ? 12(q ? p) положителен, так как в противном
случае не будет точки максимума. Отсюда, в частности, получаем ограничения
на выбор параметров p и q :
3(q ? p) < (p ? 1)2 = p2 + p + 1,
1
q < (p2 + p + 1).
3
Точка максимума равна
µ=
?(p ? 1) +
Так как µ < 0, то
?
?(p ? 1) + (p ? 1)2 ? 3(q ? p) < 0 ,
?
(18)
(p ? 1)2 ? 3(q ? p)
.
3
?
(p ? 1)2 ? 3(q ? p) < p ? 1 ,
q > p.
q ?p > 0,
(19)
??
Точку перегиба ? найдем из условия f (z) = 0 :
f ?? (z) = ?6z ? 2(p ? 1),
?6? ? 2(? ? 1) = 0,
?=?
p?1
.
3
Так как ? < 0, то
p > 1.
(20)
Условия (17) (20) выделяют на плоскости (p, q) область ?. Для любых
значений параметров p и q, не принадлежащих области ?, функции f (z) входят в подкласс G0 или в подкласс G1 . Остается исследовать функции f (z) с
параметрами (p, q) из области ?.
Лемма
2. Пусть f (z) функция класса G вида (16) с параметрами (p, q),
принадлежащими области ?, и отрицательной второй производной на промежутке [0, 1]. Кроме этого, при некотором ? > 0
(i) функция f (z) убывает на промежутке [??, 0];
(ii) вторая производная f ?? (z ? ?) < 4 на промежутке (0, 1);
(iii) значения
H? (s, s2 /4) > 0,
s ? [0, 2].
Тогда функция f (z) принадлежит подклассу G1 .
(21)
92
И. В. ДЕНИСОВ
Функция H? (s, t) имеет вид
(
)
H? (s, t) = f (t ? ?) + t s2 ? 2t + (p ? 1)st + 2(q ? p)t ? qs.
Доказательство.
Вычисляем производные:
?
H? (s, t) = 2st + (p ? 1)t ? q ,
?s
?2
H? (s, t) = 2t > 0,
?s2
?
?2
H? (s, t) = f ? (t??)+s2 ?4t+(p?1)s+2(q ?p) ,
H? (s, t) = f ?? (t??)?4 < 0.
?t
?t2
Следовательно, функция H? (s, t) в области D не имеет точек экстремума.
На границе области D функция H? (s, t) принимает следующие значения. На
участке 0 6 s 6 1, t = 0 :
H? (s, 0) = f (??) ? qs ? f (??) ? q = f (??) ? f (0) > 0.
На участке s = t + 1,
06t61:
H? (t + 1, t) = f (t ? ?) ? f (t) > 0.
На участке t = s2 /4,
06s62:
H? (s, s2 /4) ? ? > 0.
Таким образом, всюду в области D значения H? (s, t) > 0. Поэтому функция
f (z) принадлежит подклассу G1 . Лемма доказана.
В кривую t = s2 /4, 0 6 s 6 2, являющуюся частью границы области D,
в результате преобразования (5) переходит линия y = x, 0 6 x 6 1. Поэтому
условие (21) эквивалентно условию
f (x2 ? ?) ? 2xf (x) > 0,
0 6 x 6 1.
(22)
Таким образом, если функция f (z) принадлежит классу G, имеет вид (16)
с параметрами (p, q) из области ? и f ?? (z) < 0 на промежутке [0, 1], то эта
функция может не принадлежать подклассу G1 , только если не выполняются
условия (i)(iii).
Исследуем функции f (z) с параметрами, принадлежащими области ?, на
возможность попадания в подкласс G1 . Сделаем замену
q = p + r.
Тогда область ? перейдет в область ? плоскости (p, r). Область ? будет
определяться неравенствами
r < 3,
r > 0,
1
r < (p ? 1)2 .
3
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
93
Функции f (z) будут иметь вид
f (z) = ?(z ? 1)(z 2 + pz + p + r).
Проверим выполнение условия (i). Производная
f ? (z) = ?3z 2 ? 2(p ? 1)z ? r < 0
для z ? (µ, ?). Поэтому условие (i) выполняется для любых ? ? (0, ?µ).
Проверим выполнение условия (ii). Вторая производная
f ?? (z ? ?) = ?6(z ? ?) ? 2(p ? 1) < ?6(z ? ?),
так как p > 1. Значения f ?? (z ? ?) < 4, если ? < 2/3. Поэтому условие (ii)
выполняется для любых ? ? (0, 2/3).
Проверим выполнение условия (iii). Для этого исследуем на наименьшее
значение в области ? функцию
g(p, r) = f (x2 ? ?) ? 2xf (x) =
[(
]
)2
(
)
= ?(x2 ? ? ? 1) x2 ? ? + p x2 ? ? + p + r + 2x(x ? 1)(x2 + px + p + r).
Вычисляем производные:
(
)
?g
= ? x2 ? ? ? 1 + 2x(x ? 1) = (x ? 1)2 + ? > 0,
?r
(
)(
)
?g
= ? x2 ? ? ? 1 x2 ? ? + 1 +2x(x?1)(x+1) = ?x4 +2x3 +2?x2 ?2x+1?? 2 .
?p
Определяем знак функции
g1 (x) =
?g
= ?x4 + 2x3 + 2?x2 ? 2x + 1 ? ? 2 ,
?p
0 ? x ? 1.
Имеем
g1? (x) = ?4x3 + 6x2 + 4?x ? 2,
(
)
g1?? (x) = ?4 3x2 ? 3x ? ? > 0.
Следовательно, функция g1? (x) возрастает на промежутке [0, 1]. Так как
= ?2, g1? (1) = 4? > 0, то функция g1? (x) имеет единственный нуль
x0 ? (0, 1). При этом x0 точка минимума функции g1 (x). Значение производной
g1? (0)
g1? (x0 ) = ?4x30 + 6x20 + 4?x0 ? 2 = 0,
откуда
x30 =
)
1( 2
3x0 + 2?x0 ? 1 .
2
94
И. В. ДЕНИСОВ
Значение функции
g1 (x0 ) = ?x40 + 2x30 + 2?x20 ? 2x0 + 1 ? ? 2 =
) (
)
1 (
= ? x0 3x20 + 2?x0 ? 1 + 3x20 + 2?x0 ? 1 + 2?x20 ? 2x0 + 1 ? ? 2 =
2
(
)]
1[
=
(3 + 4?)x20 ? (6 ? 2?)x0 + 3 ? 4? 2 .
4
Дискриминант выражения, стоящего в квадратной скобке, равен
(
)
(6 ? 2?)2 ? 4(3 + 4?) 3 ? 4? 2 = 4?(29? ? 18) < 0,
если 0 < ? < 18/29. В этом случае значение g1 (x0 ) > 0 и значения g1 (x) ?
g1 (x0 ) > 0. Это доказывает, что производная ?g/?p > 0. Учитывая это, заключаем, что в каждой области ?(p0 ), определяемой неравенствами
r0 ? r < 3,
1
r < (p ? 1)2 ,
3
где r0 некоторое число из промежутка (0, 3), нижняя точная грань значений
функции g(p, r) равна
inf g(p, r) = g(p0 , r0 ),
где точка (p0 , r0 ) лежит на линии l0 , определяемой как
1
r = (p ? 1)2 ,
3
p ? (1, 4).
Рассмотрим функцию g(p, r) на линии l0 и обозначим ее через g2 (p) :
(
)
1
2
g2 (p) = g p, (p ? 1) =
3
]
[
( 2
)2
( 2
) 1 2
2
= ?(x ? ? ? 1) x ? ? + p x ? ? + (p + p + 1) +
3
[
]
1 2
2
+2x(x ? 1) x + px + (p + p + 1) .
3
Вычислим производные:
(
)
(
)
( 2
) 2
1
1
2
2
?
g2 (p) = ? x ? ? ? 1 x ? ? + p +
+ 2x(x ? 1) x + p +
,
3
3
3
3
]
2[
(x ? 1)2 + ? > 0.
3
?
Значит, функция g2 (p) возрастает на промежутке p ? (1, 4), а функция g2 (p)
может иметь одну точку минимума. Отсюда следует, что если g1 (p0 ) > 0, то при
(p, r) ? ?(p0 ) функция f (z) принадлежит подклассу G1 .
g2?? (p) =
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
95
При p = 4 значение r = 3, а q = 7. В этом случае функция f (z) принадлежит подклассу G0 и выполняется неравенство (8). Значит, функция f (z)
принадлежит подклассу G1 при параметре p, принадлежащем некоторой полуокрестности точки p = 4 вида (p0 , 4) и (p, r) ? ?(p0 ).
При p = 1 имеем
[(
]
)2 (
)
(
)
g2 (p) = ?(x2 ? ? ? 1) x2 ? ? + x2 ? ? + 1 + 2x(x ? 1) x2 + x + 1 .
При ? = 0 значения
(
)
(
)
g2 (1) = ?(x2 ? 1) x4 + x2 + 1 + 2x(x ? 1) x2 + x + 1 =
?=0
(
)
= (1 ? x) x5 + x4 ? 2x3 ? x2 ? x + 1 .
Функция
g3 (x) = x5 + x4 ? 2x3 ? x2 ? x + 1
имеет производную, равную
(
)
g3? (x) = (x ? 1) 5x3 + 9x2 + 3x + 1 ,
которая отрицательна на промежутке x ? (0, 1). Поэтому функция g3 (x) убывает на промежутке x ? [0, 1] от g3 (0) = 1 до g3 (1) = ?1 и существует единственная точка x0 ? (0, 1), в которой значение g2 (x0 ) = 0. Отсюда заключаем, что
существует точка r0 ? (0, 3), такая что функция f (z) попадает в подкласс G1
для параметров, принадлежащих области ?(p0 ). Условие (iii) не выполняется
в области ?0 . Значит, функция f (z) с параметрами из некоторой области ?0 ,
лежащей в полуполосе
p < q < p + r0 ,
1
q < (p2 + p + 1),
3
не принадлежит подклассу G1 . Теорема доказана.
Вычисления показывают, что область ?0 ограничена линиями
p < q < ?(p),
1
q < (p2 + p + 1),
3
где кривая ?(p) начинается в точке (p0 , q0 ),
1
q0 = (p20 + p0 + 1),
3
и асимптотически приближается к линии q = p при p ? ?. Число p0 находится
в промежутке (1; 1, 127).
Если p1 ? 1, 127, то при любом q1 , принадлежащем линии q = p + p1 ? 1,
функция f (z) с параметрами (p1 , q1 ) принадлежит подклассу G1 . В качестве ?
96
И. В. ДЕНИСОВ
подходит число, достаточно близкое к ?µ, где µ точка максимума функции
f (z). При этом ?µ < 18/29 и, тем более, ? < 18/29.
Если p1 ? 1, 126, то в полуполосе
p < q < p + 3,
1
q < (p2 + p + 1)
3
найдется точка (p1 , q) такая, что функция f (z) с параметрами (p1 , q) не удовлетворяет условию (iii) ни при каком ? > 0.
Если параметры (p, q) принадлежат области ?0 , то точка максимума µ оказывается ограниченной снизу. Для получения оценки рассмотрим в области ?0
функцию
?
?(p ? 1) + (p ? 1)2 ? 3(q ? p)
µ(p, q) =
.
3
Так как производная
1
?µ
=? ?
< 0,
2
?q
2 (p ? 1) ? 3(q ? p)
то функция µ(p, q) в области ?0 не имеет точек экстремума. На границе области
?0 значения функции µ(p, q) можно оценить следующим образом. На линии
q = p, p ? (1, ?), значения µ(p, p) = 0. График функции ?(p) лежит ниже
прямой, параллельной линии q = p и проходящей через точку
(
)
1 2
p0 ; (p0 + p0 + 1) .
3
Таким образом, прямая, о которой идет речь, описывается уравнением q =
p + c, где постоянная
1
1
c = (p20 + p0 + 1) ? p0 = (p0 ? 1)2 ,
3
3
то есть
1
q = p + (p0 ? 1)2 .
3
Так как производная (?µ/? q) < 0, то функция µ(p, q) убывает по q на каждой прямой p = const. Отсюда получаем оценки
0 = µ(p, p) > µ(p, q) >
?
)
?(p ? 1) + (p ? 1)2 ? (p0 ? 1)2
1
2
> µ p, p + (p0 ? 1) =
>
3
3
?
?(p ? 1) + (p ? 1)2 ? (p0 ? 1)2 p0 ? 1
0, 127
=?
>?
> ?0, 043.
>
3
3
3
(
p=p0
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
97
Таким образом, если параметры (p, q) принадлежат области ?0 , то точка
максимума µ > ?0, 043. Соответственно, точка максимума M функции F (u)
подпадает под оценку
M ??
µ=?
> ?0, 043,
? ? u?0
или
M < ? + 0, 043(? ? u?0 ).
От функций f (z) перейдем к соответствующим функциям F (u). Для кубических функций
f (z) = A(z ? 1)(z 2 + pz + q)
соответствующие функции F (u) имеют вид
]
(
)
(
) [(
)2
(
)
u??
u??
u??
u??
F (u) = f ?
=A ?
?1
?
+p ?
+q =
? ? u?0
? ? u?0
? ? u?0
? ? u?0
=?
[
]
A
2
2
(u
?
u?
)
(u
?
?)
?
p(?
?
u?
)(u
?
?)
+
q(?
?
u?
)
.
0
0
0
(? ? u?0 )3
На основании теоремы 3 заключаем, что неравенству (1) удовлетворяют все
кубические функции вида
F (u) = A(u ? u?0 )(u2 + pu + q),
A < 0.
На основании теоремы 4 заключаем, что неравенству (1) или (2) удовлетворяют все кубические функции вида
[
]
F (u) = A(u ? u?0 ) (u ? ?)2 + p(u ? ?) + q , A > 0,
за исключением случаев, когда параметры
p
? ? u?0
и
q
(? ? u?0 )2
находятся в области ?0 .
Выбор параметров из области ?0 позволяет строить примеры кубических
функций, не принадлежащих классам {F1 , ?} и {F2 , ?}. Например, при p =
1, 100 и q = 1, 103 получим функцию
f (z) = ?(z ? 1)(z 2 + 1, 100z + 1, 103),
которая не принадлежит ни подклассу G0 , ни подклассу G1 . Соответствующая
функция F (u) имеет вид
[
]
1
2
2
F (u) =
(u ? u?0 ) (u ? ?) ? 1, 100(? ? u?0 )(u ? ?) + 1, 103(? ? u?0 )
(? ? u?0 )3
и не принадлежит классам {F1 , ?} и {F2 , ?}.
98
И. В. ДЕНИСОВ
5 Пример функции, удовлетворяющей условию
(C1), но не принадлежащей ни классу {F1, ?},
ни классу {F2, ?}
Фиксируем число z0 ? (0, 1/4) и рассмотрим функцию w = f (z) такую, что
a) график функции f (z) при z ? ?? асимптотически приближается к прямой w = 1 + z0 ;
b) значения f (1 ? z0 ) = 1, f (1) = 0;
c) производная f ? (z) < 0 на промежутке (??, 1];
d) вторая производная f ?? (z) < 0 на промежутке (??, 1].
Очевидно, что функция f (z) принадлежит классу G. Проверим при любом
? ? 0 выполнение неравенства
h? (x, y) = f (xy ? ?) ? xf (y) ? yf (x) ? 0.
Для x = y = 3/4 имеем
(
)
(
)
( )
3 3
9
3
3
3
1
h?
,
=f
?? ? f
< 1 + z0 ? = z0 ? < 0.
4 4
16
2
4
2
2
Значит, функция f (z) не принадлежаит ни подклассу G0 , ни подклассу G1 .
Соответствующая функция F (u) имеет положительную производную на промежутке [u?0 , ?) и не принадлежит классам {F1 , ?} и {F2 , ?}.
6 Неравенства (3), (4) и их выполнение для квадратичных функций
Поступая с неравенствами (3) и (4) так же, как с неравенствами (1) и (2),
получим эквивалентные неравенства
h0 (x, y) = xf (y) + yf (x) ? f (xy) ? 0
(23)
и
C?
.
(24)
? ? u?0
После замены (12) перейдем к функциям H? (s, t) = h? (x, y), ? ? 0. Рассмотрим квадратичную функцию
h? (x, y) = xf (y) + yf (x) ? f (xy + ?) > 0,
?=
f (z) = (z ? 1)(z ? a) = z 2 ? (1 + a)z + a,
Имеем
a > 1.
H? (s, t) = st ? 2(1 + a)t + as ? f (t + ?).
(25)
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
99
Максимально возможное число ? определяется промежутком, на котором
функция f (z) убывает. Точка минимума функции f (z) равна (1 + a)/2, поэтому
для числа ? справедлива оценка
?<
1+a
a?1
?1=
.
2
2
(26)
Производная
?H? (s, t)
= t + a > 0,
?s
поэтому в области D функция H? (s, t) не имеет точек экстремума и возрастает
по s на каждой прямой t = const, а наименьшее значение функция H? (s, t)
принимает на участке границы t = s2 /4, 0 6 s 6 2. Именно,
( 2)
( 2
)2
( 2
)
s
s3 1 + a 2
s
s
H? s,
=
?
s + as ?
+ ? + (1 + a)
+ ? ? a.
4
4
2
4
4
Если a ? 1, то ? ? 0 и
( 2)
s3
s4
s2
s
H? s,
?
? s2 + s ?
+
? 1.
4
4
16
2
Рассмотрим функцию
H(s) =
s3
s4
s2
? s2 + s ?
+
? 1,
4
16
2
0 ? s ? 2.
Ее значение H(0) = ?1, поэтому для параметров a, достаточно близких к 1,
неравенство H? (s, t) ? 0 невозможно ни при каком
?<
a?1
.
2
Однако, с ростом параметра a ситуация меняется. Вычисления показывают,
что для любого параметра a > 2 существует положительное число ? < (a ?
1)/2, при котором значения H? (s, s2 /4) > 0. То есть, для параметров a > 2
все квадратичные функции вида (25) удовлетворяют при некотором C > 0
неравенству (4). Однако, при 1 < a ? 2 неравенство (4) не выполняется.
Ситуацию с квадратичными функциями можно исправить, если изучить
ограничения, доставляемые неравенствами (3a) и (4a).
Теорема
5. Если F (u) квадратичная функция, то F (u) удовлетворяет
неравенству (3a) или (4a).
Доказательство.
Функция F (u) имеет вид
F (u) = A(u ? u?0 )(u ? b),
100
И. В. ДЕНИСОВ
где b < u?0 , если A > 0, либо b > u?0 , если A < 0. Вычисляем величины
F (u?0 + u) = Au(u + u?0 ? b),
? w
? w
]
Aw2 [
F (u?0 + u)du = A
u(u + u?0 ? b)du =
2w + 3(u?0 ? b) ,
6
0
0
? w
[
]
Aw2
z(w) =
F (u?0 + u) du?wF (u?0 + w) =
2w +3(u?0 ?b) ?Aw2 (w + u?0 ?b) =
6
0
]
Aw2 [
=?
4w + 3(u?0 ? b) .
6
Левая часть неравенства (3a) имеет вид
]
[
?
? ]
A? [
?
st 2(s + t) + 3(u?0 ? b) ? A 6st ? 4(s + t) st ? 2(u?0 ? b) st =
3
]
?
A? [
=?
st ?10(s + t) + 18 st ? 3(u?0 ? b) .
3
Поэтому неравенство (3a) эквивалентно неравенству
]
[
?
(27)
A 10(s + t) ? 18 st + 3(u?0 ? b) ? 0.
Можно считать, что A = ±1. Если A = 1, то неравенство (27) эквивалентно
неравенству
?
10(s + t) ? 18 st + 3(u?0 ? b) ? 0,
или
10
(?
?)
?
s ? t + 2 st + 3(u?0 ? b) ? 0.
При A = 1, величина u?0 ? b ? 0. Поэтому последнее неравенство верно.
Если A = ?1, то функция F (u) возрастает на промежутке (??, u?0 ) от ??
до 0. Поэтому неравенство (4a) будет верно при достаточно большом значении
C? . Теорема доказана.
7 О выполнении неравенств (4a) для кубических
функций
Пусть F (u) кубическая функция вида
(
)
F (u) = A(u ? u?0 ) u2 + pu + q .
Если на промежутке (??, u?0 ) функция F (u) не имеет точек экстремума, то
эта функция возрастает на промежутке (??, u?0 ) от ?? до 0. Поэтому за счет
выбора достаточно большого числа C? можно удовлетворить неравенству (4a).
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
101
Далее будем рассматривать функции, у которых на промежутке (??, u?0 )
есть точки экстремума. Кроме корня u = u?0 уравнение F (u) = 0 может иметь
отличные от u?0 корни a и b. В рамках наложенных условий возможны только
четыре ситуации:
1) A > 0, p2 ? 4q > 0, a < b < u?0 ;
2) A > 0, p2 ? 4q = 0, a = b < u?0 ;
3) A > 0, p2 ? 4q < 0, корней, отличных от u?0 , нет;
4) A < 0, p2 ? 4q > 0, a < u?0 < b.
Появляется ограничение на выбор числа C? : C? < u?0 ?m, где m точка минимума функции F (u), лежащая левее точки u?0 . Найдем эту точку минимума.
Вычисляем производную
[
]
[
]
?
2
2
F (u) = A (u + pu + q) + (u ? u?0 )(2u + p) = A 3u ? 2(p ? u?0 )u + q ? u?0 p) .
Производная равна нулю, когда
?
p ? u?0 ± (p ? u?0 )2 ? 3(q ? u?0 p)
.
u=
3
му
Если A > 0, то точка минимума находится правее точки максимума. Поэто-
m=
p ? u?0 +
?
(p ? u?0 )2 ? 3(q ? u?0 p)
.
3
Если A < 0, то точка минимума
?
p ? u?0 ? (p ? u?0 )2 ? 3(q ? u?0 p)
m=
.
3
Будем считать, что дискриминант квадратного трехчлена u2 + pu + q положителен:
p2 ? 4q > 0.
Тогда функция F (u) кроме корня u = u?0 имеет еще два корня
?
?
?p ? p2 ? 4q
?p + p2 ? 4q
a=
,
b=
.
2
2
Таким образом, будем рассматривать функции вида
F (u) = A(u ? u?0 )(u ? a)(u ? b).
Обозначим
Тогда
? = a ? u?0 ,
? = b ? u?0 .
[
]
F (u?0 + u) = Au(u ? ?)(u ? ?) = A u3 ? (? + ?)u2 + ??u ,
(28)
102
?w
И. В. ДЕНИСОВ
(
)
?w [
]
1 2 ?+?
??
3
2
2
F (u?0 + u)du = A u ? (? + ?)u + ??u du = Aw
w ?
w+
,
4
3
2
0
0
?
(
= Aw
2
w
F (u?0 + u) du ? wF (u?0 + w) =
z(w) =
0
)
[
]
1 2 ?+?
??
w ?
w+
? Aw2 w2 ? (? + ?)w + ?? =
4
3
2
[
]
3 2 2
1
2
= ?A w
w ? (? + ?)w + ?? .
4
3
2
Неравенство (4a) имеет вид
[
]
?
2
3 2
2
?A st
(s + t ) ? (? + ?)(s + t) + ?? ?
4
3
?
?F (u?0 + s + t ? 2 st ? C? ) + F (u?0 + s) + F (u?0 + t) > 0,
(29)
где переменные s, t принадлежат промежутку (0, ? ? u?0 ]. Сделаем замену переменных
?
x = s + t, y = st.
Тогда область (0, ? ? u?0 ] Ч (0, ? ? u?0 ] плоскости переменных (s, t) перейдет
в область D плоскости переменных (x, y), ограниченную линиями:
1) y = 0, 0 6 x 6 ? ? u?0 ;
2) x = ? ? u?0 + y 2 /(? ? u?0 ), 0 6 y 6 ? ? u?0 ;
3) x = 2y, 0 6 y 6 ? ? u?0 .
Точки (x, y) и (y, x), симметричные относительно диагонали y = x, перейдут
в одну и ту же точку (s, t) области D. Образом области (0, ? ? u?0 ] Ч (0, ? ? u?0 ]
будет область D, накрываемая дважды.
Неравенство (29) примет вид
[
]
3 2 3
2
?Ay
x ? y ? (? + ?)x + ?? ? F (u?0 + x ? 2y ? C? )+
4
2
3
[
]
3
2
2
+A x ? xy ? (? + ?)x ? 2xy + ??x ? 2(? + ?)y > 0,
(30)
где переменные (x, y) принадлежат области D. С учетом вида функции F (u)
неравенство (30) эквивалентно неравенству
H(x, y) > 0,
где функция
{
[
]
H(x, y) = A 63x2 y ? 156xy 2 + 96y 3 + 36C? x2 ? 8 3 + 18C? + 5(? + ?) xy+
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
103
[
]
[
]
+6 24C? + 8(? + ?) + 3 y 2 ? 12C? 3C? + 2(? + ?) x?
[
[
]
]}
?12 2(? + ?) ? 6C?2 ? 4C? (? + ?) ? ??) y + 12C? C?2 + (? + ?)C? + ?? .
Исследуем функцию H(x, y) на наименьшее значение в области D. Производные имеют вид
[
]}
{
[
]
?H
= A 126xy ?156y 2 +72C? x?8 3+18C? +5(?+?) y ?12C? 3C +2(?+?) ,
?x
{
[
]
?H
= A 63x2 ? 312xy ? 8 3 + 18C? + 5(? + ?) x+
?y
[
]
[
]}
+12 24C? + 8(? + ?) + 3 y ? 12 2(? + ?) ? 6C?2 ? 4C? (? + ?) ? ?? ,
? 2H
= A (126x + 72C? ),
?x2
{
[
]}
? 2H
= 2A 63x ? 156y ? 4 3 + 18C? + 5(? + ?) ,
?x?y
[
]
? 2H
=
12A
?26x
+
48y
+
24C
+
8(?
+
?)
+
3
.
?
?y 2
Чтобы упростить выражения для производных, введем обозначения
[
]
[
]
L = 8 3 + 18C? + 5(? + ?) , B = ?12C 3C? + 2(? + ?) ,
[
]
M = 12 24C? + 8(? + ?) + 3 ,
[
]
2
N = ?12 2(? + ?) ? 6C? ? 4C? (? + ?) ? ?? .
Тогда производные будут иметь вид
?H
= A (126xy ? 156y 2 + 72C? x ? Ly + B),
?x
?H
= A (63x2 ? 312xy ? Lx + M y + N ).
?y
Стационарные точки найдем из системы уравнений
{
126xy ? 156y 2 + 72C? x ? Ly + B = 0
.
63x2 ? 312xy ? Lx + M y + N = 0
(31)
Выразим xy из каждого уравнения и приравняем полученные выражения:
156y 2 ? 72C? x + Ly ? B
63x2 ? Lx + M y + N
=
,
126
312
или
8112y 2 + (416L ? 21M )y = 1323x2 ? (21L ? 3744C? )x + 21N + 52B.
104
И. В. ДЕНИСОВ
Обозначим
Тогда
(?
2R = 416L ? 21M.
)2
8112y + R
= 1323x2 ? (21L ? 3744C? )x + R2 + 21N + 52B.
Если правая часть этого уравнения отрицательна:
1323x2 ? (21L ? 3744C? )x + R2 + 21N + 52B < 0,
(32)
то стационарных точек нет. Если правая часть > 0, то стационарные точки
есть:
?
]
?
223 [
y0 = ?
R ± 1323x2 ? (21L ? 3744C? )x + (R2 + 21N + 52B) ,
4056
а x0 определяется из любого уравнения системы (31) при y = y0 . Посчитав
значения функции H(x, y) в стационарных точках и исследовав эту функцию
на наименьшее значение на границе области D, найдем наименьшее значение
функции H(x, y) в области D.
Рассмотрим подробнее случай, когда коэффициент A > 0. Получим дополнительные к (32) условия, когда внутри области D нет точек экстремума функции H(x, y).
Лемма
3. Если
F (u) = A(u ? u?0 )(u ? a)(u ? b),
где A > 0, то существование точек экстремума функции H(x, y) внутри
области D возможно, только если параметры a, b принадлежат области E,
ограниченной линиями:
1) линия
b = u?0 ,
u?0 ?
3
< a < u?0
8
не принадлежит области;
2) линия
?
a = b,
u?0 ?
3
< b < u?0
8
не принадлежит области;
3) линия
?(
a+b
u?0 ?
2
(
)2
принадлежит области.
+3
a?b
2
)2
3
= ,
8
?
u?0 ?
3
3
< b < u?0 ?
8
8
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
Доказательство.
105
Так как
? = a ? u?0 < ? = b ? u?0 < u?0 ? u?0 = 0,
то множеством допустимых значений параметров ?, ? является открытый сектор ? < ? < 0 в 3-й четверти плоскости переменных (?, ?). Обозначим этот
сектор через G.
Так как производная
? 2H
= A (126x + 72C? ) > 0,
?x2
то функция H(x, y) не имеет точек экстремума, если
?2H
= 12A [?26x + 48y + 24C? + 8(? + ?) + 3] = 24A (24y ? 13x) + AM < 0.
?y 2
Последнее неравенство эквивалентно неравенству
2(24y ? 13x) + M1 < 0,
где
1
M = 24C? + 8(? + ?) + 3.
12
Учитывая вид области D, заключаем, что
M1 =
2(24y ? 13x) + M1 6 2(24y ? 26y) + M1 = ?4y + M1 .
Последнее выражение < 0 тогда и только тогда, когда
?
M1 = 24C? + 8(? + ?) + 3 = 3 ? 8 ?2 ? ?? + ? 2 < 0.
Это будет тогда и только тогда, когда точка (?, ?) принадлежит открытой
области G1 , ограниченной линиями:
1)
3
? = 0, ?? < ? < ? ;
8
2)
?
3
? = ?, ?? < ? 6 ?
;
8
3)
?
?
3
3
3
?2 ? ?? + ? 2 = , ?
6?<? .
8
8
8
Итак, существование стационарных точек возможно, только если параметры
(?, ?) принадлежат области G1 . В области G \ G1 стационарных точек не будет.
Область G \ G1 ограничена линиями:
106
И. В. ДЕНИСОВ
1) линия
? = 0,
не принадлежит области;
2) линия
3
? <?<0
8
?
? = ?,
?
3
<?<0
8
не принадлежит области;
3) линия
?
?
3
3
3
?2 ? ?? + ? 2 = , ?
<?<?
8
8
8
принадлежит области.
Для параметров a, b область, соответствующую области G \ G1 , будем обозначать E. Лемма доказана.
Пусть теперь коэффициент A < 0. Тогда функция F (u) имеет вид
F (u) = A(u ? u?0 )(u ? a)(u ? b),
где a < u?0 < b, или ? < 0 < ?. Заметим, что при A < 0, это единственно возможный вид кубической функции, у которой нет точек экстремума на промежутке
(??, u?0 ).
Лемма
4. Для функции вида
F (u) = A(u ? u?0 )(u ? a)(u ? b),
где A < 0, при проверке выполнимости неравенства (4a) достаточно исследовать его только на линиях
1) s = 0, 0 < t ? ? ? u?0 ;
2) s = ? ? u?0 , 0 < t ? ? ? u?0 ;
3) s = t.
Доказательство.
нимума функции F (u):
В качестве C? берем число u?0 ? m, где m точка ми-
m=
?+??
?
?2 ? ?? + ? 2
< 0.
3
Так как производная
?2H
= A (126x + 72C) < 0,
?x2
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
107
то функция H(x, y) в области D может иметь разве что точку максимума.
Наименьшее значение функции H(x, y) будет достигаться на границе области
D. Лемма доказана.
Значения функции H(x, y) на границе области D можно оценить следующим
образом.
1) На участке y = 0, 0 6 x 6 ? ? u?0 значения
{
[
]}
H(x, 0) = 12 ?F (u?0 + x ? C? ) + A x3 ? (? + ?)x2 + ??x =
[
]
= 12 F (u?0 + x) ? F (u?0 + x ? C? ) > 0.
2) На участке x = ? ? u?0 + y 2 /(? ? u?0 ), 0 6 y 6 ? ? u?0 значения
)
(
y2
,y
H ? ? u?0 +
? ? u?0
представляют собой многочлен 5-й степени от y . Доказательство существования
или отсутствия корней этого многочлена на промежутке (0, ?? u?0 ] при конкретных значениях параметров ?, ?, ? ? u?0 можно провести по методу Штурма.
3) На участке x = 2y, 0 6 y 6 ? ? u?0 значения H(2y, y) представляют собой многочлен 3-й степени от y . Доказательство существования или отсутствия
корней этого многочлена на промежутке (0, ? ? u?0 ] при конкретных значениях
параметров ?, ?, ? ? u?0 также можно провести по методу Штурма.
Вычисления показывают, что среди кубических функций имеются функции,
не удовлетворяющие ни неравенству (3a), ни неравенству (4a). Такие функции
имеют точку минимума на промежутке (??, u?0 ).
8 Выводы
1) Если число ? достаточно близко к числу u?0 , то функция F принадлежит
какому-либо классу {F, ?}. В этом случае условие (C1 ) выполняется.
2) Для произвольной функции F с удалением ? от u?0 могут найтись значения ?, при которых функция перестает принадлежать фиксированному классу
{F, ?}.
3) Квадратичные функции при выполнении условия (C1 ) принадлежат либо
классу {F1 , ?}, либо классу {F2 , ?}.
4) Не все кубические функции принадлежат классу {F1 , ?}, или {F2 , ?}.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Денисов И. В. Первая краевая задача для квазилинейного сингулярно возмущенного параболического уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл.
матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. ќ 10. С. 56 72.
108
И. В. ДЕНИСОВ
[2] Денисов И. В. Оценка остаточного члена в асимптотике решения краевой
задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. ќ 12. С. 64 67.
[3] Денисов И. В. О классах функций, определяемых функциональными неравенствами // Известия Тульского государственного университета. Серия
"Математика. Механика. Информатика". 2000. Т. 6. Выпуск 1. С. 79 84.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Поступило 11.11.09
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
377 Кб
Теги
функции, некоторые, класса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа