close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О простых над конечными множествами и предельных моделях теории аддитивной группы целых чисел.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 34–36.
УДК 510.67
Р.А. Попков
О ПРОСТЫХ НАД КОНЕЧНЫМИ МНОЖЕСТВАМИ
И ПРЕДЕЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ ТЕОРИИ
АДДИТИВНОЙ ГРУППЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ*
Рассматриваются счётные модели аддитивной группы целых чисел. С использованием моделей, предложенных Болдуином, Блассом, Глассом и Кикером, показывается, что у данной теории континуум попарно неизоморфных простых над конечными множествами счётных моделей. На основе этих моделей строятся элементарные цепи простых моделей над конечными множествами, что приводит к построению континуума попарно неизоморфных предельных моделей.
Ключевые слова: простая модель, предельная модель, аддитивная группа целых
чисел.
Введение и основные определения
Определение 1. Модель M теории T называется простой моделью
над конечным множеством A , если любая константно содержащая A
модель N теории T содержит элементарную подмодель M' , так же константно содержащую A и изоморфную модели M .
Определение 2. Модель M теории T называется простой моделью,
если она является простой над пустым множеством.
Определение 3. Множество
{A n ∈ω}
алгебраических систем назы-
вается элементарной цепью, если A n U A n+1 для любого n ∈ ω .
Определение 4. Модель M теории T называется предельной моделью, если она является объединением элементарной цепи простых над
конечными множествами моделей и не изоморфна никакой простой над
конечным множеством модели.
Определение 5. Модель M теории T называется минимальной моделью, если она изоморфна любой своей элементарной подмодели.
В монографии [1] доказано, что для малой теории (т. е. счётной полной теории, имеющей счётное число типов) любая счётная модель является простой над некоторым кортежем или предельной, и поставлена проблема описания предпорядков Рудин – Кейслера и функций распределения предельных моделей для различных классов алгебраических систем.
В статье [2] рассматриваются немалые теории (т. е. полные теории,
имеющие континуальное число типов) в общем случае и показывается,
что для таких теорий могут существовать счётные модели, не являющиеся
ни простыми над конечными множествами, ни предельными. В данной
статье было введено понятие тройки распределения, т. е. набора
cm3 = ( P (T ), L(T ), NPL(T ) ) , где
P (T ) , L(T ) , NPL(T ) – мощности мно-
жеств типов изоморфизма простых над кортежами, предельных и остальных счётных моделей теории T соответственно. Для теорий T с контиω
нуумом типов выполняется I (T , ω) = 2 , и, значит, хотя бы одно из знаω
чений P (T ) , L(T ) , NPL(T ) равно 2 . Кроме того, была доказана следующая теорема.
*
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, государственное задание № 2014/138, проект 1052.
© Р.А. Попков, 2014
О простых над конечными множествами и предельных моделях...
Теорема 1 [2]. В предположении континуум-гипотезы для любой немалой теории T
тройка cm3 принимает одно из следующих
значений:
(
)
2) ( 0, 0, 2 ) ;
3) ( λ , λ , 2 ) , где λ
ω
{
ω
1) 2 , 2 , λ , где λ ∈ ω ∪ ω, 2
ω
};
ω
1
2
1
≥1,
, +, 0
)
аддитивной
группы
Построение простых и предельных
моделей
Описание типов элементов группы
возможно с помощью разложения
их на простые множители. Тип единицы
опишем как тип элемента, который ни на
что не делится:
¬∃x1 ( x1 + x1 ≈ 1) , ¬∃x2 ( x2 + x2 + x2 ≈ 1) ,
…, ¬∃xn ( xn +1 + … + xn +1 ≈ 1) ,…
Так как каждое конечное подмножество
данного множества формул выполнимо
(действительно, всегда можно найти число,
которое не делится на конечное число каких-то чисел), то по теореме компактности
выполнимо и всё данное множество формул.
Противоположный к 1 элемент –1 имеет тот
же тип, что и 1: tp(1) = tp(–1). При этом элемент –1 определяется элементом 1 с помощью формулы 1 + x ≈ 0 .
Как известно, группа
, +, 0 является
простой моделью над {1}. Действительно,
каждый положительный элемент a определяется как сумма соответствующего числа
единиц, каждый отрицательный элемент
представляется в виде суммы значений –1, а
любая константа и, в частности, 0, попадая
в определимое замыкание пустого множества, принадлежит определимому замыканию
единицы.
Типы простых чисел p1 , p2 , …, pi ,…
описываются формулами, означающими
делимость каждого pi лишь на ±1 и на ± pi .
Тогда типы q , описывающие элементы
группы
жествами
, +, 0 , изолируются (над 1) мноформул,
i2
ij +1
целых чисел. В настоящей работе выясняются мощности множеств типов изоморфизма простых над конечными множества
и предельных моделей данной теории.
, +, 0
( ¬ ( k ≈ k ) ∧ … ∧ ¬ ( k ≈ k )( k p ≈ x )) ,
(¬(k ≈ k ) ∧… ∧ ¬(k ≈ k ) ∧
∧¬ ( k p ≈ x ) ) , …,
(¬(k ≈ k ) ∧… ∧ ¬(k ≈ k ) ∧
∧¬ ( k p ≈ x ) ) .
ij
«говорящих»
о
ij −1
ij
ij +1
i2
ij +1
Все указанные значения имеют реализации в классе немалых теорий.
Интересным является вопрос о том, какие возможны тройки распределения для
различных естественных классов немалых
теорий. Одной из таких теорий является
Th (
( ki1 pi ≈ x ) , ( ¬ ( ki 2 ≈ ki1 ) ∧ ( ki 2 pi ≈ x ) ) , …,
ij +1
λ1 , λ 2 ∈ ω ∪ {ω, 2ω } .
теория
(не)делимости этих элементов на степени
простых чисел:
ij
ω
35
i
ij
i
ij + l
i2
ij + l
ij + l −1
i
Аналогично по теореме компактности
(так как для каждого конечного l множество формул выполнимо) существуют элементы с бесконечной делимостью (как на бесконечное число различных простых чисел,
так и на бесконечные степени одного простого числа, а также комбинации данных
вариантов).
Так как количество простых и натуральных чисел счётно, получаем континуальное число типов в теории Th
(
, +, 0 ) ,
т. е. данная теория действительно не является малой.
В работе [3] показано, что рассматриваемая теория не имеет простой модели, и
построены следующие модели.
Пусть σ – отображение из множества
простых чисел во множество целых положительных чисел. Тогда
σ
⎧m
= ⎨ : m, n ∈
⎩n
и для любого простого p,
⎫
p σ( p ) не является делителем n ⎬ .
⎭
Данные модели является минимальными и попарно неизоморфными. Так как всевозможных отображений σ континуум, то
существует континуум моделей
σ . Покажем, что данные модели являются простыми над конечными множествами. Рассмотрим произвольный тип q , говорящий о делимости элемента на
p1σ ( p1 ) −1 , p2σ ( p2 ) −1 , …,
piσ ( pi ) −1 , … и неделимости на элементы
p1σ ( p1 ) , p2σ ( p2 ) , …, piσ ( pi ) , …, где p1 , p2 , …,
pi , … – простые числа. Пусть a – реализация типа q . Посмотрим, в реализации каких типов можем попасть с помощью добавления всевозможных линейных комбинаций
вида ka ≈ lx . Если α i – наибольшая степень
простого числа pi , на которую делился элемент a , то с помощью линейной комбинации a ≈ α i x получаем элемент x , для которого наибольшая степень числа pi , на кото-
Р.А. Попков
36
рую делится x , равна α i − 1 . С помощью
формулы α i a ≈ x получаем элементы x , которые уже делятся на α i + 1 , т. е. с помощью
конечных линейных комбинаций из типа q
возможно попасть в типы, которые отличаются от q на конечное число степеней простых чисел. Таким образом, реализация в
модели какого-либо типа влечёт реализацию
счётного числа типов, следовательно, существует континуум попарно неизоморфных
простых над конечным множеством моделей. Отметим, что в качестве элемента
a можно взять 1. Так как в различных моделях
σ элемент 1 имеет разные типы, то
будем элемент 1, относящийся к
значать через 1
σ
σ
, обо-
.
Поскольку все модели
σ являются минимальными, то за счёт данных моделей невозможно построение элементарной цепи,
объединение которой является предельной
моделью. Как известно [4], прямая сумма
A ⊕ , где A – абелева группа без кручения, элементарно эквивалентна самой A
(так как любая базисная размерность группы
равна нулю, а базисные размерности
прямой суммы абелевых групп равны сумме
соответствующих базисных размерностей
прямых слагаемых). Рассмотрим модели
. Все элементы
σ ⊕
σ можно породить
с помощью элемента 1
σ
, а все элементы
– с помощью элемента 1 . Таким образом,
любой элемент d = ( d1 , d 2 ) ∈
σ ⊕
опреде-
лим при помощи главной формулы над па-
(
)
рой a = (1 σ ,0),(0,1 ) . Следовательно, модель
σ
⊕
является простой моделью M a
над кортежем a . Обозначим через
дель
σ
⊕
из моделей
n
. Аналогично
σ, n
σ
⊕
σ, n
мо-
, каждая
является простой моделью
M b над кортежем
(
)
b = (1 σ ,0,…,0),(0,1 ,…,0),…,(0,0,…,1 ) .
Очевидно, что при n1 ≠ n2 модели
σ, n2
σ, n1
и
не являются изоморфными, так как
имеют разную размерность и, кроме того,
Рассмотрим
модель
σ, n U
σ , n +1 .
σ, ∞
=∪
σ, n
. Её элементы не выражают-
n∈ω
ся с помощью конечных линейных комбинаций с использованием элементов конечного множества An = {a1 , a2 , … , an } , n ∈ ω ,
так как для сколь угодно большого n в
взять, например, элемент
σ , ∞ можно
⎛
⎞
⎜ 0,0,… ,0, bn +1 , bn + 2 ,… ⎟ , где bi ≠ 0 для всех
⎜
⎟
n
⎝
⎠
i > n . Таким образом, каждой модели σ соответствует предельная модель
σ, ∞
, сле-
довательно, предельных моделей так же
континуум.
Таким образом, доказана следующая
теорема.
Теорема 2. Для теории T = Th
в тройке распределения
ω
(
, +, 0
)
cm3 имеет ме-
ω
сто P (T ) = 2 и L(T ) = 2 .
В заключение отметим открытый вопрос
о
существовании
у
теории
Th (
, +, 0
)
модели, не являющейся ни
простой над конечными множествами, ни
предельной, и если она есть, то неизвестно,
какова мощность множества типов изоморфизма таких моделей.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Судоплатов С. В. Проблема Лахлана : монография. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009.
336 с.
[2] Popkov R. A., Sudoplatov S. V. Distributions of
countable models of theories with continuum
many types // arXiv:1210.4043v1. 2012. URL:
http://arxiv.org/pdf/1210.4043.pdf.
[3] Baldwin J. T., Blass A. R., Glass A. M. W.,
Kueker D. W. A 'natural' theory without a prime
model // Algebra universalis. 1973. Vol. 3. Issue 1.
Р. 152–155.
[4] Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая
логика : учебное пособие для вузов. М. : Физматлит, 2011. 356 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
506 Кб
Теги
над, моделях, группы, простые, множества, аддитивных, конечными, чисел, теория, предельных, целым
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа