close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О разрешимости сингулярного интегрального уравнения Гильберта и его дискретного аналога.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2009, том 52, №9
МАТЕМАТИКА
УДК 517.948
А.Б.Назимов, М.Муллоджанов*
О РАЗРЕШИМОСТИ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ГИЛЬБЕРТА И ЕГО ДИСКРЕТНОГО АНАЛОГА
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 12.07.2009 г.)
Рассматривается сингулярное интегральное уравнение с ядром типа Гильберта второго рода, записанное в операторной форме:
x (t )
f (t ) ,
(1)
где x (t ) – искомая функция, а f (t ) – заданная функция пространства H
странства Гѐльдера 2 -периодических, комплекснозначных функций f (t ) , 0
показателем
1) , то есть f (t
(0
)
f (t )
, где число K f
Kf
– про-
0, 2
t 2 ,с
0 зависит
только от функции f (t ) .
Оператор
, участвующий в левой части (1), имеет вид
A , где I – еди-
aI
ничный оператор в H ,
A T
K1 K2 , Tx (t )
K 2 x(t )
а a, bm , cm ( m
1
2
1
2
2
ctg
0
t
s
2
x( s )ds , K1 x(t )
2
1
2
2
k1 (t
0
M
k2 (t
M
bmeim , k2 ( )
s ) x( s )ds , k1 ( )
m
0
s ) x( s )ds ,
M
cmeim ,
m
M
M , M ) – произвольные комплексные числа; M – произвольное нату-
ральное число. Интеграл в правой части оператора T понимается в смысле главного значения.
Уравнение (1) имеет множество приложений. Оно возникает в теории упругости [1],
аэродинамики [2], теории трещин [3], в задаче восстановления аналитической функции по
одной из ее частей [4] и т.д. Частные случаи уравнения (1) являлись предметом изучения
многих исследователей [4-8].
Обозначим
L2 0, 2
но, в пространствах L2 0, 2
и
H 0, 2
и H
спектры оператора
0, 2
.
Лемма 1. Справедливы равенства
674
, действующего, соответствен-
Математика
А.Б.Назимов, М.Муллоджанов
1
a i, a bo
2
1
(2a b
2
k
k
bk
b
c0 ,
2
bk
k
k
;
k 1,2,..., M ;
4 c k ck
ib k bk 1 .
Разрешимость или однозначная разрешимость (1) тесно связаны с совместностью бесконечной системы линейных алгебраических уравнений:
(a i ) xk
fk ,
(a i bk ) xk
(a b0
ck x
k
k
ck x
c0 ) x0
k
k
f0 ,
(a i bk ) xk
(a i ) xk
f k,
M 1,
k
fk ,
M ,..., 1,
0,
(2)
k 1,..., M ,
fk ,
k
M 1.
Лемма 2. а) Для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно совместности системы (2); б) Для однозначной разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы система (2) имела единственное решение.
Введем обозначения:
Bk
k
a i b
ck
a i b
k
ck
, k 1,2,..., M ,
a i bk
k
a i bk
c k ck , k 1,2,..., M .
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что число a удовлетворяет условию
a
i.
Теорема 1. Пусть имеют место неравенства a
Тогда уравнение (1) однозначно разрешимо в H a 0, 2
Теорема 2. Пусть выполнены условия a
b0 c0
b0 c0
0 и
k
0 , k 1, M .
.
0и
k
0 , k 1, M .
2
Тогда разрешимость уравнения (1) эквивалентна равенству
f (t )dt
0 . Причѐм,
0
если уравнение (1) разрешимо, то для любого комплексного числа d 0 существует только
одно решение x0 t , удовлетворяющее соотношению
1
2
2
x0 (t )dt
0
675
d0 .
(3)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
Если же при некоторых k
2009, том 52, №9
1, 2,..., M
матрицы Bk вырождены, то рассмотрим
ситуации:
Ak 1)
a i b k 0, ck
a i bk 0, c k
0,
a i b k 0, ck
Ak 2)
0,
a i bk 0, c k
0,
a i b k 0, ck
Ak 3)
0;
a i bk 0, c k
0,
0;
Ak 4)
a i b k 0, ck
a i bk 0, c k
0,
a i b k 0, ck
Ak 5)
0;
a i bk 0, c k
0,
a i b k 0, ck
Ak 6)
0;
a i bk 0, c k
0,
0;
Ak 7)
a i b k 0, ck
a i bk 0, c k
0,
a i b k 0, ck
Ak 8)
0;
a i bk 0, c k
0,
a i b k 0, ck
Ak 9)
0;
a i bk 0, c k
0,
0;
Ak 10) a i b k
Если
k
0, c
k
0, ck
0, a i bk
0.
0 при некотором значении k , то при этом имеет место одна и только одна из си-
туаций Ak 1)
Ak 10) . Hаряду с ситуациями Ak 1) Ak 10) , рассмотрим также условия:
2
1
Bk 1)
2
1
Bk 2)
2
ikt
f t e dt
0
2
f t e
dt
0
1
Bk 4)
2
2
1
Bk 6)
2
2
c
Bk 8) k
2
ikt
ikt
f t e dt
0
f t e
ikt
dt
0
2
ikt
f t e dt
0
a i bk
Bk 9)
2
1
0,
2
f t e
f t e
f t e dt
ikt
dt
0;
dt
0;
f t eikt dt
0;
2
f t e
ikt
0
2
0
2
k
ck
2
676
0;
0
1
0 ; Bk 7)
2
ikt
dt
2
1
0 ; Bk 5)
2
a i b
2
ikt
0
1
0 ; Bk 3)
2
2
0
2
f t e
ikt
f t e
ikt
dt
0;
dt
0;
0
2
0
Математика
А.Б.Назимов, М.Муллоджанов
c
Bk 10) k
2
2
a i b
2
ikt
f t e dt
0
2
k
f t e
ikt
dt
0
0
или
a i bk
2
2
f t e
ikt
dt
0
Теорема 3. Пусть для некоторых k
2
ck
2
f t e
ikt
dt
0.
0
1,2,..., M выполнено равенство
k
0 . Если
0 , то для разрешимости уравнения (1) при тех значениях k , для которых име-
a b0 c0
ет место условие (8) в ситуации Ak N ) , необходимо и достаточно выполнение соответствующего условия Bk N ), N
1,2,...,10 . Если же a b0 c0
0 , то от правой части f t
2
нужно потребовать также выполнение условия
f (t )dt
0.
0
Если a
0 и уравнение (1) в ситуации Ak ( N ) разрешимо, то для каждого
b0 c0
d k и d k существует только одно решение x0 t
ряющее соответствующему условию сk ( N ) , N
1
Сk 1)
2
2
1
Сk 3)
2
2
x0 t e dt
1
2
dk ,
ikt
0
x0 t e dt
0
Сk 6)
1
2
1
Сk 8)
2
x t e
ikt
ikt
0
dt
2
x0 t e
ikt
2
x0 t e
dt
0
1
Сk 10)
2
dt
1
2
2
1
d k ; Сk 9)
2
2
d k ; Сk 7)
x0 t e
0
677
x0 t e
x0 t eikt dt
0
x0 t eikt dt
dk ;
0
0
dk .
dt
dk ;
2
dk ;
ikt
ikt
0
dt
2
x0 t eikt dt
2
1
d k ; Сk 5)
2
0
0
ikt
1
d k ; Сk 2)
2
dt
2
x0 t e
уравнения (1), удовлетво-
1,2,...,10 :
2
1
d k ; Сk 4)
2
ikt
H a 0, 2
dk ;
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
Если a
2009, том 52, №9
0 , то к вышеперечисленным условиям нужно добавить условие,
b0 c0
что для каждого d 0 существует только одно решение x0 t
уравнения (1), удовлетворяю-
щее условию (3).
На отрезке периода 0, 2
N
SkN
s
2
k : k 1, N ,
N
N
4 определим две равномерные сетки:
N
tkN
t
2
,
- произвольное число, а
N
N
N
где
для каждого N
N
2
k : k 1, N ,
N
N
N
N
. Рассмотрим два случая: 1)
a 0 и 2) a 0 , где число а участвует в определении оператора
. В случае 1) заменим
уравнение (1) дискретизированной системой, которая получается заменой интегралов интегральными суммами, при этом переменная s будет меняться на сетке
N
s
, а t – на
N
t
.
Полученная система состоит из N уравнений с N неизвестными. В случае 2) заменим
уравнение (1) дискретизированной системой, которая получается заменой интегралов интегральными суммами, при этом: а) переменная s будет меняться на сетке
б) переменная s будет меняться на сетке
из
N
t
, а t – на
N
s
N
s
, а t – на
N
t
;
; Полученная система состоит
2N уравнений с 2N неизвестными. Дискретизированная система имеет вид
f N , где
x
N N
N
– матрица коэффициентов, f N – правая часть, а xN - неизвестный век-
тор. В этих случаях имеем:
1)
2)
N
N
TN1
TN
2
K11N
K 22N , f N
aI N
TN
1
2
2
K1N
K2 N
FN
e
f1N , xN
1
x1N ;
1
K1N
K2 N
aI N
f1N
, xN
f2 N
, fN
x1N
.
x2 N
Обозначим
i
N
m 1 k 1
/ N ,
N
FN
0
0
.
FN
Матрица FN называется матрицей быстрого преобразования Фурье. Матрица FN является квадратной порядка N , а матрица
*
ными, то есть FN
Систему
FN 1 и
x
N N
*
N
N
порядка 2N . Эти матрицы являются унитар-
1
N .
f N заменим эквивалентной ей системой
678
Математика
А.Б.Назимов, М.Муллоджанов
1)
FN
N
FN y N
FN f N ,
FN xN
В случае 1) матрица FN
N
или 2)
N
N
N
yN ,
yN
fN ,
N
N xN
(4)
yN .
FN имеет вид
N
FN
N
FN
*
0 
 0
0

* 0
0 
0 *
 0

0
0 
* 0
 0
0 *
,
(5)
в которой ненулевые элементы могут находиться только в позициях, где расположены звездочки; в случае 2)
N
Представления для FN
N
N
aI N
N1
N2
aI N
N
FN и
N
N
N
, где матрицы
N1 ,
N2
имеют вид (10).
позволяют решать системы (9) за O N log 2 N
арифметических операций.
Авторы благодарны профессору МГУ им. М.В.Ломоносова Владимиру Алексеевичу
Морозову и профессору Вологодского государственного технического университета Эргашу
Мирзоевичу Мухамадиеву за полезное обсуждение результатов данной работы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 07-01-92104, 07-0100269) и Минобрнауки Республики Таджикистан (проект 2.1.1.- 3828).
Вологодский государственный технический университет,
Поступило 12.07.2009 г.
Российская Федерация,
*Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова
Л И Т Е РАТ У РА
1. Партон В.З., Перлин Н.И. Интегральные уравнения теории упругости. – М.: Наука, 1997, 311 с.
2. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К. Аэродинамические производные летательного аппарата при
дозвуковых скоростях. – М.: Наука, 1975, 324 с.
3. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинках и оболочках. – Киев: Наукова думка, 1976, 443 с.
4. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Солдатов М.М. – ПММ, 1983, т.47, в. 5, с. 781-789.
5. Лифанов И.К. - ДАН СССР, 1980, т. 255, №5, с. 1046-1050.
6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968, 511 с.
679
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2009, том 52, №9
7. Назимов А.Б. Вопросы разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром типа Гильберта и численные методы его решения. Рук. деп. 26.06.89 в ВИНИТИ №4207 – 1989, 58 с.
8. Мухамадиев Э.М., Назимов А.Б. – ДАН ТаджССР, 1989, т. 32, № 2.
А.Б.Нозимов, М.Муллољонов
ОИДИ ЊАЛШАВАИИ МУОДИЛАИ ИНТЕГРАЛИИ СИНГУЛЯРИИ
ГИЛБЕРТ ВА СИСТЕМАЊОИ ДИСКРЕТИЗОНИДАШУДАИ ОН
Дар маќола масъалаи њал доштани муодилаи интегралии сингулярии Гилберт ва
ягонагии ин њал дар фазоњои Гёлдер тадќиќ мешавад. Барои системањои дискретизонидашуда алгоритмњои тези њисоб пешнињод шудаанд.
A.B.Nazimov, M.Mullodjanov
ON SOLVABILITY OF A HILBERT’S SINGULAR INTEGRAL EQUATION
AND ITS DISCRETE ANALOG
The problem of solvability and unique solvability of a singular integral equation in Hoelder
spaces is studied. Fast algorithms for solving its discrete analog are given.
680
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
490 Кб
Теги
гильберта, уравнения, аналоги, разрешимости, сингулярного, дискретное, интегрального
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа