close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О разрешимости видоизмененной задачи Дирихле для многомерной эллиптической системы с параболическим вырождением.

код для вставкиСкачать
Физико-математические науки
УДК 517.956
О РАЗРЕШИМОСТИ ВИДОИЗМЕНЕННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ВЫРОЖДЕНИЕМ
© Г.А. Тренёва1
Иркутский государственный технический университет,
664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Принадлежность системы с переменными коэффициентами к тому или иному гомотопическому классу зависит от
точки области, в которой рассматривается система. Многообразие вырождения разбивает первоначальную область на части. Представляет интерес изучение влияния такого вырождения на характер разрешимости граничных задач. В работе рассмотрена система n дифференциальных уравнений в частных производных второго
порядка с вещественным параметром  > 0, эллиптичная везде, кроме двух плоскостей: хn = 0, хn = , на которых
происходит параболическое вырождение. Доказано, что видоизмененная задача Дирихле для этой системы разрешима, и решение ее единственно.
Библиогр. 5 назв.
Ключевые слова: эллиптические системы; вырождение; видоизмененная задача Дирихле.
ON SOLVABILITY OF MODIFIED DIRICHLET PROBLEM FOR MULTIDIMENSIONAL ELLIPTIC SYSTEM WITH
PARABOLIC DEGENERATION
G.A. Trenyova1
Irkutsk State Technical University,
83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
Depending on the point of domain where the variable-coefficient system is considered it is referred to one or another
homotopic type. Degeneration manifolds split the original region into parts. The study of the degeneration effect on the
solvability nature of boundary value problems is important. The paper examines the system of n differential equations of
second order partial derivatives with a real parameter of  > 0. This system is elliptic everywhere, except two planes of
хn = 0, хn = ,, where the parabolic degeneration occurs. It is proved that the modified Dirichlet problem is solvable for
this system, and its solution is unique.
3 sources.
Key words: elliptic systems; degeneration; modified Dirichlet problem.
Для одного эллиптического уравнения в частных
производных второго порядка в достаточно малой
области с гладкой границей задача Дирихле с любыми
непрерывными граничными данными всегда разрешима и ее решение единственно. Аналогичные факты
имеют место и для сильно эллиптических систем
уравнений второго порядка. Такие системы встречаются в стационарной изотропной теории упругости.
В настоящее время системы с многими независимыми
переменными, не удовлетворяющие условию сильной
эллиптичности по Вишику, еще недостаточно изучены.
Для математики исследование таких систем важно и
актуально. Интересные результаты для не сильно
эллиптических систем с параметром или с младшими
производными получены в работах А.И. Янушаускаса
[5], Е.А. Головко, Г.А. Тренёвой [3], Л.С. Сергиенко [4]
и др. Но в теории эллиптических систем еще много
неясных вопросов. Одним из них является вопрос о
том, как влияет структура системы на разрешимость
задачи Дирихле.
Рассмотрим n систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с n
независимыми переменными xi, i = 1, …, n и веще-
ственным параметром  (пусть для определенности
 > 0):
∑
(1)
где
- оператор Лапласа,
∑
Характеристический определитель системы (1)
имеет вид
(
) [∑
]
Следовательно, система эллиптична всюду, кроме
На этих плоскостях происходит параболическое вырождение.
Введем обозначение
∑
(2)
по
Продифференцируем j-е уравнение системы (1)
:
∑
___________________________
1
Тренёва Галина Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89025660327,
e-mail: galkatren@gmail.com
Trenyova Galina, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 8902566032 7,
e-mail: galkatren@gmail.com
68
ВЕСТНИК ИрГТУ №1 (84) 2014
Физико-математические науки
∑
Сложим полученные соотношения (
Умножим обе части этого равенства на
том n-го уравнения системы ( ) получим:
(
)
)
с уче(3)
В результате придем к системе, рассматриваемой
совместно с уравнениями (2), (3):
(4)
Будем решать краевую задачу в произвольной конечной области , ограниченной плоскостями
.
Обозначим границу области через
} с границей
где
– часть плоскости {
} , а
асть {
оставшаяся боковая
граница.
Краевые условия:
(
)
|
(5)
|
(
)
(6)
|
(
)
(7)
где
заданные дважды непрерывно
дифференцируемые функции.
Найдем условия существования и единственности
решения третьей краевой задачи (5), (6), (7) для системы (1) и выведем формулы для этого решения.
Решим сначала первую краевую задачу для вырождающегося дифференциального уравнения с
частными производными (3) при неоднородном условии (6)
Приведем уравнение (3) к следующему виду:
( )
∑
) ]
[ (
(
)
(8)
Уравнение (8) эллиптично при
и параболично при
Пусть
множество всех непрерывных в
функций,
имеющих
ограниченные
кусочнонепрерывные первые производные и обращающихся в
нуль в некоторой граничной полоске области . Через
(
):
обозначим градиент функции
(
), а множество, составленное из
элементов ,
, через
ное произведение, полагая
{
}
∫ ∑
. Введем в
(
скаляр-
)̅
(
(∑ ( ) )
)∑
а для
(
)̅
. Отождествим элемент
с градиентом от предельной функции
̇ ̇ замыкание
}. Обо( ):
в норме {
̇
̇
значим
множество всех функций ( )
̇
̇ , то есть ̇ – область определения оператора
градиента.
(
)̅
(
)
где (̅ ) ( ( )) – непрерывно дифференцируемое
( )
поле векторов; | (̅ )|
– постоянные. В окрестности
(
)
|
|
а в окрестности
(
)
|| |
||
||
Следовательно, первая краевая задача состоит в
нахождении решения уравнения (8) именно при условии (6): на
никаких граничных условий не задается
[2].
Освобождение граничных условий можно доказать
и другим образом. Решения уравнения (3), которые не
имеют изолированных особых точек на плоскости
, как функции переменного
при
, в
основном ведут себя как решения обыкновенного
( )
( )]
дифференциального уравнения [
то есть оба остаются ограниченными при
:
А при
одно из решений урав( )]
нения [(
) ( )
не ограничено:
|
|
. Следовательно, нужно исключить участок границы
. Однозначно разрешима
только следующая задача: найти регулярное в области решение уравнения (3) остающееся ограниченным при
и принимающее заданное непрерыв) на
ное значение (
(кроме ).
̃
Обозначим через
множество непрерывно
дифференцируемых в
функций ̃. Замыкание множества ̃ градиентов ̃ обозначим через R1. R1 состоит из градиентов функций ƒ, имеющих в области
обобщенные первые производные и {Gƒ,Gƒ} < ∞. Соответствующее множество функций ƒ обозначим через 1.
Пусть дана функция
, для которой билинейная форма
(
)
(
) непрерывна в ̅ для любой
Функция
∑
точки
и любых чисел
:
(
(
) и
В уравнении (8) коэффициенты
(
) непрерывно дифференцируемы в
(
), где
, а при
выполнены неравенства
)=
{
}
[ (
)
]
где
, непрерывно зависит от элемента , изме{
}. Множество таких
ряемого в метрике ‖ ‖
функций обозначим через .
Обобщенным решением однородного уравнения
)
(7) назовем функцию
, для которой (
при любой функции
. Очевидно,
. Если
коэффициенты уравнения (8) гладкие, то все его
обобщенные решения являются дважды непрерывно
дифференцируемыми в решениями уравнения (8).
Первая неоднородная краевая задача (6), (8) состоит в нахождении решения Н уравнения (8), принимающего на
те же значения, что и заданная
ВЕСТНИК ИрГТУ №1 (84) 2014
69
Физико-математические науки
̇ и остающегося
функция
:
ограниченным при
.
При сделанных допущениях эта задача имеет
единственное решение:
(
)
,
(9)
где К* – оператор, сопряженный с оператором К:
{
}
(
[
[ (
)
]
)
[
]
]
Действительно, при
в пространстве градиентов ̇ уравнение (8) можно реализовать в виде
̇ , и найти такую функцию
} где
( ) {
̇ , чтобы
(
)
)
или (
(
)
По известной функции H определим функции ,
из уравнений Пауссона (4) и краевых
условий задачи Дирихле (5). Приведем уравнения (4) к
следующему виду:
( )
∑
(
)
Проверим выполнение четырех свойств:
) непрерывна в полукруго1. Функция (
вой окрестности точки
(
)(
)
(
)
,
2. ( )
.
)
3. (
во всех других точках окрестности.
(
)
(
)
4. ( )
всюду в
полукруговой окрестности точки Q.
Кроме того, решения уравнений (4) как функции
переменного
при
в основном ведут себя как
решения обыкновенного дифференциального уравнения:
( )
∫∫
то есть ограничены при выполнении условия
|
(10)
Следовательно, существуют решения задач Дирихле (4), (5) в обычной постановке, исключать условие
при
не нужно.
В окрестности
при
выполнены неравенства:
70
(
)
∑
|
|
Значит, первая краевая задача для уравнений (4)
определяется с помощью перехода к сопряженному
оператору:
∑
(
)
Эта задача с однородными граничными условиями имеет единственное решение для любых правых
частей
,
, квадратично суммируемых с весом
в области : [
. Решение дается формулами:
)
Для доказательства того, что решения уравнений
(4) принимают наперед заданные непрерывные значения на плоскости
достаточно показать, что
существует барьер [1]. Будем искать барьер в виде
(
)
(
)
(
( )
(∑ ( ) )
(
где
(
]
∫
)
) ;
{
}
∫
Решение неоднородных уравнений (4) при неоднородных краевых условиях (5) представляется в виде:
(11)
где
– единственное решение однородных уравнений
при неоднородных
краевых условиях (5).
Функцию
определим по известным ,
,
из соотношений
(12)
∑
(13)
Решение уравнения (12) принимает наперед заданные непрерывные значения на плоскости
,
то есть исключать граничное условие при
не
нужно. Направляющие косинусы нормали к точкам
плоскости
равны нулю. Значит, нарушается
фредгольмовость задачи о наклонной производной.
Проигнорируем равенство (13)
(
)
(14)
∫
и подставим в (12):
∫
где
ВЕСТНИК ИрГТУ №1 (84) 2014
∑
Физико-математические науки
Из соотношения
∫
(
Имеем
∫
|
|
∫
∫
Следовательно, функция
ется из уравнения
∑
∑
∑
Получим
∫(
(
(
с учетом равенства
|
)
∑
)
Преобразуем подынтегральное выражение, используя формулу (3) и соотношение для :
(
)
)|
) определя-
(
)
(15)
Теорема. Краевая задача (5), (6) для системы (1),
где , ,
– непрерывные, дважды непрерывно дифференцируемые функции,
ограничена
при
и равна нулю при
, разрешима, ее
решение ,
единственно и находится
по формулам (9), (11), а компонента
– по формуле
), определя(14) с точностью до функции (
емой уравнением Пуассона (15).
Следствие. Если граница
однозначно проектируется на часть
плоскости
, то есть
(
) и задано условие (7) на границе
|
(
) то компонента
определяется единственным образом.
Статья поступила 29.11.2013 г.
Библиографический список
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных
ческого университета. 2011. № 2. С. 237–240.
производных. М.: Наука, 1981. 262 с.
4. Сергиенко Л.С., Баенхаева А.В. Первая краевая задача
2. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнедля стационарного уравнения класса Шрёдингера // Вестник
ний, вырождающихся на границе области // Математический
Иркутского государственного технического университета.
сборник. 1954. Т. 35 (77). № 3. С. 513–568.
2011. № 10. С. 275–281.
3. Головко Е.А., Тренёва Г.А. К вопросу о разрешимости
5. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических
задачи Дирихле для одного класса многомерных эллиптичеуравнений в частных производных и интегродифференциских систем // Вестник Иркутского государственного техниальные уравнения. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1997. 168 с.
ВЕСТНИК ИрГТУ №1 (84) 2014
71
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа