close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых экстремальных задачах наилучших приближений целыми функциями.

код для вставкиСкачать
К. Тухлиев. О некоторых экстремальных задачах наилучших приближений целыми функциями
УДК 517.5
К. Тухлиев
О НЕКОТОРЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ
В статье решается ряд экстремальных задач теории аппроксимации функций, суммируемых с квадратом
на всей прямой R =: (–∞, +∞) – посредством целых функций экспоненциального типа. Так, в пространстве
L2(R) вычислены точные константы в неравенствах типа Джексона–Стечкина. А также найдены точные верхние грани приближения классов функций из L2(R), определенных при помощи осредненных модулей непрерывности m-го порядка, где вместо оператора сдвига Th ( f ,=
x ): f ( x + h ) используется оператор Стеклова Sh ( f ).
Ключевые слова: наилучшие приближения, модуль непрерывности m-го порядка, неравенство Джексона–
Стечкина, целая функция экспоненциального типа, оператор Стеклова.
Общеизвестно, что начало исследований, свя- меримых и суммируемых в p-й степени на всей
занных с аппроксимацией на всей оси, было поло- оси R функций f с конечной нормой
жено С. Н. Бернштейном [1], который ввел в нау1/ p


p
ку само понятие наилучшего приближения фун=
f L ( R ) :  ∫ f ( x ) dx  < ∞ (1 ≤ p < ∞ ) .
p
кции, заданной на бесконечном интервале поR

средством целых функций конечной степени и соПри этом L∞ ( R ) – пространство измеримых
здал теорию приближения на всей оси
и ограниченных
на R функций с нормой
R = (–∞,+∞). Дальнейшее развитие этого направления науки связано с именами Н. Винера,
=
f L ( R ) : ν raisup f ( x ) : x ∈ R .
Н. И. Ахиезера, М. Г. Крейна, С. М. Никольского,
∞
И. И. Ибрагимова и многих других, результаты
В обозначениях общего характера, там где это
исследования которых изложены в монографиях
не вызывает
недоразумений,
вместо
[2–5].
f
, f ∞.
f
,
f
В конце семидесятых годов прошлого века
p
Lp ( R )
L∞ ( R ) будем писать просто
r
0
(
)
(
)
были опубликованы работы И. И. Ибрагимова Через
L p ( R ) 1 ≤ p ≤ ∞, r ∈ Z + ; L p ( R ) = L p ( R )
и Ф. Г. Насибова [6], В. Ю. Попова [7], в которых
r
обозначим множество функций f ∈ L(p ) ( R ) , у корассматривается экстремальная задача об отыска(r–1)
торых производные (r–1)-го порядка f
локально
нии точных констант в неравенствах типа Джексоабсолютно непрерывны, а производные r-го порядна–Стечкина для наилучших среднеквадратиче- ка f (r) принадлежат пространству L R ,1 ≤ p ≤ ∞ .
)
p(
ских приближений функций целыми функциями
экспоненциального типа. Эти работы послужили Символом Bσ , p ( 0 < σ < ∞,1 ≤ p ≤ ∞ ) будем обознаоснованием для введения понятия средних чать сужение на R множества всех функций экспоν-поперечников, базирующихся на понятии сред- ненциального типа σ, принадлежащих пространстней размерности, введенном Г. Г. Магарил-Ильяе- ву Lp ( R ) . Величину вым [8, 9]. В частности, он вычислил точные знаf ) p : inf f − gσ p : gσ ∈ Bσ , p ,1 ≤ p ≤ ∞
чения средних ν-поперечников для соболевских Aσ (=
классов функций с ограниченной по норме про- называют наилучшим приближением функции
странства r-й производной на всей оси [8, 9].
f ∈ Lp ( R )
элементами
подпространства
В дальнейшем эта тематика нашла свое развитие
в серии работ С. Б. Вакарчука [10, 11] и М. Ш. Ша- Bσ , p (σ ∈ R + ,1 ≤ p ≤ ∞ ) . бозова с соавторами [12–14]. Полученные в этой
Рассмотрим теперь в пространстве L2 ( R ) опестатье результаты являются продолжением и раз- ратор Стеклова
витием цитированных выше работ в этом направ1 x+h
лении.
=
Sh f ( x )
f ( t ) dt , h > 0 .
2h ∫x − h
Всюду далее придерживаемся следующих обозначений: N – множество натуральных чисел;
Определим конечные разности первого и высZ+= N ∪ {0} ; R + – множество положительных ших порядков f ∈ L2 ( R ) соотношениями
чисел
вещественной
оси;
Lp ( R ) (1 ≤ p ≤ ∞,R: = ( −∞, +∞ ) ) – пространство из- ∆ h ( f ; x ) =Sh f ( x ) − f ( x ) =
( Sh − E ) f ( x ) ,
{
}
(
{
— 213 —
)
}
Вестник ТГПУ (TSPU Bulletin). 2015. 2 (155)
где
∆ mh ( f ; x ) =
∆ h ( ∆ mh −1 ( f ; x ) ; x ) =
( Sh − E ) f ( x ) =
m
=
m
∑ ( −1)
k =0
m−k
A=
2
k , r , m , p (ψ ; t )
m k
  Sh f ( x ) ,
k
где
=
k 1, m; m ∈ N;
E – единичный оператор в пространстве
L2 [0, 2π ] . Используя введенные разности, определим обобщенный модуль непрерывности m-го порядка функции f ∈ L2 ( R ) равенством
{
L2
}
: h ∈ ( 0, t ] , (1)
которое назовем специальным модулем непрерывности m-го порядка.
В 1978 г. А. А. Лигун [15] для наилучшей полиномиальной аппроксимации 2π-периодических
функций f ∈ L(2r ) [0, 2π ] получил следующий результат: пусть k ∈ N; r ∈ Z+ ; 0 < t ≤ π / n; ψ – не­
отрицательная измеримая суммируемая на [0,t]
не эквивалентная нулю функция. Тогда
{ A (ψ ; t )}
n,r ,m
−1
≤
sup
f ∈L(2r ) [0,2π ]
f ≠ const
{
}
≤ inf Ak , r , m (ψ ; t )
n ≤ k <∞
t
En2−1 ( f )2
2
(r )
∫ ωm ( f ;τ )2 ψ (τ ) dτ
}
t
0
m
1/ p
 t p (r )

 ∫ Ω m ( f ;τ )2 ψ (τ ) dτ 
0

, (3)
Теорема 1.
Пусть m ∈ N; r ∈ Z+ ;σ ∈ R + ,
0 < t ≤ π / σ , 0 < p ≤ 2 и ψ – некоторая неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке функция, тождественно не равная нулю. Тогда выполняются неравенства
{a
(ψ ; t ,σ )}
σ ≤ u <∞
где
где En −1 ( f ) =−
inf f Tn −1 L [0,2π ] : Tn −1 ∈ T2 n −1 – наи2
лучшее приближение функции f ∈ L2 множеством тригонометрических полиномов T2n–1 порядка
n–1, а
Ak ,=
2m k 2 r ∫ (1 − cos kτ ) ψ (τ ) dτ .
r , m (ψ ; t )
.
где r ∈ Z+ ; m ∈ N; t , σ ∈ R + ;0 < p ≤ 2 ψ – неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке [0,t]
функция, не эквивалентная нулю.
−1
≤ M σ , m, r , p (ψ ; t ) ≤
}
≤ inf am, r , p (ψ ; t , u )
,
{
f ∈L(2r ) ( R )
{
≤
Aσ ( f )2
M σ , m , r , p (ψ ; t ) := sup
m,r , p
0
−1
 rp t

mp / 2
 k ∫ (1 − cos kτ ) ψ (τ ) dτ 
 0

Нашей целью является распространение неравенства (2) на случай приближения f ∈ L2 ( R ) целыми функциями gσ ∈ Bσ ,2 для специального модуля непрерывности (1). Введем следующую экстремальную характеристику
=
Sh0 f ( x ) f=
( x ) , Shk f ( x ) Sh ( Shk −1 f ( x ) ) ;
Ω m ( f ; t ) = sup ∆ mh ( f ; ⋅)
1/ p
m/2
−1
,
(4)
1/ p
 rp t  sin uτ mp

=
am, r , p (ψ
; t , u )  u ∫ 1 −
ψ (τ ) dτ 



uτ 
 0

u ≥σ.
,
(5)
Доказательство. В работах [6, 7] доказано, что
для произвольной функции f ∈ L2 ( R ) существует
единственная целая функция Fσ ∈ Bσ ,2 , которая является элементом наилучшего приближения функции f в метрике пространства L2(R) и имеет вид
+∞
Дальнейшее обобщение результата [15] дано
1
=
F
f
u
=
eiuτ χσ (τ )F ( f ;τ ) dτ
;
:
(
)
σ
∫
в работе М. Ш. Шабозова и Г. А. Юсупова [16].
2π −∞
В частности, ими было показано, что если
+σ
n, m ∈ N; 0<p ≤ 2; r ∈ Z+ ;0 < t ≤ π / n ; ψ – некоторая = 1
iuτ
∫ e F ( f ;τ ) dτ ,
неотрицательная измеримая суммируемая на от2π −σ
резке [0,t] не эквивалентная нулю функция, то
где F( f )– преобразование Фурье функции f ;
χσ (τ ) – характеристическая функция множества
En −1 ( f )2
1
≤ sup
≤
( −σ ,σ ) . При этом наилучшее среднеквадратичеAn , r , m, p (ψ ; t ) f ∈L(2r ) [0,2π ]  t p ( r )

ское
приближение f ∈ L2 ( R ) элементами gσ ∈ Bσ ,2
f ≠ const
 ∫ ωm ( f ;τ )2 ψ (τ ) dτ 
равно
[6, 7]
0

1/ 2


1
2
,
≤
Aσ ( f )2 =
f − Fσ ( f ) L (R ) =
 ∫ | F ( f ,τ ) | dτ  .


2
inf Ak , r , m , p (ψ ; t )
(2)
 |τ |≥σ

n ≤ k <∞
— 214 —
К. Тухлиев. О некоторых экстремальных задачах наилучших приближений целыми функциями
Известно, что если функция f ∈ L2 ( R ) и F ( f )
– преобразование Фурье функции f, то преобразование Фурье Fr функции f ( r ) ∈ L2 определяется равенr
ством Fr ( f ;τ ) = ( iτ ) F ( f ;τ ) .
С учетом этого факта по тереме Планшереля
получаем
∆ tm ( f ( r ) ; ⋅)
2
+∞
=
L2 ( R )
∫τ
2r
−∞
 sin tτ 
1 −

tτ 

2m
2
F ( f ;τ ) dτ . (6)
Отсюда для любого фиксированного t, 0 < t < π/n
имеем
Ω 2m ( f ( r ) ; t ) ≥ ∆ tm ( f ( r ) ; ⋅)
 sin tτ 
≥ ∫ τ 1 −

tτ 

τ ≥σ
2m
2r
2
L2 ( R )
≥
2
F ( f ;τ ) dτ . Aσ ( f ) L ( R )
2
1/ p


p
(r )
 ∫ Ω m ( f ;τ )2 ψ (τ ) dτ 
0

t
≥
1/ 2
2/ p
 h


p
≥  ∫  ∫ ϕ ( t ,τ ) dt  dτ  ,  t ≥σ  0




≥
2/ p
mp
 t


p
sin uτ 
rp

≥ ∫  ∫ τ F ( f ;τ ) 1 −
ψ ( u ) du  dτ 


 τ ≥σ  0

uτ 




t


2
 sin uτ 

F ( f ;τ ) τ rp ∫ 1 −
ψ ( u ) du 

∫


 τ ≥σ
uτ 
 0


mp
2
σ ≤τ <∞
| |< | x |<
| x| = +
| x |> +

dτ 


)
|τ |≥σ
| F ( fε ,τ ) |2 dτ +
2
+∞
=
σ +ε
∫ | F ( f ε ,τ ) |
σ
L2 ( R )
σ +ε


2r
∫ τ 1 −
−∞
 sin uτ 
=
2 ∫ τ 2 r 1 −

uτ 

σ
≥
(11)
2
=
∫ | F ( fε ,τ ) | dτ
=
1/ 2
+
| | = .
| |< .
2
dτ= 2ε .
(r )
Так как для преобразования Фурье функции fε
r
справедливо равенство F ( fε( r ) , x ) = ( ix ) F ( fε , x ) ,
то с учетом формулы (11) из равенства (6) имеем
2m
sin uτ 

uτ 
≤ 2ε (σ + ε )
2r
2m
F ( fε ;τ )=
dτ ≤
2m
1/ 2


≥ inf am , r , p (ψ ; t ,τ )  ∫ | F ( f ;τ ) |2 dτ 


σ ≤τ <∞
 |τ |≥σ

A
f
inf
a
ψ
;
t
,
τ
.
=
σ ( )L (R )
)
m,r , p (
}
2/ p
(10)
2  sin (σ + ε ) x sin σε 
−

,
x
x 
π
∆ um ( fε( r ) ; ⋅)
1/ 2
{
∫
σ ε
−( +
1/ p
,
Очевидно, что fε ∈ L(2r ) ( R ) и, кроме того,
=
p/2
2m
t


2
u
τ
sin


2
r

≥  ∫  ∫ τ 1 −
F
f
τ
d
τ
ψ
u
du
;
( ) 
( ) 

 0  τ ≥σ
u
τ



 

−1
где ε > 0 – произвольное число. Для этой функции
преобразование Фурье имеет вид
−σ
≥
}
и оценка сверху в неравенстве (4) получена.
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики (3), как и в работах [10, 11, 14], вводим в рассмотрение целую функцию экспоненциального типа σ + ε следующего вида
=
Aσ2 ( fε ) L( r ) ( R )
1/ p
.
σ ≤τ <∞
σ ≤τ <∞
2
 t p (r )

 ∫ Ω m ( f ; u )2 ψ ( u ) du 
0

inf am, r , p (ψ ; t ,τ )
{
(8)
где 0 < p ≤ 2 из (8) с учетом (7), получаем
1
M σ , m, r , p (ψ ; t ) ≤ inf am, r , p (ψ ; t ,τ )
 1,
1
F f ,x = 2,
 0,

1/ p
≤
И так как последнее неравенство имеет место
для любого f ∈ L(2r ) ( R ) , то запишем
(7)
=
fε ( x )
Воспользуясь континуальным аналогом неравенства Минковского [17, c. 32]
p/2
h


2
 


ϕ
t
,
τ
d
τ
dt
(
)
 ∫0  t ∫≥σ



 

Из соотношения (9) находим
 sin (σ + ε ) u 
1 −
 .
(σ + ε ) u 

(12)
=
Из неравенства (12) для любых σ ∈ R + ; r ∈ Z+ ;
(9)
m ∈ N; 0 < p ≤ 2; 0 < t < π ; ψ – неотрицательная
суммируемая на [0, t ] функция получаем
— 215 —
Вестник ТГПУ (TSPU Bulletin). 2015. 2 (155)
1/ p
 t p (r )

 ∫ Ω m ( fε ,τ )ψ (τ ) dτ 
0

≤
1/ p
≤ Aσ ( fε ) L ( R ) (σ + ε )
2
r
 t  sin (σ + ε )τ mp

 1 −
. .
ψ
τ
d
τ
(
)

 ∫0 

σ + ε )τ 
(


Последнее неравенство запишем в виде
Aσ ( fε ) L ( R )
2
1/ p
Следствие 2. Если в утверждении следствия 1
полагать p =1 / m, m ∈ N, ψ ( t ) ≡ 1 и ψ ( t ) ≡ t , то соответственно получаем равенства:
σ r Aσ ( f ) L ( R )
m


σ
sup
=

 , σ ∈ R + ,
m
(r )
t
f ∈L2 ( R ) 

 σ t − Si (σ t ) 
1/ m
(r )
 ∫ Ω m ( f ;τ ) dτ 
0

2
x
sin t
dt – интегральный синус;
t
0
где Si ( x ) = ∫
≥


p
(r )
 ∫ Ω m ( fε ,τ )ψ (τ ) dτ 
2 −m
0

σ r Aσ ( f ) L ( R )
σ t  
 2    2
=
sup
 2  1 −  sin   .
m
1
2  
f ∈L ( R )  t
 t    σ t

≥
:=
1/ m
(r )
1/
p
mp
 ∫ τ Ω m ( f ;τ ) dτ 
t


 sin (σ + ε )τ 
r
0

(σ + ε )  ∫ 1 −
 ψ (τ ) dτ 
 0 

σ + ε )τ 
(


=
t a / σ ( 0 < a < π ) и Из равенстве (5), полагая
1
ψ
τ
=
g
στ
(13)
( ) ( ) , имеем:
:=
.
aσ +ε , m , r , p (ψ ; t )
t
2
(r )
2
Очевидно, что величина aσ +ε , m, r , p (ψ ; t ) при
ε → 0 монотонно убывает, а потому для сколь
угодно малого δ > 0 существует ε := ε(δ) > 0 такое,
что
am , r , p ( g (σ ⋅) ; a / σ , u ) =
1/ p
 rp a /σ  sin uτ mp

=
 u ∫ 1 −
 g (στ ) dτ 
uτ 
0 


=
1/ p
1
aσ +ε , m, r , p (ψ ; t )
≥
1
aσ , m, r , p (ψ ; t )
=
σ
(14)
−δ. Согласно определению экстремальной характеристики (3) и произвольности δ > 0 из (13) и (14)
получаем оценку снизу
M σ , m, r , p (ψ ; t ) ≥
1
.
aσ , m, r , p (ψ ; t )
(15)
Теперь из сопоставления неравенств (10) и (15)
следует двойное неравенство (4), чем и завершаем
доказательство теоремы 1.
Из доказанной теоремы 1 можно вывести ряд
следствий.
Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и, кроме того, весовая функция ψ является
неубывающей на отрезке [0, t ]. Тогда при любом
0 < t ≤ 3π / (4σ ) справедливо равенство
=
M σ , m , r , p (ψ ; t )
=: σ
−r
a
(ψ ; t ,σ )} :
{=
−1
m,r , p
 t  sin στ mp

 ∫ 1 −
 ψ (τ ) dτ 
στ 
0

−1/ p
.
(16)
r −1/ p
 u rp a  sin ( u τ / σ ) mp

   1 −

g
τ
d
τ
(
)

  σ  ∫0 

( u τ / σ ) 


, (17)
где σ ≤ u < ∞ . Из равенства (17) следует, что
inf am , r , p ( g (σ ⋅) ; a / σ , u ) =
σ r −1/ p inf am, r , p ( g ; a, x ) ,
σ ≤ u <∞
x ≥1
где ради удобства положено 1/ p
 a  sin xτ mp

am , r , p ( =
g ; a, x )  x rp ∫ 1 −
g (τ ) dτ 



xτ 
 0

.
Введем новую экстремальную характеристику
M σ , m, r , p ( g ; a ) = sup
f ∈L(2r ) ( R )
σ r Aσ ( f )2
1/ p
 a p (r )

 ∫ Ω m ( f ;τ / σ ) g (τ ) dτ 
0

.
Следствие 3. Пусть m ∈ N, r ∈ Z+ , 0 < p ≤ 2 и
g (τ ) – некоторая неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке [0, a] функция, где a ∈ (0, π ] .
Тогда справедливы неравенства
{a
m , r , p ( g ; a,1)}
−1
При этом если
Из следствия 1 вытекает
— 216 —
{
}
≤ M σ , m, r , p ( g ; a ) ≤ inf am, r , p ( g ; a, x )
x ≥1
−1
.
К. Тухлиев. О некоторых экстремальных задачах наилучших приближений целыми функциями
Из равенства (16) для произвольной f ∈ L(2r ) ( R )
вытекает неравенство
inf am , r , p ( g ; a, x ) = am , r , p ( g ; a,1) ,
x ≥1
то имеет место равенство
Aσ ( f ) L ( R )
1
M σ , m, r , p ( g ; a ) =
.
am, r , p ( g ; a,1)
2
Известно [18, с. 236], что если f ∈ L ( R ) , то
все промежуточные производные f ( r − s ) ∈ L(2r ) ( R )
(s = 1, 2, ..., r –1), а потому представляет несомненный интерес отыскать значение экстремальных характеристик, содержащих величины наилучших
приближений
промежуточных
производных
вместо величины наилучших при-
L2 ( R )
ближений Aσ ( f ) L2 ( R ) элементами gσ ∈ Bσ ,2 в нор-
ме пространства L(2r ) ( R ) .
Теорема 2. Пусть m ∈ N, r ∈ Z+ , 0 < p ≤ 2, σ ∈ R + ,
0 < h ≤ 3π / (4σ ), ψ (τ ) – некоторая суммируемая
на отрезке [0, t] функция, тождественно не равная
нулю. Тогда имеет место равенство
sup
f ∈L(2r )
σ 2 Aσ ( f ( r − s ) ) L
1/ p
 t p (r )

 ∫ Ω m ( f ;τ )ψ (τ ) dτ 
0

  sin στ 

ψ (τ ) dτ 
=  ∫ 1 −

 

στ 
0

mp
=
−1/ p
, (18)
∫
=
F ( f ,τ )
2
2( r − s )
=
F ( f ,τ ) dτ
∫τ
|τ |≥σ
τ
2( r − s )
F ( f ,τ )
2s/r
dτ . (19)
Применяя к правой части (19) неравенство
Гёльдера для интегралов, получаем
L2 ( R )
Aσ ( f ) L ( R )
2
−1/ p
⋅
1/ p
t

⋅  ∫ Ω mp ( f ;τ )ψ (τ ) dτ 
0

.
В последнем неравенстве, заменяя f на f (r), будем иметь
Aσ ( f
(r )
)
L2 ( R )
 t  sin στ mp

≤  ∫ 1 −
ψ (τ ) dτ 

 

στ 
0

−1/ p
≤
.
(R )
 t p (r )

 ∫ Ω m ( f ;τ )ψ (τ ) dτ 
0

)
 t  sin στ mp

ψ (τ ) dτ 
≤  ∫ 1 −

 

στ 
0

−1/ p
,
(23)
откуда сразу следует оценка сверху.
Чтобы получить соответствующую оценку снизу, вводим в рассмотрение функцию fε ∈ L(2r ) ( R ) ,
использованную нами при доказательстве аналогичной оценки в теореме 1. Учитывая, что пре­
образование Фурье функции fε имеет вид (11), будем иметь
1/ 2
(
(22)
≤


2
Aσ ( fε
F ( fε ,τ ) τ 2( r − s ) 
)L2 (R ) =



 =
2 2r
2
∫

≤  ∫ F ( f ,τ ) τ dτ 
 ∫ F ( f ,τ ) dτ  =
 |τ |≥σ





 |τ |≥σ

 |τ |≥σ

σ +ε


2(1− s / r )
2s/r
=  2 ∫ τ 2( r − s ) dτ  ≥ 2εσ ( r − s ) ,
(r )
.
Aσ ( f ) L ( R )
 σ

= Aσ ( f ) L2 ( R )
(20)
2
1− s / r
(
⋅
Воспользуясь вышеприведенными неравенствами (21) и (22), из (20) для произвольной функции
f ∈ L(2r ) ( R ) получим
1/ p
2(1− s / r )
(21)
 t  sin στ mp

≤  ∫ 1 −
ψ (τ ) dτ 

 

στ 
0

2
|τ |≥σ
Aσ2 ( f ( r − s ) )
.
При r = 0 из (21) имеем
σ s Aσ ( f ( r − s ) ) L
Доказательство. Пользуясь схемой рассуждения [10], наилучшее приближение промежуточных
производных посредством целых функций экспоненциального типа σ представим в виде
L2 ( R )
t

⋅  ∫ Ω mp ( f ( r ) ;τ )ψ (τ ) dτ 
0

t

⋅  ∫ Ω mp ( f ( r ) ;τ )ψ (τ ) dτ 
0

где s = 0, 1, 2, ..., r
=
Aσ2 ( f ( r − s ) )
⋅
1/ p
2 (R )
t
−1/ p
1/ p
(r )
2
Aσ ( f ( r − s ) )
 rp t  sin στ mp

≤  σ ∫ 1 −
 ψ (τ ) dτ 

στ 
0


s/r
(r −s)
)
— 217 —
Вестник ТГПУ (TSPU Bulletin). 2015. 2 (155)
а потому, используя неравенства (12), запишем
Из неравенства (23) находим
1/ p
σ s Aσ ( f ( r − s ) ) L
 t p (r )

 ∫ Ω m ( fε ;τ )ψ (τ ) dτ 
0

≤ 2ε (σ + ε )
≤ Aσ ( fε( r − s ) )
r
≤
sup
f ∈L(2r ) ( R )
 t  sin (σ + ε )τ
 1 −
 ∫0 
( σ + ε )τ

1/ p
mp


 ψ (τ ) dτ 



σ s − r (σ + ε ) ⋅
r
L2 ( R )
 t  sin (σ + ε )τ
⋅  ∫ 1 −
0
( σ + ε )τ

(r )
2
1/ p
mp


 ψ (τ ) dτ 



.
≤
≥
(R )
1/ p


p
(r )
 ∫ Ω m ( f ;τ )ψ (τ ) dτ 
0

t
σ s Aσ ( fε( r − s ) ) L
(r)
2
(R )
1/ p
 t p (r )

 ∫ Ω m ( fε ;τ )ψ (τ ) dτ 
0

≥
r  t
 σ    sin (σ + ε )τ
≥
 ∫ 1 −
( σ + ε )τ
 σ + ε   0 

mp
t
→  1 − sin στ  ψ (τ ) dτ 
 ∫ 

στ 
0

ε →0
≥
mp


 ψ (τ ) dτ 



−1/ p
.
−1/ p
ε →0
→
(24)
Сопоставляя оценку сверху (23) и оценку снизу
(24), приходим к требуемому равенству (18), чем
и завершаем доказательство теоремы 2.
Список литературы
1. Бернштейн С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при помощи целых функций данной
степени // Собрание сочинений. Т. II. М.: АН СССР. 1952. С. 371–375.
2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 406 c.
3. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 с.
4. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.
5. Ибрагимов И. И. Теория приближения целыми функциями. Баку: Элм, 1979. 468 с.
6. Ибрагимов И. И., Насибов Ф. Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых
функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т. 194. № 5. С. 1013–1016.
7. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика.
1972. № 6. С. 65–73.
8. Магарил-Ильяев Г. Г. Средняя размерность, поперечники и оптимальное восстановление соболевских классов функций на прямой //
Мат. сборник. 1991. Т. 182. № 11. С. 1635–1656.
9. Магарил-Ильяев Г. Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на прямой // ДАН СССР. 1991. Т. 318. № 1. С. 35–38.
10. Вакарчук С. Б., Доронин В. Г. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов // Укр. мат. журнал. 2010. Т. 62. № 8. С. 1032–1043.
11. Вакарчук С. Б. О некотрых экстремальных задачах теории аппроксимации функций на вещественной оси I // Укр. мат. вiсник. 2012. Т. 9.
№ 3. С. 401–429; II, Укр. мат. вiсник. 2012, Т. 9, 4. С. 578–602.
12. Шабозов М. Ш., Мамадов Р. Наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа в L2 (R) // Вестник Хорогского гос­
университета. 2001. № 4. С. 76–81.
13. Шабозов М. Ш., Вакарчук С. Б., Мамадов Р. О точных значениях средних n-поперечников некоторых классов функций // ДАН РТ. 2009.
Т. 52. № 4. С. 247–254.
14. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. О точных значениях средних n-поперечников некоторых классов целых функций // Труды Инст. матем.
и мех. УрО РАН. 2012. Т. 18. № 4. С. 315–327.
15. Лигун А. А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 // Матем. заметки. 1978. Т. 24. № 6. С. 785–792.
16. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2π-периодических функций и точные
значения их поперечников // Матем. заметки. 2011. Т. 90. № 5. С. 764–775.
17. Hardy G. G., Littlewood J. E. and Polya G. Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952. 346 p.
18. Бекенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965. 276 c.
— 218 —
К. Тухлиев. О некоторых экстремальных задачах наилучших приближений целыми функциями
Тухлиев К., кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой.
Худжандский государственный университет им. Б. Гафурова.
Ул. Мавлонбекова, 1, Худжанд, Республика Таджикистан, 735700.
E-mail: kamaridin.t54@mail.ru
Материал поступил в редакцию 22.12.2014
K. Tukhliev
On some extremal problems of the best approximation by entire functions
In this paper a number of extremal problems of approximation theory of square summable functions on the whole
line R =: (–∞, +∞) by entire functions of exponential type. In the space L2(R) of the exact constants of JacksonStechkin type inequalities were calculated. Found There was found the upper bounds approximation of classes of
functions L2(R), defined with the help of the average modulus of continuity of m-th order, where instead of the shift
operator Th ( f ,=
x ): f ( x + h ) is used Steklov’s operator Sh ( f ).
Similar smoothness characteristics for solving the extremal problems of approximation theory for periodic
functions in L2[0,2π] were previously considered in the works by V. A. Abilov, F. I. Abilova, S. B. Vakarchuk, M. Sh.
Shabozov and others. It is proved that the obtained results in this paper are ultimate does not approving.
Key words: the best approximation, modulus of continuity of m-order, Jakson-Stechkin type inequality, entire
function of exponential type, operator of Steklova.
References
1. Bernshteyn S. N. O nailuchshem priblizhenii nepreryvnykh funktsiy na vsey veshchestvennoy osi pri pomoshchi tselykh funktsiy dannoy stepeni
[On the best approximation of continuous functions on the whole real axis by entire functions of given degree]. Sobranie sochineniy – Collected
Works, vol.2. Moscow, AN SSSR Publ., 1952, pp. 371–375 (in Russian).
2. Akhiezer N. I. Lektsii po teorii approksimatsii [Lectures on the theory of approximation]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 406 p. (in Russian).
3. Nikol'skiy S. M. Priblizhenie funktsiy mnogikh peremennykh i teoremy vlozheniya [Approximation of functions of several variables and imbedding
theorems]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 480 p. (in Russian).
4. Timan A. F. Teoriya priblizheniya funktsiy deystvitel'nogo peremennogo [Theory of approximation of functions of a real variable]. Moscow,
Fizmatgiz Publ., 1960. 624 p. (in Russian).
5. Ibragimov I. I. Teoriya priblizheniya tselymi funktsiyami [Theory of approximation of entire functions]. Baku, Elm Publ., 1979. 468 p. (in Russian).
6. Ibragimov I. I., Nasibov F. G. Ob otsenke nailuchshego priblizheniya summiruemoy funktsii na veshchestvennoy osi posredstvom tselykh funktsiy
konechnoy stepeni [Estimating the best approximation of summable functions on the real axis by entire functions of finite degree]. DAN SSSR,
1970, vol. 194, no. 5, pp. 1013–1016 (in Russian).
7. Popov V. Yu. O nailuchshikh srednekvadraticheskikh priblizheniyakh tselymi funktsiyami eksponentsial'nogo tipa [The best mean-square
approximations by entire functions of exponential type]. Izv. Vuzov. Mathematica – Russian Mathematics (Iz. VUZ), 1972, no. 6, pp. 65–73
(in Russian).
8. Magaril-Il'yaev G. G. Srednyaya razmernost', poperechniki i optimal'noe vosstanovlenie sobolevskikh klassov funktsiy na pryamoy [Mean
dimension, widths, and optimal recovery of Sobolev classes of functions on the line]. Matematicheskiy sbornik – Sbornik: Mathematics, 1991,
vol. 182, no. 11, pp.1635–1656 (in Russian).
9. Magaril-Il'yaev G. G. Srednyaya razmernost' i poperechniki klassov funktsiy na pryamoy [Mean dimension and widths of classes of functions on
the line]. DAN SSSR, 1991, vol. 318, no. 1, pp.35–38 (in Russian).
10. Vakarchuk S. B., Doronin V. G. Nailuchshie srednekvadraticheskie priblizheniya tselymi funktsiyami konechnoy stepeni na pryamoy i tochnye
znacheniya srednikh poperechnikov funktsional'nykh klassov [The best mean-square approximation of entire functions of finite degree on the line
and the exact values of the mean widths of functional classes]. Ukrainskiy matematicheskiy zhurnal – Ukrainian Mathematical Journal, 2010,
vol. 62, no. 8, pp. 1032–1043 (in Russian).
11. Vakarchuk S. B. O nekotrykh ekstremal'nykh zadachakh teorii approksimatsii funktsiy na veshchestvennoy osi I [Some extreme problems in the
theory of approximation of functions on real axis I]. Ukr. mat. Visnik – Ukrainian methematical bulletin, 2012, vol. 9, no. 3, pp. 401–429; II, Ukr.
mat. visnik, 2012, vol.9, no. 4, pp. 578–602 (in Russian).
12. Shabozov M. Sh., Mamadov R. Nailuchshee priblizhenie tselymi funktsiyami eksponentsial'nogo tipa v L2 (R) [The best approximation of entire
functions of exponential type in L2 (R)]. Vestnik Khorogskogo gosudarstvennogo universiteta – Bulletin of Khorogskiy State University, 2001,
no. 4, pp. 76–81 (in Russian).
13. Shabozov M. Sh., Vakarchuk S. B., Mamadov R. O tochnykh znacheniyakh srednikh n-poperechnikov nekotorykh klassov funktsiy [On exact
values of the n-widths mean of certain classes of functions]. DAN RT, 2009, vol. 52, no. 4, pp. 247–254 (in Russian).
14. Shabozov M. Sh., Yusupov G. A. O tochnykh znacheniyakh srednikh n-poperechnikov nekotorykh klassov tselykh funktsiy [On exact values of
the n-widths mean of certain classes of entire functions]. Trudy instituta matematiki i mekhaniki UrO RAN – Proceedings of Inst. Mat. and fur. UB
RAS, 2012, vol. 18, no.4, pp. 315–327 (in Russian).
— 219 —
Вестник ТГПУ (TSPU Bulletin). 2015. 2 (155)
15. Ligun A. A. Nekotorye neravenstva mezhdu nailuchshimi priblizheniyami i modulyami nepreryvnosti v prostranstve L2 [Some inequalities between
best approximations and module of continuity in the space L2]. Matematicheskie zametki – Mathematical Notes, 1978, vol. 24, no. 6, pp.785–792
(in Russian).
16. Shabozov M. Sh., Yusupov G. A. Nailuchshie polinomial'nye priblizheniya v L2 nekotorykh klassov 2π-periodicheskikh funktsiy i tochnye
znacheniya ikh poperechnikov [The best polynomial approximation in L2 of some classes of 2π-periodic functions and the exact values of their
widths]. Matematicheskie zametki – Mathematical Notes, 2011, vol. 90, no. 5, pp.764–775 (in Russian).
17. Hardy G. G., Littlewood J. E. and Polya G. Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed., 1952. 346 p.
18. Beckenbach E., Bellman R. Neravenstva [Inequality]. Moscov, Mir Publ., 1965. 276 p. (in Russian).
Khujand State University named B. Gafurov.
Ul. Mavlonbekova, 1, Khujand, Respublika Tajikistan, 735700.
E-mail: kamaridin.t54@mail.ru
— 220 —
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
504 Кб
Теги
функциям, приближение, экстремальных, некоторые, наилучший, задача, целым
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа