close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых свойствах эллиптической кривой в форме Якоби.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОНИК
Том 11 Выпуск 1 (2010)
Труды VII Международной конеренции
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения,
посвященной памяти проессора Анатолия Алексеевича Карацубы
О НЕКОТОЫХ СВОЙСТВАХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КИВОЙ В ФОМЕ
ЯКОБИ
А. Ю. Нестеренко (г. Москва)
nesterenko_a_ymail.ru
Пусть p > 3 простое число и ? 6? 0, 1 (mod p). ассмотрим эллиптическую
кривую, заданную в орме Якоби однородным сравнением
E? :
y 2z ? x(x ? z)(x ? ?z)
(mod p).
(1)
Основным результатом предлагаемой работы является доказательство следующего результата.
Теорема 1. Пусть значения ?1, ?, 1 ? ? являются квадратичными выче-
тами по модулю простого числа p. Тогда порядки групп точек эллиптических
кривых
E? , E 1 , E1?? , E 1 , E ? , E ??1 ,
(2)
1??
?
??1
?
совпадают.
Данный результат известен и его доказательство может быть найдено, например, в книге [2?. Метод доказательства основывается на вычислении в явном
виде и сравнении j -инвариантов кривых из (2).
Предлагаемый нами подход к доказательству теоремы основан на других
принципах. Мы показываем, что порядок группы точек эллиптической кривой
(1) совпадает с порядком группы точек эллиптической кривой, заданной системой сравнений
u21 + u22 ? 1 (mod p),
S? :=
(3)
?u21 + u23 = 1 (mod p),
где ? 6? 0, 1 (mod p). Далее мы предъявляем в явном виде элементарные изоморизмы между кривыми
S? ,
S1 ,
?
S1?? ,
S
1
1??
,
S
?
??1
,
S ??1 ,
?
(4)
откуда следует, что порядки групп точек кривых (4) совпадают, из чего следует
доказательство сормулированной теоремы 1.
Докажем следующее утверждение
О НЕКОТОЫХ СВОЙСТВАХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КИВОЙ ЯКОБИ 203
Теорема 2. Для порядков рассматриваемых групп эллиптических кривых
S? и E? выполнено равенство |S? | = |E? |.
ты.
Для доказательство теоремы 2 нам потребуются вспомогательные результаЛемма 1. Пусть p нечетное простое число, тогда выполнены следующие
равенства
p?1
X
если p ? 1 6 | m,
(mod p).
если p ? 1 | m,
u=0
p?1 2
X
u + bu + c
? 1, если p 6 |d,
=
p ? 1, если p|d,
p
u=0
m
u ?
0,
?1,
где d = b2 ? 4c дискриминант многочлена u2 + bu + c.
Доказательство. См. [4?, гл. II, џ10, п.4, утверждение III.
Лемма 2. Пусть m натуральное, ? отличное от нуля и единицы целое
число. Тогда у многочленов (x ? 1)m (x ? ?)m и (1 ? x)m (1 ? ?x)m коэициенты
при xm совпадают и равны
Dm (?) = (?1)
m
m
X
(Ckm )2 ?k ,
(5)
k=0
где Ckm =
m!
биномиальный коэициент.
k!(m ? k)!
Доказательство. Из равенств
(x ? 1)m (x ? ?)m =
! m
!
m
X
X
(?1)m?i Cim xi
(?1)m?j Cjm ?m?j xj =
i=0
j=0
=
2m X
X
(?1)2m?k Cim Cjm ?m?j xk ,
k=0 i+j=k
m
следует, учетом равенства Cim = Cm?i
, что коэициент при xm многочлена
(x ? 1)m (x ? ?)m равен
X
(?1)
i+j=m
m
Cim Cjm ?m?j
= (?1)
m
m
X
i=0
(Cim )2 ?i = Dm (?).
204
А. Ю. НЕСТЕЕНКО
Аналогично, из равенств
(1 ? x)m (1 ? ?x)m = (x ? 1)m (?x ? 1)m =
! m
!
m
X
X
(?1)m?i Cim xi
(?1)m?j Cjm ?j xj =
i=0
j=0
=
2m X
X
(?1)2m?k Cim Cjm ?j xk ,
k=0 i+j=k
получаем, что коэициент многочлена (1 ? x)m (1 ? ?x)m равен Dm (?).
Теорема 3 (Хассе). Пусть p > 3 простое число и f (x) многочлен третьей степени, не имеющий кратных кратных корней по модулю p. Тогда порядок группы точек эллиптической кривой E : y 2 ? f (x) (mod p) удовлетворяет
неравенству
?
|E| = p + 1 + t, где |t| < 2 p.
Доказательство. См. [4?, гл. II, џ10, п.6. или [1?, глава 10.
Очевидным следствием теоремы Хассе является следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть p > 3 простое число и f (x) многочлен третьей степени,
не имеющий кратных кратных корней по модулю p, тогда
p?1 X f (x) ?
< 2 p.
p
x=0
Перейдем к доказательству сормулированной нами теоремы 2. Для порядка группы точек эллиптической кривой E? , заданной уравнением (1), выполнено
равенство
|E? | = 1 +
p?1 X
x=0
1+
x(x ? 1)(x ? ?)
p
?1+
?
p?1
X
x
p?1
2
x=0
(x ? 1)
p?1
2
(x ? ?)
p?1
2
(mod p).
P
p?1
i
Положим m =
и обозначим h(x) = (x?1)m (x??)m = 2m
i=0 hi x . Тогда,
2
используя первое утверждение леммы 1 и утверждение леммы 2, получим
p?1
X
x=0
m
m
m
x (x ? 1) (x ? ?) =
2m X
2m
X
x=0 i=0
??
hi xm+i ?
X
p?1|m+i, i=0,...,2m
hi ? ?hm ? ?D p?1 (?) (mod p).
2
О НЕКОТОЫХ СВОЙСТВАХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КИВОЙ ЯКОБИ 205
Сопоставляя последние два сравнения, получаем
|E? | ? 1 ? D p?1 (?)
2
(6)
(mod p).
Теперь рассмотрим систему сравнений (3). Для |S? | выполнено равенство
|S? | = N1 + N? ,
где N1 число конечных точек, а N? число бесконечно удаленных точек, равное количеству решений системы
u21 + u22 ? 0 (mod p),
?u21 + u23 ? 0 (mod p).
Верно равенство
??
?1
??
?
?1
N? = 1 +
1+
=1+
+
+
.
p
p
p
p
p
(7)
Для числа N1 конечных точек выполнено равенство
p?1 X
1 ? u2
1 ? ?u2
1+
=
N1 =
1+
p
p
u=0
X
X
p?1 p?1 p?1 X
1 ? u2
1 ? ?u2
(1 ? u2 ) (1 ? ?u2 )
=p+
+
+
=
p
p
p
u=0
u=0
u=0
= p + Q1 + Q2 + Q3 .
Применяя второе утверждение леммы 1 получаем равенства
p?1 X
1 ? u2
p?1 ?1 X u2 ? 1
?1
Q1 =
=
=?
,
p
p
p
p
u=0
u=0
p?1 p?1
X 1 ? ?u2
?? X u2 ? ??1
??
Q2 =
=
=?
,
p
p u=0
p
p
u=0
откуда следует равенство
N1 = p ?
?1
p
?
??
p
+ Q3 .
Суммируя выражения для N? и N1 , получаем выражение для |S? |
?
|S? | = p + 1 +
+ Q3 .
p
(8)
(9)
206
А. Ю. НЕСТЕЕНКО
P
p?1
i
Вспомним, что m =
, и обозначим g(u) = (1 ? u)m (1 ? ?u)m = 2m
i=0 gi u .
2
Учитывая первое утверждение леммы 1 и утверждение второй леммы, запишем
для суммы Q3 сравнение
Q3 =
p?1 X
(1 ? u2 ) (1 ? ?u2 )
u=0
p
=
?
p?1
X
u=0
p?1 2m
X
X
1 ? u2
gj u2j
u=0 j=0
??
X
1 ? ?u2
m
(mod p) =
(mod p) ?
gj
p?1|2j, j=0,...,2m
m
(mod p) ? ?gm ? g2m
(mod p).
Из определения многочлена g(u) следует, что
p?1
?
m
2
g2m = ? = ?
?
(mod p).
p
?
(mod p). Подставляя полученное сравнение в
Тогда Q3 ? ?D p?1 (?) ?
2
p
равенство (9) и сравнивая его с (6), получим
|S? | ? 1 ? D p?1 (?) ? |E? | (mod p).
2
Пока мы доказали утверждение более слабое, чем сормулированное в условии теоремы 2. Из теоремы Хассе тривиально следует, что |E? | не превосходит
величины в 2p. Из равенства (9) и определения Q3 также следует, что |S? | не
превосходит величины в 2p. Следовательно, значения |E? | и |S? | либо совпадают, либо отличаются ровно на величину p.
Обозначим |E? | = p + 1 + t, тогда из теоремы Хассе и сравнения (6) следует,
что
?
|t| 6 2 p,
|t| ? D p?1 (?) (mod p)
2
Оценим сверху величину |Q3 |. Сделаем замену переменных
u=
x
x?1
или
u=
u
,
u?1
которая не определена в точке x = u = 1. Поскольку
1 ? u2
(1 ? 2x)(x2 (1 ? ?) ? 2x + 1)
,
1 ? ?u2 =
(x ? 1)4
(10)
(11)
О НЕКОТОЫХ СВОЙСТВАХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КИВОЙ ЯКОБИ 207
то
Q3 =
p?1 X
(1 ? u2 ) (1 ? ?u2 )
u=0
(1 ? u2 ) (1 ? ?u2 )
=
=
p
p
u=0, u6=1
X
p?1
p?1 X
(1 ? 2x) ((1 ? ?)x2 ? 2x + 1)
f (x)
?
=
?
,
p
p
p
x=0
x=0, x6=1
p?1
X
где f (x) = ((1 ? ?)x2 ? 2x + 1) (1 ? 2x) многочлен1 третьей степени. Воспользовавшись леммой 3 получаем неравенство
p?1 ?
X f (x) ?
(12)
6 2 p,
p + Q3 = p
x=0
из которого, учитывая (9), (10), получим неравенство
?
?
||S? | ? |E? || = + Q3 + t 6 4 p.
p
Следовательно значения |E? | и |S? | совпадают. Теорема 2 доказана.
Для построения отображений между кривыми из (4) нам потребуется рассмотреть конечное расширение поля из p элементов. Определим элементы i, ?1 ,
?2 как решения сравнений
i2 ? ?1
(mod p),
?21 ? ?
(mod p),
?22 ? 1 ? ?
(mod p).
В случае, если одно из значений ?1, ?, 1?? не является квадратичным вычетом
по модулю p, то соответствующий элемент принадлежит расширению поля из
p элементов.
Используя введенные обозначения, в явном виде предъявим отображения,
задающие взаимно однозначное соответствие между точками эллиптической
кривой S? и точками кривых из (4).
S1 :
?
v1 = ?1 u2 ,
v2 = ?2 u4 ,
v3 = ?2 u1 ,
v4 = u3 ,
S1?? : v1 = u3 , v2 = i?1 u2 , v3 = ?1 ?2 u1 , v4 = ?2 u4 ,
S 1 : v1 = u3 , v2 = ?1 u1 , v3 = i?1 ?2 u2 , v4 = u4 ,
1??
u3
S ? : v1 = u2 , v2 = u1 , v3 = , v4 = u4 ,
??1
?2
S ??1 : v1 = i?1 u2 , v2 = u3 , v3 = ?2 u1 , v4 = ?2 u4 ,
?
1 Корни
многочлена
f (x)
равны
1
1?
1?
2 , 1+ ? , 1? ? .
При
? 6= 0, 1
все корни различны.
208
А. Ю. НЕСТЕЕНКО
В случае, когда значения ?1, ?, 1 ? ? являются квадратичными вычетом
по модулю p, приведенные отображения определены над конечным полем из p
элементов и переводят рациональные точки кривой S? в рациональные точки
кривых из (4). Следовательно, порядки групп точек этих кривых совпадают.
Из последнего замечания и утверждения теоремы 2, вытекает доказательство
сормулированной в начале статьи теоремы 1.
СПИСОК ЦИТИОВАННОЙ ЛИТЕАТУЫ
[1? ельонд А.О., Линник Ю.В. Элементарные методы в теории чисел. М.:Физматгиз, 1962. 272 с.
[2? Ленг С. Эллиптические ункции. М.:Наука, 1984. 312 .
[3? Нестеренко А.Ю. О числе решений одной системы сравнений // Депонировано во ВИНИТИ. ќ 454-в2009. 2009. 17 стр.
[4? Хассе . Лекции по теории чисел. М.:ИЛ, 1953. 527 .
Московский педагогический государственный университет
Поступило 13.05.2010
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
348 Кб
Теги
эллиптическая, свойства, кривой, якоба, некоторые, формы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа