close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О применении модельных пространств для построения коциклических возмущений полугруппы сдвигов на полупрямой.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1863
Уфимский математический журнал. Том 4. № 1 (2012). С. 17-28.
УДК 517.9
О ПРИМЕНЕНИИ МОДЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ
ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ КОЦИКЛИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
ПОЛУГРУППЫ СДВИГОВ НА ПОЛУПРЯМОЙ
Г.Г. АМОСОВ, А.Д. БАРАНОВ, В.В. КАПУСТИН
В работе описывается конструкция коциклических возмущений полугруппы сдвигов на полупрямой, основанная на использовании теории модельных пространств. Показано, что, подбирая внутреннюю функцию, определяющую модельное
пространство, можно добиться того, чтобы элементы возмущенной полугруппы имели
предписанный спектральный тип и отличались от элементов исходной полугруппы на
операторы класса Шаттена–фон Неймана S ,  > 1. Отдельно рассматривается случай
возмущений класса со следом S1 .
Аннотация.
Ключевые слова:
Неймана.
полугруппа сдвигов, внутренняя функция, классы Шаттена–фон
1.
Пусть
сдвигов
Введение
( ,  ≥ 0) и (˜ ,  ∈ R) – полугруппа сдвигов в пространстве  = 2 (R+ ) и группа
˜ = 2 (R), определенные формулами
(ее унитарная дилатация) в пространстве 
{︃
 ( − ),  > ,
(  )() =
 ∈ ,
0,
0 ≤  ≤ ,
и
(˜ )() = ( − ),
˜
 ∈ .
() ограниченных опе˜ таким
 вложена в мультипликативную группу алгебры ()
˜
() действуют на функциях  ∈  с носителем на отрицатель-
Иногда удобно считать, что мультипликативная группа алгебры
раторов в пространстве
образом, что элементы
ной полуоси как тождественное отображение. В этом смысле операторы, действующие в
˜ . Сильно-непрерывное
 , будут рассматриваться также и как операторы в 
семейство унитарных операторов ( ,  ≥ 0) в пространстве  называется коциклом полугруппы сдвигов ( ,  ≥ 0), если выполнено условие (см. [1])
пространстве
+ =  ˜  ˜− ,
,  ≥ 0,
0 = .
Из условия (1) вытекает, что семейство изометрических операторов
 образует полугруппу (т.е. + =   , ,  ≥ 0),
коциклическим возмущением полугруппы сдвигов ( ,  ≥ 0).
пространстве
(1)
( =   ,  ≥ 0)
в
которую будем называть
G.G. Amosov, A.D. Baranov, V.V. Kapustin, On applications of the model spaces to the
construction of cocyclic perturbations of the semigroup of shifts on the semiaxis.
c Г.Г. Амосов, А.Д. Баранов, В.В. Капустин 2012.
○
Работа поддержана программой РАН "Математические основы управления" и грантом РФФИ 11-0100584-a.
Поступила 20 декабря 2011 г.
17
18
Г.Г. АМОСОВ, А.Д. БАРАНОВ, В.В. КАПУСТИН
В предлагаемой работе будет показано, что любое коциклическое возмущение полугруппы
( )
унитарно эквивалентно ортогональной сумме
( ) ∼
= ( ⊕  ),
где
( ,  ≥ 0)
(2)
– полугруппа унитарных операторов, причем справедливы следующие
две теоремы. Здесь и далее все рассматриваемые полугруппы предполагаются сильнонепрерывными; символом
S
обозначаются классы операторов Шаттена–фон Неймана.
Теорема 1. Для любой полугруппы унитарных операторов ( ,  ≥ 0) со спектральной
мерой, сингулярной относительно меры Лебега, найдется коцикл ( ,  ≥ 0), удовлетворяющий условию
 −  ∈ S
для всех  > 1, для которого соотношение (2) выполняется для коциклического возмущения ( =   ,  ≥ 0), причем
 −  ∈ S1 ,
 ≥ 0.
(3)
Как следствие, из теоремы 1 получается аналогичный результат для произвольной (не
обязательно сингулярной) спектральной меры.
Теорема 2. Для любой полугруппы унитарных операторов ( ,  ≥ 0) и для любого
 > 1 найдется коцикл ( ,  ≥ 0), удовлетворяющий условию
 −  ∈ S
для всех  > 1, для которого соотношение (2) выполняется для коциклического возмущения ( =   ,  ≥ 0).
Ниже будет показано (предложение 10), что в рассматриваемой нами модели коциклических возмущений условие
 − ∈ S1 никогда не выполняется. Таким образом, результаты
работы в определенном смысле неулучшаемы. Естественно предположить, что этот факт
обобщается и на общий случай.
Гипотеза.
( ,  ≥ 0) такого, что  −  ∈ S1 при всех  ≥ 0,
( =   ,  ≥ 0) унитарно эквивалентна исходной: ( ) ∼
= ( ).
Для любого коцикла
возмущенная полугруппа
Отметим, что связанная с рассматриваемым вопросом задача о марковских коциклических возмущениях группы унитарных операторов была поставлена в [2], а в работах
 −  ∈ S2 ,  ≥ 0. Свойство (3)
в статье [5], где изучались возмущения ( ,  ≥ 0) полугруппы сдвигов
которых  −  ∈ S ,  ≥ 1. Отличие данной статьи состоит в том,
[3, 4] были построены марковские коциклы со свойством
рассматривалось
( ,  ≥ 0),
для
что рассматриваемые возмущения обладают дополнительным свойством коцикличности,
что требует рассмотрения унитарных дилатаций полугрупп. Техника, развиваемая здесь,
аналогична использованной в работе [5].
2.
Коциклические возмущения общего вида
Для любой сильно-непрерывной полугруппы изометрических операторов
гильбертовом пространстве

( ,  ≥ 0)
в
определено разложение Вольда–Колмогорова следующего
вида:
 = 0 ⊕ 1 ,
 =  ⊕  ,
 ≥ 0,
где
( ,  ≥ 0)
– полугруппа унитарных операторов в
вполне неунитарных изометрических операторов в
1 ,
(4)
0 ,
а
( ,  ≥ 0)
– полугруппа
т.е. не имеющих нетривиальных
инвариантных подпространств, на которых они действуют как унитарные операторы.
19
О ПРИМЕНЕНИИ МОДЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ. . .
Предложение 3. Пусть полугруппа изометрических операторов ( ,  ≥ 0) является
коциклическим возмущением полугруппы сдвигов ( ,  ≥ 0). Тогда вполне неунитарная
часть ( ,  ≥ 0) в разложении Вольда–Колмогорова (4) унитарно эквивалентна полугруппе сдвигов ( ,  ≥ 0).
Замечание.
Это утверждение справедливо для произвольной (не обязательно являю-
щейся коциклическим возмущением) полугруппы изометрических операторов
если потребовать, чтобы
Доказательство.
 −  ∈ S ,  ≥ 1
 ∈ ,  ≥ 0,
{︃
1, 0 ≤  ≤ ,
 () =
0,  > .
Определим элементы
( ,  ≥ 0) удовлетворяет
( ,  ≥ 0), то есть
Заметим, что семейство
коцикла
полугруппы
1 − 1
и
2 − 2
по формуле
так называемому условию
ортогональны, если
( , 0 ≤  ≤ )
того, линейные комбинации элементов
аддитивного
,  ≥ 0,
+ =  +   ,
причем функции
( ,  ≥ 0),
(см. [5]).
(1 , 1 ) ∩ (2 , 2 ) = ∅. Более
Ker * . Положим
порождают
˜ =   ,  ≥ 0. Для доказательства предложения 3 достаточно убедиться, что для коциклического возмущения ( =   ,  ≥ 0) семейство элементов ˜ обладает следующими
свойствами:
˜+ = ˜ +  ˜ , ,  ≥ 0,
(ii) ˜1 − ˜1 и ˜2 − ˜2 ортогональны, если (1 , 1 ) ∩ (2 , 2 ) = ∅,
*
(iii) линейные комбинации (˜ , 0 ≤  ≤ ) порождают Ker  .
В самом деле, тогда сужение полугруппы ( ,  ≥ 0) на подпространство 0 , порожденное
Ker* ,  ≥ 0, унитарно эквивалентно ( ,  ≥ 0), а сужение  |0⊥ будет унитарным
оператором, поскольку Ker  | ⊥ = {0},  ≥ 0.
0
(i)
Имеем
˜+ = + + =  ˜  ˜−  +  ˜ ( )˜−   .
(5)
Заметим, что
поскольку
  = 
˜  ˜−  =  ,
функций с носителем supp  ⊂ R− .
˜  ˜−   = ˜   =  ˜ .
для
(6)
С другой стороны,
(7)
Подставляя соотношения (6) и (7) в равенство (5), получаем свойство (i).
Далее,
в силу
+  =  ˜ ( )˜−  =   ,
,  ≥ 0,
˜ = max(1 , 2 ); тогда, принимая во внимание (8),
(6). Пусть 
(˜ − ˜ , ˜ − ˜ ) = (  −   ,   −   )
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
(8)
получаем
2
= (˜1 − ˜1 , ˜2 − ˜2 ) = (1 − 1 , 2 − 2 ) = 0,
если
(1 , 1 ) ∩ (2 , 2 ) = ∅.
Тем самым, свойство (ii) также установлено.
Наконец, рассмотрим уравнение
*  = * *  = 0.
(9)
supp *  ⊂ [0, ]. Следовательно,  принадлежит замыканию
элементов (  , 0 ≤  ≤ ). Поскольку  ≤ , для таких элементов
Из (9) следует, что носитель
линейной оболочки
  =   = ˜
в силу соотношения (8). Тем самым, свойство (iii) также доказано, и
доказательство предложения завершено.
20
Г.Г. АМОСОВ, А.Д. БАРАНОВ, В.В. КАПУСТИН
Следующее свойство потребуется нам для построения модели коциклов.
Предложение 4. Пусть ( ,  ≥ 0) – коциклическое возмущение полугруппы сдвигов
( ,  ≥ 0) коциклом ( ,  ≥ 0). Тогда, определив семейство унитарных операторов
˜ формулой
(− ,  ≥ 0) в пространстве 
− = ˜− *  ,
 ≥ 0,
(10)
получим, что семейство операторов (˜ ,  ∈ R), где
˜ =  ˜ ,
˜ , причем
образует группу унитарных операторов в пространстве 
{︃
 ,
supp  ⊂ R+ ,  ≥ 0,
˜  = ˜
 ,
supp  ⊂ R− ,  ≤ 0.
Доказательство.
 ,  ≥ 0,
Как обычно, будем считать, что действия унитарных операторов
 , продолжатся тождественным дей с носителем supp  ⊂ R− . Тогда формула (10) задает продолжение
˜ для отрицательных значений параметра
семейства ( ,  ≥ 0) унитарных операторов в 
. При этом остается выполненным свойство коцикла
+ =  ˜  ˜− ,
,  ∈ R,
заданные первоначально в пространстве
ствием на функции
что следует из формулы
 = −+ = − ˜−  ˜ ,
 ≥ 0,
вытекающей из определения (10). Для завершения доказательства осталось заметить, что
если
supp  ⊂ R− ,
то
˜−  = − ˜−  = ˜− *  = ˜− ,
3.
 ≥ 0.
Модель коциклического возмущения, основанная на когенераторе
полугруппы
Нам
потребуются
общеизвестные
сведения
из
теории
однопараметрических
полу-
групп (см. [6]). Генератором сильно-непрерывной полугруппы изометрических опера-
( ,  ≥ 0) называют (возможно, неограниченный) симметрический оператор
 =  − lim→0+ − . Когенератором полугруппы называют изометрический оператор
 = ( − )( + )−1 . Для того чтобы изометрический оператор был когенератором
некоторой изометрической полугруппы, необходимо и достаточно, чтобы число 1 не приторов
надлежало его точечному спектру. Исходная полугруппа будет состоять из унитарных
операторов тогда и только тогда, когда
самое, когда


– самосопряженный оператор, или, что то же
является унитарным оператором, для которого точка
1
не принадлежит
его точечному спектру. Если ввести функции
(︂
)︂
+1
 () = exp 
,
−1
 ≥ 0,
(11)
 =  ( ),  ≥ 0. Отметим, что
D.
Нетрудно показать, что когенератор полугруппы операторов сдвига ( ,  ≥ 0) в пространстве  унитарно эквивалентен оператору (одностороннего) сдвига  в пространстве
∑︀+∞
2

Харди  =  (D), состоящем из аналитических в круге D функций  () =
=0   ,
то по когенератору
функции


полугруппа восстанавливается как
ограничены и аналитичны в единичном круге
21
О ПРИМЕНЕНИИ МОДЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ. . .
∑︀+∞
для которых
=0
| |2 = ‖ ‖22 (T) < +∞.
ственным образом вложено в пространство

Тем самым, пространство Харди в круге есте-
˜ = 2 (T) на окружности T. Оператор сдвига

в пространстве Харди задан формулой
 ∈ .
( )() =  (),
(12)
Аналогичным образом, когенератор группы сдвигов в пространстве
валентен оператору (двустороннего) сдвига
˜,
оператор
˜ )() =  ()
(
унитарно экви-
в пространстве
очевидно, является унитарной дилатацией оператора
Предположим, что
˜

˜,

при этом,
.

– нетривиальное инвариантное подпространство оператора сдвига
 , то есть  ⊂  . Тогда, согласно теореме Берлинга (см. [7]),  =  2 (D) для некоторой
∞
внутренней функции  ∈  (D) (то есть функции, аналитической и ограниченной в еди-
D с некасательными предельными значениями, для которых |()| = 1 почти
T). Ортогональное дополнение  =  2 (D) ⊖  2 (D) =  ⊥ принято называть
модельным пространством. Следующее предложение описывает модель коциклического
ничном круге
везде на
возмущения, используемую в данной работе.
Предложение 5. Когенератор любого коциклического возмущения полугруппы сдвигов
на полупрямой унитарно эквивалентен изометрическому оператору  в пространстве
 =  2 (D), для которого найдется внутренняя функция , так что
 =  ⊕ | ,
(13)
где | является сужением оператора сдвига  на инвариантное пространство, определяемое функцией , а  – унитарный оператор в модельном пространстве  , являющийся когенератором унитарной части разложения Вольда–Колмогорова коциклического возмущения.
Доказательство.
Для когенератора коциклического возмущения
определено разложение Вольда–Колмогорова
тарным оператором и сужение
 |1
 = 0 ⊕ 1
является вполне неунитарным изометрическим опе-
ратором. Из предложения 3 следует, что сужение
сдвига
 |1
.
 в пространстве 
 |0 является уни-
такое, что
 |1
унитарно эквивалентно оператору
Следовательно, в нашей модельной ситуации можно использовать в качестве
на любое инвариантное подпространство  , подобранное так, чтобы
⊥
для соответствующего модельного пространства  = 
выполненялось соотношение
сужение
|
dim  = dim 0 ,
что завершает доказательство.
Из предложения 5 немедленно вытекает следующее утверждение.
Следствие 6. Когенератор полугруппы унитарных операторов (˜ ,  ≥ 0), определяю-
щей коцикл согласно предложению 4, унитарно эквивалентен оператору ˜ в простран˜ = 2 (T), обладающему свойствами
стве 
˜  =  ,
(˜ *  )() =  (),
4.
Пусть

 ∈  =  2 (D),
˜ ⊖  = 2 (T) ⊖  2 (D).
 ∈
Модель возмущения, основанная на мерах Кларка
— унитарная часть в разложении Вольда–Колмогорова (13) когенератора ко-
циклического возмущения. В этом параграфе нас будет интересовать случай, когда 
2
унитарно эквивалентен оператору умножения на  в пространстве  (), причем мера

сингулярна относительно меры Лебега. Отметим, что
Операторы умножения на

˜
и

взаимно
по условию является когене-
1 не принадлежит его точечному спектру.
2 () и 2 (˜
) унитарно эквивалентны, есабсолютно-непрерывны. Умножая меру  на положительный вес,
ратором полугруппы, и, следовательно, число
ли меры


в пространствах
22
Г.Г. АМОСОВ, А.Д. БАРАНОВ, В.В. КАПУСТИН
можно добиться того, чтобы она удовлетворяла следующему дополнительному условию,
играющему важную роль в дальнейшем:
∫︁
()
< +∞
|1 − |
(14)
T
для некоторого
Пусть

 > 3.
— конечная сингулярная борелевская мера на единичной окружности. Опреде-
лим внутреннюю функцию

формулой
1 + ()
=
1 − ()
∫︁
+
().
−
(15)
T
Тогда оператор
Ω,
заданный на
2 ()
формулой
∫︁
(Ω )() = (1 − ())
 ()()
,
1 − 
(16)
T
 () на  . При этом унитарный оператор 
˜
 в модельном пространстве  , такой, что
является унитарным оператором из
переходит в унитарный оператор
2
˜  = Ω Ω*  =  + (, )(1 − ),  ∈  ,
в
2 ()
(17)
где
() =
и тем самым операторы

и
˜
() − (0)
∈  ,
(1 − (0))
унитарно эквивалентны, см.[8].

изометрического опе-
 ∈ .
(18)
Оператор (17) является сужением на модельное пространство
ратора
,
действующего в пространстве

по формуле
(  )() =  () + (, )(1 − ()),
Унитарной дилатацией изометрического оператора (18) будет оператор
(˜  )() =  () + (, )(1 − ()) − (, )(1 − (1)()),
˜
 ∈ .
(19)
Заметим, что
(˜ *  )() =  (),
˜ ⊖ .
 ∈
Следовательно, согласно предложению 5 и следствию 6, доказано следующее утверждение.
Предложение 7. Формулы (18), (19) определяют модель когенератора коциклическо-
го возмущения в случае, когда унитарная часть когенератора в разложении Вольда–
Колмогорова унитарно эквивалентна оператору умножения на  в пространстве 2 ()
с мерой , сингулярной относительно меры Лебега.
5.
Близость коциклических возмущений
Применим функцию (11) к модельному когенератору

полугруппы изометрических
( ,  ≥ 0). Изометрический оператор  является сужением унитарного опе2
˜
ратора  , определенного формулой (19), на подпространство  =  . Напомним, что
˜ обозначают операторы сдвига на  и 
˜ соответственно. Тогда коцикл
символы  и 
( ,  ≥ 0) удовлетворяет равенству
˜ = ( − )˜ ,  ≥ 0.
 (˜ ) −  ()
операторов
 −  в идеалы S оказывается равносильным соот˜ )− ()
˜ . В свою очередь, свойства операторов
ветвующему включению для разностей  (
Таким образом, включение разности
23
О ПРИМЕНЕНИИ МОДЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ. . .
˜
 (˜ ) −  ()
определяются свойствами спектральной меры

унитарного оператора
(17),
а именно, ее малостью (гладкостью) в точке 1.
Нам потребуется следующее утверждение, доказанное в [5] (предложение 7.2).
Предложение 8. Пусть спектральная мера унитарного оператора (17) удовлетворя-
ет условию
∫︁
()
< +∞
|1 − |
M () =
(20)
T
для некоторого  > 3. Тогда
 ( ) −  () ∈ S1 ,
 ≥ 0,
причем
‖ ( ) −  ()‖S1 ≤  1/2 (M ())1/2 ,
где константа  зависит только от  .
Ключевую роль в доказательстве теорем 1 и 2 играет следующее предложение, позволяющее оценить компоненты унитарной дилатации. В этом случае мы уже не можем
добиться включения
для всех
˜ ∈ S1 ,
 (˜ ) −  ()
но разность может принадлежать идеалам
S
 > 1.
Предложение 9. Пусть спектральная мера унитарного оператора (17) удовлетворя-
ет условию (20) для некоторого  > 3. Тогда
˜ ∈ S ,
 (˜ ) −  ()

,
−1
 > ′ =
 ≥ 0,
причем
˜ Sp ≤ (M ()),
‖ (˜ ) −  ()‖
где  — некоторая положительная функция такая, что () → 0 при  ↘ 0.
Доказательство.
Доказательство предложения 9 состоит из нескольких этапов. На
первом этапе мы рассмотрим компоненты оператора
торого канонического представления пространства
исключением одной, будут принадлежать идеалу
˜

S1
˜
 (˜ ) −  ()
относительно неко-
и увидим, что все компоненты, за
в силу предложения 8. Затем будет
показано, что оставшаяся компонента унитарно эквивалентна (после конформной пересадки в верхнюю полуплоскость) оператору умножения на некоторую функцию в пространстве Пэли–Винера. Это позволит свести задачу к вопросу об описании мер (весов),
для которых оператор вложения пространства Пэли–Винера принадлежит идеалу
S . За-
вершит доказательство применение одной теоремы О.Г. Парфенова [9].
Этап 1. Анализ компонент унитарной дилатации.
Рассмотрим матрицу операто2
2
2
где − =  (T) ⊖  .
Нетрудно видеть, что все компоненты, кроме одной, будут принадлежать классу S1 . В
2
2
самом деле, для блока  ⊕  →  ⊕  утверждение вытекает из Предложения 8.
2
2
Переходя к сопряженнному оператору, заключаем, что блок − ⊕  → − ⊕  также
2
2
входит в S1 . По построению компонента  → − равна нулю. Таким образом, осталось
2
2
рассмотреть компоненту, отвечающую оператору − →  . Более того, заметим, что на
˜ действуют как операторы умножения на
пространстве 
¯ −2 оба оператора  (˜ ) и  ()
˜ = 0 на ¯ −2 . Осталось изучить действие оператора
 , и, следовательно,  (˜ ) −  ()
˜ на подпространстве ¯  2 ⊖  2 = ¯  .
 (˜ ) −  ()
˜ на подпространство
Обозначим через  : 
¯  →  2 сужение оператора  (˜ ) −  ()
ра
˜
 (˜ ) −  ()
¯  .
относительно разложения
˜ =  2 ⊕  ⊕  2 ,

−
24
Г.Г. АМОСОВ, А.Д. БАРАНОВ, В.В. КАПУСТИН
Этап 2. Включение компоненты  в идеалы S .
Покажем, что для
 ∈ 
спра-
ведливо равенство
(¯ ) = −(1 − (1)).
Если
∈
−2 , то для произвольной функции
∈
+ (˜ ) = (1) · + (),
∞
(21)
имеет место равенство
− (˜ ) = − (),
(22)
2
2
где символы + и − обозначают проекторы в пространстве  (T) на подпространства 
2
и − соответственно. В самом деле, это равенство нетрудно проверить для случая, когда
() =   ,  > 0, а () =   ,  < 0. По линейности и непрерывности равенство (22)
2

справедливо для всех  ∈ − и () =  ,  > 0. Наконец, в силу линейности и *-слабой
∞
непрерывности, равенство (22) выполнено и для произвольной функции  ∈  .
Поскольку
Подставляя
˜ =  , из равенства (22) вытекает, что
 ()
(︀
)︀
˜  = ((1) − 1) · + ( ),
 (˜ ) −  ()
 = ¯  ,
 ∈ −2 .
получим равенство (21).
Таким образом, включение
˜ ∈ S
 (˜ ) −  ()
равносильно включению
1−(1) | 2 ⊖  2 ∈ S ,
где символ

(23)
обозначает оператор умножения на функцию
 ∈ ∞ (T).
Этап 3. Пересадка в полуплоскость. Будет удобно доказывать включение (23), сделав
“унитарную пересадку” из единичного круга в верхнюю полуплоскость
C+ = { : Im  > 0}.
Положим
(︂
)︂
−
Θ() = 
.
+
Θ() будет внутренней функцией в верхней полуплоскости: Θ ∈  ∞ (C+ ), и
|Θ()| = 1 для почти всех  ∈ R, где значения функции Θ на прямой понимаются в смысле
некасательных граничных значений. Определив меру  на вещественной прямой условием
Тогда
() =
()
,
(1 + 2 )
=
−
,
+
получим
2
1 − Θ()
=
1 + Θ()

∫︁ (︂
)︂
1

−
().
 −  2 + 1
R
Из условия (20) вытекает, что
(R) < +∞,
lim Θ() существует; обозначим его через
→+∞
2 (R), причем
так что предел
1 − Θ(∞)Θ ∈
‖1 − Θ(∞)Θ‖2 (R) = |1 − Θ(∞)| ·
√︀
(R).
Условие (20) равносильно тому, что
∫︁
Θ(∞).
(1 + ||)−2 () < ∞.
R
Формула
(︂
)︂
1
−
( )() = √

+
( + )
Имеем
|Θ(∞)| = 1
и
25
О ПРИМЕНЕНИИ МОДЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ. . .
2
2
осуществляет унитарное отображение пространства  (T) на  (R), при котором про2
2
странство Харди  (D) переходит в пространство Харди  (C+ ). При таком преобразовании включение (23) переходит в соотношение
1−Θ(∞)Θ | ∈ S ,
где
 =  2 (C+ ) ⊖   2 (C+ ).
(24)
Пространство Пэли–Винера
 
состоит из всех це-
лых функций экспоненциального типа не выше , сужение которых на вещественную
2
прямую принадлежит  (R); при этом, согласно классической теореме Пэли–Винера,
  = −  2 (C+ )⊖  2 (C+ ). Тогда включение (24) эквивалентно вопросу о том, будет
2
ли вложение пространства Пэли–Винера  /2 в пространство  (R, ()) на прямой с
2
весом () = |1 − Θ(∞)Θ()| принадлежать S . Этот вопрос был решен в работе [9], где
получен следующий результат:
Теорема (О.Г. Парфенов). Для всякого  > 0 оператор вложения  пространства
  ,  > 0, в пространство 2 (R, ()) принадлежит классу S тогда и только
тогда, когда
+1
)︂/2
∑︁ (︂ ∫︁
N () =
()
< ∞.

(25)

Из доказательства теоремы Парфенова немедленно следует оценка (см. также [10], где
аналогичный результат получен для общих модельных пространств):
‖ ‖S ≤ N ().
Этап 4. Применение теоремы Парфенова.
что функционал
Из включения
(1 − )− ∈ 1 ()
следует,
Φ,
∫︁ (︂
Φ() =
1 − (1)()
1−
)︂
(),
 ∈  ,
T
ограничен на
 ,
и
|Φ()| ≤ ()M ()‖‖2 . Отметим, что для  ∈ N значение Φ() сов (−1) (1) производной порядка  − 1 функции  в точке
падает с радиальным пределом
 = 1.
функционал Φ на 
порождается функцией
(︀ 1−(1)() )︀
∈  (D). Строго говоря, функция
не принадлежит пространству
1−
1−
 , но нетрудно показать, что норма ее проекции на подпространство  2 оценивается
Таким
образом,
(︀ 1−(1)() )︀
ограниченный
2
 . Поэтому
⃒
∫︁ ⃒
⃒ 1 − (1)() ⃒2
⃒
⃒ () ≤ (M ()),
⃒
⃒
1−
через норму ее проекции на
(26)
T
где
() → 0 при  ↘ 0 (на самом деле () ≤ (), но явная форма функции 
для нас значения). Сделав замену переменной, получаем
∫︁
R
|1 − Θ(∞)Θ()|2 (|| + 1)2−2  < ∞.
не имеет
26
Г.Г. АМОСОВ, А.Д. БАРАНОВ, В.В. КАПУСТИН
Воспользовавшись неравенством Гельдера, найдем
∫︁+1
|1−Θ(∞)Θ()|2 

(︂ ∫︁+1
)︂1/ (︂ ∫︁+1
2
2−2
≤
|1 − Θ(∞)Θ()| (|| + 1)



(|| + 1)2
)︂1/′

1/

.
(|| + 1)2/′
′
Предположим, что  >  ; тогда
+1
)︂/2
∑︁
∑︁ (︂ ∫︁
2
|1 − Θ(∞)Θ()| 
≤  /2
≤
∈Z
∈Z

 > ′
Таким образом, учитывая оценку (26), при
1
< ∞.
(|| + 1)/′
получаем
+1
)︂/2
∑︁ (︂ ∫︁
2
≤ (M ()),
|1 − Θ(∞)Θ()| 
∈Z
с некоторой функцией

 , () ↘ 0
при
 ↘ 0.
Теперь, применяя теорему Парфенова,
получаем включение (24). Предложение 9 полностью доказано.
В рассматриваемой здесь модели коциклических возмущений соотношение
равносильно включению
˜ ∈ S .
 (˜ ) −  ()
В заключении параграфа отметим, что раз-
˜ не может принадлежать классу ядерных операторов S1
 (˜ ) −  ()
всех  ≥ 0.
ность
для
 −  ∈ S
одновременно
Предложение 10. Для класса коциклических возмущений, описывамого предложени˜ ∈ S1 для всех  ≥ 0 следует, что  — унимодулярная
ем 5, из включения  (˜ ) −  ()
константа.
Доказательство. Из доказательства предложения 9 вытекает, что включение  (˜ ) −
˜ ∈ S1 равносильно тому, что N1 (|1 − Θ(∞)Θ()|2 ) < ∞ (см. (25)). Отсюда следовало
 ()
бы, что
∫︁
|1 − Θ(∞)Θ()|  ≤
∈Z
R
и, значит, функция
)︀
Θ(∞)Θ()  = 0,
∑︁ (︂ ∫︁
1 − Θ(∞)Θ
Пусть

)︂1/2
|1 − Θ(∞)Θ()| 
< ∞,
2

принадлежит пространству Харди
что невозможно, так как
любой непостоянной внутренней функции
6.
+1
Re (1 − Θ(∞)Θ) > 0
 1.
∫︀ (︀
1−
R
на R для
Но тогда
почти везде
Θ.
Случай произвольной спектральной кратности
— унитарная часть в разложении Вольда–Колмогорова (13) произвольного ко-
генератора коциклического возмущения. Любой унитарный оператор

может быть пред-
ставлен в виде не более чем счетной суммы
 = ⊕  ,
в которой операторы  унитарно эквивалентны операторам умножения в подходящих
2
пространствах  ( ), где  — меры на окружности T,
(  )() =  (),
 ∈ 2 ( ).
27
О ПРИМЕНЕНИИ МОДЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ. . .
Умножая на положительные веса, быстро убывающие при приближении к точке
выбрать меры

1, можно
таким образом, чтобы условие
∑︁ (︂ ∫︁  () )︂1/
<∞
|1 − |

(27)
T
было выполнено для всех
 > 0. Определим внутренние функции
∏︀  , связанные с мерами 
  сходится к внутренней
формулой (15). Условие (27) гарантирует, что произведение
функции
.
Положим
ˆ =
−1
∏︁

=1
и определим когенератор
˜
по формуле
˜ = ˜ +
∑︁
(·, ˆ  )ˆ (1 −  ) − (·, )(1 − (1)),

где
 () =
Доказательство теоремы 1.
 () − (0)
.
(1 −  (0))
 = ˜ | является диагональным по отношеˆ
 = ⊕   ⊕  . Из условия (27) и предложения 8
Оператор
нию к ортогональному разложению
вытекает, что
 ( ) −  () ∈ S1 ,
 ≥ 0.
То же самое условие (27) и предложение 9 гарантируют включение
˜ ∈ S ,
 (˜ ) −  ()
 ≥ 0,
 >  ′ . Поскольку, по выбору мер, условие (27) выполнено
˜ ) −  ()
˜ ∈ S при любом  > 1.
значений  , имеем  (
для
Доказательство теоремы 2.
Пусть

для сколь угодно больших
— когенератор произвольной полугруппы уни-
тарных операторов, являющейся унитарной частью в разложении Вольда–Колмогорова
коциклического возмущения. Тогда найдется такой оператор
классам
S
для
 > 1,
что возмущение
 +∆
∆,
принадлежащий всем
будет иметь сингулярный спектр (см.
[11]). При этом
 ( + ∆) −  ( ) ∈ S ,  ≥ 0.
Подробное доказательство последнего утверждения приведено в [5] (доказательство теоремы 1.3). Теперь для завершения доказательства достаточно применить теорему 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. W. Arveson Continuous analogues of Fock space // Mem. Amer. Math. Soc. V. 80. 1989. P. 1–66.
2. Амосов Г.Г. О марковских возмущениях группы унитарных операторов, ассоциированной
со случайным процессом со стационарными приращениями // Теория вероятностей и ее
применения. Т. 49. 2004. С. 145-–155.
3. Амосов Г.Г., Баранов А.Д. О дилатации сжимающих коциклов и коциклических возмущениях группы сдвигов на прямой // Матем. заметки. Т. 79. 2006. С. 3—18.
4. Амосов Г.Г., Баранов А.Д. О дилатации сжимающих коциклов и коциклических возмущениях группы сдвигов на прямой, II // Матем. заметки. Т. 79. 2006. С. 779—780.
5. Амосов Г.Г., Баранов А.Д., Капустин В.В. О возмущениях изометрической полугруппы сдвигов на полупрямой // Алгебра и анализ. Т. 22. 2010. С. 1—20.
6. Секефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве Мир. Москва. 1970. 431 С.
28
Г.Г. АМОСОВ, А.Д. БАРАНОВ, В.В. КАПУСТИН
7. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига Наука. Москва. 1980. 383 С.
8. D.N. Clark One-dimensional perturbations of restricted shifts // J. Anal. Math. V. 25. 1972. P.
169–191.
9. Парфенов О.Г. Весовые оценки преобразования Фурье // Записки научных семинаров ПОМИ.
Т. 222. 1995. С. 151-162.
10. Баранов А.Д. Вложение модельных подпространств класса Харди: компактность и идеалы
Шаттена–фон Неймана // Известия РАН. Сер. матем. Т. 73:6. 2009. С. 3—28.
11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов, Мир. Москва. 1972. 740 С.
Григорий Геннадьевич Амосов,
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН,
ул. Губкина, 8,
119991, г. Москва, Россия
E-mail:
gramos@mi.ras.ru
Антон Дмитриевич Баранов,
Санкт-Петербургский государственный университет,
Старый Петергоф, Университетский пр., 28,
198504, г. Санкт-Петербург, Россия
E-mail:
anton.d.baranov@gmail.com
Владимир Владимирович Капустин,
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В.А.Стеклова РАН,
наб. р. Фонтанки 27,
191023, г. Санкт-Петербург, Россия
E-mail:
kapustin@pdmi.ras.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа