close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых линейно упорядоченных топологических пространствах гомеоморфных прямой Зоргенфрея.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 5(31)
УДК 515.12
Е.С. Сухачева, Т.Е. Хмылева
О НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫХ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ,
ГОМЕОМОРФНЫХ ПРЯМОЙ ЗОРГЕНФРЕЯ
Рассматривается топологическое пространство S A , которое является модификацией прямой Зоргенфрея S и определяется следующим образом: если
точка x ∈ A ⊂ S , то базой окрестностей точки x является семейство полуинтервалов {[ a, b ) : a, b ∈ , a < b и x ∈ [ a, b )} . Если x ∈ S \ A , то база окрестностей точки x – {( c, d ] : c, d ∈ , c < d и x ∈ ( c, d ]} . Доказано, что для счетного подмножества A ⊂ , замыкание которого в евклидовой топологии счетно, пространство S A гомеоморфно пространству S . Кроме того, получено,
что пространство S A гомеоморфно пространству S для любого замкнутого
подмножества A ⊂ . Подобные вопросы рассматривались в работе
V.A. Chatyrko, Y. Hattori, где топология «стрелки» на множестве A заменялась на евклидову топологию.
Ключевые слова: прямая Зоргенфрея, производная множества, гомеоморфизм, ординал.
В работе используются следующие обозначения:
– множество натуральных
чисел;
– множество вещественных чисел, наделенное стандартной евклидовой
топологией; символом S обозначим прямую Зоргенфрея (или «стрелку»), представляющую собой множество вещественных чисел, топология в котором порождена базой {( a, b ] : a, b ∈ , a < b} ; символом S→ обозначается множество вещест-
венных чисел, наделенное топологией, порожденной базой {[ a, b ) : a, b ∈ , a < b} .
Очевидно, что S гомеоморфно S→ . Топологическое пространство S→ = ( , τ→ ) ,
в отличие от S , будем называть «правой стрелкой».
Пусть множества X , Y ⊂ . Обозначим символом X Y топологическое
пространство, в котором база окрестностей точки x определяется следующим
образом:
x ∈ X \ Y : {( a, b ] : a, b ∈ , a < b и x ∈ ( a, b ]} ;
x ∈ Y : {[ c, d ) : c, d ∈ , c < d и x ∈ [ c, d )} .
В частности, если X = S , а Y = A , получаем пространство S A , в котором на
множестве A задана топология «правой стрелки». Подпространсво ( a, b ) ⊂ S A
обозначается ( a, b ) A .
Для произвольного подмножества A топологического пространства X и произвольного ординала α производная множество A( α ) опредляется по трансфинитной индукции следующими формулами:
Е.С. Сухачева, Т.Е. Хмылева
64
A′ – множество предельных точек множества А,
(
)
A( α ) = A( α−1) ′ , если α – непредельный ординал и
A( α ) =
β
∩ A( ) , если α – предельный ординал.
β<α
Если A ⊂
, то по теореме Кантора – Бендиксона [1, с. 162] существует наи-
меньший счетный ординал α , такой, что производная α -го порядка A( α ) является совершенным множеством. Если замыкание множества A счетно, то совершенное множество A( α ) = ∅ . Если множество A счетно и компактно, то ординал α не
может быть предельным и, следовательно, существует ординал β , такой, что
A(β ) ≠ ∅ и A(β+1) = A( α ) = ∅ . Такой ординал β будем называть высотой счетного
компакта A .
Определение. Высотой компакта F будем называть наименьший ординал α ,
такой, что F ( α ) = ∅ .
Теорема 1. Пусть множество F замкнуто в
. Тогда пространство S F гомеоморфно S.
Доказательство. Так как S F \ F открыто в пространстве
, то
SF \ F =
тервалов
∞
∪ ( a k , b k ) , где
k =1
( a k , bk )
( a k , b k ) ∩ ( a l , bl ) = ∅ ,
если k ≠ l . В каждом из ин-
рассмотрим последовательности
a1k > a2k > ... > ank > ...
и
b1k < b2k < ... < bnk < ... , такие, что inf ank = a k и sup bnk = b k , причем a1 = b1 . Расn
n
смотрим функции
(
) и gnk : ( bnk , bnk+1 ⎤⎦ → ⎡⎣bnk , bnk+1 ) ,
которые гомеоморфно отображают открыто-замкнутые множества ( ank+1 , ank ⎤⎦ ⊂ S F
и (bnk ,bnk+1 ⎤⎦ ⊂ S F на открыто-замкнутые множества ⎡⎣ank+1 , ank ) ⊂ Sr и ⎡⎣bnk ,bnk+1 ) ⊂ Sr .
f nk : ank+1 , ank ⎤⎦ → ⎡⎣ ank+1 , ank
Обозначим через ϕ отображение S F \ F на (S \ F )→ , определенное по формуле
(
(
⎧⎪ f nk ( x ) , x ∈ ank+1 , ank ⎤ ,
⎦ .
ϕ( x) = ⎨ k
k
k
⎪⎩ g n ( x ) , x ∈ bn , bn +1 ⎤⎦ .
Очевидно, отображение ϕ является гомеоморфизмом S F \ F на ( S \ F )→ . За-
(
метим, что если точка x ∈ ank+1 , ank ⎤⎦ , то x − ϕ ( x ) ≤ ank+1 − ank . Аналогично, для
(
x ∈ bnk , bnk+1 ⎤⎦ .
Докажем, что отображение
ψ ( x) =
{()
x, x ∈ F ,
ϕ x , x ∈ SF \ F
является гомеоморфизмом S F на S→ .
О некоторых линейно упорядоченных топологических пространствах
65
Действительно, на открытом множестве S F \ F отображение ψ совпадает с
отображением ϕ , а значит, является гомеоморфизмом. Пусть теперь x ∈ F , последовательность xl ∈ S F и lim xl = x . Для произвольного ε > 0 выбирем l0 так,
l →∞
ε
. Выберем номер p > l0 такой, что при l > p выполняется нера2
k
k
k
венство x ≤ xl < xl0 . Более того, если l > p и xl ∈ ⎡⎣ anl , bn l , то bn l < xl0 и, следоl
l
l
ε
k
k
вательно, anl − bn l < . Тогда, если xl ∉ F , то
l
l
2
ε ε
k
k
ψ ( x ) − ψ ( xl ) = x − ψ ( xl ) ≤ x − xl + xl − ψ ( xl ) < x − xl + anl − bn l < + = ε .
l
l
2 2
что 0 < xl0 − x <
)
Если xl ∈ F , то при l > p ψ ( x ) − ψ ( xl ) = x − xl < x − xl0 < ε / 2 . Таким образом, непрерывность отображения ψ доказана. Непрерывность отображения ψ −1
доказывается аналогично. ■
Следствие 1. Пусть x1 ,..., xn ∈ S . Тогда S{ x1 ,..., xn } гомеоморфно S.
Следствие 2. Пусть A ⊂ S – счетное дискретное множество. Тогда S A гомеоморфно S.
Докажем что, если A ⊂
– произвольное счетное множество, замыкание которого также является счетным, то S A гомеоморфно S. Для этого потребуются
некоторые вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пространства ( a, b ]( a ,b ) и ( a, b ] гомеоморфны, где a, b ∈ S и a < b .
Доказательство. В интервале ( a, b ) рассмотрим последовательности
a1 > a2 > ... > an > ... и b1 < b2 < ... < bn < ... , такие, что inf an = a и sup bn = b , приn
n
чем a = b . Рассмотрим отображение ψ : ( a, b ]( a ,b ) → ( a, b ] , которое гомеоморфно
1
1
отображает промежутоки ( an +1 , an ] ⊂ ( a, b ]( a ,b ) и ( bn , bn +1 ] ⊂ ( a, b ]( a ,b ) на открытозамкнутые подмножества ( an +1 , an ] ⊂ ( a, b ] , ( bn , bn +1 ] ⊂ ( a, b ] соответственно, и
ψ ( b ) = b . Нетрудно видеть, что такое отображения является гомеоморфизмом. ■
Лемма 2. Пространства ( a, b ]{ p} и ( a, b ] гомеоморфны, где p ∈ ( a, b ) .
Доказательство. В интервале
( a, p )
рассмотрим последовательности
a1 > a2 > ... > an > ... и p1 < p2 < ... < pn < ... , такие, что inf an = a и sup pn = p ,
n
n
Определим отображение ψ , которое гомеоморфно отображает открыто-замкнутые множества ( an +1 , an ] ⊂ ( a, p ]{ p} и ( pn , pn +1 ] ⊂ ( a, p ]{ p} в открыто-замкнутые
подмножества [ an +1 , an ) ⊂ ( a, p ]→ , [bn , bn +1 ) ⊂ ( a, p ]→ соответственно. На интервале ( p, b ) отображение ψ определяется аналогично и ψ ( p ) = p , ψ ( b ) = b .
Нетрудно видеть, что отображение ψ : ( a, b ]{ p} → ( a, b ]( a ,b ) .Тогда, по лемме 1,
множество ( a, b ]{ p} гомеоморфно ( a, b ] . ■
Е.С. Сухачева, Т.Е. Хмылева
66
Следствие 3. Пространства
( a, b ]{ p1 ,..., pn } и ( a, b ] гомеоморфны, где
{ p1 ,..., pn } ⊂ ( a, b ) .
Теорема 2. Пусть счетное множество A ⊂
такое, что его замыкание A отсчетно. Если A ⊂ ( a, b ) , то ( a, b ] A гомеоморфно ( a, b ] .
носительно
Доказательство. Доказательство проведем, используя метод трансфинитной
индукции по высоте компакта F = A . Напомним, что высотой компакта F называется α , такой, что F ( α ) – последняя непустая производная компакта F . Очевидно, множество F ( α ) конечно.
Пусть α = 0 , т.е. множество F конечно. Поскольку в этом случае A = F , то
по следствию 2 пространство ( a, b ] A гомеоморфно ( a, b ] .
Пусть α = 1 , т.е. F ′ – конечное множество на ( a, b ) A . Пусть x1 < x2 < ... < xm
точки множества F ′ и точки a = p0 < p1 < ... < pn = b такие, что pi −1 < xi < pi и
pi ∉ F , где i = 1, n . Рассмотрим разбиение множества
⎛ ∞
⎞ ⎛ ∞
⎞
( am +1 , am ] ⎟ ∪ ⎜ ( bm , bm +1 ] ⎟ ,
⎝ m =1
⎠ ⎝ m =1
⎠
( pi −1 , pi ) \ { xi } = ⎜
где точки am и bm не принадлежат множеству F , и sup am = inf bm = pi при всех
m
m →∞
. Поскольку на промежутке ( pi −1 , pi ] точка xi – единственная предельная
точка множества F , то каждый из промежутков ( am +1 , am ] и ( bm , bm +1 ] содержит
m∈
лишь конечное число точек множества A . Тогда по следствию 2 каждый из промежутков ( am +1 , am ] A и ( bm , bm +1 ] A гомеоморфен ( am +1 , am ] и ( bm , bm +1 ] соответственно. Если xi ∉ A , то промежуток ( pi −1 , pi ] A гомеоморфен ( pi −1 , pi ] . Если
же xi ∈ A , то промежуток ( pi −1 , pi ] A гомеоморфен ( pi −1 , pi ]{ x } и по лемме 2
i
( pi −1 , pi ]{ xi } гомеоморфно ( pi −1 , pi ] . Так как промежуток ( a, b ] есть дизъюнктное
объединение открыто-замкнутых прометков ( pi −1 , pi ] и каждый из этих промежутков гомеоморфен ( pi −1 , pi ] A , то промежуток ( a, b ] гомеоморфен ( a, b ] A .
Пусть α – произвольный ординал и компакт F высоты α . Предположим, что
для всех компактов высоты β < α теорема доказана. Поскольку F ( α ) последняя
непустая производная компакта F , то F ( α ) содержит лишь конечное число точек, то есть F ( α ) = { x1 ,..., xn } ⊂ ( a, b ) .
Рассмотрим точки a = p0 < p1 < ... < pn = b такие, что pi −1 < xi < pi и pi ∉ F ,
где i = 1, n . Рассмотрим разбиение множества
⎛ ∞
⎞ ⎛ ∞
⎞
( am +1 , am ] ⎟ ∪ ⎜ ( bm , bm +1 ] ⎟ ,
⎝ m =1
⎠ ⎝ m =1
⎠
( pi −1 , pi ) \ { xi } = ⎜
где точки am и bm не принадлежат множеству F , и sup am = inf bm = pi при всех
m
m
О некоторых линейно упорядоченных топологических пространствах
m∈
67
. Поскольку на промежутке ( pi −1 , pi ] точка xi – единственная точка мно-
жества F ( α ) , то для любого m ∈
компакты ( am +1 , am ] ∩ F и ( bm , bm +1 ] ∩ F
имеют высоту βm < α . Тогда по предположению индукции каждый из промежутков ( am +1 , am ] A и ( bm , bm +1 ] A гомеоморфен ( am +1 , am ] и ( bm , bm +1 ] соответственно. Если xi ∉ A , то промежуток ( pi −1 , pi ] A гомеоморфен ( pi −1 , pi ] . Если же
xi ∈ A , то промежуток ( pi −1 , pi ] A гомеоморфен ( pi −1 , pi ]{ x } и по лемме 2
i
( pi −1 , pi ]{ xi } гомеоморфен ( pi −1 , pi ] . Так как промежуток ( a, b ] есть дизъюнктное
объединение открыто-замкнутых промежутков ( pi −1 , pi ] и каждый из этих промежутков гомеоморфен ( pi −1 , pi ] A , то промежуток ( a, b ] гомеоморфен ( a, b ] A . ■
Теорема 3. Пусть счетное множество A ⊂ таково, что его замыкание A отсчетно. Тогда S A гомеоморфно S .
носительно
Доказательство. Рассмотрим возрастающую последовательность {an }n = ,
такую, что an ∉ F , lim an = +∞ и lim an = −∞ . Положим An = A∩ ( an , an +1 ] .
n →∞
n →∞
Тогда по теореме 2 множество ( an , an +1 ] A гомеоморфно ( an , an +1 ] . Поскольку
n
SA =
∞
∪ ( an , an +1 ] An и все множества ( an , an +1 ] An открыто замкнуты, то S A гомео-
n =1
морфно S . ■
Следствие 4. Пусть A – счетное замкнутое подмножество в S . Тогда S A гомеоморфно S .
Доказательство. Рассмотрим замыкание множества A в евклидовой тополоотличаются
гии прямой . Заметим, что замкнутые множества A ⊂ S и A ⊂
не более чем счетным числом точек. Это следует из того, что открытое множество
на прямой S имеет вид
⎞
⎛∞
⎞ ⎛∞
⎜ ( ai , bi ) ⎟ ∪ ⎜ ( c j , d j ⎤⎦ ⎟ ,
⎝ i =1
⎠ ⎝ j =1
⎠
где ai ≤ bi и c j ≤ d j для всех i, j ∈
. Следовательно, множество A счетно. Так
как множество A является всюду плотным подмножеством множества A , то по
теореме 3 пространство S A гомеоморфно S . ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.
368 с.
2. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
3. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986, 752 с.
4. Chatyrko V.A., Hattori Y. A poset of topologies on the set of real numbers // Comment. Math.
Univ. Carolin. 2013. V. 54. No. 2. P. 189−196.
Статья поступила 23.06.2014 г.
Е.С. Сухачева, Т.Е. Хмылева
68
Sukhacheva E.S., Khmyleva T.E. ON SOME LINEARLY ORDERED TOPOLOGICAL SPACES
HOMEOMORPHIC TO THE SORGENFREY LINE
In this paper, we consider a topological space S A which is a modification of the Sorgenfrey
line S and is defined as follows: if a point x ∈ A ⊂ S , then the base of neighborhoods of the point
x is a family of intervals {[ a, b ) : a, b ∈ , a < b и x ∈ [ a, b )} . If x ∈ S \ A , then the base of
neighborhoods of x is {( c, d ] : c, d ∈ , c < d и x ∈ ( c, d ]} . It is proved that for a countable subset
A⊂
the closure of which in the Euclidean topology is a countable space, the space S A is
homeomorphic to the space S. In addition, it was found that the space S A is homeomorphic to the
space S for any closed subset A ⊂ . Similar problems were considered by V.A. Chatyrko and
Y. Hattori in [4], where the "arrow" topology on the set A was replaced by the Euclidean
topology. In this paper, we consider two special cases: A is a closed subset of the line in the
Euclidean topology and the closure of the set A in the Euclidean topology of the line is
countable.
The following results were obtained:
Let a set A be closed in . Then the space S A is homeomorphic to the space S.
Let a countable set A ⊂ be such that its closure A is countable relatively to
is homeomorphic to S .
Let A be a countable closed subset in S. Then S A is homeomorphic to S .
. Then S A
Keywords: Sorgenfrey Line, derivative set, homeomorphism, ordinal.
SUHACHEVA Elena Sergevna (M.Sc., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: Sirius9113@mail.ru
KHMYLEVA Tatiana Evgenievna (Candidate of Physics and Mathematics,
Tomsk State University Russian Federation)
E-mail: TEX2150@yandex.ru
REFERENCES
1. Aleksandrov P.S. Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshchuyu topologiyu. Moskow, Nauka
Publ., 1977, 368 p. (in Russian)
2. Kuratovskiy K., Mostovskiy A. Teoriya mnozhestv. Moskow, Mir Publ., 1970, 416 p. (in
Russian)
3. Engel'king R. Obshchaya topologiya. Moskow, Mir Publ., 1986, 752 p. (in Russian)
4. Chatyrko V.A., Hattori Y. A poset of topologies on the set of real numbers. Comment. Math.
Univ. Carolin., 2013, vol. 54, no. 2, pp. 189−196.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
434 Кб
Теги
пространство, линейной, упорядоченных, зоргенфрея, гомеоморфных, некоторые, топологическими, прямой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа