close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О приведении системы ОДУ к каноническому виду.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ
IZVESTIA
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA
имени В. Г. БЕЛИНСКОГО
IMENI V. G. BELINSKOGO
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
№26 2011
№26 2011
УДК: 514.763.7
О ПРИВЕДЕНИИ СИСТЕМЫ ОДУ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
c А. А. ДУЮНОВА
Московский Педагогический Государственный Университет,
кафедра геометрии и топологии
e-mail: duyunova_anna@mail.ru
Дуюнова А. А. — О приведении системы оду к каноническому виду // Известия ПГПУ им.
В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 76–81. — Системе обыкновенных дифференциальных уравнений
соответствует три-ткань W (1, n, 1), образованная двумя n-параметрическими семействами кривых и однопараметрическим семейством гиперповерхностей. Рассматривается задача о приведении системы ОДУ
к каноническому виду с помощью основного тензора ткани W (1, n, 1).
Ключевые слова: три-ткань, система обыкновенных дифференциальных уравнений
Duyunova A. A. — On the problem to reduce the system of ODE to a canonical form // Izv.
Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 76–81. — A three-web W (1, n, 1)
consisting of two n-parameter families of curves and one-parameter family of hypersurfaces is corresponded to
the given system of ordinary differential equations. We consider the problem to reduce the system of ODE to a
canonical form using the so-called first structure vector of three-web W (1, n, 1).
Keywords: three-web, system of ordinary differential equations
Введение. Вопрос о приведении линейной системы ОДУ с постоянными коэффициентами к каноническому виду рассматривается, например, в [1]. Аналогично исследуется задача о приведении к каноническому виду системы линейных уравнений с частными производными первого порядка от двух независимых переменных [2]. Мы рассмотрим вопрос о приведении системы ОДУ к некоторому каноническому
виду, используя геометрический подход.
Как показано в [3], с системой обыкновенных дифференциальных уравнений
dxi
= f i t, x1 , . . . , xn ,
dt
i, j, . . . = 1, 2, . . . , n,
(1)
связан адекватный геометрический объект — три-ткань W (1, n, 1), образованная на гладком многообразии
переменных xi , t размерности n + 1 двумя n-параметрическими семействами кривых и однопараметрическим семейством гиперповерхностей: xi = const, t = const и интегральными кривыми системы (1). В
[3] были найдены структурные уравнения ткани W (1, n, 1) и было показано, что в первой дифференциальной окрестности этой ткани возникает некоторый вектор µu , u = 1, 2, . . . , n − 1, названный первым
структурным вектором ткани W (1, n, 1) или соответствующей системы ОДУ.
Системы ОДУ (1) мы рассматриваем с точностью до гладких замен переменных вида xi = xi (x̃j ),
t = t(t̃). Легко проверяется следующее утверждение: если система (1) является автономной, то есть правые
76
МАТЕМАТИКА
IIIII
части уравнений не зависят от t, то существует такая замена вида xi = xi (x̃j ), после которой n − 1
уравнений системы примут вид dx̃i = 0. В этом случае первый структурный вектор тождественно равен
нулю. В настоящей работе мы показываем, что если компоненты вектора µu некоторой не автономной
системы не зависят от переменной t, то можно перейти к новым переменным x̃i , в которых одна из
компонент тензора µu станет равной единице, а остальные будут равными нулю. При этом система ОДУ
примет некоторый специфический вид, который назван каноническим.
1. Пусть M — гладкое многообразие размерности n + 1. Рассмотрим на нем три-ткань W (1, n, 1),
заданную двумя семействами кривых λ1 , λ3 и одним семейством гиперповерхностей λ2 . Следуя [3], обозначим Tp (M ) касательное пространство к многообразию M в точке p, а Tp (Fα ), α = 1, 2, 3, — касательные
пространства к слоям Fα ткани W в этой точке. Рассмотрим в точке p многообразие реперов {ei , en+1 },
i, j, . . . = 1, 2, . . . , n, первые n векторов которых лежат в Tp (F2 ), вектор en+1 в Tp (F1 ), а вектор en − en+1
— в Tp (F3 ). Согласно [3], в описанном репере семейства λα ткани W (1, n, 1) задаются следующими уравнениями Пфаффа:
λ1 : ω u = 0, ω n = 0,
λ2 : ω n+1 = 0,
u
(2)
n
λ3 : ω = 0, ω + ω
n+1
= 0,
где ω i , ω n+1 — двойственный корепер, u, v, w = 1, 2, . . . , n − 1. Введенные формы удовлетворяют следующим структурным уравнениям:
dω u = ω v ∧ ωvu + µu ω n ∧ ω n+1 ,
dω n = ω u ∧ ωun + ω n ∧ ωnn ,
dω n+1 = ω n+1 ∧ ωnn .
(3)
Допустимы замены корепера, при которых сохраняется вид уравнений, определяющих слоения ткани (см.
(2)):
ω̃ u = auv ω v ,
ω̃ n = anv ω v + aω n , ω̃ n+1 = aω n+1
det(auv ) 6= 0, a 6= 0.
При этих заменах величины µu преобразуются по тензорному закону:
µ̃u = a−2 auv µv .
(4)
В соответствии с [4], величины µu образуют первый структурный вектор ткани W (1, n, 1).
Первое дифференциальное продолжение уравнений (1) имеет вид [3]:
u
u
dωvu = ωvw ∧ ωw
+ µu ωvn ∧ ω n+1 + kvu ω n ∧ ω n+1 − ω w ∧ ωvw
,
n
dωun = ωuv ∧ ωvn + ωun ∧ ωnn + tu ω n ∧ ω n+1 − ω v ∧ ωuv
,
(5)
dωnn = µu ω n+1 ∧ ωun + tu ω u ∧ ω n+1 + tn ω n ∧ ω n+1 ,
u
dµu = −µv ωvu + 2µu ωnn + kvu ω v + knu ω n + kn+1
ω n+1 ,
n
u
причем формы ωuv
и ωvw
симметричны по нижним индексам. Второе дифференциальное продолжение
77
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ
–
Физико-математические науки
–
№ 26 2011 г.
уравнений (1) приводит к уравнениям [3]:
u
s
u
s
u
n
dωvw
+ ωsu ∧ ωvw
− ωvs ∧ ωsw
− ωw
∧ ωvs
− µu ωvw
∧ ω n+1 =
u n
n
u
= −kw
ωv ∧ ω n+1 − kvu ωw
∧ ω n+1 − huvw ω n ∧ ω n+1 + ωvws
∧ ωs ,
n
w
n
n
n
n
dωuv
− ωuv
∧ ωw
− ωuw ∧ ωwv
− ωuv
∧ ωnn + ωuw
∧ ωvw =
n
= −tv ωun ∧ ω n+1 − tu ωvn ∧ ω n+1 − muv ω n ∧ ω n+1 + ωuvw
∧ ωw ,
dtu −
tv ωuv
n
− tu ωnn − tn ωun + kuv ωvn − µv ωvu
= muv ω v +
+ mun ω n + mu n+1 ω n+1 ,
dtn − 2tn ωnn + knu ωun = mun ω u + mnn ω n + mn n+1 ω n+1 ,
(6)
u
u w
u
dkvu + kvw ωw
− kw
ωv − knu ωvn − 2kvu ωnn − µw ωwv
= huvw ω w +
+ huvn ω n + huv n+1 ω n+1 ,
dknu + knv ωvu − 3knu ωnn = huvn ω v + hunn ω n + hun n+1 ω n+1 ,
u
v
u
dkn+1
+ kn+1
ωvu − 3kn+1
ωnn − 3µu µv ωvn =
u
= hv n+1 − 2µu tv ω v + hun n+1 − 2µu tn ω n + hun+1 n+1 ω n+1 .
n
u
Здесь величины huvw , muv , ωuvw
, ωvws
также симметричны по нижним индексам.
u
В соответствии с [4], совокупность величин {tu , tn , kvu , knu , kn+1
} образует второй структурный
тензор три-ткани W (1, n, 1).
Как было показано в [3], с системой ОДУ (1) связана три-ткань W (1, n, 1), заданная на многообразии
переменных xi , t, состоящая из семейств λα :
λ1 : xi = const,
λ3 : F i (t, x1 , . . . , xn ) = ci = const.
λ2 : t = const,
Последнее семейство состоит из интегральных кривых системы уравнений (1). Обратное также верно:
всякой три-ткани W (1, n, 1) отвечает некоторая система ОДУ.
Дифференциальные уравнения три-ткани W (1, n, 1), связанной с системой дифференциальных уравнений (1), можно привести к виду (2), если обозначить
ω u = f n dxu − f u dxn ,
ωn =
dxn
,
fn
ω n+1 = −dt.
(7)
Структурные уравнения такой ткани должны иметь вид (1), причем компоненты тензоров ткани W (1, n, 1)
также должны выражаться через функции f i , определяющие систему ОДУ. Соответствующие уравнения
найдены в [3]. В частности, для компонент первого структурного вектора получено выражение:
µu = f u
∂f n
∂f u
− fn
.
∂t
∂t
(8)
Этот тензор будем называть также первым структурным вектором системы ОДУ (1).
Геометрический смысл обращения в нуль первого структурного вектора выясняется в следующем
утверждении.
Теорема 1. Условие µu = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы многообразие M ткани W (1, n, 1)
расслаивалось на двумерные подмногообразия, несущие слои первого и третьего слоений этой ткани. Поверхности V являются многообразиями абсолютного параллелизма относительно канонической связности тогда и только тогда, когда выполняется еще и условие ωnn = 0. В последнем случае (и только в
этом) соответствующая система ОДУ является автономной.
2. Лемма. Пусть система ОДУ задана в виде (1). В случае если величины µu не зависят от t
и только в этом случае, существуют локальные координаты xi и t, в которых первый структурный
вектор этой системы имеет следующие компоненты:
µ1 = 1,
78
µû = 0
û = 2, 3, . . . , n − 1.
(9)
МАТЕМАТИКА
IIIII
Cистема ОДУ и соответствующая три-ткань рассматриваются с точностью до замены переменных
xi = xi (x̃j ), t = t(t̃), причем при этих преобразования вид уравнений ткани (2), (1), (2), (3) не изменится.
u
Рассмотрим замену переменных x̃u = x̃u (xv ), x̃n = xn , t̃ = t, det ∂∂xx̃v 6= 0. Дифференцируя, получим:
dx̃u
∂ x̃u dxv
∂ x̃u v
f = f˜u (t, x̃v , xn ) .
=
=
dt
∂xv dt
∂xv
Используя (8), находим выражения для компонент первого структурного вектора в новых координатах:
µ̃u = f˜u
u ∂f n
∂ f˜u
∂ x̃u v ∂f n
∂ x̃ v
n ∂
f
f
=
− fn
=
−
f
∂t
∂t
∂xv
∂t
∂t ∂xv
=
v
u
∂ x̃u v ∂f n
∂ x̃u v
n ∂ x̃ ∂f
f
µ .
−
f
=
∂xv
∂t
∂xv ∂t
∂xv
(10)
Пусть теперь, в соответствии с (9), µ̃1 = 1, µ̃û = 0. Тогда, дифференцируя (10) по t, получим
∂ x̃u v
µ = 0.
∂xv t
Так как матрица
∂ x̃u
∂xv
является невырожденной, то отсюда следует
µut = 0,
то есть величины µu не зависят от t.
v Обозначим через ∂∂xx̃u обратную матрицу к матрице
(11)
∂ x̃u
∂xv
, тогда из последних уравнений находим
∂xu
= µu (x).
∂ x̃1
(12)
Таким образом, искомые функции xu = xu (x̃v ) должны удовлетворять уравнениям (12), а эта система
всегда имеет решение. Значит, найдется замена переменных x̃u = x̃u (xv ), приводящая вектор µu к виду
(9). Системы ОДУ, для которых выполняется условие (12), назовем предавтономными, а переменные
xi и t, в которых первый структурный вектор такой системы имеет вид (9), назовем каноническими.
В силу (11) из (8) получим уравнения, определяющие предавтономные системы:
fu
∂f u
∂f n
− fn
= µu (x).
∂t
∂t
(13)
Продифференцировав по t, получим уравнение f u fttn − f n fttu = 0. Отсюда вытекает
Предложение. Система (1) является предавтономной тогда и только тогда, когда функции f i являются решениями дифференциального уравнения вида
ftt = p(x, t)f,
(14)
где p(x, t) — произвольная гладкая функция. В этом и только в этом случае каждая из переменных xi ,
системы (1) удовлетворяет дифференциальному уравнению третьего порядка
d3 xi
dxi
=
p(x,
t)
.
dt3
dt
(15)
3. Найдем вид предавтономной системы ОДУ (1) в канонических координатах. В силу условий
1
µ = 1, µû = 0 из (8) следует:
f 1 ftn − f n ft1 = 1,
f û ftn − f n ftû = 0.
(16)
79
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ
–
Физико-математические науки
–
№ 26 2011 г.
Интегрирование второго уравнения (16) дает
f û (t, x1 , . . . , xn ) = f n (t, x1 , . . . , xn )g û (x1 , . . . , xn ).
Проинтегрируем первое уравнение (16). Положим f 1 = af n , тогда имеем:
2
af n ftn − f n (af n )t = af n ftn − f n (at f n + aftn ) = − (f n ) at = 1,
откуда
fn = √
1
,
−at
f1 = √
a
.
−at
Положим a = ctg ϕ, тогда
ctg ϕ
cos ϕ
f1 = p
= √ ,
ϕt
(− ctg ϕ)t
sin ϕ
fn = √ ,
ϕt
(17)
причем
(f 1 )2 + (f n )2 =
sin2 ϕ cos2 ϕ
1
+
=
.
ϕt
ϕt
ϕt
(18)
Таким образом, в канонических переменных предавтономная система (1) имеет следующий канонический
вид:
cos ϕ
dx1
= √ ,
dt
ϕt
sin ϕ
dxû
= √ g û (x),
dt
ϕt
n
dx
sin ϕ
= √
dt
ϕt
или
(19)
cos ϕ
dx1
= √ ,
dt
ϕt
dxû
= g û (x),
dxn
dxn
sin ϕ
= √ .
dt
ϕt
(20)
4. Выясним геометрический смысл величины ϕ, входящей в уравнения (17). Будем считать, что
пространство переменныx xi и t является евклидовым с некоторым фиксированным ортонормированным базисом εi , εn+1 , i, j = 1, 2, . . . n. С другой стороны, с три-тканью W (1, n, 1) связан подвижной репер
ei , en+1 , дуальный базису форм ω i , ω n .
Лемма. Векторы фиксированного и подвижного репера связаны соотношениями
eu =
1
εu ,
fn
e n = f i εi ,
en+1 = −εn+1 .
(21)
Произвольный касательный вектор ζ в каждом из базисов записывается следующим образом:
ζ = dxi εi + dtεn+1 = ω i ei + ω n+1 en+1 .
(22)
Пусть, например, ζ касается линии первого слоения ткани W (1, n, 1). Так как первое слоение, с одной
стороны, задается уравнениями xi = const, а с другой — уравнениями ω i = 0 (см. (2)), то из (10) c учетом
(7) получаем
ζ = dtεn+1 = ω n+1 en+1 = −dten+1 ,
откуда следует en+1 = −εn+1 .
80
МАТЕМАТИКА
IIIII
Пусть теперь ζ касается линии третьего слоения ткани W (1, n, 1) — интегральной кривой системы
(1). Так как третье слоение, с одной стороны, задается системой (1), а с другой — уравнениями ω u =
0, ω n + ω n+1 = 0 (см. (2)), то из (10) получаем
ζ = dt(f i εi + εn+1 ) = ω n+1 (−en + en+1 ) .
С учетом (7) и уже найденного соотношения это равенство примет вид dtf i εi = dten , откуда en = f i εi .
Аналогично, рассматривая второе слоение, получим равенства eu =
1
f n εu .
Условия (11) означают, что базисный вектор e1 совпадает с направлением основного структурного
вектора ткани W (1, n, 1), то есть имеет инвариантное направление. Вектор en также имеет инвариантное направление, поскольку является проекцией касательного вектора к линии третьего слоения ткани
W (1, n, 1) на касательное пространство к слою из второго слоения этой ткани. Из соотношений (21) вытекает, что эти инвариантные направления определяются также векторами ε1 и f i εi соответственно. Далее,
из инвариантности направления ε1 вытекает инвариантность ортогонального дополнения, определяемого
векторами εû , εn (û = 2, 3, . . . , n − 1). Проектируя вектор f i εi на это ортогональное направление, получим
инвариантное направление f û εû + f n εn . Направление εn , не является, вообще говоря, инвариантным.
Рассмотрим вектор ζ(f 1 , 0, . . . , 0, f n , 0) — проекцию инвариантного вектора f i εi на подпространство, определяемое базисными векторами ε1 и εn . Пронормировав его, получим единичный вектор ζ̃:
!
fn
f1
ζ̃ p
, 0, . . . , 0, p
,0 .
(f 1 )2 + (f n )2
(f 1 )2 + (f n )2
Следовательно, координатами этого вектора будут (cos α, 0, . . . , 0, sin α, 0), где α — угол между вектором
ζ и ε1 , то есть
cos α = p
f1
(f 1 )2 + (f n )2
,
sin α = p
fn
(f 1 )2 + (f n )2
.
Отсюда, используя (17) и (18), находим, что α = ϕ. Доказано
Предложение. Пусть предавтономная система ОДУ приведена к каноническому виду (19), тогда адаптированный репер соответствующей ткани W (1, n, 1) выбран таким образом, что проекция инвариантного вектора f i εi на подпространство, определяемое базисными векторами ε1 и εn , образует угол ϕ с
первым структурным вектором этой ткани.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Мышкиса А. Д., Олейник О. А. М.: МГУ, 1984. 296 с.
2. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производным. М.: МГУ, 1961. 401 с.
3. Дуюнова А. А. Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений//
Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16. № 2. С. 13-31.
4. Акивис M. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей// Тр. геометр. сем. (ВИНИТИ АН СССР) № 4. С. 179-204.
81
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
350 Кб
Теги
виду, каноническому, оду, система, приведения
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа