close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О предварительных условиях спрямляемости некоторых пространственных тканей.

код для вставкиСкачать
¬≈—“Ќ» 250
Ѕронислав ѕетрович –”ƒј ќ¬ Ч
доцент кафедры математики “юменского
государственного архитектурностроительного университета,
кандидат физико-математических наук
”ƒ 514.763.7, 517.518.43, 519.674, 519.675
ќ ѕ–≈ƒ¬ј–»“≈Ћ№Ќџ’ ”—Ћќ¬»я’ —ѕ–яћЋя≈ћќ—“»
Ќ≈ ќ“ќ–џ’ ѕ–ќ—“–јЌ—“¬≈ЌЌџ’ “ јЌ≈…
јЌЌќ“ј÷»я. ”казаны необходимые и достаточные услови¤ (типа
F.Gronwall) представлени¤ уравнени¤ с четырьм¤ переменными составными шкальными номограммами со всеми криволинейными шкалами. Ќайдены необходимые услови¤ представимости номограммами первого жанра
с криволинейной ответной шкалой.
The necessary and sufficient conditions (such as “.Gronwall) representation
of the equation with four variable by compound slide-rule nomograms with all
curvilinear scales are specified. The necessary conditions of representation by
nomograms of the first genre with curvilinear answer-back scale are found
ѕусть совокупность четырех семейств поверхностей
t j ( x , y , z ) = t j = Const ., ( j = 1 ? 4 )
(1)
определ¤ет ткань трехмерного пространства [1]. »звестно, что исключение x, y,
z из (1) приводит к уравнению ткани; возьмем его в виде
(2)
t 4 = f ( t 1 ,t 2 , t 3 ) .
»нтерес представл¤ет определение условий, при выполнений которых образованна¤ поверхност¤ми ткань (1) была бы топологически эквивалентна ткани,
образованной семействами плоскостей [1].
ак известно [1], в этих случа¤х коррел¤тивное преобразование пространства преобразует ткань из плоскостей в номограмму из выравненных точек,
определ¤емую уравнением
| f i 1 ( t i ) ; f i 2 ( t i ) ; f i 3 ( t i ) ; 1 |= 0 (i =1- 4).
(3)
¬ работе рассматриваетс¤ случай, когда коррел¤тивный образ спр¤мленной
пространственной ткани дает номограмму из четырех плоских шкал, лежащих
попарно в двух плоскост¤х. ƒл¤ определенности будем считать, что шкалы t1, t2
принадлежат координатной плоскости y = 0 , а шкалы t3, t4 Ч плоскости z = 0 ,
чего, очевидно, можно достигнуть надлежащим проективным преобразованием
пространства. ѕри этих услови¤х, как показал R. Soreau [2 ], детерминантное
уравнение (3) примет вид
f i1 ( t i ) ,
f k 1 ( t k ),
0 ,
f i2 ( ti ) ,
1
0 ,
1
f k 2 ( tk ) ,
= 0 ( i = 1, 2 ; k = 3 , 4 ) ,
(4)
и пространственна¤ номограмма с этим уравнением допускает плоский эквивалент Ч составную (створную) номограмму из двух подномограмм с общей
пр¤молинейной немой шкалой ? :
f i1 , f i 2 , 1
?
0
1
= 0,
fk1 , fk 2 , 1
?
0
1
=0
,
(4?)
“ёћ≈Ќ— ќ√ќ √ќ—”ƒј–—“¬≈ЌЌќ√ќ ”Ќ»¬≈–—»“≈“ј
251
где f jr Ч сокращенное обозначение функции f jr ( t j ) ( j = 1 ? 4; r = 1,2 ).
„то касаетс¤ теоретикоЦфункциональных условий, то в дальнейшем будем
считать, что однозначна¤ функци¤
f (t 1 ,t 2 ,t 3 ) уравнени¤ (2), определенного в
некоторой пр¤моугольной области G:
? i < ti < ? i , (i = 1 ? 3 ),
обладает в этой области непрерывными частными производными достаточно
высокого пор¤дка и отличными от нул¤ производными первого пор¤дка
(i = 1 ? 3). “ак что рассматриваемые далее функции
(t )/
(t )/
M = ? 4 2/ , M = ? 4 3/ ,
(t 4 )1
(t 4 )1
где
(t )
/
4
j
?
области G.
? t4
?tj
?f
? f i? ,
? ti
(5)
( j = 1 ? 3), будут достаточно гладкими и отличными от нул¤ в
ќтносительно функций f jr ( t j ) ? f jr уравнени¤ (4) считаем, что они обладают производными необходимого пор¤дка.
1. ќб услови¤х спр¤мл¤емости некоторых пространственных тканей
”кажем необходимое и достаточное условие представимости уравнени¤ (2)
номограммой (4), где все шкалы криволинейны. ƒоказательство проведем в форме, предложенной ѕ. ¬. Ќиколаевым [4] дл¤ уравнени¤ с трем¤ переменными.
¬ведем следующие обозначени¤:
?j =
?4 =
?6 =
U /j
U 3/
V j/
V3/
U 3/
//
U 11
V3/
V11//
U 3/
//
U 13
V3/
V13//
где U =
V =
( j = 1,2 ); ?3 =
+
+
U 1/
//
U 13
V1/
V13//
U 1/
//
U 33
V1/
V33//
U 3/
//
U 12
V3/
V12//
; ?5 =
; ?7 =
+
U 1/
//
U 23
V1/
V23//
U 3/
//
U 23
V3/
V23//
U 1/
//
U 13
V1/
V13//
( f 12 ? f 22 ) f 32
( f 12 ? f 22 ) f 31 + f 11 f 22 ?
f 12 f 21
;
;
(6)
,
,
( f 11 f 22 ? f 12 f 21 ) f 32
( f 12 ? f 22 ) f 31 + f 11 f 22 ? f 12 f 21 .
(7)
Ћемма (типа F. Gronwall [3]). ”равнение (2) тогда и только тогда представимо номограммой (4), когда при заданных функци¤х M , M (5) существует
решение относительно функций f jr ( j = 1 ? 3; r = 1,2 ) следующей системы дифференциальных уравнений:
?1 ? M + ? 2 = 0 ,
(8)
(ln M )1/ + M1 (ln M )2/ + ??3 ? ??4
2
1
=0 ,
(9)
¬≈—“Ќ» 252
(
1
? M 2/ ? ln M
M
)3/ + ??5 + ??6 + ??? ??7 + ??3 ???M = 0 .
2
?
1
1
2
(10)
?
f 42 = U ? f 41 + V ,
»з (4) имеем:
где U, V есть (7).
ƒифференциру¤ (11) отдельно по
(5), получим:
(U
(U
(11)
t j ( j = 1 ? 3) и состав뤤 функции M , M
) (
)M = ?(U
)
).
/
1
? f 41 + V1/ M = ? U 2/ ? f 41 + V2/ ,
(12)
/
1
? f 41 + V1/
(13)
/
3
? f 41 + V3/
»з (12), (13), соответственно, имеем:
(
? (U
) (
M )+ (V
)
M )= 0 .
f 41 ? U 2/ + U 1/ M + V2/ + V1/ M = 0 ,
f 41
/
3
+ U 1/
/
3
+ V1/
»з совместности системы (14Ц15) относительно
(14)
(15)
f 41 находим:
U 2/ + U 1/ ? M
V2/ + V1/ ? M
U 3/ + U 1/ ? M
V3/ + V1/ ? M
=0,
(16)
откуда получаем:
?1 ? M ?
U 1/
U 2/
V1/
V 2/
? M + ?2 = 0 .
(17)
»з (11) имеем тождество:
f 32 = U ? f 31 + V .
ƒифференциру¤ (18) по
(18)
t j ( j = 1,2 ) , найдем, что выполн¤етс¤ условие
U 1/ U 2/
V1/ V2/
=0;
(19)
следовательно, уравнение (17) принимает вид (8).
–ассмотрим уравнение (15). ѕрежде заметим, что
U 3/ + U 1/ ? M ? 0 .
(20)
ƒействительно, допустив обратное, из (15) имели бы, что ? 1 ? 0 , что приводит к условию
( f 12 ?
f 22 ) f 31 + f 11 f 22 ? f 12 f 21 = 0 . Ёто противоречит требовани-
¤м, наложенным на функцию f (t 1 , t 2 , t 3 ).
ƒифференциру¤ (15) отдельно по
(U
/
3
+ U 1/ M
)?f
/
j
41
(
t j ( j = 1 ? 3 ), получим:
)
(
/
/
+ U 3 + U 1 M ? ( f 41 )4 ? (t 4 ) j + V3/ + V1/ M
/
/
)
/
j
=0.
(21)
–ассмотрим систему уравнений (15), (21). ћатрица, соответствующа¤ этой
системе, будет (матрица содержит четыре строки):
? U 3/ + U 1/ M
?
??
U / + U 1/ M
? 3
(
)
/
j
0
(t 4 )/j
V3/ + V1/ M ??
/ ? ( j = 1 ? 3) .
V3/ + V1/ M j ?
?
(
)
(22)
“ёћ≈Ќ— ќ√ќ √ќ—”ƒј–—“¬≈ЌЌќ√ќ ”Ќ»¬≈–—»“≈“ј
253
¬ силу совместности системы (15), (21) относительно f 41 , ( f 41 )4 ранг матри/
цы (22) должен быть равен двум. ѕоскольку (в силу требований, наложенных
на функцию f (t 1 , t 2 , t 3 ), а также в силу (20)) определитель
U 3/ + U 1/ M
(U
/
3
+ U 1/ M
0
)
?0
(t 4 )2/
/
2
в области G,
(23)
то дл¤ того, чтобы ранг матрицы (22) был равен двум, необходимо и достаточно,
чтобы были равны нулю миноры, окаймл¤ющие определитель (23), т. е. имеем:
U 3/ + U 1/ M
(U
(U
)
M)
/
3
+ U 1/ M
/
3
+ U 1/
V3/ + V1/ M
0
(V
(V
(t 4 )2/
/
2
/
j
(t 4 )/j
/
3
(U
+ U 1/ M
(U
) + (U
/
2
/
3
/
3
+ U 1/ M
/
2
/
j
+ V1/
( j = 1,3)
=0
.
(24)
M , и использу¤ (5), получим:
U 3/ + U 1/ M
/
3
)
M)
+ V1/ M
j = 1. ѕрибав뤤 ко второй строке тре-
–ассмотрим этот определитель при
тью, умноженную на
/
3
+ U 1/ M
)
)M
/
1
0
0
(V
V 3/ + V1/ M
+ V1/ M
/
3
(V
(t 4 )/j
/
j
/
3
) + (V
/
2
/
3
+ V1/ M
)
)M
/
1
+ V1/ M
/
j
= 0 ( j = 1,3 )
. (25)
—праведливы следующие тождества:
U 1/
U 1//j
V1/
V1//j
=0
( j = 1,2 ) ,
(26)
которые нетрудно получить из (18) дифференцированием по t j
( j = 1 ,2 ), после
чего, выразив f 31 , еще раз продифференцировать по t j . ¬ силу этого из (25),
использу¤ (8), получим (9); при этом заметим, что, как и ? 1 , ? 2 ? 0 в области
G, ибо в противном случае функци¤ f t 1 ,t 2 ,t 3 не удовлетвор¤ла бы наложенным на нее требовани¤м.
Ќаконец, рассмотрим определитель (24) при j = 3 . ќтнимем от третьей стро-
(
ки вторую, умноженную на
U 3/ + U 1/ M
(U
(U
/
3
/
3
+ U 1/ M
+ U 1/ M
) ? (U
/
3
/
3
)
/
2
+ U 1/ M
M
; в силу (5) получим:
M
V3/ + V1/ M
0
)
/
2
(t 4 )2/
?
M
M
)
0
(V
(V
/
3
/
3
+ V1/
)
M ) ? (V
+ V1/ M
/
3
/
2
/
3
+ V1/ M
)
/
2
= 0 ( j = 1,3 ). (27)
?
M
M
«аметим, что справедливо тождество:
f f ? f 12 f 21
V
= 11 22
.
U
f 12 ? f 22
(28)
¬≈—“Ќ» 254
ƒважды дифференциру¤ (28) по
t 3 получим:
U 3/
//
U 33
V3/
V33//
= 0.
(29)
Ќо тогда, раскрыва¤ определитель (27) и использу¤ (8), получим (10).
ƒостаточность. ƒано, что существуют функции f jr ( j = 1 ? 3; r = 1,2 ), удовлетвор¤ющие системе уравнений (8Ц10).
ќчевидны тождества: f 32 = U ? f 31 + V ,
(18)
f 12 f 21 ? f 11 f 22
U +V = 0 .
f 12 ? f 22
(28)
Ќо тогда от уравнений (9), (10) можно перейти, соответственно, к соотношени¤м (25), (27) и, следовательно, справедливы соотношени¤ (24). ѕоследние
означают совместность относительно функций
F = F (t 1 ,t 2 ,t 3 ), ? = ? (t 1 ,t 2 ,t 3 ) .
системы уравнений:
(
(30)
)
(U
/
3
+ U 1/ M )? F + V3/ + V1/ M = 0 ,
(U
/
3
/
+ U1/ M j ? F + (U 3/ + U1/ M )? ? ? (t4 )j + (V3/ + V1/ M )j = 0
)
/
/
ƒифференциру¤ первое уравнение отдельно по
( j = 1 ? 3).
(31)
t j ( j = 1 ? 3) и сравнива¤ со
вторым при соответствующем значении j, получим: F j = ? ? (t 4 ) j ( j = 1 ? 3) . ќтсюда нетрудно перейти к следующей системе однородных уравнений относительно функции F:
/
/
Fi / ?
(t 4 )i/ /
?F
(t 4 )1/ 1
= 0 (i = 2 ,3).
(32)
Ќетрудно проверить, что система (32) Ч ¤кобиева. —остав뤤 уравнение в
полных дифференциалах, соответствующее системе (32), и интегриру¤ его, получим: t 4 = —onst .
—ледовательно, общим решением системы (32) будет F = ? (t 4 ), где ? Ч
произвольна¤ функци¤, т. е. F есть функци¤ от t 4 = f (t 1 ,t 2 ,t 3 ). ќбозначив ее
через f41, будем иметь из (31):
(
) (
)
f 41 ? U 3/ + U 1/ M + V3/ + V1/ M = 0 .
(15)
ƒл¤ дальнейшего отметим, что имеют место следующие тождества:
U 2/ + U 1/ M = 0 , V 2/ + V1/ M = 0 ,
(33)
что нетрудно проверить, стоит только вместо M подставить его выражение из
(8). Ќо тогда справедливо соотношение:
(
)
f 41 ? U 2/ + U 1/ M + (V 2/ + V1/ M ) = 0 .
(14)
”равнени¤ (14), (15) запишем в виде
(U ? f 41 + V )1/ ? M + (U ? f 41 + V )2/
=0,
(34)
(U ? f 41 + V )1/ ? M + (U ? f 41 + V )3/
= 0.
(35)
“ёћ≈Ќ— ќ√ќ √ќ—”ƒј–—“¬≈ЌЌќ√ќ ”Ќ»¬≈–—»“≈“ј
—лучай ј).
(U ? f 41 + V )1/
ѕусть
= 0.
(U ? f 41 + V )i
/
“огда из (34Ц35) следует, что
255
(36)
= 0 (i = 2 ,3). —ледовательно,
U ? f 41 + V есть функци¤ от t4. ќбозначив ее через f42, будем иметь:
f 42 = U ? f 41 + V ,
т. е. уравнение (2) представимо номограммой (4).
(U ? f 41 + V )1/
—лучай ¬). ѕусть
(11)
?0 .
(37)
“огда из (34), (35), соответственно, имеем:
?M =
?M =
U 2/ ? f 41 + V 2/
U 1/ ? f 41 + V1/
U 3/ ? f 41 + V3/
U 1/ ? f 41 + V1/
;
(12)
,
(13)
т. е. имеем следующую систему линейных неоднородных дифференциальных
уравнений относительно t4:
(t )
/
4 i
U i/ ? f 41 + Vi /
? /
(t 4 )1/ = 0 (i = 2 ,3).
/
U 1 ? f 41 + V1
(38)
Ёти уравнени¤ независимые, т. к. ранг матрицы, соответствующей системе
(38), равен двум.
—остав뤤 скобки якоби, нетрудно убедитьс¤, что система (38) Ч замкнута¤.
Ќахождение ее решени¤ сведем к интегрированию замкнутой системы однородных дифференциальных уравнений. ƒл¤ этого вместо того, чтобы непосредственно искать функцию t4, удовлетвор¤ющую системе (38), будем искать уравнение
? (t1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 ) = 0 ,
(39)
которому эта функци¤ удовлетвор¤ет.
( )
t 4 /j
»з (39) имеем:
=?
? /j
? 4/
( j = 1 ? 3).
(40)
ќтсюда следует, что соотношени¤ (полученные из (38) после замены в них
(t )
4
/
j
их выражени¤ми (40))
U i/ ? f 41 + Vi /
U 1/
?
f 41 + V1/
? ?1/ ? ? i/ = 0
(i = 2,3)
(41)
должны обращатьс¤ в нуль после замены в них t4 его значением, найденным из (39).
—истему (41) можно записать в виде:
U i/ ? f 41 + Vi /
U 1/ ? f 41 + V1/
4
? ?1/ ? ? ? i j ? /j = 0
j =2
(i = 2 ,3),
(41*)
где ? i j Ч символ ронекера.
—ледовательно, мы пришли к системе однородных дифференциальных уравнений, котора¤, как нетрудно проверить, ¤вл¤етс¤ полной и ¤кобиевой. Ќетрудно
найти, что общим ее решением ¤вл¤етс¤ произвольна¤ функци¤ от аргументов t4,
U ? f 41 + V , т. е.
? ( t4 ; U ? f 41 + V ).
¬≈—“Ќ» 256
«начит, общее решение системы (38) найдем, отыскива¤ t4 из уравнени¤
? (t 4 ; U ? f 41 + V ) = 0 .
(42)
ќтсюда, в частности, имеем: t4 = E ( U ? f 41 + V ), где E Ч произвольна¤
функци¤, или f 42 (t 4 ) = U ? f 41 (t 4 ) + V
(11);
т.е, уравнение (2) допускает номограмму (4).
“еорема доказана.
—ледствие 1. ≈сли уравнение (2) представимо номограммой (4) (любого
жанра), то функци¤ M (4) удовлетвор¤ет условию
M 3/ = 0 .
(43)
—праведливость этого утверждени¤ нетрудно проверить, выража¤ функцию
ћ из уравнени¤ (8) через функции fjr номограммы (4).
2. Ќеобходимые услови¤ спр¤мл¤емости некоторых пространственных
тканей
¬ дальнейшем (без нарушени¤ общности) рассмотрим случай, когда двойственный образ спр¤мленной пространственной ткани дает пространственную створную
номограмму первого жанра c ответной криволинейной шкалой t4 с уравнением
1
0
f 21 ( t 2 )
0
0
f 41 ( t 4 )
f 12 ( t1 )
1
1
1
f 32 ( t 3 )
0
1
f 42 ( t 2 )
0
1
= 0,
(4*)
где между функци¤ми f41(t4), f42(t4) не существует линейной зависимости. “акую номограмму обозначим T4.
“еорема 1. ≈сли уравнение (2): t4 = f(t1, t2, t3) представимо номограммой T4
(4*), то функции M , M (5) удовлетвор¤ют услови¤м:
M 3/ = 0 , (ln M )12 = 0 , (ln M )13 ? 0 .
//
//
(44)
”словие M 3/ = 0 выполн¤етс¤ в силу следстви¤ 1.
оррел¤тивным образом номограммы T4 (4*) ¤вл¤етс¤ пространственна¤
ткань с уравнением (2), образованна¤ семейством плоскостей t4, принадлжащих
св¤зке, и трем¤ пучками плоскостей tr(r= 1 Ц 3) таких, что пучки плоскостей
t1, t2 принадлежат одной св¤зке, а семейства плоскостей t3, t4 Ч другой. Ёту ткань
также обозначим T4. Ќа плоскост¤х любого семейства плоскостей tj ткани T4
плоскости остальных трех семейств высекают, очевидно, пр¤молинейные ткани.
¬ычис뤤 кривизны [1] этих тканей ткани T4, функци¤ которой имеет вид
W = f ( t1 ,t2 ,t3 ) ? t4 ,
получим:
k1 =
(f )
/ 2
1
k3 = ?
//
1
? M ?
? ? ln
? (ln M
? , k2 =
2
/
? M ? M ? M ? 23
f1 ? M
1
( )
1
(f )
/ 2
1
? (ln M )12 ,
//
?M
(2*)
?
)13// ,?
k 4 = ? (k 1 + k 2 + k 3 ).
?
?
? (45)
?
?
“ёћ≈Ќ— ќ√ќ √ќ—”ƒј–—“¬≈ЌЌќ√ќ ”Ќ»¬≈–—»“≈“ј
257
Ќа плоскост¤х семейства t4 плоскости других трех семейств высекают, как
известно [1], пр¤молинейные шестиугольные ткани. —ледовательно, k 4 = 0 , т.е.
k1 + k 2 + k3 = 0 .
ƒалее, кривизны
ai (i = 1,2 ,3 ) любой ткани с уравнением (2*), удовле-
a1 + a2 + a3 = 0 ,
твор¤ющие [1] условию:
вычисл¤ютс¤ по формулам:
(46)
/
1
1 ? M?
(lnM )2/ , a3 = ? / 1 (lnM )3/
a1 = ? / ? ln ? , a 2 = /
f1 ? ћ
f1 ? ћ
f 1 ? M ?1
(47)
¬ силу услови¤ (46) имеем:
/
(
1
? M?
? ln ? ? ? ln M
? M ?1 M
)2/ +
1
? (ln M )3/ = 0 .
M
(48)
— учетом M 3/ = 0 (43) последнее равенство примет вид:
(49)
? M ? (ln M )13 = (lnM )23 .
/
«аметим, что услови¤ (43): M 3 = 0 и (49) эквивалентны. —праведливость
этого нетрудно проверить, использу¤ выражени¤ функций M , M (5). ќтметим
//
//
также, что дифференцированием (49) по t3 и в силу услови¤
? M ? (ln M )13 = (lnM )23
//
M 3/
= 0, получим:
//
(50)
Ќа плоскост¤х семейств t3 плоскости других трех семейств высекают пр¤молинейные ткани, которые также ¤вл¤ютс¤ шестиугольными. ƒействительно, в
силу того, что
k 4 = 0 и в силу (43), из (45) имеем:
k 3 = ? (k1 + k 2 ) = ?
?1
//
// ?
?? M (ln M )23 + (ln M )13 ?? .
/ 2
( f1 ) ? M
1
(51)
Ќо тогда выражение, сто¤щее в квадратных скобках(51), в силу (50) тождественно равно нулю, т.е. k 3 = 0 .
»з (51) имеем: что k 1 + k 2 = 0 . ясно, что ни одно из k1 , k 2 не равно нулю,
в противном случае они бы совместно обратились в нуль, т. е. все k j = 0 ( j = 1 ? 4 ).
Ќо тогда ткань T4 была бы шестиугольной [1], а ее коррел¤тивным образом
¤вл¤лась бы номограмма (3) нулевого жанра [5].
//
»так, k 1 ? 0 , k 2 ? 0 , т.е. имеет место (ln M )13 ? 0 .
“еорема доказана.
—ѕ»—ќ Ћ»“≈–ј“”–џ
1. Ѕл¤шке ¬. ¬ведение в геометрию тканей. ћ., 1959.
2. Soreau, R. Nomographie ou Traite des Abaques, tome premier, p. 345. Paris, 1921.
3 Gronwall, T. H. Sur les equations entre trios variables representables par les
nomogrammes a points alignes // Journ. mathem. pures et appliques, ser. 6 , 8. Paris, 1912.
4 Ќиколаев ѕ. ¬. ќ представлении уравнений номограммами второго жанра. ƒјЌ
———–, т. 157, є 6, 1964.
5 ƒураков (–удаков) Ѕ. ѕ. ќ представлении уравнений с четырьм¤ переменными
составными номограммами нулевого жанра. // ”ч. зап. —вердл. гос. пед. ин-та, вып. 31,
1965. —. 29Ц49.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
385 Кб
Теги
условия, предварительно, спрямляемости, пространственной, некоторые, тканей
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа