close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О применении символьных вычислений для построения обобщенно периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
УДК 517.925
О ПРИМЕНЕНИИ СИМВОЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ОБОБЩЕННО ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОЛИЛИНЕЙНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
c М.А. Кириченко, Н.А. Рубанов, Э.П. Агабекян
Ключевые слова
: символьные вычисления; метод последовательных приближений Пи-
кара; система Лоренца; построение нелокальных решений систем дифференциальных
уравнений с полилинейной правой частью.
На основе метода последовательных приближений Пикара строится решение систем
обыкновенных дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью.
1. Введение
Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью, векторная запись которой имеет следующий вид:
x? = f (x);
(1.1)
здесь
x = (x1 , . . . , xn ) векторная функция действительного переменного t, а
f = (f 1 , . . . , f n ) действительная векторная функция, каждый элемент которой f i является многомерным многочленом переменных x1 , . . . , xn . При этом степени многочленов f i
и f j могут не совпадать.
Для отыскания решений системы (1.1) часто используют стандартные численные методы, не учитывающие вид правой части системы. Целью настоящей работы является разработка метода построения решений системы (1.1), учитывающего то, что каждый элемент
f i функции f является многочленом переменных x1 , . . . , xn .
2. Локальные решения системы
Построим решение
x(t)
системы (1.1), удовлетворяющее начальному условию
x(0) = x0 .
(2.1)
Заменим (1.1) интегральным уравнением
t
x(t) = x0 +
f (x(? )) d?.
(2.2)
0
Введем следующие обозначения. ? и q некоторые положительное числа. ? компактная часть (n + 1) -мерного евклидова векторного пространства Rn+1 , задаваемая неравенствами |x ? x0 | ?, |t| q.
Также выведем некоторое положительное число r q, которое будет определено ниже. Наряду с ? введем в рассмотрение более узкое компактное множество ?r ? Rn+1 ,
задаваемое неравенствами
|x ? x0 | ?,
|t| r.
(2.3)
1095
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Обозначим через ?r множество непрерывных функций, графики которых содержатся в
?r . Рассмотрим оператор
t
A? = x0 +
Поскольку множество
f (?(? )) d?.
(2.4)
0
? = {x ? Rn : |x ? x0 | ?}
компактно, найдется такое положительное число
венство
что для всех
M,
|f (x)| M.
Тогда из условия
r
(2.5)
x??
выполнено нера(2.6)
?
M
(2.7)
будет следовать, что оператор (2.4) является оператором, отображающим множество ?r в
себя [1]. Поэтому предположим, что число r в (2.3) выбрано так, что выполнено неравенство
(2.7).
Заметим теперь, что система (1.1) имеет единственное решение x(t) с начальным условием (2.1), определенное на некотором отрезке [?T, T ]. Поэтому уравнение (2.2) также
имеет единственное решение x(t), определенное на отрезке [?T, T ]. Для отыскания этого
решения будем использовать метод последовательных приближений Пикара и запишем
t
xN +1 (t) = x0 +
f (xN (? )) d?.
(2.8)
0
Действуя как обычно, положим
x1 (t) ? x0 .
Тогда несложно заметить, что существует некоторая итерация
(2.9)
. . A ?
Ap ? = A
.
p
оператора A, являющаяся сжатием [1]. Следовательно, метод последовательных приближений (2.8), удовлетворяющий условию (2.9), на отрезке [?r, r] равномерно сходится к
решению x(t). Остается построить последнее.
3. Нелокальные ограниченные решения
Пусть теперь x(t) некоторое решение системы (1.1) с начальным условием (2.1), определенное для всех значений t 0 и содержащееся при этих значениях t в множестве ?,
задаваемом равенством вида (2.5), в котором ? некоторое надлежащим образом подобранное положительное число. Тогда найдется такое достаточно большое положительное
число M, что при x ? ? выполнено неравенство (2.6).
Для определенных выше чисел ? и M зададим число T по формуле
T =
При всех значениях
t0
?
.
M
положим
xK (t) = x(t + (K ? 1)T ),
1096
K = 1, 2, . . .
(3.1)
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Легко видеть, что каждая из функций семейства (3.1) является решением системы (1.1),
определенным для всех значений t 0 и содержащимся при этих значениях t в множестве
?. С другой стороны, в силу ограниченности решения x(t) число M изначально может
быть подобрано так, чтобы при выполнении условий
|x ? xK (t)| ?,
для всех значений
K = 1, 2, . . .
|t| T
было также выполнено неравенство (2.6).
4. Приближенное построение решений
Вновь рассмотрим решение x(t) системы (1.1) с начальным условием (2.1), определенное
для всех значений t 0. Обозначим через
x(0), x(T ), . . . , x(KT ), . . .
(4.1)
положения системы (1.1) в моменты времени
0, T, . . . , KT, . . .
Далее введем в рассмотрение оператор
(4.2)
gt.
x(t) = g t x0 .
В частности,
x(T ) = g T x0 ,
и, следовательно,
x(KT ) = g T . . . g T x0 ,
K = 0, 1, . . .
(4.3)
K
Таким образом, если оператор построен, соотношение (4.3) однозначно задает положения (4.1) системы (1.1) в моменты времени (4.2).
gt
5. Численный эксперимент
В качестве простейшего приложения приведенной выше схемы вычислений рассмотрим
задачу приближенного построения решений системы Лоренца:
?
? x? = ?(y ? x),
y? = sx ? y ? xz,
?
z? = xy ? bz.
(5.1)
Для простоты ограничимся рассмотрением следующего случая классических значений
параметров: ? = 10, s = 28, b = 8/3 и положим x(0) = x0, y(0) = y0, z(0) = z0 и
t
t
t
= (xtN , yN
, zN
),
gN
N = 1, 2, . . .
Для заданной точности ? признаком окончания итеративного процесса построения оператора gNt в силу критерия сходимости Коши служило выполнение неравенства
t
t
c ? gN
max |gN
+1 c| < ?,
0tr
где c = (x0, y0, z0), а вычисления выполнялись с точностью до сорокового знака. Траектории системы (5.1) строились для широкого спектра начальных условий. Здесь, в частности,
рассмотрим случай траектории K, описываемой решением с начальным условием
x0 = ?15.720831, y0 = ?16.587193, z0 = 36.091132,
(5.2)
1097
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
взятым в непосредственной близости от аттрактора.
6. Выводы
Таблица 1
Структура решения системы (5.1) с начальным условием (5.2), описывающего типическую
траекторию K
ќ
1
2
3
4
5
t
0
17.334
45.017
67.104
86.686
x(t)
15.720831
15.659134
15.652555
15.689783
15.812414
y(t)
16.587193
16.566101
16.566140
16.635305
16.750982
z(t)
36.091132
35.954224
35.938103
35.964610
36.164029
25
20
15
10
y
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
x
Рис. 1. Проекция на плоскость
xOy дуги типической траектории K, построенной по
точкам (4.3) на отрезке времени [0, 90]
Не обнаружено каких-либо убедительных признаков существования циклов в системе
Лоренца (табл. 1, рис. 1); чтобы полностью убедиться в этом достаточно, например, построить векторное поле системы (5.1) в приведенных здесь точках. Поэтому, поскольку
существенного снижения скорости движения точки не зафиксировано, скорее всего, можно
считать, что K -компактное минимальное множество, состоящее из незамкнутых рекуррентных траекторий [24]. Эти траектории, возможно, не являются даже почти периодическими, т. к. некоторое локальное разбегание типических траекторий в ходе вычислений
наблюдалось [4].
1.
2.
3.
4.
Шварц Л.
Lorenz E.N.
Магницкий Н.А., Сидоров С.В.
Немыцкий В.В., Степанов В.В.
ЛИТЕРАТУРА
Анализ. М.: Мир, 1972. Т. 2. C. 10.
Deterministic Nonperiodic Flow // J. Athmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130141.
Новые методы хаотической динамики. М.: URSS, 2004.
Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: URSS, 2004.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты ќ 100700136, ќ 110700098).
1098
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Kirichenko M.A., Rubanov N.A., Agabekyan E.A. About application symbolic computing
for construction of generalized-periodic solutions of systems of ordinary dierential equations
with multilinear right side. Based on the method of successive approximations of Picard based
decision systems ordinary dierential equations with multilinear term.
Key words: symbolic computation; the method of successive approximations of Picard; Lorenz
system; the construction of non-local solutions of system of ordinary dierential equations with
multilinear right side.
Кириченко Михаил Александрович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры ПМиИ, e-mail:
kirimedia@gmail.com.
Рубанов Никита Александрович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры ПМиИ, e-mail:
nikitarubanov@gmail.com.
Агабекян Эмиль Паргевович, Тамбовский государственный технический университет,
г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры экономического анализа, e-mail:
emill2007@yandex.ru.
УДК 517.977
ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ В ОДНОЙ ПОВТОРЯЮЩЕЙСЯ
НЕАНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЕ ТРЕХ ЛИЦ
c А.Ф. Клейменов
Ключевые слова
: повторяющаяся игра трех лиц; конечное число стратегий; типы пове-
дения.
В рассматриваемой игре два игрока действуют в классе смешанных стратегий, а третий игрок в классе чистых стратегий. Предлагаемый подход к построению динамики
повторяющейся игры основан на: принципе неухудшения гарантированных выигрышей
игроков [1, 2], на специальной процедуре нахождения нэшевских решений в вспомогательных биматричных играх, а также на использовании различных типов поведения
игроков [3, 4]. Рассмотрен пример игры трех лиц типа дилеммы заключенного [5].
Рассмотрим следующую повторяющуюся игру трех лиц с конечным числом стратегий.
Обозначим через l, m и n число стратегий игроков 1, 2, и 3 соответственно. Обозначим
через fijk , gijk и hijk выигрыши игроков 1, 2 и 3 соответственно, доставляемые тройкой
стратегий (i, j, k), где i ? L = {1, ..., l}, j ? M = {1, ..., m} и k ? N = {1, ..., n}.
Пусть игроки выбирают свои стратегии последовательно в моменты 1, 2,.... Предполагаем, что в каждый момент t игроки 1 и 2 действуют в классе смешанных стратегий, в
то время как игрок 3 использует только чистые стратегии из множества N. Смешанные
?
?
q = (q1 , ..., qm ) игрока 2 определяются стандартным
стратегии ?
p = (p1 , ..., pl ) игрока 1 и ?
образом и выбираются из симплексов Sl?1 и Sm?1 соответственно. При фиксированном
?
?
qt , kt ) ? S = Sl?1 Ч Sm?1 Ч N ожидаемый выигрыш игрока 1 опредесостоянии игры (?
pt , ?
ляется формулой
?
?
f (?
pt , ?
q t , kt ) =
m
l pi,t qj,t fijkt .
(1)
i=1 j=1
1099
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа