close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О применении метода сращивания внешних и внутренних асимптотических разложений к решению задач динамики вязкой жидкости.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
т о .и
удк
ЗАПИСКИ
V/
ЦАГИ
1975
М2
533.6.011.3/.5:629.7.025.73
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА СРАЩИВАНИЯ ВНЕШНИХ
И ВНУТРЕННИХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
л. А. Ломакuн, О. с. Рыжов
Приводится рекуррентная система парных краевых задач, реше­
ние которых позволяет определить поле скоростей на больших рас­
стояниях от профиля в потоке вязкой несжимаемой жидкости. Внеш­
нее разложение описывает потенциальное течение на всей плоскости
за исклю"ением узкой параболической области следа, его структура
устанавливается пр'и помощи асимптотических формул внутреннего
разложения. ПОК8зано, что результаты асимптотической теории в
первых двух приближениях совпадают с точным решением задачи
обтекания, если в нем ограничиться членами соответствующего по­
рядка
1.
малости.
Метод сращивания внешних и
разложений
[1-3]
в
настоящее
внутренних
время
асимптотических
широко
применяется
решении задач динамики жидкости. Практические
нутые
с
помощью
этого
метода,
несомненны,
успехи,
однако
при
достиг­
трудно
ожи­
дать, что в скором будущем удастся строго обосновать его при­
менение к интегрированию нелинейных уравнений в частных про­
изводных.
Как обычно, достоверность полученных результатов
проверяется
сравнением
с
имеющимися
экспериментальными
дан­
ными. Чрезвычайно полезно также было бы сопоставить выводы
асимптотической . теории с исследованием
какой-либо
сложной
задачи, которое базируется
вания
в
и
единственности
различных
на доказательстве
решения
и
точных
теоремы
оценках
его
существо­
величины
точках.
В динамике вязкой несжима~мой
жидкости
мер представляет стационарное обтекание
такого
конечного
рода
тела
при­
равно­
мерным потоком. Известные теоремы существования "ламинарного"
решения, установлеflНые при сколь угодно больших значениях
числа Рейнольдса [4-131, были дополнены недавно чрезвычайно
сил.ьными оценками порядка убывания возмущенного вектора ско­
рости по мере удаления
12, 14- 221.
от те-ла
вдоль
любого
направления
[10,
Вопрос о единственности решения задачи обтекания
при произвольном числе Рейнольдса остается открытым, однако
16
опы'rЫ
показывают,
что
его
увеличение
приводит
к турбулентному режиму с зависящими от
С
другой
жидкости
стороны,
можно
стационарное
расчитать
методом
в
конце
времени
концов
пульсациями.
ламинарное
течение
сращивания
внешних
вязкой
и
BHYT~
ренних
асимптотических разложений [23, 24]. Разумеется, даже
полное совпадение результатов нельзя было бы рассматривать
в качестве строгого оGоснования метода. Все же такое совпадение,
если оно действительно имеет место, давало бы уверенность, что
применение
ведет
асимптотической
к правильному
теории
к
решению
других
задач
ответу.
В дальнейшем для простоты предположим, что поток является
плоскопараллельным,
а
тело - профилем
крыла
бесконечного
размаха. Как независимые переменные, так и искомые параметры
жидкости будем считать безразмерными. В общепринятых обозна­
чениях систему уравнений Навье - Стокса запишем тогда в виде
(1.1)
Вдали от тела поток должен стремиться
к
равномерному, по­
этому
(1.2)
где
число Эйлера.
N Eu -
Среди решений уравнений Навье - Стокса, удовлетворяющих
предельным условиям (1.2), имеется обширный класс так называе­
мых
потенциальных
решениями более
решений,
простых
которые
уравнений
одновременно
Эйлера для
вязкой) жидкости. Для потенциальных решений
являются
идеальной (не­
условие
прилипа­
ния жидкости к поверхности обтекаемого профиля не выполняется,
при их построении требуется, чтобы в нуль обращалась только
нормальная составляющая вектора скорости. Предельная линия
тока раздваивается
в
находящейся
в
носике
точке
торможения,
после чего обе ее ветви следуют вдоль обтекаемого тела и вновь
соединяются в
некоторой точке,
расположенной
в
хвостовой
части. Подъемная сила профиля получается' конечной, что же
касается силы сопротивления, то она вообще отсутствует. Вuзму­
щения,
ниям
вносимые
телом
распространяются
Из опытов
в
поток,
согласно
равномерно
известно,
что
в
по
потенциальным
всем
потоке
реше­
направлениям.
вязкой
жидкости
позади
профиля простирается узкая область, в которой сосредоточены
наиболее сильные возмущения; эта область называется вихревым
следом. Здесь структура поля скоростей формируется в
основном
под влиянием напряжений вязкого трения, они и определяют силу
сопротивления, действующую
Строгие
оценки,
полученные
неравномерный характер
на
в
профиль
работах
затухания
со
стороны
[14-22],
возмущенного
жидкости.
подтверждают
вектора
сти в различных областях. Поскольку при выходе из следа
стремится
к
нулю
по
экспоненциальному
закону,
ней области с большой степенью точности
течение
можно
скоро­
вихрь
во внеш­
считать
потен­
циальным.
2. При помощи метода сращивания асимптотических раз ложе­
ний картина потока на больших расстояниях от тела изучалась
в работах [23, 24]. Используя тот же самый формальный аппарат!,
целесообразно развить несколько иной подход, который приводит
2- Ученые
записки ЦАГИ N. 2
17
к рекуррентной системе
парных
краевых
задач.
Jются В значительной степени аналогично
Они
задачам
форму лиру­
из
теории
выс­
ших приближений для пограничного слоя, но имеют специфические
черты, обусловленные необходимостью совместно рассматривать
на каждом шаге одно
одно
для
-
приближение
внутреннего.
для
внешнего
Единственность
достигается обращением к
ной особенности [1].
так
называемому
дельного черехода г
=
V х + у2
--+00,
этих
принципу
Найдем, как ведут себя параметры жидкости
2
разложения и
решения
задач
минималь­
в процессе
пре­
который удобно заменить на
предельный переход по положительному малому параметру
Ь. ~ О.
Опираясь на сделанное выше замечание о различных законах убы­
вания возмущений в следе
и
во
внешней
по
отношению
к
нему
области, будем отличать предельный переход
+
x=~/b.2,
Y=Тj/b.,
O<~<
x=~/b.2,
y=~/t.2, (~,9 Е E2(~'~)"'{C~·0, ~=O}.
00,
-оо<'I/<+ос
(2.1).
от
(2.2)
Переменные ~, '1/ назовем внутренними, а ~, ~ - внешними.
В этих переменных профиль задается точкой (О, О). Отсюда ясно,
что
граничные
условия
на нем при изучении задачи
обтекания l
в рамках асимптотической
теории
выпадают. По определению,
новые переменные ~, '1/, ~ можно считать изменяющимися незави­
симо от предельного перехода Ь.
ходить
к
--+
О, если по ним самим не пере­
пределам
L 1 (~, 71)
Учитывая
=
'I//vГ ~OO,
L 2 (~> О, ~) = ~/C
ЭI<Cпоненциальный
характер
-- 00.
(2.3)
затухания
вихря
при
выходе из следа [19 - 22], постулируем, что обусловленные вяз­
костью возмущения не проникают в полуплоскость ~
О, и поло-
<
жим
V;c(;) - 1,
Класс
U
(Г) Е
функций
W1k ),
то
00
1)
U
C;)'"-'~ и(п(;);
-
i=l
vyЙ Е
wi )
k
wi2);
введем
р (;.") - N Eu Е
wi1) •
следующим
(2.4)
образом:
если
итС;) Е C(k)[E2\(0,O)];
2) и(1) (г) = Е 1 (t.) и 1 (~, '1); Ь.);
и 1 ~ О при L 1 ~
3) u(i+ 1) ~)=EHl(b.)[и!+l (~, '1/; t.)
00,
«( '1/) - /
-+
(О, О);
+ Ri+I(~, 1); t.)];
(2.5)
т
18
+ n<:k;
В соответствии с принятой терминологией для независимых
переменных ~, "tj, с назовем асимптотическо~ разложение по малому
параметру ~, заданное условиями 2 и 3, внутренним, а условиями
и 5 - внешним. Последнее из названных условий требует, чтобы
возмущения вне следа убывали с расстоянием быстрее, чем внутри
4
-
него.
Для построения решения U (г), равномерно пригодного во всей
,окрестности бесконечно удаленной точки физической плоскости,
воспользуемся предельными переходами (2.3) и известным прин­
ципом сращивания асимптотических
разложений. Отметим, что
б~агодаря условию гладкости 1 остатачные члены Rj (~, 'Yj; ~) и
Rj (е,
С; ~) определяются автоматически
функции U j (~, 'Yj;~) и и~(e, С; ~).
после
того,
как
найдены
3. Подставляя разложение для вихревого следа в систему
уравнений (1.1) и учитывая соотношения (2.1), (2.4) и (2.5), находим
6 дvх!
д~
+SV
)
у!
.+ 6
дv х!
д1j
+ О.
V X 1 -* О при е ~
Отсюда сразу следует
v x1 --
и·), -дU!
д;
дР1
7J
и 1 -+ О
1j
д1j
дv у 1
_
д1j
-
V y 1, р) ~ О при
v y 1 ==Р1 ==0.
2
др! _
д1j2'
=/= О;
д И!
_ о·
-д
2 ,
-
6 д 2 VХ 1 .
=
д~
7J
-->-
-
•
О,
+ =.
Далее имеем
при t~
'О ,'Yj =/= О •
(3.1)
Т
-7
В классе обобщенных функций решение задачи (3.1) не будет
'единственным. Принадлежащий первому приближению главный
член порождается функцией а ("tj); он определяет, силу сопротив­
ления рх , которая действует на тело. Последняя должна быть
задана заранее, поскольку краевые условия на обтекаемом про­
филе в
асимптотической теории
не
фигурируют.
Все
остальные
члены соответствуют производным а-функции и имеют более высо­
кий порядок малости,
их
следует
U1
__ ~
81
отбросить
[1].
ципа минимальной особенности
С!
В
2~
на
основании
прин­
результате
е
_1- LI
(3.2)
4
Используемые
в асимптотических разложениях малые пара­
метры были введены искусственно, после возвращения к исход­
ным физическим переменпым они должны исчезнуть из решения.
По этой причине постоянная в правой части формулы (3.2) выбрана
пропорциональной отношению d/s). Для того чтобы параметр Е1
задавал порядок малости первого приближения, необходимо поло­
<
=-
жить Е1 = д. Легко покэзать, что коэффициент С 1
Fх
О. Фор­
мула (3.2) допускает простую интерпретацию: она задает сток в
точке (О, О).
4. Подставим в уравнения (1.1) внешнее разложение. Прини­
мая во внимание соотношения (2.2), (2.4) и (2.5) и предельное усло­
вие (1.2), сформулируем следующую задачу для функций первого
приближения:
дv;!
др;
дv~!
др;
дv~)
дV~1
~ +т=----аг+д[ =--ж-+аг=О;
v~ 1, V~ 1, р;
-->-
О при J/~2
"V~! (~, ~7J; ~), v~! (~, ~'1j; ~)
+ С2 + 00,
-->-
= о (6/в;) при
IL 2 (~ > О, С) 1-< с;
6
-'?
О, ~
> О,
'yj
1
/(4.1 )
=/= о.
19
Кроме того, на искомое решение необходимо наложить два
требования,
заменяющие в асимптотической
теории
граничные
условия на
делять
обтекаемом профиле.
подъемную
силу
тела
Оно
и,
должно,
ВО· вторых,
во-первых,
задавать
в начале координат, Интенсивность последнего
ности стока, описываемого формулой (3.2).
Прежде
всего
находим p~ = -
'V~ l '
Введем
опре­
источник
равна
интенсив­
теперь
фун кцию
W 1 (z; Il)='V~] - i'V~ 1, регулярную в комплексной плоскости z = ~
= >- О}.
с разрезом вдоль полуоси {z
~
ция
W t подчиняется условию
+ i~
На берегах разреза функ­
ограниченного
роста,
которое
задается последними из соотношений
(4.1).
Чтобы установить точный вид этой функции, рассмотрим второе
приближение для внутренней области. Входящие в него функции
удовлетворяют
уравнениям
)
(4.2)
и условию затухания на бесконечности
'V X 2''V y2 ,
Предельные
дятся, как
Р2-+0 при-V~2+'1j2-+
условия
обычно, из
при
~
=
const,
сращивания
\L 1 1-<c.
+00,
1) --+
+ 00
(4.3)
(L 1 .:.*= (0) выво­
асимптотических
разложений.
Эта же процедура позволяет одновременно записать предельные
условия при ~
const, ~ --+
о (L 2 --+ -1- со) для внешней области.
+
=
В результате краевые задачи (4.1) и
ными, они образуют первую пару в
получаются связан­
рекуррентной системе, кото­
(4.2), (4.3)
рая определает поле скоростей вдали от тела.
Последние два уравнения из системы
_.
'V y 2 где функции
g2, h2 ~
О при
h 2 (е, д)
~
-+
+-
112
s2
(4.2)
С]
дают
---:;т=- L 1 е
4r
пЕ
-
-~
4
Li
(4.4)
+ 00.
На основании принципа сращивания аСИМП'l'отических разложе­
ний
и
имеем
далее
Последнее
условие
позволяет
выделить
"потенциальную~
часть функции 'V ох 2' Действительно, ограничив порядок роста функ­
ции h 2 условием
~
5h
1
20
2
(f/-;
д) dp.
=
о (ea/~) при ~ -+
+о
и любом а> О
и. воспользовавшись
ских
разложен ий.
еще
раз
находим
принципом
из
первого
сращивания
уравнения
1
асимптотиче­
системы
(4.2)
~
2
~Х2=U2(~,1j;А)-g2(е;А)+ 4;~E L\e-4Ll[h20(А) + Sh 2
(r-; A)df1]-
1
(4.6)
в силу постулата о том, что вихревые возмущения не прони­
кают в полуплоскость ~
О, дЛЯ фигурирующей здесь функции И2
ставится задача Коши
<
дU2
~-
д2 и 2 _
a'IJ2 -
о·
,
И2
О
-
при
~ -
+ О,
'tj
1- о.
Сог ласно принципу минимальной особенности [1] ее
в классе обобщенных функций можно представить как
Продолжим
функции
-v х 2 + g2
их 2 =
И
иу
2
= -V y
2 -
h2
-<
решение
на
всю
область Е 2 ",-(О, О), придав им нулевые значения при ~
О. Что ка­
сается W 1 , то при продолжении через разрез {z = ~
О} положим
эту функцию на берегах
разреза
равной
чине
такого
продолжения
(4.5).
В результате
своей
>
предельной вели­
пО
непрерывности
функции
р(2)
...
(r)
,
= -
81
Re W 1
задают равномерно пригодное в окрестности бесконечно удален­
ной точки второе приближение. Чтобы оно обладало необходимой
гладкостью, функция W 1 должна быть регулярной во всей пло­
скости
О. Отсюда заключаем, что ее можно разложить в ряд
Лорана. Первый член
z::/:
+ ic;
А2
c~
81
: 21tZ
W 1 =-, - - этого ряда не только определяет
ную
к профилю,
но
и задает
(4.7)
подъемную
источник
силу Ру, приложен­
в начале
координат. Он
представляет ,главную часть первого приближения во внешних
переменных. Все остальные члены следует отбросить на основании
принципа минимальной особенности [1]. Как видно из формул (4.4),
и (4.7), малые параметры г; = 82
~2. для выполнения закона
=
(4.5)
сохранения массы
движущейся
жидкости
с;
С 1 = о. Вторая постоянная c~ = - Ру
о.
+
<
Формула
(4.7)
необходимо,
чтобы
устанавливает вид функций
,
21
Подставив два последних равенства в соотношения
и
положив
(4.4)
и
(4.6)
постоянную
завершим построение главной части второго приближения во внут­
ренних координатах.
Заметим, что
фигурирующий
в определении
(2.4), (2.5) класса функций W~k) остаточный член R 2 (Vx2 , V y2 , Р2)
2
2
-to-
---
. . ,.
автоматически находится по формулам для 'V1) (г), 'V~) (г) и р(2) (r),
которые
вводят
второе
приближение,
равномерно
пригодное
во
всей окрестности бесконечно удаленной точки. Включение в по­
стоянную h 20 логарифмического члена продиктовано тем, что после
перехода к физическим переменным малый параметр ~ должен
выпасть
из
решения.
Рассмотрим
5.
второе
Величины, KOTOpbJe
оно
приближение
содержит,
для
внешней
области.
удовлетворяют соотношениям
(5.1)
где функция
оси
ченного
W2
>- О},
~
{z =
регулярна
в плоскости
Z с разрезом вдоль полу­
а на берегах разреза подчиняется условию ограни­
роста
Вид функции W 2 невозможно установить, не зная третьего
приближения для области вихревого следа. Найдем входящие
в него функции из решения следующей задачи
2
Е (дV хз _ д V х з +'V
д~
3
д1j2
-'V
дрз
Е з -=А3
д1j
у2
(дV У 2
дV Х 1' .дР 3 )=А3[_ д(V Х 1 V Х2)
У 3 д1j -t- д~
дVХ 2
+
д1j
.
д 2 v,1l 2
д V,"1._ V(З) дV Х 1 ]
д~2
дР~З»)
---+----д~
д1j2
д1j
'V x 3' 'V y а,
Рз
-+
О
при
де
2
-(~2
У2
д1j
,
дvуз
,Ез--=-АЗ
(дV Х 2
(5.2)
--+-дЕ
д1j
д1j
+ "fj2 -+ + 00,
дV~З~)
1 L1
1-< с,
связь коТорой с задачей (5.1) достигается при помощи принципа
сращивания асимптотических разложений. Как и прежде, примене­
ние
этого
+
принципа
+
дает
возможность
написать
предельные
усло­
вия "fj -;00 (L 1 ~
(0) при ~ = const, для внутреннего разложения.
а С~
о (L 2 -+
(0) при ~
const - для внешнего. Таким образом.
задачи (5.1) и (5.2) составляют вторую пару в указанной выше ре­
куррентной системе. Через А V~ЗJ и АР&3) обозначены главные части
+
функций
второго
венства
+
Vy 2
И
=
Р2' образующих остаточный член Я 2
приближения
для
вихревого
следа.
.
p~3)=_~ .
2п~2
22
(V x
Для них
2,
Vy
2, Р2)
верны ра­
Из второго и третьего уравнений системы
следует
(5.2)
рз=gs (е; ~); "'"з = hs(е; ~) - _А_зl с\1r [(1'. - _12 Li '/) lп _А2 + 2] е- -~- LI +
Ез
С
21
[
+~
L1 е
l~eye
- 1 L 21
2
+2 sLl. е-
81t~
- 1 tJ.'
2
1t~
~
1
(
2)
d'r -- l - - L 1
2
е
- - 1 Ll2
4
г де
функции
формул
(5.3),
равенства
gз,
C~ (1 __21 L2)e-+Lij
4~ V 1t е
О
hs -+
1
-+
принцип
~ g! (е; ~),
.
+
при
~ ~
+ 00.
Как
(5.3)
показывает
вторая из
сращивания
асимптотических
разложен ий поз'­
(5.1). Именно.
cI
Ез.. АЗ
W2
-'> -
-;;
[gs (е; ~) + th з (~; ~)] + t e~ 8е Y21tE
при С -+ +0, е>о.
Отсюда
]
малый параметр ев = ~з. С учетом этого порядкового
Ез
,
d'r
,
воляет сформулировать краевые условия для функций
Р2
- 1 tJ.'
4
0 _
о
+
JLl е-
прежде
всего
видно,
ЧТО
)
~(5.4)
J
е з = ~8,
е; =
поэтому
из-за
малости второго слагаемого в правой части первого из равенств
(5.1)
его следует отбросить. Далее имеем
"'Х8 -+ -gs(;;~)
при
"fj -+
+
~>o.
00,
Принимая во внимание написанное предельное соотношение,
выделим "потенциальную" часть функции "'хз. Для этой цели огра­
ничим порядок роста функции h з условием
~
5h з (1";
~) d'r = о (е а /Е) при
е -7
+О
И любом а> о.
1
Подставим формулы
снова
воспользуемся
ложений.
в первое уравнение
(5.3)
принципом
сращивания
Окончательно
"'Х8 = из (е, "fj; А)-gз (e;~) + 4V;~ Lle-~ LI [hзо(~) +
+
e~ё ["'X31(Ll)ln~ ~2
Функция ИS отбирается
=
3
(5.1)
!
hs('r;
и
раз­
А) d'r] +
+ "'ХЗ2(L 1 )ln А; +",х зз(L 1 )].
на основании
требования о непроник­
нопении вихревых возмущений в полуплоскость е
минимальной особенности [1]. В результате
И
системы
асимптотических
(14Е У1t;
Сз
1
_1_
2
L 2) е - 4"
<о
и
принципа
2
Ll •
1
Что касается частных решений "'х 81' V х 32 И "'х 33'. то для них
имеют силу формулы
'" 81
~
= -
Сl
"2
Ct
321t2 У1t
(
1- -
1
2
2) - 1
L1 е
4
2
Ll
•
'
23
и коэффициент А удовлетворяет условию нормировки
+00·
J] ( 1-2112
1
) е _1.""
4
Ф«(J-)dl1=О.
-00
Найдем теперь функцию W 2 • Обращаясь ко второму из пре­
дельных соотношений (5.4), заключаем, что ее можно представить
как
W2=W21(Z;~)+W22(Z;~);,
W 22
Выделим
прризводится
-+ -
+ ihз (~; ~)]
[gз (Е; ~)
в выражении
сращивание
для
1т
V y 3 (е,
W 21 (z;
(5.5)
W 21 =
при
'1/; ~) слагаемое, с которым
~).
Видом
этого
слагаемого
обусловлен единственный новый нетривиальный элемент в пост­
роении функций третьего приближения, он состоит в регуляриза-
ции функции W 21 . При
z:l Е>- О
перейдем к W;l
= qW21
с множи­
телем
С/(!>,
y€)
J
е>о;
о
(е, С)
24
:1 (о, о).
Продолжим функции и х з
= V x з + gз
и
на всю область Е2 ',(О, О), положив их тождественно равными нулю
при е
{z = е
+
< О.
> О}
При продолжении функции W; = W~l
W22 через разрез
потребуем, чтобы на берегах разреза W;l = О, а W 22 до­
своих предельных значений (5.5). В результате такого
стигала
продолжения линейные комбинации
(3)
~
"(3)
V x (Г)=ZЗUХS+Z2Rе
W 2,
р(3) (;) =
vy
....
(Г)=ZзUуз
е; Re
-
+ z2" Im W 2,
W;
дают равномерно пригодное в окрестности бесконечно удаленной
точки третье приближение. ОНО обладает необходимой в силу
определений (2.4), (2.5) гладкостью, если функция W 2 регулярна
во всей плоскости
=1= О. Отсюда на основании принципа минималь­
z
ной особенности [1] заключаем, что W 22 ==0. Наконец,
ней формулы (5.5) выводим g2 = h 2 =h20 = О.
Задание сил, действующих
ределить
постоянные
С1
и
из послед­
на профиль, дало возможность оп­
с;. Закон сохранения
массы
жидкости
привел к соотношению между c~ и С 1 • Значения постоянных С 2 и Са
остаются про из вольными.
лучится при построении
Дополнительный
высших
набор постоянных по­
приближений в асимптотическом
разложении решения на больших расстояниях от обтекаемого
тела. Чтобы подсчитать величцны всех этих постоянных, нужно
задать моментные характеристики профиля. Момент первого по­
рядка
равен
просто
моменту
сил,
которые
стремятся
повернуть
профиль вокруг оси, проходящей через точку (О, О) перпендику­
лярно плоскости ху. Связанные с ним вычисления содержатся
в работе
6.
[23].
Проведем
разложен ий
оценками
сравнение
для
"ламинарного"
r == у" х 2 = у2
->-
полученных
параметров
+
00.
С
выше
несжимаемой
решения
краевой
наибольшей
асимптотических
жидкости
задачи
полнотой
с
точными
обтекания при
асимптотические
свойства точного решения исследованы в недавно опубликованных
работах [19-22]. В применении к рассматриваемой задаче о пло­
скопараллельном течении у профиля крыла бесконечного размаха
основной результат этих работ можно сформулировать следующим
образом: при r ->00
+
1
W(x,y)=vx-l-iv y=
-
ib t
--о
x+ty
1
) У ] 1 - - (т-х)
[ а1/2+ ( Ta1/2Reb11nr-ia1 -;- у;:е 2
1
- -2
j
2
аЦ2 -
+ (г - х) е -
1
r
е
-
J.. (т-х) [
2
-}(r-x)s'
е
-
2- (т-х)
2
dS] + R(x,y).
+
(6.1 )
25
Здесь
рядок
R (х, у) -
малости
остаточный член,
по
сравнению
с
имеющий более высокий по­
выписанными
в
явном
виде,
а
по­
стоянные а 1 и Ь 1 удовлетворяют равенствам
1
Re а 1 = т аЦ2,
1т Ь 1
qЦ2
=-
у;;:
.
в формуле (6.1) перейдем последовательно к внутренним и
внешним переменным, разложим по малому параметру ~ получен­
ные таким образом
соотношения
и
удержим
в них
все члены до
порядка ~2 включительно. Непосредственной проверкой легко убе­
диться,
~
внутреннее
а 1 !2
-v-r е
-
-1 L2j
4
+ ~2 -~1
[1
имеет
вид
- ..2... L~
1 2 ( _..2... Li
1
lтЬ 1 +lma 2 L j e 4 - та l!2,е 2
+ TLle
~ Li /)r е .4
iv y =
1 (
а
разложение
Re Ь 1 L j е
V
х -- 1 -
двучленное
aj!2
W=
+
что
одночленное
i~2 -~- Re Ь }
внешнее
+ Re а 1 L
разложение
W(z)= _~2 ~j,
2
-
j
е
L1
- - 1 L 2j
4
2.. р.'
4
.6,2
ln т+
df1
)]
_..2... L2 )
4
можно
j
,
записать
как
z=~+iC.
Эти формулы полностью совпадают
если выполнены условия
с соотношениями
(4.6) и
(4.7),
~1
аЦ2=--
2~
,
ЛИТЕРАТУРА
1. В а н - Д а й к М. Методы
М., .Мир", 1967.
возмущений
в механике
жидкости.
2. К о У л Дж. д. Методы возмущений в прикладной математике.
М., .Мир", 1972.
3. N а у f е h А. Н. РегluгЬаtlоп Melhods. N. У., Wiley-Interscience,
1973.
.
4. L е r а у J. Etude де dlverses equalions integra1es поп lineaires е! de
que1ques problemes que pose l'hydrodynamique. J. Math. Pures е! Арр1.,
ser. 9, (. 12, fasc. 1, 1933.
5. L е r а у J. Essai sur les .mouvements plans d'un 1iquide vlsqueux
que 1imitent des parols. J. Math. Pures е! Аррl., ser. 9, (. 13, fasc. 4, 1934.
6. L е r а у J. Les probIemes поп IInealres. Enseignement Malh., t. 35,
fasc. 2, 1936.
7. Л а д ы ж е н с к а я О. А. Стационарная краевая задача для
вязкой несжимаемой жидкости. Успехи математических наук, т. ]3,
вып. 4. 1958.
8. Л а д ы ж е н с к а я О. А. Исследование уравнения Навье­
Стокса в случае стационарного движения
Успехи математических наук, т. 14, вып. 3,
несжимаемой
жидкости.
1959.
9. F i n n R. ОП steady-state solutions of the Navier - Stokes partial
differential eqtlations. Arch. Rat. Mech. and Analysis, vol. 3, N 5, 1959.
10. F i n n R. Estimates а! infinity for steady state soltltions of the
Navler-Stokes eqtlations. Amer. Math. Soc., Рroс. Symp. Pure Math., vol 4,
Partial Differential Equations, 1961.
11. F i n n R. Оп the stei\dy-state solutions of the Navier - Stokes
equationsl Ш. Acta Math., vol. 105, N 3, 4, 1961.
26
-
12. F u j i t а Н. Оп the exlstence and regularity of the steady slale
solutlons of the Navier - Slokes equations. J. Рас. Sci., Univ. of Tokyo,
Sec. 1, vol. 9, pt. 1, 1961.
13. Л а Д ы ж е н с к а я О. А. Математические вопросы динамики
вязкой несщимаемой жидкости. М., .Наука", 1970.
14. t' i n n R. Оп 'Ье Stokes Paradox and related questions. Non1inear
ProbIems, ed. Ьу Langer R. Е. Madison, Univ. of Wisconsin Press, 1963.
15. Р i n n R. Оп the exterior stationary prohlem for the Navier - Slokes equations, and associated perlurbation· problems. АссЬ. Rat. МесЬ. and
Analysis, vol. 19, N 5, 1965.
16~ F i n n R. Slationary solullons of the Navler - Stokes equalions.
Amer. Math. Soc., Рсос. Symp. Appl. Math., vol. 17, Applicatlons of Nonliпеас РасНа1 Dlfferential I;:guations in Mathematical Physics, 1965.
17. S т i t h О. R. Esl/mates а! inflnity for stationary solutions of the
Navier-Stokes equatlons in two dlmenslons. АссЬ. Rat. МесЬ. and Апа1у81s, vol. 20, N 5, 1965.
18. F i n n R., S т i t h О. R. Оп the statlonary solulions of the
Navier-Slokes equations in two dlmenslons. Arch. Rat. МесЬ. and Analysis, vol. 25, N 1, 1967.
19. Б а б е н к о К. И. Об асимптотическом поведении вихря вдали
от тела при обтекании его плоским потоком вязкой жидкости. Прикл.
матем. и механ., т. 34, вып. 5, 1970.
'
20. Б а б е н к о К. И. О стационарных решениях задачи обтека­
ния тела вязкой несжимаемой жидкостью. Матем. сб., нов. сер., т 91,
N2 1, 1973.
21. Бабенко
'
К.
И.,
Васильев М. М.
поведении стационарного
течения
вязкой
Прикл. матем. и механ., т.
37,
вып.
4, 1973.
Об асимптотическом
жидкости
вдали
от тела.
22. В а с и л ь е в М. М. Об асимптотическом поведении скорости
и силах, действующих на тело, в стационарном потоке вязкой жидко­
сти. Прикл. матем. и мехар., т.
38, выи. 1., 1974.
23. 1 т а i 1. ОП the asymptotlC b'ehaviour of viscous fluld flow а! а
great dlstance from а cylindrical body with special reference to Filon's ра­
radox. Proc. Roy. Soc., ser. А, vol. 208, N 1095, 1951.
24. С h а п g 1-0. Navier-Stokes solutions а! large distances from а
finite body. J. Math. МесЬ" vol. 10, N 6, 1961.
Рукопись поступила
14/VI 1974 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа